排列组合二项式定理

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35:排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

35:排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理(1)分类计数定理(加法原理):如果完成一件事,有n 类方式,在第1类方式中有1m 种不同的方法,在第2类方式中有2m 种不同的方法,......,在第n 类方式中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.(2)分步计数定理(乘法原理):如果完成一件事,需要完成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,......,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.(3)两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成,事件完成了就是分类,分类后要将种数相加;事件必须要连续若干步才能完成的则是分步,分步后要将种数相乘.2.排列(1)排列的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(2)排列数的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n A 表示.(3)排列数公式:)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地:①(全排列).123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合(1)组合的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.(2)组合数的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号m n C 表示.(3)组合数公式:()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地:01n C =.(4)组合数的性质:①m n n m n C C -=;②11-++=m n m n m n C C C ;③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法:先特殊后一般(有限制条件问题),先组合后排列(分组问题),先分类后分步(综合问题).例:某校开设9门课程供学生选修,其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修4门,共有多少种不同的选修方案?答:.75461336=+C C C (1)特殊元素、位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置.例4-1:0、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个?答:.3013131224=+C C C A (2)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2:从7名男同学和5名女同学中选出5人,若至少有2名女同学当选,问有多少种情况?答:.596)(471557512=+-C C C C(3)相邻问题“捆绑法”:将必须相邻的元素“捆绑”在一起,当作一个元素进行排列,待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数,它主要用于解决相邻问题.例4-3:5个男生3个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法?答:6363A A =4320(4)不相邻问题“插空法”:先把无位置要求的元素进行排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中(注意两端).例4-4:5个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?答:5354A A (5)元素相同“隔板法”:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组,共11--+m m n C 种方法.例4-5:10张参观公园的门票分给5个班,每班至少1张,有几种选法?答:.49C (6)元素不多“列举法”:即把符合条件的一一列举出来.例4-6:将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内,每个方格填一个,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

排列组合二项式定理

排列组合二项式定理

排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中,排列和组合是两个重要的概念。

排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。

排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。

对于一个有n个元素的集合,从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。

排列主要有两种情况:1.重复元素情况下的排列,即元素可重复使用。

此时,P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列,即元素不可重复使用。

此时,P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素,而不考虑元素的顺序的方式。

对于一个有n个元素的集合,从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。

组合的计算公式为:C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理,也是排列组合理论的重要应用。

它用于展开一个二项式的幂。

二项式定理的公式为:(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中,C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。

三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。

在展开式中,每一项的系数就是对应的组合数。

举例说明,当n=3时,展开式为:(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后,得到:(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出,展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。

二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。

排列组合、二项式定理与概率统计

排列组合、二项式定理与概率统计

排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。

它们主要用来解释和计算物理实验的概率,以及理解事件出现的概率统计规律。

排列组合是概率统计的基础,是指在一组数中,每个数字的位置不同的可能的组合数。

它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。

这里的A表示从n个中取出m个的排列数。

二项式定理(亦称二项分布定理)是研究一个随机变量满足二项分布的定理。

它是推导概率统计解决一些问题的重要方法,它通过如下公式来计算事件发生的概率:
C(n,k)=An,m/k!,其中n表示试验次数,m表示成功的次数,k表示重复的次数。

概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。

这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大,并帮助我们更好地解释现象。

概率统计的计算和分析是一个复杂的过程,需要全面的、简易的的方法。

排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助,它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率,并对现象加以解释和推断。

排列组合二项式定理概率基础知识点+思维导图练习

排列组合二项式定理概率基础知识点+思维导图练习

;展开
式共有项数为
项.
(2)二项展开式的通项 Tr1
,表示第
项.
(3)二项展开式中的二项式系数为
;项的系数是指
.
11、(1)对称性:与首末两端
的两项的二项式系数相等,即 Cnr
C nr n
(r
0,1, 2,, n)
18
(2)二项式系数最大的项在中间.当幂指数 n 为偶数时,最大的二项式系数为

最大二项式系数为第
项;当 n 为奇数时,最大的二项式系数为

最大的二项式系数为第
项.
(3)二项式系数之和为
.二项展开式中,各奇数项的二项式系数之和与各偶数
项的二项式系数之和相等,即:
==.源自12、若 (x 1)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ,令
一、特殊元素特殊位置优先
,得 a0 a1 a2 a7
八、合理分类与分步策略 8、在一次演唱会上共有 10 名演员,其中 8 人能够唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2
人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少种选派方法?
九、构造模型策略 9、马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相
邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种?
; Ann
;规定, 0!

7、组合数 Cnm 的含义:
8、计算: Cnm
=

9、组合数的性质
(1)Cnm
;(2)Cnm
C m1 n
10、(1)对于 n N * , (a b)n
;(3)Cn0 Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn

排列组合二项式定理的精品教案

排列组合二项式定理的精品教案

排列组合二项式定理的精品教案一、教学设计思想目前教学的核心是“以学生的发展为本”,注重学生的学习状态和情感体验,注重教学过程中学生主体地位的凸现和主体作用的发挥,强调尊重学生人格和个性,鼓励发现、探究与质疑,鼓励培养学生的创新精神和实践能力.二项式定理这部分内容比较枯燥,是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.如何发挥学生的主体作用,使学生自己探究学习知识、建构知识网络,是本节课教学设计的核心.一是从名人、问题引入课题。

采用“问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.这里体现了新课程的数学应用意识的理念.让学生体会研究问题的方式方法,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式,也让学生体会数学语言的简洁和严谨。

二是从特殊到一般。

观察发现二项式定理的基本内容.遵循学生的认知规律,由特殊到一般,由感性到理性.重视学生的参与过程,问题引导,师生互动.重在培养学生观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习惯.三是采用小组合作、探究的方式。

