命题及其关系充要条件
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命题及其关系充要条件 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
§命题及其关系、充要条件
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．命题：“若x2<1，则－1 A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1 C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 2．已知集合M＝{x|0 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2010·江西)对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的 () A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2009·重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 () A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 5．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(每小题6分，共24分) 6．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； ③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直； ④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．． 的序号是__________(写出所有真命题的序号)． 7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题： ① s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不 是充分条件；④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必 要条件． 则正确命题序号是________． 8．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 9．已知p ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x |⎩⎪⎨ ⎪⎧⎭⎪⎬⎪ ⎫x ＋2≥0x －10≤0，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，若q 是p 的必要非充分条件， 则实数m 的取值范围是____________． 三、解答题(共41分) 10．(13分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． 11.(14分)求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件 是0 12．(14分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧ ⎭⎬⎫x | x －2 x －(3a ＋1)<0，B ＝ ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝1 2 时，求(∁U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 答案 1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．①② 7．①②④ 8．[1,2) 9．[9，＋∞) 10．解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5. q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1，m ＋1≤5. ∴2≤m ≤4. 11．证明 (1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立， 由二次函数性质有： ⎩⎨⎧ a >0Δ<0，即⎩⎨⎧ a >0a 2－4a <0 ，∴00， ∴ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立． 由(1)(2)知，命题得证． 12．解 (1)当a ＝1 2 时， A ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ x |2 ⎬⎫x |x －9 4x －12 <0＝⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |1 2 ∴∁U B ＝⎩ ⎨⎧ ⎭ ⎬⎫x |x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B )∩A ＝⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x |9 4≤x <52. (2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a ①当3a ＋1>2，即a >1 3时，A ＝{x |2 ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴⎩ ⎨⎧ a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即1 3 3时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <1 3 时，A ＝{x |3a ＋1 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤3a ＋1a 2＋2≥2 ，∴－12≤a <1 3 .