平面向量的加减法

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平面向量的运算法则

平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。

一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。

二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。

设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。

设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。

四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。

五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。

设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。

六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。

设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。

七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。

设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。

八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。

平面向量的加减法 ppt课件

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于
任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a，式上1与 a实数a的有；关运算规 2 律的相去 a类括似号，、因移a此项，、实合数并a运同；算类中项
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
ppt课件
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探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
AC = a + b
B
CA
AC = a + b
规定：a 0 0 a a
ppt课件
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探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对ppt课角件线
5
向量加法运算及其几何意义

平面向量加减法口诀

向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的和向量。

二、向量的减法两向量做减法运算，图像如下图所示：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。

以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量。

向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。

要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。

向量的相关题目难度也不是很大，只要大家认真学习，认真做好笔记，认真做做题目，总结做题规律，那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识，做起来也很顺手，再细心点的话，得满分也没有问题。

学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。

附一；三角形定则解决向量加减的方法将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

注:两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.。

平面向量加减法课件

在物理学中的应用
01
平面向量加减法在物理学中的性质和定理
02
向量的加法满足平行四边形定则
向量的减法满足三角形定则
03
在物理学中的应用
向量的数乘满足标量积定理
1
2
平面向量加减法在物理学中的实际应用
确定力的合成与分解
3
在物理学中的应用
计算物体的运动轨迹和速度
解决物理问题，如力学、电磁学等
05
平面向量加减法的练习与巩固
平行法则适用于任何两个相同的向量。通过将一个向量分解成两个相同的子向量，可以找到原始向量的和。这个法则也可以用于任何数量的相同向量。
04
平面向量加减法的应用
解向量方程
求解向量方程的解根据给定的向量方程，确定未知量
通过加减法运算，解出未知量的值
解向量方程
检验解的正确性，确保解符合原始向量方程
向量减法的几何意义
两个向量相减，得到的新的向量的方向和大小与原来的两个向量有关系。
02
平面向量加减法的运算性质
向量的加法交换律
总结词
向量加法满足交换律
详细描述
设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是平面向量，则有$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$，即向量加法满足交换律。ຫໍສະໝຸດ 练习题一：判断题总结词
掌握平面向量加减法的基本概念
判断下列说法是否正确
向量a+向量b的和向量等于向量a与向量b之和。（×）
判断下列说法是否正确
向量a与向量b的和向量等于向量a+ 向量b。（×）
判断下列说法是否正确

平面向量的加减运算

平面向量的加减运算平面向量是表示平面上的有向线段的数学工具，常用于描述位移、速度、力等物理量。

在平面向量的运算中，加法和减法是最基本的操作。

1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。

设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的和为向量A(A₁,A₂)，即：A = A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的差为向量A(A₁, A₂)，即：A = A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)在进行平面向量的加减运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。

具体操作如下：1. 给出需要进行加减运算的向量A和向量A的坐标表示。

2. 将两个向量的对应坐标进行相加（或相减），得到新的坐标。

3. 根据得到的新坐标，构造新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）。

4. 最后，将新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）的坐标表示写出，即完成了平面向量的加减运算。

补充说明：1. 在计算过程中，要注意坐标的顺序，确保符号对应正确。

2. 加法运算和减法运算可以通过相互转化来进行，即：A + A = A - ( - A)3. 若有多个向量进行加减运算，可以采用逐步进行的方法，先进行第一对向量的运算，然后将得到的结果与下一个向量进行运算，依次类推。