在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主作用;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习.四是教师的启发与学生的探究恰当结合。

本节课的难点在于确定二项展开式中,每一项的二项式系数,对于普通班的学生,真正能独立归纳出来,有一定的困难,教师在此时的引导启发,就显得尤为重要.本节课,学生通过对=1,2,3,4,…时二项展开式的观察,归纳、猜想到为任意正整数时的二项式定理内容,并真正理解二项式系数的意义。

这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程,学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程,提高数学修养.本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳,有利于学生对二项式定理的识记,同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美.二、学生情况分析学生为普通班学生,有一定的数学基础.学生理解组合及组合数的概念,掌握了多项式乘法的运算法则,有一定的归纳猜想能力,能顺利完成课时计划内容.学生有过探究、交流的课堂教学的尝试.三、教学诊断分析在本节内容的学习中,学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律,即项数:项;指数:字母,的指数和为,字母的指数由递减至0,同时,字母的指数由0递增至;二项式系数:下标为,上标由递增至;容易产生误解的内容是:通项指的是第r+1项;通项的二项式系数是,与该项的系数是不同的概念。

排列组合二项式定理

排列组合二项式定理

排列:表达的是事件中元素是有顺序的或有区分的例如(1)在袋子中逐个取出。

排队有先后之分。

表达式:!()!n m n nn m n m A n A A n m --==-(表达n 个中选m 个进行排序)计算:1.解方程:3322126xx x A A A +=+ 2. 解不等式:2996x x AA -> (1)已知101095mA =⨯⨯⨯,那么m = ; (2)已知9!362880=,那么79A = ;(3)已知256n A =,那么n = ; (4)已知2247n n A A -=,那么n = .情况次数讨论:互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法 排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”;“分离”问题可能用“插空法”例1求不同的排法种数:(1)6男2女排成一排,2女相邻; (2)6男2女排成一排,2女不能相邻; (3)4男4女排成一排,同性者相邻; (4)4男4女排成一排,同性者不能相邻.例2 某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多少种不同的排法?(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻有多少种排法? (6)若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾,有多少种不同的排法?例3 7位同学站成一排(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?(3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? (4例4 (1)一个火车站有8股岔道,停放4列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列火车)?(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案?组合:表达事件中元素没有顺序或相互之间没有区分 例如(1)在袋子中一次拿出3个小球(没有顺序)(2)将三个相同的黄色小球排成一列(没有区分)表达式:(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== 规定: 01n C =.m n nmnC C -=. m n C 1+=m n C +1-m n C 计算:(1)设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C (2)解方程:3213113-+=x x C C ; (3)解方程:333222101+-+-+=+x x x x x A C C . 情况次数讨论:例1 (1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?例2 在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?例3 (1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?(2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法?】例4 4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2特殊元素(或位置)优先安排将5列车停在5条不同的轨道上,其中a 列车不停在第一轨道上,b 列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空”七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法有多少种 4、混合问题,先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能? 5、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?二项式定理:⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++;⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++二项式定理:01()()nn nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈(1)右边的多项式叫()na b +的二项展开式, (2)它有1n +项,各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数,(3)rn rr n C ab -叫二项展开式的通项,用1r T +表示,即通项1r n r rr nT C a b -+=. (4)二项式定理中,设1,ab x ==,则1(1)1n r rnn n x C x C x x +=+++++计算:(1)展开41(1)x+. 展开6. (2)求12()x a +的展开式中的倒数第4 求9(3x +的展开式常数项; 求9(3x +求7(12)x +的展开式的第4项的系数;求91()x x-的展开式中3x求60.998的近似值,使误差小于0.001. 解:66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-,展开式中第三项为2260.0020.00006C =,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=,一般地当a 较小时(1)1na na +≈+二项式定理的性质:(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵mn mn nC C -=). 直线2nr=是图象的对称轴. (2)增减性与最大值.∵1(1)(2)(1)1!kk nn n n n n k n k C C k k----+-+==⋅,∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定,1112n k n k k -++>⇔<,当12n k +<时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;当n 是偶数时,中间一项2n n C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n nC -,12n nC+取得最大值.(3)各二项式系数和: ∵1(1)1nr rn n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n r nn n n n nC C C C C =++++++例1 在()na b +证明:在展开式01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中,令1,1a b ==-,则0123(11)(1)n n nn n n n nC C C C C -=-+-++-, 即02130()()n n n n C C C C =++-++,∴0213n n n n C C C C ++=++,例2.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++,求:(1)127a a a +++; (2)1357a a a a +++; (3)017||||||a a a +++.解:(1)当1x=时,77(12)(12)1x -=-=-,展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-,当0x =时,01a =,∴127112a a a +++=--=-,(2)令1x =, 0127a a a a ++++1=- ①令1x=-,7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得:713572()13a a a a +++=--,∴ 1357a a a a +++=7132+-.(3)由展开式知:1357,,,a a a a 均为负,0248,,,a a a a 均为正, ∴由(2)中①+② 得:702462()13a a a a +++=-+,∴ 70246132a a a a -++++=,∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++= 例3 设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++,当012254n a a a a ++++=时,求n例4 (江西卷)已知n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n 等于( ) A.4B.5C.6D.7(安徽卷)若(2x 3+x1)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于 .例5 在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.解:设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++,偶数项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C ,偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- ,令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a (2)(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a ,∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a ,∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a .。

(完整版)排列组合二项式定理知识总结,推荐文档

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n n +1n nn排列组合、二项式定理总结复习1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情)分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的 方法n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m (m ≤n )个元素的所有组合个数 m nm=n ! nm !(n - m )!性质 C m = Cn -mCm = C m + C m -1排列组合题型总结 一. 直接法1 .特殊元素法例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个CC(1)数字 1 不排在个位和千位(2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。

