数的概念
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公理化体系和结构观念来统观数学成为现代数学的明显标志。 现代数学的对象是一般的集合和各种抽象的逻辑上可能的形式 和关系。现代数学阶段以其三大基础领域一-几何、代数和分 析中的深刻变化作为开端。非欧几何的产生和多维空间概念的 形成，使“空间”这个概念已经超越了物质世界现实空间的含
义。代数的对象从传统的数扩展到具有更为普遍性质的量以至
结构和系统，如向量、矩阵、群、环、域、线性空间等。数学 分析的对象从变量扩展到变化的函数，从变量空间扩展到函数
空间。集合论的产生和数理逻辑的研究促使数学家从数学、逻
辑和哲学上考虑数学的本质和基础。 同时伴随着现代物理学、工程技术科学、经济学等的发展，
也引起应用数学和一些新的数学领域的产生和发展，如统计学、
为现在中学数学课程的主要内容。
高等数学阶段，以笛卡尔建立解析几何为起点，微积分的建 立是这一阶段最显赫的成就和标志。高等数学的对象是变量及其
函数。研究变量和函数的数学领域称为分析。在这时期，与解析
几何同时还产生了几何的另一分支---射影几何，并产生了数学 的重要的新领域一概率论。
现代数学阶段以康托尔建立集合论为起点。2O世纪以后用
赵元任做翻译。赵元任后来是清华国学研究院的四大导师之一。
徐志摩说过：“二十四岁以前我对于诗的兴味远不如我对于相对论或民 约论的兴味。”他原配妻子张幼仪的哥哥张奚若也曾回忆：当我1921年和他 在伦敦重聚时，一见面就很得意地向我说他近来作了一篇文章，料我无论如 何也猜不着他作的是什么题目……原来他作了一篇关于爱因斯坦的相对论的 文章!（张奚若：《我所认识的志摩》） 这篇文章，就是发表在1921年4月15日出版的《改造》(梁启超主编)上的
称破缺的。而对非线性、非平衡动力系统的深入研究，
又揭示出远离平衡态的隐藏在随机性和无序中的分叉 （bifurcation）和混沌(chaos）现象。突变、分叉、混 沌、分数维等等体现复杂性的现象已成为当今数学、力 学、物理学、生物和生命科学乃至经济学、社会学等科 学的热门研究课题。
从确定到模糊。作为现代数学基础的集合论，对 一个元素是否属于一个集合是完全确定的，但对自然 界和人类社会中许多现象的描述往往不具有明确的界
数学的发展
数学的历史发展通常划分成初等数学、高等数学和现代数学 三个阶段。公元前7～5世纪以前，人类发展漫长的历史时期是数 学的萌芽阶段，公元前5世纪至公元17世纪为初等数学阶段；从 17世纪初到19世纪末为高等数学阶段，从19世纪末开始数学进入
现代数学阶段。
在初等数学阶段，数学的对象是常量和简单几何形体。这个 时期数学的基本成果：初等代数和欧几里德几何（初等几何）成
限，而只有模糊的外沿。1965年由美国数学家L·Zadeh
建立起的模糊（fuzzy）数学发展很快，它对自然界和 社会中模糊现象作定量的研究，具有广泛的实际意义。
《第三次浪潮》的作者托夫勒在为普里高津所著 的《从混沌到有序》一书所撰写的前言中所说的：机
器时代的传统科学倾向于强调稳定、有序、均匀和平 衡。它最关心的是封闭系统和线性关系，其中小的输 入总是产生小的结果；而新的科学把注意力转向了现 实世界的那些方面：无序、不稳定、多样性、不平衡、 非线性关系（小的输入可以引起大的结果）以及瞬时 性——对时间流的高度敏感性。这些方面标志出今天加 速了的社会变化。
勒· 柯布西埃：
• 装饰是“初级的满足” ,“是多余的东西，是农民的爱好”， 而比例和尺度上的成功是“到达更高级的满足（数学）”， 是“有修养的爱好”。 • “帕提农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受”。
• “数学的精确性与大胆的幻想结合起来，说确切些，就是 美”。
两个学过数学的建筑师
扎哈· 哈迪德
罗素（Russell，1872~1970，英国数学家，诺贝尔文学奖得主）
现代数学的发展趋势
从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。 这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，并产
