哈工大概率论与数理统计模拟试题(四)

合集下载

哈工大概率论与数理统计模拟试题(四)

概率论与数理统计模拟试题（四）一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．若事件,A B 满足(|)(|)P B A P B A =，则(|)P B A =__________.2．在区间)1,0(中随机地取两个数，则“两数之和小于5/6” 的概率为__________.3．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从区间[0,1]的均匀分布，则1{}2P X Y +≤= .4．随机变量,X Y 独立同分布，2EX =. (5)0.7P XY <=， (3)0.3P XY ≤=，用切比晓夫不等式估计DXY .5．设由来自总体2~(,0.9)X N μ容量为9的样本的样本均值5x =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 .二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．随机事件A 、C 满足(|)(|)1P A A C P C A C +++=，则下列正确的是（A ）A 、C 不相容（B ）A 、C 独立（C ）AC ，A C +独立（D ）(|)(|)1P A C P C A +=2．设随机变量X 服从指数分布，则随机变量min(,2)Y X =的分布函数（）（A ）是连续函数；（B ）至少有两个间断点；（C ）是阶梯函数；（D ）恰好有一个间断点.3．对于任意两个随机变量X 和Y ，若其方差存在，则与X 和Y 不相关（即0XY ρ=）等价的是（）（A ）X 与Y 独立; （B ）EXY EXEY =;（C ）X 与Y 不独立; （D ）DXY DX DY =⋅.4．设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有{}||10P X EX -<（）（A ）0.25≤；（B ）0.75≤；（C ）0.75≥；（D ）0.25≥.5．总体~()X P λ，抽取简单随机样本1,,n X X . 设2,X S 为样本均值，样本方差. 若2(32)aX a S +-为λ的无偏估计，则a = .（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4三、（10分）袋中有8个正品，2个次品，任取3个，取后不放回，若第3次取到的是次品，求前2次取到的是正品的概率.四、（10分）设随机变量X 与Y 独立，2~(,)X N μσ，Y 服从[,]ππ-的均匀分布，试求Z X Y =+的概率密度五、（10分）设随机变量(,)X Y 具有概率密度1(),0,2,(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求,,Cov(,),,()XY EX EY X Y D X Y ρ+.六、（14分）已知总体X 在区间12[,]θθ的服从均匀分布，1,,n x x 是取自X 的一个样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.七、（6分）产品的次品率为. 每天抽查4次，每次随机取3只，若发现3只中次品数多于1个，则要进行调整，记X为每天调整次数，求EX.。

哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案B卷(2006)