分析:(1)个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ,其余 2 位有四个可供选择A2 ,由乘法原理:5 4A2 A2 =2405 42.特殊位置法(2)当 1 在千位时余下三位有A3 =60,1 不在千位时,千位有A1 种选法,个位有A1 种,余下5 4 4的有A2 ,共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=2524 4 4 4二间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。

如上例中(2)可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =2526 5 4Eg 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?分析::任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个,其中 0 在5 3百位的有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个,这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数4 2C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯A2 =4325 3 4 2Eg 三个女生和五个男生排成一排(1)女生必须全排在一起有多少种排法(捆绑法)(2)女生必须全分开(插空法须排的元素必须相邻)(3)两端不能排女生(4)两端不能全排女生(5)如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法292928 113 二. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。

第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部

第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部

第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部第十一章排列、组合和二项式定理1.排列数公式mAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn);Ann!n(n1)(n2)21。

(nm)!如①1!+2!+3!+…+n!(n4,nN某)的个位数字为;(答:3)②满足A8某6A8某2的某=(答:8)组合数公式mAnn(n1)(nm1)n!0Cm(mn);规定0!1,Cn1.Amm(m1)21m!nm!mnmnm如已知CnCm1An6,求n,m的值.(答:m=n=2)(了解)排列数、组合数的性质①CnmCnnm;1②CnmCnm1Cnm1;kk1③kCn;nCn11④CrrCrr1Crr2CnrCnr;1⑤nn!(n1)!n!;n11⑥.(n1)!n!(n1)!2.解排列组合问题的依据是:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事),分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的),有序排列,无序组合.如①将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有种;(答:35)②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有种;(答:70)③从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_;(答:23)④72的正约数(包括1和72)共有个;(答:12)⑤A的一边AB上有4个点,另一边AC上有5个点,连同A的A顶点共10个点,以这些点为顶点,可以构成_____个三角形;(答:CB90)⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开,允许同一颜色涂不同区域,但相邻区域不能是同一种颜色,则共有D种不同涂法;(答:480)⑦同室4人各写1张贺年卡,然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有种;(答:9)⑧f是集合Ma,b,c到集合N1,0,1的映射,且f(a)f(b)f(c),则不同的映射共有个;(答:7)3.解排列组合问题的方法有:(1)特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置)。

排列组合二项式定理和概率

排列组合二项式定理和概率

补 右图是我国古代的“杨辉三角形”,按其数字
构成规律,图中第八行所有 中应填数字的和
等于( B ). (09年)
1
A. 96 B.128 C. 256 D.312
11 121 13 31
解 n7
146 41 1 5 10 10 5 1
27 128
1 6 15 20 15 6 1
补 求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数。
★ 3. 排列数公式
n! n (n 1) (n 2) 21
Pnm n (n 1) (n 2) (n m 1)

Pnm

n! (n m)!
特别: Pnn n!
例 P130 1098 720.
补 由 0,1, 2, 9 可组成多少个8位数的电话号码?108.
例 5个男生和2个女生站成一排照相。
(1)共有多少种排法? (2)男生甲必须站在左端或右端,且2个女生必须相邻,
有多少种排法?
(3)男生甲必须站在中间,且2个女生必须相邻,
有多少种排法?
解 (1) P77 7! 5040
(2)
(P63 例2)
先安排甲 P21 P55 2 480
(3)
在第 n 类办法中有 mn种不同的方法。
则完成这件事共有:
m1 m2 mn 种不同的方法。
2. 分步计数原理(乘法原理)
若完成一件事需要分成 n 个步骤。
做第一步有 m1 种不同的方法; 做第二步有 m2 种不同的方法;
做第 n 步有mn 种不同的方法。
则完成这件事共有:
m1 m2 mn 种不同的方法。
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (2 3)4 (2 3)4

排列组合和二项式定理及概率统计知识点

排列组合和二项式定理及概率统计知识点

排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可.以有..重复..元素..的排列. 从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:nm 种)二、排列.1. ⑪对排列定义的理解.定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑫相同排列.如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号mn A 表示.⑭排列数公式:),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意:!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素......的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑬两个公式:①;m n n mn CC -= ②mn m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mn C )②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素,所以有C 1-m n ,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C mn 种,依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n (利用!1)!1(1!1n n n n --=-) ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如:nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ,而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法.②排除法. n 个不同座位,例:A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?mm n m n m n A A 1+---⋅(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列有n n A 种,)(n m m 个元素的全排列有m m A 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有m mn n A A 种排列方法.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n !/ m !;解法二:(比例分配法)m m n n A A /.⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有3!224=C⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.例如:124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故(4321,,,x x x x )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意:若为非负数解的x 个数,即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ,有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321,进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题:从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内,并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.x 2x 4例如:从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?固定在某一位置上:11--m n A ;不在某一位置上:11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A (一类是不取出特殊元素a ,有mn A 1-,一类是取特殊元素a ,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列(或组合),规定某r 个元素都包含在内 。