4. 在实际问题中，应用到向量加减运算时，可以结合图像进行解释和计算，更直观地理解向量的运算规律。

通过以上步骤，我们可以完成平面向量的加减运算。

在实际应用中，平面向量的加减运算常常用于解决平面几何和物理学中的问题，如位移、速度、力的合成分解等。

总结：平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。

通过计算向量的各个坐标，然后进行相应的加减操作，我们可以得到最终的结果。

平面向量的加法减法运算

向量加法满足零向量性质：+0=
向量减法的定义与
03
性质
向量减法的定义
向量减法的定义：向量减法是将两个向量相减得到一个新的向量。
减法法则：向量减法遵循平行四边形法则即两个向量的差等于两个向量的起点到终点的向量。
减法性质：向量减法满足交换律、结合律和分配律。
减法应用：向量减法在物理、工程等领域有广泛应用如力、速度、加速度等向量的加减运算。
在实际生活中的应用
建筑设计：计算建筑物的尺寸和角度导航系统：计算方向和距离物理学：计算力和加速度计算机图形学：计算图像的缩放和旋转
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平面向量的法减法运算
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汇报人：
目录
01 单击添加目录项标题 02 向量加法的定义与性质 03 向量减法的定义与性质 04 向量加法与减法的运算律 05 向量加法与减法的应用
向量减法的几何意义
向量减法是向量加法的逆运算表示从一个向量中减去另一个向量
向量减法的几何意义是表示两个向量的差即一个向量减去另一个向量
向量减法的性质包括交换律、结合律和分配律
向量减法在物理、工程等领域有广泛应用如力、速度、加速度等向量的运算
向量减法的性质
向量减法的定义：向量减法是将两个向量相减得到一个新的向量。向量减法的性质：向量减法满足交换律、结合律和分配律。向量减法的应用：向量减法常用于求解线性方程组、几何问题等。向量减法的局限性：向量减法不能直接应用于非向量问题。
结合律的证明：通过向量加法和减法的定义利用向量的线性运算性质可以证明向量加法和减法的结合律成立。

平面向量的加法和减法

平面向量的加法和减法平面向量是研究平面内物体运动和力的重要工具，而平面向量的加法和减法是计算和描述物体在平面上移动的基本操作。

本文将详细介绍平面向量的加法和减法，并给出相应的计算方法和示例。

一、平面向量的定义在平面直角坐标系中，一个向量由其起点和终点确定，方向由起点指向终点，长度由起点和终点的距离表示。

平面向量常用加粗的小写字母表示，如a、b、c等。

二、平面向量的表示1. 坐标表示法：平面向量可用坐标表示法表示。

设向量a的起点为点A(x1, y1)，终点为点B(x2, y2)，则向量a可以表示为a = (x2 - x1, y2 - y1)。

2. 分量表示法：平面向量也可用分量表示法表示。

设向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点P(x, y)，则向量a可以表示为a = x * i + y * j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设向量a的起点为点A，终点为点B，向量b的起点为点B，终点为点C，所求的向量为向量c，起点为点A，终点为点C。

则向量c = a + b。

计算向量c的坐标表示法：y1 + y2)。

计算向量c的分量表示法：设向量a = x1 * i + y1 * j，向量b = x2 * i + y2 * j，则向量c = a + b = (x1 + x2) * i + (y1 + y2) * j。

示例：已知向量a = (3, 4)，向量b = (-2, 1)，求向量c = a + b的坐标表示法和分量表示法。

解：根据坐标表示法的计算公式，向量c的坐标表示法为：c = a + b = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)。

根据分量表示法的计算公式，向量c的分量表示法为：c = a + b = (3 - 2) * i + (4 + 1) * j = i + 5 * j。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。

平面向量的加法与减法

平面向量的加法与减法平面向量是数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域中广泛应用。

在平面上，向量的加法和减法是基本操作，通过它们可以计算出两个或多个向量的合成向量或差向量。

本文将详细介绍平面向量的加法和减法。

一、向量的表示和基本概念在平面几何中，向量通常用带箭头的有向线段表示。

向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对(x, y)来表示，其中x和y分别代表向量在x轴和y轴上的分量。

例如，向量a可以表示为a = (a₁, a₂)，其中a₁为x轴分量，a₂为y轴分量。

二、向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加得到一个新的向量。

对于平面上的向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，它们的加法可以表示为：a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