一.判断题(5210⨯=分分)1. ()1P A =,则A 为必然事件. ( )2. 设X Y 与不相关,则X Y 与相互独立. ( )3. 参数的无偏估计是唯一的. ( )4. A B 与独立,则A B 与互相互独立. ( )5. 假设检验中,取伪表示事件{拒绝01H H 真} ( ) 二.选择题(5315⨯=分分)6. 设,,A B C 为三个事件,则”这,,A B C 中至多发生一个”的事件为( )()()()()A A B C B AB AC BC C A BC ABC ABCD ABC ABCU U U U U U U7. 设X Y 与相互独立,()4,()2,D X D Y == 则(32)D X Y -=( ) ()8()16()28()44A B C D8. 设(0,1),21X N Y X =-:,则Y : ( ) ()(0,1)()(1,2)()(1,8)()(1,9)A N B N C N D N ---9. 设总体212(3,3),,,,n X N X X X :L 为X 的样本,则下列结果正确的是( )33()(0,1)()(0,1)392()(0,1)((0,1)3X X A N B N X X C N D N n ---::::10. 设2(),()E X D X μσ==,则由切比雪夫不等式可知{2}P X μσ-≥≤ ( )1113()()()()2484A B C D三.填空题(5315⨯=分分)11. 设X 的概率密度为31,0(),30,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()D X =_____________.12. 设事件A B 与相互独立,()0.4,()0.6,P A P A B ==U 则()P B A =_____________. 13. 设()X πλ:,且{3}{4},P X P X ===则λ=____________. 14.设(,)X Y 的概率密度为:6,00(,),0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则(1)P X Y +≤=__________.15. 设(),X t n :则2X -:______________. 四.计算题(共60分)16. 设()4,12X U :,求关于t 的方程290t Xt -+=有解的概率.(6分)17. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下:问α,β取何值时, ,X Y 相互独立?(6分)18. 设X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他,Y 表示对X 四次独立重复观察事件 12X ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭出现的次数.求{}1P Y =.(8分)19. 设X 的概率密度为,02(),240,ax x f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其他,已知(){}32,13,4E X P X =<<=,,.a b c 求(8分)20. 袋中有6只全新的乒乓球,每次比赛取出2只用完之后放回,已知第三次取得的2只球都是新球,求第二次取到的只有1只新球的概率. (8分)21. 某保险公司经多年的资料统计表明索赔户中被盗赔户占20%,在随意抽查的10000家索赔户中被盗的索赔户设为随机变量X ,试用中心极限定理估计被盗索赔户在1920户到2080户之间的概率. ()()()()2.50.994,20.977,0.6250.732ΦΦΦ===(8分)22.设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数.已知取得样本值1231,2,1x x x ===,试求θ的最大似然估计值. (8分)23.有一批枪弹,出厂时,其初速2(950,10)v N :,经过较长时间储存,取9发进行测试得x =945 米/秒.问这批枪弹得初速度是否有显著变化()0.1α=?()0.050.11.645, 1.28u u ==(8分)一.判断题(5210⨯=分分)× × × √ × 二.选择题(5315⨯=分分)B D D D B三.填空题(5315⨯=分分)11、9 12、2313、4 14、6. 15、(,1)F n 四.计算题(共60分)16. 解:因为1,412()80,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,(2分)所以{}{}{}122613036066.84P P X P X X dx ∆≥=-≥=≤-≥==⎰或(4分) 17. 解:因为,X Y 相互独立,所以13=13α+⨯23,29=29β+⨯23(4分)所以α=16,β=19.(2分)18. 解:因为12011224P X xdx ⎧⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰,(3分)所以1(4,),4Y b :(3分){}131413271.4464P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分) 19. 解: 22()0.7,()0.7,()0.5,()0.5,E X E X E Y E Y ====Q (2分)()0.21,()0.25D X D Y ∴== (2分)()0.2,(,)()()()0.15E XY COV X Y E XY E X E Y =∴=-=-Q (2分)所以XY ρ∴=== (2分)20. 解:设i A ,i 表示第二次取到只新球0,1,2i =;A 表示第三次取到2只新球.()()()21122244012222666186,,151515C C C C P A P A P A C C C ======()()()222342012222666631|,|,|151515C C C P A A P A A P A A C C C ======.(2分)()16836136151515151515225P A =⨯+⨯+⨯=.(3分) ()18321515|.363225P A A ⨯==(3分) 21. 解: 因为(10000,0.2)X b :,所以()()2000,1600E X D X ==(4分) 所以{}()200019202080222210.954.40X P X P Φ-⎧⎫≤≤=-≤≤=-=⎨⎬⎩⎭(4分)22. 解: ()2252(1)2(1)L θθθθθθθ=⋅-⋅=-,()ln ln 25ln ln(1)L θθθ=++-(4分)()ln 5101d L d θθθθ=-=-,所以5.6θ=)(4分)23. 解: 提出假设0010:,:H H μμμμ=≠拒绝域为2αμμ≥,2αμ≥(4分)又因为00.05945,950,10,9, 1.645x n μσμ=====,所以21.5,x u u αμ==-≤,所以拒绝0H ,枪弹的初速度无显著变化. (4分)。

