整理力法对称结构剖析
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三、计算系数和自由项
反对称荷载
3kN
3kN
2I
I X1
2I I
半边结构
力法基本体系
4.5 4.5
4.5 X1 1
18 18 36
M1 (m)
MP (kN·m)
10.8 10.8
10.8
10.8
2.4
25.2
7.2 18
18 3 7.2
25.2
5.6
M (kNm)
2.4
3
8
11
1 2EI
1 2
4.5 4.5 4.5
l
M1
P Pl Pl 2Pl
MP
11
1 EI
1 2
ll
l
22 3
l
l
l
5l 3 3 EI
1P
1 EI
(
1 2
l
Pl) l
1 ( 2
l
l)(2Pl
2 3
)
7 Pl 3
6EI
四、解方程
5l 3
7 Pl 3
3EI X1 6EI 0
得 X1 7P /10
五、作M 图
M M1X1 MP
7 Pl 10
10
13 Pl
10 A
M
(ｃ) 2F
F
F
l l l
l l
A
B
l
l
F
F
正对称荷载， A 不产生弯矩 B
l
l
A 反对称荷载 B
2P C
D
P
P
P
P
l
E
F
l
A
B
2l
【解】
对称荷载
一、荷载分解；对称荷载作用下 ，上梁轴力N＝－P；反对称荷载 P 作用下，取半边结构及力法基本 体系。
二、列力法基本方程
11 X1 1P 0
三、计算系数和自由项
半边结构
反对称荷载
P X1
力法基本体系
l
l l
X1 1
l
M1
P Pl Pl 2Pl
MP
X1 1
C
M1 (m)
C
MP (kN/m)
48
48
C
A 24
M
24 B
(kN/m)
11
1 EI
44 2
2
4 3
64 3EI
1P
1 EI
44 248Fra bibliotek384 EI
四、解方程
64 3EI
X1
384 EI
0
得 X1 18
五、作M图 M M1X1 MP
【例】用等代结构计算图示结构，绘弯矩图，EI为常数。
7 Pl 10
3 Pl
Pl
10
13 Pl
10 A
M
例 试用力法计算图示刚架，画出弯矩图。EI =常数。
6kN/m
解： 一、取半边结构及力法基本体系
C
二、列力法基本方程
4m
11X1 1P 0
A
B
三、计算系数和自由项
4m 6kN/m
4m 6kN/m
C
C X1
A
半边结构
A
力法基本体系
4A
48
48
A
11
1 EI
1 2
ll
l
22 3
l
l
l
5l 3 3 EI
1P
1 EI
(
1 2
l
Pl) l
1 ( 2
l
l)(2Pl
2 3
)
7 Pl 3
6EI
四、解方程
5l 3
7 Pl 3
3EI X1 6EI 0
得 X1 7P /10
五、作M 图
M M1X1 MP
7 Pl 10
7 Pl 10
3 Pl
Pl
C
D
22.5
A
M
(kN·m)
135
B
五、作M图 M M1 X1 MP
10.10 试作图示刚架的M图。提示：支座反力是静定的，可视支 座反力为荷载作用在结构上。
P
P
P/4
P/2 P/4
l
→
A
B
P/2
P/2 P/4
P/2 P/4
l
l
支座反力视为荷载
对称荷载只有轴力。
P/4
P/4
【解】
← P/4
＋
3
B
该对称结构在反对称荷载 作用下，取半边结构，是静定 结构。
1kN/m
C I2 4I1 I1
A
6m
6m
10.5 用力法计算下列排架，作M图。
(a)
20kN/m EA
C
D
I
I
A
B
6m
6m
6m
【解】 一、取力法基本体系 二、列力法基本方程
11X1 1P 0 三、计算系数11和自由项1P
20kN/m
六、作Q、N 图
【10.3】 用力法解下列刚架，并作M、Q、N图。
1kN/m
C
I2 4I1
1kN/m
D
【解】 一、取力法基本体系
6m
I1
I1
二、列力法基本方程
A
6m
B
6m
11X1+1P=0 三、计算系数11和自由项1P
1kN/m
C
1kN/m
X1
D
1P
M1MP dx 0 EI
四、解方程
A 力法基本体系 B
P/2 P/4
X1
支座反力视为荷载
1/4结构
力法基本体系 ，荷载分组，对称
荷载只有轴力。
一、左右对称上下反对称荷载，利用结构双 向对称性取1/4结构，再取力法基本体系 。
P/4
P/2 P/4
荷载左右对称上下反 对称，取1/4结构。
l/2
l/2
l/2
X1 1 M1
MP Pl / 4
3Pl 28
3Pl
X1
C
D
A
B
力法基本体系
6
360 (90) 225