根据加法的定义，我们可以得出以下结论：1. 加法满足交换律，即a + b = b + a。

2. 加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。

3. 存在零向量，它与任何向量相加都不改变该向量的值，即a + 0 = a。

三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

对于平面上的向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，它们的减法可以表示为：a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。

根据减法的定义，我们可以得出以下结论：1. 减法不满足交换律，即a - b ≠ b - a。

2. 减法满足结合律，即(a - b) - c = a - (b + c)。

3. 任何向量减去自身等于零向量，即a - a = 0。

四、向量的几何意义向量的加法和减法可以通过向量的几何意义来理解。

具体而言，向量的加法可以解释为将一个向量沿着另一个向量的方向进行平移得到一个新的向量。

而向量的减法可以解释为从一个向量指向另一个向量的位置，得到一个连接两个位置的向量。

五、向量的图形运算法则在进行向量的加法和减法计算时，我们可以借助平移和三角形等图形运算法则来简化计算过程。

《平面向量加减法》课件

三角形法则：将两个向量首尾相接，构成一个三角形，则其对角线就是两个向量的和。
平行四边形法则和三角形法则的适用范围：适用于任意两个向量的加法运算。
平行四边形法则和三角形法则的优缺点：平行四边形法则直观易懂，但计算量较大；三角形法则计算量较小，但需要一定的几何知识。
向量减法的平行四边形法则和三角形法则
几何意义：向量减法的几何意义是表示两个向量的差向量，即从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
应用：向量减法在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、速度的合成与分解等。
注意事项：在进行向量减法时，需要注意两个向量的起点必须重合，否则得到的差向量可能不是正确的。
向量加减法的应用实例
向量减法的定义
向量减法是向量加法的逆运算
向量减法的定义式为：A-B=C，其中A、B、C都是向量
向量减法的运算法则为：A-B=C，其中A、B、C都是向量，且A、B、 C的起点相同向量减法的运算结果为一个新的向量，其方向与A、B的差方向相同，其大小为A、B的差大小
03
向量加减法的几何意义
向量加法的几何意义
向量加法是将两个向量首尾相接，得到一个新的向量
新的向量的方向由两个向量的方向决定
添加标题
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新的向量的长度等于两个向量长度之和
新的向量的起点和终点分别对应两个向量的起点和终点
向量减法的几何意义
向量减法：将两个向量的起点重合，然后从第一个向量的终点指向第二个向量的终点，得到的向量就是两个向量的差向量。
向量加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+ c)

平面向量加乘法除法口诀

平面向量加乘法除法口诀
一、向量的加法
两个向量做加法运算就是向量的加法，是一种向量的运算。

首先我们来看图像。

向量加法图像
向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

二、向量的减法
两向量做减法运算，图像如下图所示：
向量的减法图像
向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。