哈尔滨工业大学《概率论与数理统计C》2017年期末试题

一、填空题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分）1. 设事件 ,A B 满足()()P AB P A B =，且()=P A p ，则()P B = . 2. 设二维随机变量(,)X Y 的分布列为且(0)0.4≠=P XY ，(0|0)2≤≤=P Y X ，则 (,,)a b c = .3. 设随机变量X 和Y 的联合概率密度为(23)e ,0,0,(,)0,-+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他.x y A x y f x y 则()E XY = .4. 设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布221212(,;,;)N μμσσρ，其中11μ=，22μ=，212σ=， 228σ=，0.2ρ=，则2-X Y 服从的分布为 . 5. 某旅行社随机访问了25名游客，得知其平均消费额80x =元，样本标准差12s =元，若已知旅行者消费额服从正态分布，则评价消费额μ的95%置信区间为 . (0.0250.0250.05(24) 2.0639(25 2.0595 1.70)8)1(25t t t ===，；)二、选择题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分）1. 设0()1P A <<，()0P B >，且(|)(|)P B A P B A =，则必有（）（A ）(|)(|)P AB P A B =；（B ）(|)(|)P AB P A B ≠；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()()P AB P A P B ≠.2. 下列函数可作为连续型随机变量概率密度的是（）.（A ）sin , π3π2()0, ≤≤⎧=⎨⎩其他x x f x ；（B ）sin π3π2() 0 -≤≤⎧=⎨⎩，，其他x x g x ；（C ）cos π3π2() 0 ϕ≤≤⎧=⎨⎩，，其他x x x ；（D ）1cos π3π2() 0 -≤≤⎧=⎨⎩，，其他x x h x .3. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<将（）.（A ）单调增大；（B ）单调减少；（C ）保持不变；（D ）增减不定.4. 设随机变量X 服从指数分布，250X X Y <<⎧=⎨⎩，，其它的分布函数（）.（A ）是连续函数；（B ）至少有两个间断点；（C ）是阶梯函数；（D ）恰好有一个间断点.5. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布， X 和2S 分别为样本均值和样本方差，下列不是无偏估计的是（）（A ）X ；（B ）22133X S -；（C ）211+22X S ；（D ）24133X S -.三、（8分）甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球，从甲袋中取出一个放入乙袋，再从乙袋中任取一个，若放入乙袋的球和从乙袋中取出的球是同色的，求放入乙袋的是黑球的概率.四、（8分）设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为e ,0;(,)0,-⎧<<=⎨⎩其他，y x y f x y 求（1）在X x =条件下，Y 的条件概率密度；（2）Z Y X =-的概率密度.五、（8分）设随机变量X 与Y 的联合概率密度为24,(,);(,)0,xy x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其他，其中G 为坐标轴与直线10x y +-=所围的三角形区域，计算()E X ，()D X ，以及X 与Y 的相关系数ρ.六、（12分）设总体X 的概率密度为3()3e ,;(;)0,θθθθ--⎧>=⎨≤⎩，x x f x x 12,,,n X X X 为来自此总体的样本，求（1）θ的矩估计1θ与最大似然估计2θ；（2）判断1θ与2θ是否为无偏估计，如果不是请分别相应给出修正后的无偏估计；（3）比较（2）中无偏估计的有效性.七、（4分）某射手的射击命中率为3/4，现对一目标连续射击，直到第二次命中为止，令X 表示第二次为止所用的射击次数，求X的概率分布，并计算X的期望.。

哈尔滨工业大学00级《概率统计》期末考试试题

哈尔滨工业大学2000级《概率统计》期末考试试题一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3）设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4）设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P ab若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.（5）设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ⊃⊃，故ABC C = 同理 A B C A B=. ()()()0.20.50.50.45P A B C A B C P CP A B +=+=+⨯=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()(|)()()()P AB P B P B A P A P B P B ==+ 22223322122222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =⋅==⋅=所以 21(|)2P B A =.（3）~(4,),Y B p其中 10.52201(0.5)24p PX x d x x =≤===⎰，113341,44444E Y D Y =⨯==⨯⨯=， 2215()144EY DY EY =+=+=.（4）(,)X Y 的分布为X Y 1 2 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.50.60.4这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+⨯=，0.5EY =故 c o v (,)0.80.7XY E X Y E X E Y =-=-=.（5）2216(){4}0.014S P S a P a >=>= 即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （）（2）设随机变量X 的概率密度为2(2)41(),2x f x ex π+-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A ）1/2, 1.a b == （B ）2/2, 2.a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D ）2/2, 2.a b ==- （）（3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为 010.40.6X P 010.40.6Y P则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （）（4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （）（5）设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（A ）/2/244(,).x u x u n n αα-+ （B ）1/2/222(,).x u x u n nαα--+（C ）22(,).x u x u n n αα-+ （D ）/2/222(,).x u x u n nαα-+ （）解（1）由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C. （2）222[(2)](2)2(2)411()222x x f x eeππ--+--==即 2~(2,2)X N - 故当 12,222a b -==-= 时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.（3）()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.（4）[()]E E EX EX = 应选C.（5）因为方差已知，所以μ的置信区间为 /2/2(,)X u X u nnαασσ-+应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

