离散数学课件图论1

14-1 图
相关概念：
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的G或有向的D ） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
2. n 阶零图与平凡图（ n 为顶点个数） 3. 用 ek 表示无向边或有向边 4. 顶点与边的关联关系
① 关联、关联次数 ②环 ③ 孤立点 5. 顶点之间的相邻与邻接关系
［竞赛图］基图为Kn的有向简单图。
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14-1 图
[子图] 定义：G=<V,E>, G=<V,E> (1) GG —— G为G的子图，G为G的母图 (2) 若GG且V=V，则称G为G的生成子图 (3) 若VV或EE，称G为G的真子图 (4) V（VV且V）的导出子图，记作G[V] (5) E（EE且E）的导出子图，记作G[E]
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)。
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现。
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第四部分 图论
图论
实例1： 多用户操作系统中的进程状态变换
就绪 r
进程调度
执行 e
I/O完成
请求I/O
r
e
等待 w
w
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图论
实例2： “七桥问题” －哥尼斯堡城的普雷格尔河
A
B
D
C
A
e1
e5 e3 e6
B
D
Байду номын сангаас
e2
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14-1 图
［定义］一个图表示为 G=<V(G), E(G)>, 其中 V(G): G的结点的非空集合，简记成V。 E(G): 是G的边的集合， 有时简记成E。
结点(Vertices)：用 表示, 旁边标上该结点的名称。 边(Edges)
称G是个无向完全图。如果G有n个结点, 则记作Kn。 简单性质：边数 m n(n 1) , n 1
2 ［有向完全图］G是个有向简单图，如果任意两个不同顶点之
间都有方向相反的边,则称它是有向完全图。 简单性质：边数 m n(n 1), 2(n 1), n 1
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14-1 图
[握手定理]
定理14-1.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证明： G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各 顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度。
e4 e7
C
V={A, B, C, D} E={e1, e2, e3, e4, e5 , e6, e7} 后来欧拉证明这样的路径根本不存在。
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图论
实例3：在机械加工中，经常需要在一块金属薄板上 钻若干孔 （或者是机械手在印刷电路板上安装电 子元件）
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使 G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的 补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。 相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图。 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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• 问如何确定钻孔的次序,使之加工的时间最短？ • 类似的问题： 旅行最优问题, 工程最优问题, 成 本最低.…...
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主要内容 图 通路与回路 图的连通性 图的矩阵表示
第十四章 图的基本概念
有向边: 带箭头的弧线。 从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
14-2 通路与回路
[表示法] ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.
[不同的圈]（以长度3的为例） ① 定义意义下 无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个 有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
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14-1 图
[图的同构] 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(两个有向 图)，若存在双射函数f:V1V2, 对于vi,vjV1,
(vi,vj)E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))E2 （<vi,vj>E1 当且仅当 <f(vi),f(vj)>E2 ) 并且, (vi,vj)（<vi,vj>）与 (f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数相 同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2。
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14-2 通路与回路
[定理14-2.1] 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj）存在通路， 则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 的通路.
[推论] 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存在通路，则 从vi 到vj 存在长度小于或等于n1的初级通路（路径）.
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14-3 图的连通性
1. 无向图的连通性 ［两个结点连通］在无向图中，结点u和v之间如果存在一条
通路，则称u与v是连通的。记作 uv
规定: 对任何结点u，uu。
［结点之间的连通关系是个等价关系］ 令G=<V, E>是无向图，R是V上连通关系，即 R={<u,v>| u,v V且uv} 显然R具有自反、对称和传递性。 于是可以求商集V/R。
[定理14-2.2] 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的回路，则 一定存在vi 到自身长度小于或等于 n 的回路.
[推论] 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的简单回路，则一 定存在长度小于或等于n 的初级回路.
…...
…...
…...
vi vi+1 vs-1 vs=vt vt+1
vj-1 vj
v 的关联集 I (v) {e | e E(G) e与v关联} ② vV(D) (D为有向图)
v的 后 继 元 集 D (v) {u | u V ( D) v, u E( D) u v}
v的 先 驱 元 集 D (v) {u | u V ( D) u, v E( D) u v}
14-1 图
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14-1 图
[定义] (1) 设G=<V,E>为无向图, vV, d(v)——v的度数, 简称度 (2) 设D=<V,E>为有向图, vV,
d+(v)——v的出度 d(v)——v的入度 d(v)——v的度或度数 (3) (G), (G) (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇度顶点与偶度顶点
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图)
v的邻域 N (v) {u | uV (G) (u, v) E(G) u v}
v的闭邻域 N (v) N (v) {v}
a
b
c
a
b
d
e
G1
G2
b cd
G3
a
c b
c
e
d
e
K5
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例 画出K4的所有非同构的生成子图。
14-1 图
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14-1 图
[补图]
定理14-1.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
n
n
d (vi ) 2m, 且
d (vi ) d (vi ) m
i 1
i 1
i 1
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数。
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