向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。

要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。

学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。

最后祝同学们学业有成，更上一层楼。

平面向量的加减运算

平面向量的加减运算在数学的广阔天地中，平面向量是一个十分重要的概念，而平面向量的加减运算则是其基础且关键的部分。

首先，咱们来聊聊啥是平面向量。

简单说，平面向量就是既有大小又有方向的量。

比如说，你在操场上跑步，从起点到终点，不仅有距离（这就是向量的大小），还有你跑的方向，这合起来就是一个平面向量。

那平面向量的加减运算到底是咋回事呢？咱们先从加法说起。

平面向量的加法有个三角形法则。

想象一下，有两个向量，比如向量 a 和向量 b 。

把向量 a 的起点和向量 b 的终点重合，然后从向量 a 的起点指向向量 b 的终点，得到的新向量 c 就是向量 a 和向量 b 的和。

这就好比你从 A 点出发走到 B 点，然后再从 B 点走到 C 点，那么从 A 点直接到 C 点的这个位移就是前两段位移的和。

还有个平行四边形法则。

还是这两个向量 a 和 b ，把它们的起点重合，以这两个向量为邻边作平行四边形，从共同的起点出发的对角线所表示的向量就是它们的和。

这个法则在解决一些几何问题时特别有用。

接下来，咱们说说平面向量的减法。

平面向量的减法可以看成是加上一个相反向量。

比如，向量 a 减去向量 b ，就等于向量 a 加上向量 b 的相反向量（也就是大小相等，方向相反的向量）。

在实际运算中，平面向量的加减运算遵循一些规则。

比如说，交换律和结合律。

交换律就是向量 a 加向量 b 等于向量 b 加向量 a ；结合律就是（向量 a 加向量 b ）加向量 c 等于向量 a 加（向量 b 加向量 c ）。

平面向量的加减运算在很多领域都有广泛的应用。

在物理学中，力、速度、位移等都可以用向量来表示，通过向量的加减运算来分析物体的运动状态和受力情况。

比如，一个物体同时受到几个力的作用，就可以通过把这些力用向量表示出来，然后进行加减运算，得到合力，从而判断物体的运动趋势。

在几何学中，通过向量的加减运算可以证明一些几何定理，计算图形的边长、角度等。

平面向量的加减与数量积

平面向量的加减与数量积平面向量是研究平面中长度与方向的物理量，它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的加减运算和数量积，并以简洁美观的排版和流畅通顺的语句进行阐述。

一、平面向量的表示平面向量可以通过箭头来表示，箭头的长度代表向量的模，箭头的方向代表向量的方向。

常用的表示方法为使用大写字母加上一个箭头，例如向量A用符号→A表示。

二、平面向量的加减运算1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

设向量→A=(x1, y1)，向量→B=(x2, y2)，则向量→C=→A+→B=(x1+x2,y1+y2)。

2. 向量的减法向量的减法是将第二个向量的对应分量取相反数，然后与第一个向量进行加法运算。

设向量→A=(x1, y1)，向量→B=(x2, y2)，则向量→C=→A-→B=→A+(-→B)=(x1-x2, y1-y2)。

三、平面向量的数量积1. 定义平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为→A·→B。

数量积的结果是一个实数，其大小等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

2. 计算公式设向量→A=(x1, y1)，向量→B=(x2, y2)，则有→A·→B=x1*x2+y1*y2。

3. 性质（1）交换律：→A·→B=→B·→A（2）分配律：→A·(→B+→C)=→A·→B+→A·→C（3）数量积与向量夹角的关系：→A·→B=|→A|*|→B|*cosθ，其中θ为向量→A和→B之间的夹角。

四、平面向量的应用平面向量的加减运算和数量积在许多领域有着广泛的应用。

在几何学中，通过向量的加减运算可以求解线段的平移、旋转和缩放等变换。

在物理学中，力的合成和分解问题可以通过向量的加减运算来解决。

在工程学中，平面向量的数量积可以用来表示力矩和功等物理量。

总结：本文介绍了平面向量的加减运算和数量积。

平面向量公式及易错点

平面向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos 〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

平面向量的运算

平面向量的运算平面向量是二维空间中的有方向的量，可以通过各种运算来进行计算和处理。

本文将涉及到平面向量的基本运算，包括向量的加法、减法、数乘、模长和单位向量等。

并将通过具体实例和图表来帮助读者更好地理解和应用这些运算。

一、向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量的操作。

设有两个向量A和A，分别表示为：A = (A₁, A₁)A = (A₂, A₂)则向量A和A的加法运算为：A + A = (A₁ + A₂, A₁ + A₂)在坐标平面上，A + A的结果就是将向量A的起点放在向量A的终点，然后连接向量A的起点和向量A的终点。

二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

设有两个向量A和A，分别表示为：A = (A₁, A₁)A = (A₂, A₂)则向量A和A的减法运算为：A - A = (A₁ - A₂, A₁ - A₂)在坐标平面上，A- A的结果就是连接向量A的起点和向量A的终点。