哈尔滨工业大学概率论与数理统计第四章多维随机变量及其分布课件

联合分布与边缘分布的关系
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合分布列为
P ( X x i,Y y j ) p i,ji ,j 1 , 2 ,
则(X,Y)关于X的边缘分布列为
P (X x i) p i• p i,j i 1 ,2 ,
3．对任意x, y有 F( , y ) lim F( x, y ) 0, x F( x,) lim F( x, y ) 0, y
F( ,) lim F( x, y ) 0, x y
F( ,) lim F( x, y ) 1; x y
4． F ( x , y ) F ( x 0 , y ) F ( x , y , ) F ( x , y 0 )
j
(X,Y)关于Y 的边缘分布列为
P ( Y y i) p • jp i,j j 1 ,2 ,
i
二维离散型随机变量( X, Y )的分布函数可表示如下：
F (x ,y)P (X x ,Y y) P (X x i,Y yj) x i xyj y
p ij x i xyj y
其中和式是对所有满足 xix,yjy的i, j 求和。
飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等.
若 X 1 ( e ) X 2 ( e , ) X , n ( e ) 是定义在同一个
样本空间S上的n个随机变量，e∈S,则由它们构
成的一个n维向量（ X 1 ( e ) X 2 ( e , ) X , n ( e ) ）
称为n维随机变量，或n维随机向量，简记为
连续型随机变量函数的分布例4连续型随机变量和的分布zxy化成累次积分得固定y对方括号内的积分作变量代换令xuy得变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系的对称性fzz又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式