X1 1
C
D
11
2 EI
1 2
666
2 3
144 EI
A
M1 (m)
1P
M1MP dx 1 1 6 360 6 3
EI
EI 3
4
B6
3240 EI
C
D
MP (kN·m)
A
B
四、解方程
144 3240 EI X1 EI 0
得
X1 22.5kN
X1
16EI
0
得 X1 3P /14
五、作M 图
M M1X1 MP
【例】用半边等代结构计算图示结构，绘弯矩图，EI为常数。
l
C
P
E
D
P
P
F
P X1
l
A
B
2l
【解】
半边结构
一、取半边结构及力法基本体系
二、列力法基本方程
11 X1 1P 0
三、计算系数和自由项
力法基本体系
l
l l
X1 1
10.9 利用对称性，计算下列刚架的M图。
(f) 并再作Q、N图。
6kN
3kN
3kN 3kN
3kN
E 2I F
I
I
6m 6m
C
D
2I
I
I
A
B
9m
对称荷载
【解】
一、荷载分解；对称荷载作用下，上 梁轴力N＝－3kN；反对称荷载作用 下，取半边结构及力法基本体系。
二、列力法基本方程
11 X1 1P 0
2A8
3Pl 28
P
4Pl 28
4Pl 28
M
3Pl 28
3Pl
B28
3Pl 28
二、列力法基本方程
11X1 1P 0
三、计算系数和自由项
11
1 EI
1 2
l 2
l 2
l 2
2 3
l
l 2
l 2
7l 3 24 EI
1P
1 EI
1l 2
Pl 4
l 2
Pl 3 16EI
四、解方程
7l3
Pl 3
24EI
2 3
2
1 4.5 6 4.5 151.875
EI
EI
1P
1 2EI
1 2
4.5
4.5 36
2 3
1 4.5 618 1 364.5
EI
2 EI
四、解方程
3
Q (kN)
161.875 364.5 EI X1 EI 0
2.4
得 X1 2.4kN
五、作M 图
8 N (kN) M M1X1 MP
11X1 0 0 得 X1 0
1
1
C
X1=1 D
A
M1
B
C 18
18 （4.5） 13.5
A
MP
18
D
（4.5） 13.5
B
C 18
18 （4.5） 13.5
A
M
C
3
6A
Q
C
3
A
N
18
D
（4.5） 13.5
B
五、作M图 M M1 X1 MP MP 六、作Q图和N图 七、讨论
D
B6 D
反对称荷载
3kN
3kN
2I
I X1
2I I
半边结构
力法基本体系
4.5 4.5
4.5 X1 1
18 18 36
M1 (m)
MP (kN·m)
10.8 10.8
10.8
10.8
2.4
25.2
7.2 18
18 3 7.2
25.2
5.6
M (kNm)
2.4
3
8
11
1 2EI
1 2
4.5 4.5 4.5
l
M1
P Pl Pl 2Pl
MP
11
1 EI
1 2
ll
l
22 3
l
l
l
5l 3 3 EI
1P
1 EI
(
1 2
l
Pl) l
1 ( 2
l
l)(2Pl
2 3
)
7 Pl 3
6EI
四、解方程
5l 3
7 Pl 3
3EI X1 6EI 0
得 X1 7P /10
五、作M 图
M M1X1 MP
7 Pl 10
10
13 Pl
10 A
M
(ｃ) 2F
F
F
l l l
l l
A
B
l
l
F
F
正对称荷载， A 不产生弯矩 B
l
l
A 反对称荷载 B
2P C
D
P
P
P
P
l
E
F
l
A
B
2l
【解】
对称荷载
一、荷载分解；对称荷载作用下 ，上梁轴力N＝－P；反对称荷载 P 作用下，取半边结构及力法基本 体系。
二、列力法基本方程
11 X1 1P 0
三、计算系数和自由项
半边结构
反对称荷载
P X1
力法基本体系
l
l l
X1 1
l
M1
P Pl Pl 2Pl
MP
X1 1
C
M1 (m)
C
MP (kN/m)
48
48
C
A 24
M
24 B
(kN/m)
11
1 EI
44 2
2
4 3
64 3EI
1P
1 EI
44 248Fra bibliotek384 EI
四、解方程
64 3EI
X1
384 EI
0
得 X1 18
五、作M图 M M1X1 MP
【例】用等代结构计算图示结构，绘弯矩图，EI为常数。
7 Pl 10
3 Pl
Pl
10
13 Pl
10 A
M
例 试用力法计算图示刚架，画出弯矩图。EI =常数。
6kN/m
解： 一、取半边结构及力法基本体系
C
二、列力法基本方程
4m
11X1 1P 0
A
B
三、计算系数和自由项
4m 6kN/m