三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的操作。

设有一个向量A，表示为：A = (A, A)A为实数，则向量A的数乘运算为：AA = (AA, AA)在坐标平面上，将向量A的长度缩放A倍，方向保持不变。

四、向量的模长向量的模长，也称为向量的长度，表示为向量起点到终点的距离。

设有一个向量A，表示为：A = (A, A)则向量A的模长为：|A| = √(A² + A²)模长为非负实数，表示向量的大小。

五、单位向量单位向量是指模长为1的向量。

通过将一个非零向量除以它的模长即可得到单位向量。

设有一个非零向量A，表示为：A = (A, A)则单位向量A为：A = (A/|A|, A/|A|)其中，|A|为向量A的模长。

单位向量在方向上与原向量相同，但长度为1。

六、向量的运算性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。

平面向量的加减

平面向量的加减在几何学中，平面向量是一种用箭头来表示的量，具有大小和方向。

平面向量可以进行加减运算，用于描述物体在平面上的位移、速度、力等。

本文将详细介绍平面向量的加减运算及其相关性质。

一、平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示。

设有一点A(x₁, y₁)和原点O(0, 0)，则点O到点A的位移向量可以表示为：→OA = (x₁, y₁)其中，(x₁, y₁)是向量的坐标表示形式。

二、平面向量的加法对于两个平面向量→OA = (x₁, y₁)和→OB = (x₂, y₂)，它们的加法可表示为：→OA + →OB = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)即将两个向量的横坐标分量相加，纵坐标分量相加。

三、平面向量的减法对于两个平面向量→OA = (x₁, y₁)和→OB = (x₂, y₂)，它们的减法可表示为：→OA - →OB = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)即将第二个向量的横坐标分量取相反数，然后与第一个向量的横坐标分量相加；纵坐标分量同理。

四、平面向量的性质1. 交换律：平面向量的加法满足交换律，即→OA + →OB = →OB + →OA。

2. 结合律：平面向量的加法满足结合律，即(→OA + →OB) + →OC = →OA + (→OB + →OC)。

3. 零向量：零向量的坐标表示为(0, 0)，对于任意平面向量→OA，有→OA + (0, 0) = →OA。

4. 负向量：对于平面向量→OA，它的负向量表示为-→OA，满足→OA + (-→OA) = (0, 0)。

五、平面向量的图示表示通过箭头在平面上的长度和方向来表示平面向量。

长度代表向量的大小，箭头方向代表向量的方向。

可以利用向量的图示来计算和表示平面向量的加减运算。

六、平面向量的应用平面向量的加减运算在物理学、工程学等应用中有着广泛的应用。

例如，速度可用平面向量表示，速度的加减运算可以通过平面向量的加减运算来实现。

七、小结本文介绍了平面向量的加减运算及其相关性质。

平面向量的加减法41564PPT课件

＝ OB ＋ BO ＝0.
2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM
＝ AB ＋ BO ＋ OM ＋ MB
＝ AO ＋ OB ＝ AB .
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例题讲解
[例 3] 船在静水中的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
AB BC
||＝1200＝12，
∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成 120°的角．
故船行进的方向与水流的方向成 120°的角．
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跟踪练习
1．一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水流的原因，船的实际航行速度的大小为 4 5 km/h，则水流速度的大小为________．
b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝ AB ＋
BC ＝ AC .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角
形法则．
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(2)平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b，作 OA ＝a OB ＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线 OC 就是a与b的和，如图．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝ 0 ＋ a ＝a .
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2．如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____， a＋b＋c－d＝____.
解析：a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ＝－f； b＋c＝ BC ＋ CD ＝ BD ＝－e； c－d＝ CD － AD ＝ DA － DC ＝ CA ＝f； a＋b＋c－d＝ AB ＋ BC ＋ CD － AD ＝ AD － AD ＝0.