生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，
如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。最近十儿 年来，具有不必是整数的分数维（fractal dimension）的 几何对象一一分形（fractals）引起了广泛的兴趣。 从线性问题到非线性问题。线性化的数学模型是研究局 部范围和平缓变化过程所采用的通常是简化了的模型，而要 研究大范围、大变化、大挠动、高速度、强作用力等情形的 问题，就要涉及非线性现象。非线性问题通常具有对初始条 件、边界条件和外界挠动敏感的特征，即这些因素的微小变 化会引起结果很大的改变。非线性问题已成为当前数学研究 的一个主要内容。
《安斯坦相对主义》。1920年，徐志摩路过巴黎，张君劢送他一本爱因斯坦
自著的《相对主义浅说》，让他研究一下科学界的最新成果。到了英国，他 请教了许多人，包括理工科的留学生在内，居然没人说得出来。因此，他就 发狠苦读，钻研揣摩，“连吃奶的力气都使出来”，写下这篇通俗性的科学 论文。徐志摩广采博纳：从狭义相对论到广义相对论，从时空观念、万有引 力到哲学、历史人文科学中的有关影响等等 。
《建筑数学》第一讲
绪论 数的概念
《建筑数学》是针对中央美院建筑学专业的学生开设的试验 性课程，采用讲座的形式，介绍数学的一些基本概念和知识，与 建筑学的关系，对建筑设计和创作的启迪，以期引起建筑学专业 学生对数学的兴趣（兴趣是学习最重要的动力），认识到“数学 是受过高等教育者的一种文化修养”。 联合国科教文组织的《世界数学教育的新动向》中指出：“ 在人类社会的任何领域里，最近和将来都不可避免地利用数量计 算、逻辑推导和数学化模型。在传统的物理学和工程学以外，生 物科学、社会科学、经营管理学、人文科学和日常生活都要以各 数学分支及它们的相互结合为工具，加之统计的和计算机的模型 化，数学还将渗透到人文科学里最近发现的新课题。”
数学的定义
“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”
（恩格斯《反杜林论》）。恩格斯在论述数学是现实世界的反
映，产生于人类的实际需要的同时也指出：“这些材料表现于 非常抽象的形式之中”。 一百多年来现代数学的发展，一方面使数学具有更高的抽 象程度，另一方面数学对象的推广已经越出了对数量关系和空 间形式传统的理解范围，数学不仅研究直接从现实世界抽象出 来的数量关系和空间形式，而且研究那些运用数学已经形成的 概念和理论为基础定义和推理演绎出来的关系和形式。因此， 可以把客观世界和主观世界中（逻辑可能）的数量关系和结构 关系作为数学的对象，空间形式被看作是结构关系的一个方面。
英国AA建筑学院的学生作品 荷兰代尔夫特工业大学建筑系学生作品
Foster and Partners
Ball Nogues Studio
Maximilians Schell
OCEAN
Media Stations Bylgia Instalation /German Pavilion
New Czech National Library
从连续、稳定到间断、突变和不稳定。事物在经过
一段连续变化以后发生突变，从一种状态跳跃到另一种 状态，描述这种突变现象的新的数学学科称为 “突变论”
（Catastrophe Theory）。从平衡的、守恒的、可逆的
到非平衡的、耗散的、不可逆的，从决定性的、有序的、 周期性的、对称的到随机的、无序的、非周期性的、对
Zaha Hadid
Nordpark Cable Railway
广州大剧院
Baku Theatre
数的概念
数觉：某些动物有一种本能，能感知事物的“多少”。一个乌鸦在一