基本公式·排列组合二项式定理及概率

基本公式·排列组合二项式定理及概率

基本公式·排列组合二项式定理1组合恒等式:(1) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- (2)11mm n n n C C m--=; (3)121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (4)321232-=++++n n n n n n n nC C C C (5)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++01102.分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的mn 个物件等分给m 个人,各得n 件,其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!((22=⋅⋅⋅⋅⋅=--(2)(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆,其分配方法数共有nnnn nn mn nn mn nmn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--(3)(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,...,m n 件,且1n ,2n ,...,m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数共有!!! (212)11m n nn n p n p m p m C C C N mm=⋅⋅=-(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,…,m n 件,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等,则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N mm nn n n p n p ⋅⋅=-12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =(5)(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,m n 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,m n 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等,则其分配方法数有!21p Nm =(7)(限定分组有归属问题)将相异的p (2m p n n n = 1+++)个物体分给甲、乙、丙,……等m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得1n 件,乙得2n 件,丙得3n 件,…时,则无论1n ,2n ,…,m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!!...21211m nn n n p n p n n n p C C C Nmm =⋅=-3.不定方程2n x x x m = 1+++的解的个数(1)方程2n x x x m = 1+++(,n m N *∈)的正整数解有11m n C --个(2) 方程2n x x x m = 1+++(,n m N *∈)的非负整数解有 11n m n C +--个161二项式定理;二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1210(n r ,,, =2012()()n nn f x ax b a a x a x a x =+=++++ 的展开式的系数关系:012(1)n a a a a f ++++= ;012(1)(1)nn a a a a f -+++-=- ;0a f =162等可能性事件的概率:()m P A n=163n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率:()(1).k k n k n n P k C P P -=-。

高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理:分类计数原理:如果完成某事有几种不同的方法,这些方法间是彼此独立的,任选其中一种方法都能达到完成此事的目的,那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理:如果完成某事,必须分成几个步骤,每个步骤都有不同的方法,而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接,只有依次完成所有各步,才能达到完成此事的目的,那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别:如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,则选用分类计数原理,即类与类之间是相互独立的,即“分类完成”;如果只有当n 个步骤都做完,这件事才能完成,则选用分步计数原理,即步与步之间是相互依存的,连续的,即“分步完成”。

二、排列与组合:(1)排列与组合的区别和联系:都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题; 区别:前者有顺序,后者无顺序。

(2)排列数、组合数:排列数的公式:)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意:①全排列:!n A n n =; ②记住下列几个阶乘数,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720;排列数的性质:①11--=m n m n nA A (将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素,分两步完成:第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上;第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上)②m n m n m n A mA A 111---+=(将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素,分两类完成:第一类:m 个元素中含有a ,分两步完成:第一步将a 排在某一位置上,有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上)即有11--m n mA 种不同的方法。

第二类:m 个元素中不含有a ,从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上,有m n A 1-种方法。

排列组合与二项式定理

排列组合与二项式定理


B. 24种 D. 36种
解析:因为恰有2人选修课程甲,共有C2 4 6 种结果,所以余下的两个人各有两种选法, 共有2 2 4种结果,根据分步计数原理知共 有6 4 24种结果.
2.(2011 重庆卷) 1 2x 的展开式中x 4的系数是
6
_________ .
r r 解析:展开式的通项为Tr 1 2r C6 x. 4 令r 4得展开式中x 4的系数是24 C6 240.
4 得常数1 1 C8 70; 4
当第一个括号中取2x 2时,则第二个括号必取
5
1 x2
5 项,由通项易知当r 5时,取得常数2 1 C8
112,所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法.解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径:
究;
6 近似计算:构造二项式,展开后根据精确度的要
求分析应取前几项,从哪项开始去掉后面的所有项.
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1.(2 011 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同 选法共有 A. 12种 C. 30种
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1.计数原理 分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办 法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同 的方法, ,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法. 分步计数原理:完成一件事,需要n个步骤,做 第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法, ,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法.

排列组合和二项式定理

排列组合和二项式定理

排列组合和二项式定理一、排列数1.全排列:一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列。

特别地,时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列。

2.排列数:从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号A n m(m,n都是正整数)表示。

所谓排成一列是指与顺序有关。

3.排列数公式:A n m=n(n−1)(n−2)⋯(n−(m−1))m个数=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1).(应用公式时,要注意最后一项)4.阶乘:n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1.规定:0!=1.因此,排列数公式可改写为:A n m=n!(n−m)!.5.公式:A n m+mA n m−1=A n+1m,证明如下:A n m+mA n m−1=n!(n−m)!+m n!(n−m+1)!=n! (n−m)!×[1+mn−(m−1)]=n!(n−m)!×n+1n−(m−1)=(n+1)![(n+1)−m]!=A n+1m.二、组合数1.组合:从n个不同对象中取出m个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.2.组合数:从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号C n m(m,n都是正整数)表示.所谓并成一组是指与顺序无关。

3. 组合数公式:C n m =(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m×(m−1)×⋯×2×1=n!(n−m )!m!. 4. 公式1:C n m =C n n−m .5. 公式2:C n m +C n m−1=C n+1m .6. 公式3:A m m +A m+1m +⋯+A 2m m =A 2m+1m (排列数和组合数的关系,结合C n m +C n m−1=C n+1m 和A n m =m!C n m 可证得。

高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解(5分)

高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解(5分)
练:在 的展开式中系数最大的项是多少?
解:假设 项最大,
,化简得到 ,又 , ,展开式中系数最大的项为
题型七:含有三项变两项;
例:求当 的展开式中 的一次项的系数?
解法①: , ,当且仅当 时, 的展开式中才有x的一次项,此时 ,所以 得一次项为
它的系数为 。
解法②:
故展开式中含 的项为 ,故展开式中 的系数为240.
2、 2、
2、4n
3、 的展开式中的有理项是展开式的第项
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令x=1,则所求和为35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
5、 ,要得到含x4的项,必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项 作积,第一个因式中的-x3与(1-x)9展开式中的项 作积,故x4的系数是
解:设 展开式中各项系数依次设为
,则有 ①, ,则有 ②
将①-②得:
有题意得, , 。
练:若 的展开式中,所有的奇数项的系数和为 ,求它的中间项。
解: , ,解得
所以中间两个项分别为 , ,
题型六:最大系数,最大项;
例:已知 ,若展开式中第 项,第 项与第 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?
练:求式子 的常数项?
解: ,设第 项为常数项,则 ,得 , , .
题型八:两个二项式相乘;
例:
解:
.
练:
解:
.
练:
解:
题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和;
例:

排列组合二项式

排列组合二项式
1 2 n (11)求值: C n + 2C n + 3C n + L + ( n + 1)C n ; 求值: 0 0 1 2 n C n + 2C n + 2 2 C n + L + 2 n C n ;
0 2 4 C n + C n + C n + L = 2 n−1
11、a + b ) n 展开式偶数项二项式系 数之和: ( 数之和:
1 3 5 C n + C n + C n + L = 2 n −1
12、二项式展开式系数问 题常用赋值法
Tr + 1 ≥ Tr + 2 13、二项式展开式系数最 大值: 大值: Tr + 1 ≥ Tr
10
(4)(1 + x ) + (1 + x ) 2 + (1 + x ) 3 + L + (1 + x ) 6 展开式中含 x 2 项 的系数 ___ 1 24 的展开式中, (5)在( x + 3 ) 的展开式中,常数项有 __ 项,整式项有 x __ 项,有理项有 __ 项 (6)( x 2 + x − 1)9 ( 2 x + 1) 4 的展开式中所有 x的奇次项系数之和 为 _______ (7 ( x + 1) 2 ( x − 1) 5 展开式中 x 4的系数是 ____ )
6、二项式展开式: 二项式展开式:
0 1 2 n ( a + b ) n = C n a n b 0 + C n a n −1b 1 + C n a n − 2b 2 + L + C n a 0 b n

高中数学专题讲解排列组合及二项式定理

高中数学专题讲解排列组合及二项式定理

排列组合及二项式定理【基本知识点】1.二项式系数的性质:()n a b +展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,…,n n C .r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ,定义域是{0,1,2,,}n ,(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵m n m n n C C -=). (2)增减性与最大值:当n 是偶数时,中间一项2nn C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n nC -,12n nC+取得最大值.(3)各二项式系数和:∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n rn nn n n n C C C C C =++++++【常见考点】一、可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数。

(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法? (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(1)43(2)34 (3)34二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.(4),,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种 (5)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144,符合条件的排法故共有288三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.(6)七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种(7) 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(具体数字作答)【解析】: 111789A A A =504(8)马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的 二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元 素;再排其它的元素。

排列组合二项式定理

排列组合二项式定理
1 2 3 4 5 (2)证明: 39 C10 38 C10 37 C10 36 C10 35 C10 310
3 C 3 C 3 C 3C 1024
4 6 10 3 7 10 2 8 10 9 10
⑶求证: 3 2
n
n 1
(n 2)(n N , n 2)
例、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处 5 理. C29 4095 解:采用“隔板法” 得:
混合问题,先“组”后“排”
例:对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能? 解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5 次测试是次品。故有: 3C 1 A4 576 种可能。 C
1.3:二项式定理
奇数项二项式系数和 偶数项二项式系数和: C C C C C C 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n n 1
赋值法
x 2 5 1.求: ( ) 的有理项 2 x
4 3 2 ( 2.化简:x 1) 4( x 1) 6( x 1) 4( x 1) 1
A 6(种)
3 3
涂色问题
例3:如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种?
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢?
1.3:二项式定理
1、二项定理: 一般地,对于n N*有