平面向量的加减法

平面向量的加减法一、基本概念平面向量是指在平面内有大小和方向的量，通常用箭头表示。

平面向量有起点和终点，可以表示为两个点之间的有向线段。

加减法是指将两个或多个数值相加或相减的运算。

对于平面向量，加法和减法也是有规则的。

二、平面向量的加法1.定义设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a+b表示从O出发先沿着a到达A，再沿着b到达C，则C就是a+b的终点。

2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)。

3.几何意义将一个向量加上另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量。

这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。

三、平面向量的减法设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a-b表示从B出发先沿着-b到达O，再沿着a到达C，则C就是a-b的终点。

2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

3.几何意义将一个向量减去另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量，并将这个新的向量旋转180度。

这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。

四、平面向量加减法的性质1.交换律a+b=b+a，a-b≠b-a2.结合律(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c=a-(b+c)3.分配律k(a+b)=ka+kb，k为常数对于任意平面向量a，存在唯一的平面向量-b，使得a+(-b)=0。

五、应用举例平面向量加减法在物理学、力学、几何学等领域有广泛应用。

例如，在力学中，可以用平面向量表示物体所受到的力和加速度；在几何学中，可以用平面向量表示线段和角度等概念。

六、总结平面向量加减法是基本的运算规则，在数学和其他领域都有广泛应用。

掌握了平面向量加减法的性质和应用方法，可以更好地理解和解决相关问题。

平面向量的线性运算

平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，具有大小和方向，可以进行线性运算。

本文将介绍平面向量的加法、减法、数量乘法以及其他相关的线性运算。

一、平面向量的加法平面向量的加法满足以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量a和b，a+b=b+a。

2. 结合律：对于任意三个向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。

3. 零向量：对于任意向量a，存在一个特殊的向量0，称为零向量，满足a+0=a。

4. 相反向量：对于任意向量a，存在一个特殊的向量-b，称为a的相反向量，满足a+(-a)=0。

二、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是向量加上其相反向量的过程。

即，对于任意向量a和b，a-b=a+(-b)。

三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法即将一个向量乘以一个实数。

具体来说，对于任意向量a和实数k，ka是一个新的向量，满足以下性质：1. 数量乘法的结合律：对于任意向量a和实数k、l，(kl)a=k(la)。

2. 数量乘法与向量加法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(k+l)a=ka+la。

3. 数量乘法与实数加法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(k+l)a=ka+la。

4. 数量乘法与实数乘法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(kl)a=k(la)。

四、线性组合线性组合是指将若干个向量按照一定比例进行加法和数量乘法运算得到的向量。

具体来说，对于给定的向量a1、a2、...、an和实数k1、k2、...、kn，线性组合为k1a1+k2a2+...+knan。

五、平面向量的点积平面向量的点积也称为数量积或内积。

对于任意向量a和b，其点积记作a·b，满足以下性质：1. 交换律：对于任意向量a和b，a·b=b·a。

2. 分配律：对于任意向量a、b和c，(a+b)·c=a·c+b·c。

3. 结合律：对于任意向量a和b以及实数k，(ka)·b=k(a·b)=a·(kb)。

平面向量的加减法

跟踪练习
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
B． AC
C． DA
D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
答案：C
()
2．如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____， a＋b＋c－d＝____.
解：用 AB 表示向正东行驶 10 km 的位移， BC 表示沿北偏东 30°方向行驶了 15 km
的位移，则 AC 表示小船两次的合位移(如图)．
例题讲解
[例 2] 化简或计算： (1) CD ＋ BC ＋ AB ； (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA .
[精解详析] (1) CD ＋ BC ＋ AB ＝( AB ＋ BC )＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD . (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA ＝( AB ＋ BC )＋( CD ＋ DF )＋ FA ＝ AC ＋ CF ＋ FA ＝ AF ＋ FA ＝0.
二、向量加法的运算律
问题1：数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？
提示：满足．问题2：你能验证向量也满足结合律吗？
提示：如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(1)向量加法的交换律：a＋b＝ b＋a ； (2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c.)
深化理解
1．对两种求向量和的方法的理解． (1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示： AC = AB ＋ AD （平行四边形法则，