4m 6kN/m
C
C X1
A
半边结构
A
力法基本体系
4A
48
48
A
11
1 EI
1 2
ll
l
22 3
l
l
l
5l 3 3 EI
1P
1 EI
(
1 2
l
Pl) l
1 ( 2
l
l)(2Pl
2 3
)
7 Pl 3
6EI
四、解方程
5l 3
7 Pl 3
3EI X1 6EI 0
得 X1 7P /10
五、作M 图
M M1X1 MP
7 Pl 10
7 Pl 10
3 Pl
Pl
C
D
22.5
A
M
(kN·m)
135
B
五、作M图 M M1 X1 MP
10.10 试作图示刚架的M图。提示：支座反力是静定的，可视支 座反力为荷载作用在结构上。
P
P
P/4
P/2 P/4
l
→
A
B
P/2
P/2 P/4
P/2 P/4
l
l
支座反力视为荷载
对称荷载只有轴力。
P/4
P/4
【解】
← P/4
＋
3
B
该对称结构在反对称荷载 作用下，取半边结构，是静定 结构。
1kN/m
C I2 4I1 I1
A
6m
6m
10.5 用力法计算下列排架，作M图。
(a)
20kN/m EA
C
D
I
I
A
B
6m
6m
6m
【解】 一、取力法基本体系 二、列力法基本方程
11X1 1P 0 三、计算系数11和自由项1P
20kN/m
六、作Q、N 图
【10.3】 用力法解下列刚架，并作M、Q、N图。
1kN/m
C
I2 4I1
1kN/m
D
【解】 一、取力法基本体系
6m
I1
I1
二、列力法基本方程
A
6m
B
6m
11X1+1P=0 三、计算系数11和自由项1P
1kN/m
C
1kN/m
X1
D
1P
M1MP dx 0 EI
四、解方程
A 力法基本体系 B
P/2 P/4
X1
支座反力视为荷载
1/4结构
力法基本体系 ，荷载分组，对称
荷载只有轴力。
一、左右对称上下反对称荷载，利用结构双 向对称性取1/4结构，再取力法基本体系 。
P/4
P/2 P/4
荷载左右对称上下反 对称，取1/4结构。
l/2
l/2
l/2
X1 1 M1
MP Pl / 4
3Pl 28
3Pl
X1
C
D
A
B
力法基本体系
6
360 (90) 225
X1 1
C
D
11
2 EI
1 2
666
2 3
144 EI
A
M1 (m)
1P
M1MP dx 1 1 6 360 6 3
EI
EI 3
4
B6
3240 EI
C
D
MP (kN·m)
A
B
四、解方程
144 3240 EI X1 EI 0
得
X1 22.5kN
X1
16EI
0
得 X1 3P /14
五、作M 图
M M1X1 MP
【例】用半边等代结构计算图示结构，绘弯矩图，EI为常数。
l
C
P
E
D
P
P
F
P X1
l
A
B
2l
【解】
半边结构
一、取半边结构及力法基本体系
二、列力法基本方程
11 X1 1P 0
三、计算系数和自由项
力法基本体系
l
l l
X1 1
10.9 利用对称性，计算下列刚架的M图。
(f) 并再作Q、N图。
6kN
3kN
3kN 3kN
3kN
E 2I F
I
I
6m 6m
C
D
2I
I
I
A
B
9m
对称荷载
【解】
一、荷载分解；对称荷载作用下，上 梁轴力N＝－3kN；反对称荷载作用 下，取半边结构及力法基本体系。
二、列力法基本方程
11 X1 1P 0
2A8
3Pl 28
P
4Pl 28
4Pl 28
M
3Pl 28
3Pl
B28
3Pl 28
二、列力法基本方程
11X1 1P 0
三、计算系数和自由项
11
1 EI
1 2
l 2
l 2
l 2
2 3
l
l 2
l 2
7l 3 24 EI
1P
1 EI
1l 2
Pl 4
l 2
Pl 3 16EI
四、解方程
7l3
Pl 3
24EI
2 3
2
1 4.5 6 4.5 151.875
EI
EI
1P
1 2EI
1 2
4.5
4.5 36
2 3
1 4.5 618 1 364.5
EI
2 EI
四、解方程
3
Q (kN)
161.875 364.5 EI X1 EI 0
2.4
得 X1 2.4kN
五、作M 图
8 N (kN) M M1X1 MP
11X1 0 0 得 X1 0
1
1
C
X1=1 D
A
M1
B
C 18
18 （4.5） 13.5
A
MP
18
D
（4.5） 13.5
B
C 18
18 （4.5） 13.5
A
M
C
3
6A
Q
C
3
A
N
18
D
（4.5） 13.5
B
五、作M图 M M1 X1 MP MP 六、作Q图和N图 七、讨论
D
B6 D