排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结考纲要求:1.知道分类计数原理与分步计数原理的区别,会用两个原理分析和解决一些简单的问题2.知道排列和组合的区别和联系,记住排列数和组合数公式,能用它们解决一些简单的应3.知道一些组合数性质的应用.4.了解二项式定理及其展开式5.记住二项式展开式的通项公式,并能够运用它求展开式中指定的项6.了解二项式系数的性质,能够利用二项式展开式的通项公式求出展开式中二项式系数最大的项.7.了解二项式的展开式中二项式系数与项的系数的区别知识点一:计数原理1.分类加法计数原理如果完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.两个基本计数原理的区别:分类计数原理——每一类办法都能把事单独完成;分步计数原理——缺少任何一个步骤都无法把事完成.2.分步乘法计数原理如果完成一件事,需分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1·m2·…·m n种不同的方法.知识点二:排列1.排列的定义:一般地,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.如果m <n ,这样的排列叫作选排列.如果m =n ,这样的排列叫作全排列.2. 排列数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数,叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号P mn 表示.3. 排列数的公式: (1) P m n =n ·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1);(2) P m n =()!!n n m -; 规定:0!=1.知识点三:组合1.组合的定义:一般地,从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C mn 表示.3. 组合数公式: (1)()()()121P C P !m mn n m n n n n n m m ---+==(2)()!C !!m n n m n m =-(n ,m ∈N +,且m ≤n ) 4. 组合数性质:(1) C =C m n m n n -;(2) 111C +C C mm m n n n +++=知识点四:二项式定理1. 二项式定理(a +b )n =011222C C C C C n n n m n m nn n n n n n a a b a b a b b ---++++++, n ∈N +其中C m n (m =0,1,2,…,n )叫做二项式系数;T m +1=C m n m m n a b -叫做二项式展开式的通项公式.2. 二项式系数的性质:(1)每一行的两端都是1,其余每一个数都是它“肩上”两个数的和;(2)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C C r n r n n -=(3)如果二项式的幂指数n 是偶数,那么中间一项即第12n +项的系数最大;如果二项式的幂指数n 是奇数,那么中间两项即第12n +项和第32n +项的二项式系数相等且最大; (4)(a +b )n 的二项式系数之和为2n ,即012C C C ++C ++C m n n n n n n ++=2n ; (5)(a +b )n 的二项展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等12n -,024C C C +n n n ++135C +C C n n n =++12n -=.题型一 分类加法计数原理例1 一个盒子里有4个不同的红球,3个不同的黄球和5个不同的蓝球.从盒子中任取一个球,有多少种不同的取法?分析:盒子中取出一个球就可以完成任务,所以考察分类加法计数原理.解答:从盒子中任取一个球,共有三类方案:第一类方案,从4个不同的红球中任取一球,有4种方法;第二类方案,从3个不同的黄球中任取一球,有3种方法;第三类方案,从5个不同的蓝球中任取一球,有5种方法.所以,选一个班担任升旗任务的方法共有:12+10+10=32(种)题型二分步乘法计数原理例2 一个盒子里有4个不同的红球,7个不同的黄球和5个不同的蓝球.从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个,有多少种不同的取法?分析:盒子中各取出一个球需要分三步,所以考察分步乘法计数原理.解答:完成这件事需要分三步.第一步,从4个不同的红球中任取一球,有4种方法;第二步,从3个不同的黄球中任取一球,有3种方法;第三步,从5个不同的蓝球中任取一球,有5种方法.由分步乘法计数原理,从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个共有⨯⨯435=60种不同的取法.例3 邮政大厅有4个邮筒,现将三封信逐一投入邮筒,共有多少种投法?分析:三封信逐一投入邮筒分成三个步骤,每个步骤投一封信,分别均有4种方法.解答:应用分步计数原理,投法共有44464⨯⨯=种.题型三分类分步混合运算例4 一个盒子里有4个不同的红球,7个不同的黄球和5个不同的蓝球.从盒子中任取2个颜色不同的球,有多少种不同的取法?分析分类计数原理与分步计数原理混合使用的问题,一般要“先分类,后分步”.解答:可按所选两球的颜色分为如下3类.第1类:红球、黄球各一个,有4×7=28种选法;第2类:红球、蓝球各一个,有4×5=20种选法;第3类:黄球、蓝球各一个,有7×5=35种选法.根据分类计数原理,不同的选法种数为N =28+20+35=83(种).知识点二 排列题型一 排列数公式的运用例5 已知221P P n n +-=10,则n 的值为( ). A .4 B .5 C .6 D .7解答:由221P P n n +-=10,得(n +1)n -n (n -1)=10,解得n =5.故选B .题型二 排列的运用例6 小华准备从7本世界名著中任选3本,分别送给甲、乙、丙3位同学,每人1本,共有多少种选法?分析 选出3本不同的书,分别送给甲乙丙3位同学,书的不同排序,结果是不同的.因此选法的种数是从7个不同元素中取出3个元素的排列数.解答:不同的送法的种数是 37P 765210=⨯⨯=.即共有210种不同送法.题型三 某元素一定在某位置例7 4名男生和3名女生排成一排照相,分别按下列要求,求各有多少种不同的排法.(1)男生甲一定在中间位置;(2)男生甲不在中间位置.分析 本题是有限制条件的排列问题,若有特殊元素优先考虑特殊元素,若有特殊位置,优先考虑特殊位置.(1)分两步完成:第一步,男生站在中间位置,有一种排法;第二步,排其他的元素,共有66P 种排法.所以,男生甲一定在中间位置共有661P 720⨯=种排法.(2)分两步完成:第一步,男生不在中间位置,有5种排法;第二步,排其他的元素,共有66P 种排法.所以,男生甲一定在中间位置共有665P 3600⨯=种排法. 题型四 某几个元素相邻例8 4名男生和3名女生排成一排照相,同学甲、乙相邻有多少种排法?分析:解决“相邻”问题采用的是“捆绑法”解答:第一步,把甲、乙看成一个元素,与其他5人共6个元素进行全排列;第二步,甲、乙二人进行全排列.即6262P P =720×2=1440(种).题型五 某几个元素不相邻例9 4名男生和3名女生排成一排照相,同学甲、乙不相邻有多少种排法?分析:解决“不相邻”问题采用的是“插空法”.解答:第一步,把甲、乙之外的5名同学进行全排列;第二步,在5名同学之间或两端共6个空中插入甲、乙两名同学.即5256P P =120×30=3600(种). 例10 4名男生和3名女生排成一排照相,男女同学相间排列,有多少种排法? 分析:“相间”是特殊的“不相邻”问题解答:第一步,男生全排列,有44P 种排法;第二步,女生全排列,有33P 种排法;第三步,相间插入有2中插入方法.即男女同学相间排列,有4343P P 2576⨯=种种排法.题型六 数字的排列问题例11 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数,求:(1)组成的三位数的个数;(2)组成的三位数中偶数的个数;分析:对数字进行排列时,如果数字中含有0,应区别对待.因为0作为特殊元素,不能在首位出现.解答:(1)应采用特殊位置优先法.因为0不能为首位(百位),所以首位的排法有14P 种,其他两位是从剩余的4个数字中选2个的一个排列,有24P 种,所以共有1244P P =48(种).(2)由于0的存在,应分两类:第一类个位是0,有24P 个;第二类,个位不是0,先确定个位,从2,4中选一个,有12P 种,再确定首位,有13P 种,剩余的一位是从3个数中选1个,有13P 种.所以共有21114233P P P P +=30(种). 知识点三 组合题型一 组合的应用例12 学校组织一项活动,要从5名男同学,3名女同学中选4名.共有多少种选法? 分析: 从5名男同学,3名女同学中选4名, 选出的4名同学任务是一样的,因此选法的种数是从8个不同元素中取出4个元素的组合数. 解答:不同的选法种数是488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种. 题型二 一定包含或一定不包含某元素例13 学校组织一项活动,要从5名男同学,3名女同学中选4名.(1)若甲同学必须去,有多少种选法?(2)若甲同学一定不去,有多少种选法?分析:若甲同学必须去,再从其他7人中选3人即可.解答:(1)共有37765C 321⨯⨯=⨯⨯=35种选法. 分析:若甲同学一定不去,从其他7人中选4人即可.解答:(2)共有47C 35=种选法.题型三 至多、至少问题例14 学校组织一项活动,要从5名男同学,3名女同学中选4名.若男生甲、女生乙至少有一个被选中,有多少种选法?分析:至多、至少问题从正面解,一般情况先分类,再求解.当从正面求解困难时,可从对立面求解.解答:方法一 男生甲、女生乙至少有一个被选中,分成两类:第一类 男生甲、女生乙只有一个人被选中,有1326C C 260120=⨯=种选法; 第二类 男生甲、女生乙都被选中,有2226C C 21530=⨯=种选法.所以,男生甲、女生乙至少有一个被选中,共有120+30=150种不同的选法.题型四 组合数性质的的相关计算例15 若44511C C C n n n --=+,求n .分析:考察组合数的性质111C +C C m m m n nn +++=;C =C m n m n n-. 解答:45511C +C =C ,n n n --∴45C =C ,n n∴n =4+5=9.题型四 排列、组合混合应用例16 从6名男生和5名女生中选出3名男生和2名女生排成一行,有多少种不同排法? 分析:可以首先将男生选出,再将女生选出,然后对选出的5名学生排序.解 不同排法的总数为32565565454C C P 543212400032121⨯⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯(种). 知识点四 二项式定理题型一 求二项式展开式的指定项例17 求二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第4项. 分析:.二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式第4项,则n 的值为10,m 的值为3,可直接用二项式的通项T m +1=C m n m m n a b -求解.解答:T 4=T 3+1=337103C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-3240x 4, ∴第4项是-3240x 4.. 例18 求二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 6的项. 分析:二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 6的项,则n 的值为10,m 的值未知.此类问题应先写出二项式的通项,结合条件“含x 6的项”确定出m 的值.从而求出含x 6的项.解答: ∵T m +1=()1010210103C 3C m m m mm m x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 令10-2m =6,得m =2.∴含x 6的项为T 3=T 2+1=(-3)2210C x 6=405x 6. 例19 在二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式,求: (1)常数项;(2)二项式系数最大的项.分析:(1)求常数项,因为不知道m 的值,要根据“常数项”之一条件确定m 的值.所以,与例18过程相似;(2)可计算出第10162+=项为二项式系数最大的项,其实就是求第6项,所以与例17过程相似.解答:(1)∵T m +1=()1010210103C 3C m m m mm m x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 10-2m =0,即m =5.∴展开式的第6项是常数项,即T 6=T 5+1=5555510103C =(3)C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-61236. (2)∵n =10,∴展开式有11项,中间一项的二项式系数最大,中间一项为第6项. ∴T 6=T 5+1=5555510103C =(3)C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-61236. 题型二 求二项式展开式的某一项系数与某一项的二项式系数.例20 求92)x -(的二项展开式中6x 的系数和该项的二项式系数. 分析:二项展开式中某项的的系数与这一项二项式系数是两个不同的概念. 某项的系数是除字母外的所有数乘积的结果,某项的二项式系数是该项的组合数,和其他无关. 解答: 92)x -(的展开式的通项公式为99199C (2)C (1)2m m m m m m m m T x x --+=-=-⋅⋅ 由9-m =6,得m =3.即二项展开式中含6x 的项为第4项.故这一项的系数是3339987C (1)2(8)672321⨯⨯⨯-⨯=⨯-=-⨯⨯.该项的二项式系数为39987C 84321⨯⨯==⨯⨯. 题型三 二项式各项系数和与二项式系数和例21 在(1-x )5的二项展开式中,各项系数和为____________;所有项的二项式系数之和为____________.分析:在二项式中令式子中的字母为1,可得各项系数和;所有项的二项式系数之和为2n ,即012C C C ++C ++C m n n n n n n ++=2n ,故所有项的二项式系数之和只和n 有关.解答:在(1-x )5中,令x =1,可得各项系数和为0.(1-x )5的二项式系数之和为25=32.。