个庄园的塔楼上筑巢，庄园主想捉住它。但当庄园主一进入塔楼，乌 鸦就飞走，他一走出塔楼，乌鸦就飞回来；庄园主和另一个人，2人进 入塔楼，然后1个人走出来，1个人留在里面，但乌鸦不飞回来，它感 到出来的人数比进去的少了，直到留在里面的人出来，它才飞回；庄 园主继续试验，进去3人，出来2人，乌鸦还是不飞回来；继续试验， 直到进去5人，出来4人，乌鸦分辨不出来了，飞了回来，被逮住了。 原始人的数觉并不比乌鸦强，南部非洲的Bushmen人，除了一、二和 多，没有别的数字，澳大利亚土人没有人能了解七。 有的时候，对图形的辨别能提高数觉。桌上有5颗豌豆，均匀地紧 挨著排成一条直线，较难立即判别是4颗还是5颗，但把它们排成方形 （4颗）或是梅花状（5颗），一眼能看出差别。鸟巢中有4个蛋，被人 掏走1个，鸟感觉不到，拿走2个，鸟就看出来了。
运筹学、信息论、控制论、系统论、计算数学等等。
数学的特点
• • • • • 确定性 抽象性 严格性 应用的广泛性 理性美(dry beauty) 数学，“具有一种至高无上的美，一种冷峻（cool，酷
）而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，
它纯洁到崇高的地步，达到了只有最伟大的艺术才能显示 的那种完美的境界”。
这些理论以自然界和人类社会广泛的课题为研究对象， 具有广阔的研究领域和普遍的应用范围。这些理论不仅提 供了新的发现和新的论断，更重要的是表达了新的思维方 法、新的认识论和新的世界观。可以预言，这些理论很快 会被引入到建筑理论中来，就像相对论、系统论、信息论、 控制论一样，会成为新一代建筑思潮的自然哲学基础。如 果说现代建筑运动理性主义建筑观念反映了本世纪初建立 在经典数学和传统科学基础上的工业社会的自然哲学，那 么，当今建筑思潮五彩纷呈的现象则折射着后工业化社会 探索复杂性和多样性的自然哲学的辉光。
《Fractal Geometry in Architecture and Design》1996
数字建构
徐卫国，“数字建构”，建筑 学报2009年第一期：“使用数 字技术在电脑中生成建筑形体 ，以及借助于数控设备进行建 筑构件的生产和建筑的建造。 ” 并在清华大学建筑学院开设了 “非线性”建筑设计的课程。 近年来，许多欧美著名大学的 建筑院系开设了相关的课程。
有一种长期流行的观点“我们学艺术的、学建筑的，需要的、擅长的是形象思维， 而数学是逻辑思维，所以数学没有用，也学不好。”“形象”和“逻辑”怎么是一对对 立的词呢？“形象”与“抽象”才是一对对立的词！学艺术的、学建筑的难道不需要抽 象思维？！现代艺术区别于传统艺术最重要的特点之一正是“抽象”！而 “抽象是数学 的本质”。
卡拉特拉瓦
1950年出生于巴格达，在黎巴嫩就读过数学系，1972年进入伦敦的建筑联 盟学院AA学习建筑学，1977年毕业获建筑学硕士学位。 1951年生于西班牙，学过美术，先在巴伦西亚学习建筑，后去瑞士苏黎世
联邦工学院攻读结构工程， 1979年获博士学位。
徐志摩与相对论 1920年10月罗素在南京中国科学社的演讲题目是“爱恩斯坦引力说”。
数制
数序：当数对应于数量的多少，必然就会形成数从小到大的排列顺
序：1、2、3、4、5……，自然数数序。
基数：“屈指可数”，人类开始是用手指来计数，人有2只手，一只
—— 秦 佑 国 ， “ 建 筑 与 数 学 ” ， 1992
现代数学概念在建筑学中出现
《The ArchitecБайду номын сангаасure of the Jumping Universe
A polemic: How Complexity Science is Changing Architecture and Culture》1995
计数：最初原始人没有数的抽象概念，在一些土著人那里，2个人用2
支矛猎获了2只野鹿，是用不同的语音来表示这三种东西（人、矛、鹿 ）的数量“二”的。但后来通过“一一对应”方法，用伸出2个手指， 在木棍上刻划2道刻痕来表示不同物体的相同数量“二”，“计数”就 开始了。罗素：“不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天同 是数字2的例子。 正是计数，才使具体的、不同质的表达多少的概念结合为统一的抽 象的数的概念，这正是数学的本质。 谁见过 “1 ”？人们见到的是具 体的“一个人”、 “一匹马”、 “一朵花”、“一颗星” … …，但 人类的伟大、思维活动的伟大，将这些具体的事物，抽象成数“1”，并 用一个符号（世界各地几乎都是“︱或—”）来表示。而且在语言上 也统一了，不随具体对象而不同了，变成了抽象的语音符号。
