数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论

一、等差数列

（1）等差数列的基本公式

①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差）

()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差）

②前n 项和公式：11()(1)22

n n n a a n n S na d +-==+ （2）证明等差数列的法方

①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列

②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列

③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ⇔{}n a 为等差数列

即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+

④前n 项和公式法：2n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ⇔{}n a 为等差数列

即：关于n 的不含常数项的二次函数

（3）常用结论

①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列.

②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +.

特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a

③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)

④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，

2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d

⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{

}n S n 也为等差数列. ⑥ 11,(1),(2)

n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 此性质对任何一种数列都适用 ⑦求n S 最值的方法：

I: 若1a >0，公差d<0，则当100

k k a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值,且k S 最大； 若1a <0，公差d>0，则当1

00k k a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值，且k S 最小； II ：求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，

当n k = 时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。

二、等比数列

（1）等比数列的基本公式

①通项公式：11n n a a q -= （从第1项1a 开始为等比）

n m n m a a q -= （从第m 项m a 开始为等差）

②前n 项和公式：1(1),(1)1n n a q S q q

-=≠-，1,(1)n S na q == （2）证明等比数列的法方

①定义法：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔1n n

a q a +=(q ≠0) ⇔{}n a 为等比数列 ②等比中项法：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列

③通项公式法：1(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列

（3）常用结论

①若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1{

}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n n

a b (k 为非零常数) 均为等比数列.

②若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*N )，则n m a a =p q a a .

特别的，当n+m=2k 时，得n m a a =2k a

③在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1k q + (例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比3

q 的等比数列) ④若数列{}n a 为等差数列，则记

12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+， 则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等比数列，且公差为k

q 三、求任意数列通项公式n a 的方法

（1）累加法：若n a 满足a n+1=a n +f(n)利用累加法求：n a

例题：若11=a ，且12+=+n n a a n ，求：n a

练习题：若数列n a 满足1120++--=n n n a a ，且10=a

（2）累乘法：若n a 满足1()+=⋅n n a f n a 利用累乘法求：n a

例题：在数列{a n }中，1111,2++==n n n a a a n

，求：n a . 练习题：在数列{a n }中，11a =且1n n a na +=，求：n a （提示：123......!n n ⨯⨯⨯=）

（3）递推公式中既有n S ，又有n a ，用逐差法

11n n n S a S S -⎧=⎨-≥⎩ n=1　n 2

特别注意：该公式对一切数列都成立。 （4）若n a 满足1,()+=+≠n n a pa q p q ，则两边加：1=

-q x p ，在提公因式P ，构造出一个等比数列，再出求：n a

例题：已知数列{}n a ，满足：121+=+n n a a ，且11=a ，求：n a

习题1：已知数列{}n a 满足：131+-=n n a a 且11=a ，求：n a

习题2：已知数列{}n a 满足：12a =，且n n S a n +=，求：n a

（5）若n a 满足1++=+n k n n a pa p ，则两边同时除以：1+n p ，构造出一个等差数列，