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第15讲 排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求:1.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.3.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.4.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0,1,2,…,9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字,按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少?(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字,随意按下一个数字进行试验,按对自己的密码的概率是多少?解 (1)储蓄卡上的数字是可以重复的,每一个6位密码上的每一个数字都有0,1,2,…,9这10种,正确的结果有1种,其概率为6101,随意按下6个数字相当于随意按下610个,随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一,其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下,随意按下一个数字,等可能性的结果为0,1,2,…,9这10种,正确的结果有1种,其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球,从中任取3个球,这3个球恰好是2白1黑的概率是多少?(用组合数表示)解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”,要对应集合I 1,事件A 是“从m 个白球中任选2个球,从n 个黑球中任选一个球”,本题是等可能性事件问题,且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+,于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品,5件次品,从中任取3件,求:(1)恰有1件次品的概率;(2)至少有1件次品的概率.解 (1)从20件产品中任取3件的取法有320C ,其中恰有1件次品的取法为15215C C 。

∴ 恰有一件次品的概率P=763532015215=C C C .(2)法一 从20件产品中任取3件,其中恰有1件次品为事件A 1,恰有2件次品为事件A 2,3件全是次品为事件A 3,则它们的概率P(A 1)= 32015215C C C =228105,2282)(320115252==C C C A P ,2282)(320353==C C A P , 而事件A 1、A 2、A 3彼此互斥,因此3件中至少有1件次品的概率P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 228137. 法二 记从20件产品中任取3件,3件全是正品为事件A ,那么任取3件,至少有1件次品为A ,根据对立事件的概率加法公式P(A )=2281371)(1320315=-=-C C A P 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色,每种13张,共52张,从1副洗好的牌中任取4张,求4张中至少有3张黑桃的概率.解 从52张牌中任取4张,有452C 种取法.“4张中至少有3张黑桃”,可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”,共有413139313C C C +⋅种取法452413139313C C C C +⋅∴ 注 研究至少情况时,分类要清楚。

Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率例5 猎人在距离100米处射击一野兔,其命中率为0.5,如果第一次射击未中,则猎人进行第二次射击,但距离150米. 如果第二次射击又未中,则猎人进行第三次射击,并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率.解 记三次射击依次为事件A ,B ,C ,其中21)(=A P ,由2100)(21k A P ==,求得k=5000。

812005000P(C),921505000P(B)22====∴,∴命中野兔的概率为 .1449581)921)(211(92)211(21)()()()()()()()A P(P(A)=⨯--+⨯-+=++=⋅⋅+⋅+C P B P A P B P A P A P C B A P B 例6 要制造一种机器零件,甲机床废品率为0.05,而乙机床废品率为0.1,而它们的生产是独立的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求:(1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率.解: 设事件A 为“从甲机床抽得的一件是废品”;B 为“从乙机床抽得的一件是废品”.则P (A )=0.05, P(B)=0.1,(1)至少有一件废品的概率145.090.095.01)()(1)(1)(=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P(2)至多有一件废品的概率995.09.095.01.095.09.005.0)(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P PⅣ、概率内容的新概念较多,本课时就学生易犯错误作如下归纳总结:类型一 “非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子,求所得的点数之和为6的概率.错解 掷两枚骰子出现的点数之和2,3,4,…,12共11种基本事件,所以概率为P=111 剖析 以上11种基本事件不是等可能的,如点数和2只有(1,1),而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种.事实上,掷两枚骰子共有36种基本事件,且是等可能的,所以“所得点数之和为6”的概率为P=536. 类型二 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A .对立事件B .不可能事件C .互斥但不对立事件D .以上均不对 错解 A剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同,二者的联系与区别主要体现在 :(1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;(2)互斥概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件;(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有一个发生,一个不发生,可能两个都不发生,所以应选C .类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O .8,乙投篮命中率为0.7,每人投3次,两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ,“乙恰好投中两次”为事件B ,则两人都恰好投中两次为事件A+B ,P(A+B)=P(A)+P(B): 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑,将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.互斥事件是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响,它们虽然都描绘了两个事件间的关系,但所描绘的关系是根本不同.解: 设“甲恰好投中两次”为事件A ,“乙恰好投中两次”为事件B ,且A ,B 相互独立,则两人都恰好投中两次为事件A·B ,于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169四、高考题选讲1 甲、乙二人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人依次各抽一题.(Ⅰ)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?(Ⅱ)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?(2000年新课程卷)2 如图,用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时,系统N 1正常工作;当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2. (2001年新课程卷)3 某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).(Ⅰ)求至少3人同时上网的概率;(Ⅱ)至少几人同时上网的概率小于0.3?(2002年新课程卷)4 有三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验.(Ⅰ)求恰有一件不合格的概率;(Ⅱ)求至少有两件不合格的概率.(精确到0.001) (2003年新课程卷)5. 从10位同学(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54,每位男同学能通过测验的概率均为53.试求: (Ⅰ)选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;(Ⅱ)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.(2004年全国卷Ⅰ)解:本小题主要考查组合,概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力,满分12分.解:(Ⅰ)随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为1-6531036=C C ;………………6分 (Ⅱ)甲、乙被选中且能通过测验的概率为 .1254535431018=⨯⨯C C ;………………12分 6. 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.求:(Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率;(Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率. (2004年全国卷Ⅱ)解:(Ⅰ)解法一:三支弱队在同一组的概率为 .7148154815=+C C C C 故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=- 解法二:有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C (Ⅱ)解法一:A 组中至少有两支弱队的概率 21481533482523=+C C C C C C 解法二:A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1,由于对A 组和B 组来说,至少有两支弱队的概率是相同的,所以A 组中至少有两支弱队的概率为.217.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求这名同学得300分的概率;(Ⅱ)求这名同学至少得300分的概率. (2004年全国卷Ⅲ)8. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(Ⅰ)求所选3人都是男生的概率;(Ⅱ)求所选3人中恰有1名女生的概率;(Ⅲ)求所选3人中至少有1名女生的概率. (2004年天津卷)9. 某地区有5个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的).假定工厂之间的选择互不影响.(Ⅰ)求5个工厂均选择星期日停电的概率;(Ⅱ)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004年浙江卷)10. 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)分别求甲、乙两人考试合格的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004年福建卷)11. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. (Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率;(Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.(2004年湖南卷)12.为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P )和所需费用如下:预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)解:方案1:单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知,采用甲措施,可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为0.9.方案2:联合采用两种预防措施,费用不超过120万元,由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.方法3:联合采用三种预防措施,费用不超过120万元,故只能联合乙、丙、丁三种预防措施,此时突发事件不发生的概率为1—(1—0.8)(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知,在总费用不超过120万元的前提下,联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.13. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.(Ⅰ)三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率;(Ⅱ)若甲单独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率. (2004年重庆卷)14.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为( D ) A .12513 B .12516 C .12518 D .12519 15.(本小题满分12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话,已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5,电话C 、D 占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.解:本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3 P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0416.从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是(C )A .95B .94C .2111D .2110 17.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521 的数共有 ( C )A .56个B .57个C .58个D .60个18.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为5:3:2,现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .(答案: 80)19.标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 240 种.(以数字作答)20.某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为80人,则n= 192 .。

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