义。代数的对象从传统的数扩展到具有更为普遍性质的量以至
结构和系统，如向量、矩阵、群、环、域、线性空间等。数学 分析的对象从变量扩展到变化的函数，从变量空间扩展到函数
空间。集合论的产生和数理逻辑的研究促使数学家从数学、逻
辑和哲学上考虑数学的本质和基础。 同时伴随着现代物理学、工程技术科学、经济学等的发展，
也引起应用数学和一些新的数学领域的产生和发展，如统计学、
为现在中学数学课程的主要内容。
高等数学阶段，以笛卡尔建立解析几何为起点，微积分的建 立是这一阶段最显赫的成就和标志。高等数学的对象是变量及其
函数。研究变量和函数的数学领域称为分析。在这时期，与解析
几何同时还产生了几何的另一分支---射影几何，并产生了数学 的重要的新领域一概率论。
现代数学阶段以康托尔建立集合论为起点。2O世纪以后用
赵元任做翻译。赵元任后来是清华国学研究院的四大导师之一。
徐志摩说过：“二十四岁以前我对于诗的兴味远不如我对于相对论或民 约论的兴味。”他原配妻子张幼仪的哥哥张奚若也曾回忆：当我1921年和他 在伦敦重聚时，一见面就很得意地向我说他近来作了一篇文章，料我无论如 何也猜不着他作的是什么题目……原来他作了一篇关于爱因斯坦的相对论的 文章!（张奚若：《我所认识的志摩》） 这篇文章，就是发表在1921年4月15日出版的《改造》(梁启超主编)上的
称破缺的。而对非线性、非平衡动力系统的深入研究，
又揭示出远离平衡态的隐藏在随机性和无序中的分叉 （bifurcation）和混沌(chaos）现象。突变、分叉、混 沌、分数维等等体现复杂性的现象已成为当今数学、力 学、物理学、生物和生命科学乃至经济学、社会学等科 学的热门研究课题。
从确定到模糊。作为现代数学基础的集合论，对 一个元素是否属于一个集合是完全确定的，但对自然 界和人类社会中许多现象的描述往往不具有明确的界
数学的发展
数学的历史发展通常划分成初等数学、高等数学和现代数学 三个阶段。公元前7～5世纪以前，人类发展漫长的历史时期是数 学的萌芽阶段，公元前5世纪至公元17世纪为初等数学阶段；从 17世纪初到19世纪末为高等数学阶段，从19世纪末开始数学进入
现代数学阶段。
在初等数学阶段，数学的对象是常量和简单几何形体。这个 时期数学的基本成果：初等代数和欧几里德几何（初等几何）成
限，而只有模糊的外沿。1965年由美国数学家L·Zadeh
建立起的模糊（fuzzy）数学发展很快，它对自然界和 社会中模糊现象作定量的研究，具有广泛的实际意义。
《第三次浪潮》的作者托夫勒在为普里高津所著 的《从混沌到有序》一书所撰写的前言中所说的：机
器时代的传统科学倾向于强调稳定、有序、均匀和平 衡。它最关心的是封闭系统和线性关系，其中小的输 入总是产生小的结果；而新的科学把注意力转向了现 实世界的那些方面：无序、不稳定、多样性、不平衡、 非线性关系（小的输入可以引起大的结果）以及瞬时 性——对时间流的高度敏感性。这些方面标志出今天加 速了的社会变化。
勒· 柯布西埃：
• 装饰是“初级的满足” ,“是多余的东西，是农民的爱好”， 而比例和尺度上的成功是“到达更高级的满足（数学）”， 是“有修养的爱好”。 • “帕提农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受”。
• “数学的精确性与大胆的幻想结合起来，说确切些，就是 美”。
两个学过数学的建筑师
扎哈· 哈迪德
罗素（Russell，1872~1970，英国数学家，诺贝尔文学奖得主）
现代数学的发展趋势
从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。 这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，并产
生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，
如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。最近十儿 年来，具有不必是整数的分数维（fractal dimension）的 几何对象一一分形（fractals）引起了广泛的兴趣。 从线性问题到非线性问题。线性化的数学模型是研究局 部范围和平缓变化过程所采用的通常是简化了的模型，而要 研究大范围、大变化、大挠动、高速度、强作用力等情形的 问题，就要涉及非线性现象。非线性问题通常具有对初始条 件、边界条件和外界挠动敏感的特征，即这些因素的微小变 化会引起结果很大的改变。非线性问题已成为当前数学研究 的一个主要内容。
《安斯坦相对主义》。1920年，徐志摩路过巴黎，张君劢送他一本爱因斯坦
自著的《相对主义浅说》，让他研究一下科学界的最新成果。到了英国，他 请教了许多人，包括理工科的留学生在内，居然没人说得出来。因此，他就 发狠苦读，钻研揣摩，“连吃奶的力气都使出来”，写下这篇通俗性的科学 论文。徐志摩广采博纳：从狭义相对论到广义相对论，从时空观念、万有引 力到哲学、历史人文科学中的有关影响等等 。
《建筑数学》第一讲
绪论 数的概念
《建筑数学》是针对中央美院建筑学专业的学生开设的试验 性课程，采用讲座的形式，介绍数学的一些基本概念和知识，与 建筑学的关系，对建筑设计和创作的启迪，以期引起建筑学专业 学生对数学的兴趣（兴趣是学习最重要的动力），认识到“数学 是受过高等教育者的一种文化修养”。 联合国科教文组织的《世界数学教育的新动向》中指出：“ 在人类社会的任何领域里，最近和将来都不可避免地利用数量计 算、逻辑推导和数学化模型。在传统的物理学和工程学以外，生 物科学、社会科学、经营管理学、人文科学和日常生活都要以各 数学分支及它们的相互结合为工具，加之统计的和计算机的模型 化，数学还将渗透到人文科学里最近发现的新课题。”
数学的定义
“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”
（恩格斯《反杜林论》）。恩格斯在论述数学是现实世界的反
映，产生于人类的实际需要的同时也指出：“这些材料表现于 非常抽象的形式之中”。 一百多年来现代数学的发展，一方面使数学具有更高的抽 象程度，另一方面数学对象的推广已经越出了对数量关系和空 间形式传统的理解范围，数学不仅研究直接从现实世界抽象出 来的数量关系和空间形式，而且研究那些运用数学已经形成的 概念和理论为基础定义和推理演绎出来的关系和形式。因此， 可以把客观世界和主观世界中（逻辑可能）的数量关系和结构 关系作为数学的对象，空间形式被看作是结构关系的一个方面。
英国AA建筑学院的学生作品 荷兰代尔夫特工业大学建筑系学生作品
Foster and Partners
Ball Nogues Studio
Maximilians Schell
OCEAN
Media Stations Bylgia Instalation /German Pavilion
New Czech National Library
从连续、稳定到间断、突变和不稳定。事物在经过
一段连续变化以后发生突变，从一种状态跳跃到另一种 状态，描述这种突变现象的新的数学学科称为 “突变论”
（Catastrophe Theory）。从平衡的、守恒的、可逆的
到非平衡的、耗散的、不可逆的，从决定性的、有序的、 周期性的、对称的到随机的、无序的、非周期性的、对
Zaha Hadid
Nordpark Cable Railway
广州大剧院
Baku Theatre
数的概念
数觉：某些动物有一种本能，能感知事物的“多少”。一个乌鸦在一
个庄园的塔楼上筑巢，庄园主想捉住它。但当庄园主一进入塔楼，乌 鸦就飞走，他一走出塔楼，乌鸦就飞回来；庄园主和另一个人，2人进 入塔楼，然后1个人走出来，1个人留在里面，但乌鸦不飞回来，它感 到出来的人数比进去的少了，直到留在里面的人出来，它才飞回；庄 园主继续试验，进去3人，出来2人，乌鸦还是不飞回来；继续试验， 直到进去5人，出来4人，乌鸦分辨不出来了，飞了回来，被逮住了。 原始人的数觉并不比乌鸦强，南部非洲的Bushmen人，除了一、二和 多，没有别的数字，澳大利亚土人没有人能了解七。 有的时候，对图形的辨别能提高数觉。桌上有5颗豌豆，均匀地紧 挨著排成一条直线，较难立即判别是4颗还是5颗，但把它们排成方形 （4颗）或是梅花状（5颗），一眼能看出差别。鸟巢中有4个蛋，被人 掏走1个，鸟感觉不到，拿走2个，鸟就看出来了。
运筹学、信息论、控制论、系统论、计算数学等等。
数学的特点
• • • • • 确定性 抽象性 严格性 应用的广泛性 理性美(dry beauty) 数学，“具有一种至高无上的美，一种冷峻（cool，酷
）而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，
它纯洁到崇高的地步，达到了只有最伟大的艺术才能显示 的那种完美的境界”。
这些理论以自然界和人类社会广泛的课题为研究对象， 具有广阔的研究领域和普遍的应用范围。这些理论不仅提 供了新的发现和新的论断，更重要的是表达了新的思维方 法、新的认识论和新的世界观。可以预言，这些理论很快 会被引入到建筑理论中来，就像相对论、系统论、信息论、 控制论一样，会成为新一代建筑思潮的自然哲学基础。如 果说现代建筑运动理性主义建筑观念反映了本世纪初建立 在经典数学和传统科学基础上的工业社会的自然哲学，那 么，当今建筑思潮五彩纷呈的现象则折射着后工业化社会 探索复杂性和多样性的自然哲学的辉光。
《Fractal Geometry in Architecture and Design》1996
数字建构
徐卫国，“数字建构”，建筑 学报2009年第一期：“使用数 字技术在电脑中生成建筑形体 ，以及借助于数控设备进行建 筑构件的生产和建筑的建造。 ” 并在清华大学建筑学院开设了 “非线性”建筑设计的课程。 近年来，许多欧美著名大学的 建筑院系开设了相关的课程。
有一种长期流行的观点“我们学艺术的、学建筑的，需要的、擅长的是形象思维， 而数学是逻辑思维，所以数学没有用，也学不好。”“形象”和“逻辑”怎么是一对对 立的词呢？“形象”与“抽象”才是一对对立的词！学艺术的、学建筑的难道不需要抽 象思维？！现代艺术区别于传统艺术最重要的特点之一正是“抽象”！而 “抽象是数学 的本质”。
卡拉特拉瓦
1950年出生于巴格达，在黎巴嫩就读过数学系，1972年进入伦敦的建筑联 盟学院AA学习建筑学，1977年毕业获建筑学硕士学位。 1951年生于西班牙，学过美术，先在巴伦西亚学习建筑，后去瑞士苏黎世
联邦工学院攻读结构工程， 1979年获博士学位。
徐志摩与相对论 1920年10月罗素在南京中国科学社的演讲题目是“爱恩斯坦引力说”。
数制
数序：当数对应于数量的多少，必然就会形成数从小到大的排列顺
序：1、2、3、4、5……，自然数数序。
基数：“屈指可数”，人类开始是用手指来计数，人有2只手，一只
—— 秦 佑 国 ， “ 建 筑 与 数 学 ” ， 1992
现代数学概念在建筑学中出现
《The ArchitecБайду номын сангаасure of the Jumping Universe
A polemic: How Complexity Science is Changing Architecture and Culture》1995
计数：最初原始人没有数的抽象概念，在一些土著人那里，2个人用2
支矛猎获了2只野鹿，是用不同的语音来表示这三种东西（人、矛、鹿 ）的数量“二”的。但后来通过“一一对应”方法，用伸出2个手指， 在木棍上刻划2道刻痕来表示不同物体的相同数量“二”，“计数”就 开始了。罗素：“不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天同 是数字2的例子。 正是计数，才使具体的、不同质的表达多少的概念结合为统一的抽 象的数的概念，这正是数学的本质。 谁见过 “1 ”？人们见到的是具 体的“一个人”、 “一匹马”、 “一朵花”、“一颗星” … …，但 人类的伟大、思维活动的伟大，将这些具体的事物，抽象成数“1”，并 用一个符号（世界各地几乎都是“︱或—”）来表示。而且在语言上 也统一了，不随具体对象而不同了，变成了抽象的语音符号。