哈工大概率论练习题

哈工大概率论练习题第一章随机事件与概率4.已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16,则A,B,C 都不发生的概率为_____5. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概率要等，则P(A)=____6. 设A,B,C 两两独立，则A,B,C 相互独立充分必要条件是（）A. A 与BC 独立B.AB 与A ∪C 独立C. AB 与AC 独立D. A ∪B 与A ∪C 相独立7. 设事件A,B 满足P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A )=0.6, 则P （A ∪B ）=_____8. 事件 A,B 满足P(A)=P(B)=0.5,P(A| B )=P(B)，则下列正确的是（）A. P(AB)=0.25B. P(A-B)=0.75C. P(A B -)=0.5D. P(A ∪B ) =19. 设事件A,B 仅发生一个的概率为0.3, 且P(A)+P(B)=0.5,则A,B 至少有一个不发生的概率为_____10. 设事件A,B 相互独立，事件B,C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且P(A)=P(B)=0.5, P(C)=0.2,则事件A,B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为_____11. 设A,B,C 为三个事件且A,B 相互独立，则以下结论中不正确的是（）A. 若P(C)=1,则AC 与BC 也独立B. 若P(C)=1, 则A ∪C 与B 也独立C. 若P(C)=1,则A-C 与A 也独立D. 若C 属于B,则A 与C 也独立12. 若事件A,B,C 相互独立，且P(A)=0.25,P(B)=0.5,P(C)=0.4,则A,B,C 至少有一个不发生的概率是_______13. 设事件A 和B 满足P(B|A)=1,则（）A. A 是必然事件B. P (A|B ) =0C. B ?AD. A ?B14. 在投掷一枚均匀硬币的4次独立试验中，若已知至少1次已经反面朝上，则这时得到至少 3次正面朝上的概率为______15. 已知P （B ）>0,A 1A 2=￠,则下列各式中不正确的是（）A. P(A 1A 2|B)=0B. P(A 1∪ A 2|B)=P(A 1|B)+P(A 2|B)C. P (1A 2A |B)=1D. P(1A ∪2A ｜B)=116.设A,B 为两事件，且P(A)=P,P(AB)=P(AB ),则P(B)=_____17.设A,B 为两个事件，P(A)≠P(B)>0,且B 属于A,则（）一定成立 A. P(A|B)=1 B.P(B|A)=1 C. P(B|A ) =1 D. P(A|B )=018. 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8则P(A ∪B)=_____19. 设事件A 与BA 互不相容，且P(A)=P, P(B)=q, 求下列事件的概率,则P(A B )=______20. 5人以上以摸彩的方式决定谁能得一张电影票，今设Ai 表示第 i 个人摸到(i=0,1,2,3,4,5)，则下列结果中有一个是对的，它是（）A. P(A 3|1A 2A )=1/3B. P(1A A 2)=1/5C. P(1A A 2)=1/4D. P(A 5)=1/521.若P(A|C )≥P(B|C),P(A|C )≥P(B|C ) 则下列（）成立A. P(A) ≥P(B)B. P(A)=P(B)C. P(A)≤P(B)D.P(A)=P(B)+P(C)22. 设相互独立的三个事件A,B,C 满足条件：P(A)=0.4 ,P(B)=0.5 ,P(C)=0.5,则P(A-C|AB ∪C)=______23.设AB ?C,则（）成立 A. C ?AB B. A ?C 且B ?C C.B A ? C ? D.A C ?或B ?C24. 已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/8,P(ABC)=1/16,则A,B,C 恰有一个发生的概率为_______25. 设A,B 为任意两个事件，则下列关系成式立的是（）A. (A ∪B )-B=AB. (A ∪B )-B ?AC. (A ∪B )-B ?AD. (A-B) ∪B=A26. 设事件A,B 满足P(B|A)=P(B |A )=0.2,P(A)=1/3,则P(B)=____27. 对于任意两事件A,B ，与A ∪B=B 不等价的是（）A. A ?BB. B ?AC. A B =￠D. A B=￠28. 设事件A,B 满足：P(B|A)=P(B |A )=1/3,则P(B)=______29. 设0<p(a)<1,0<p(b)<="">A. A 与B 独立B. P(B|A)=P(B|A )C. A 与B 互不相容D.P(A|B )=P(A|B)30. 在区间（0，1）中随意地取两个数则“两数之和小于6/5”的概率为_______31. 在一张打上方格的纸上随机地投一枚硬币，若方格的长度为a,硬币的直径为2b(2b<a)且硬币落在每一处的是等可能的则硬币与方格线不相交的概率为_____< p="">32. 在有三个小孩的家庭中,已知至少有一个女孩子,求该家庭中至少有一个男孩子的概率_______33. 两人约定上午9点到10点在公园见面，试求一人要等另一个人半小时以上的概率_____34. 随机事件A ?B,0<p(a)<="">A. P(A ∪B)=P(A)B. P(AB)=P(A)C. P(B-A)=P(B)-P(A)D. P(B|A)=P(B)第二章条件概率与独立性1. 某炮台上有三门炮，假定第一门炮的命中率为0.4,第二门炮的命中率为0.3，第三门炮的命中率为0.5,今三门炮向同一目标各发射一发炮弹，结果有两弹中靶，求第一门炮中靶的概率？2.甲袋中有2个白球，3个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球，从甲袋中取出一个放入乙袋，再从乙袋中任取一个，若放入乙袋的球和从乙袋中取出的球是同色的，求放入乙袋的是黑球的概率？3.袋中有8个正品，2个次品，任取3个，取后不入回，若第3次取到的次品，求前2次取到的是正品概率。

哈工大概率论参考答案习题

习题一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

哈工大2021年概率统计试题及答案

哈工大2021年概率统计试题及答案2021年哈工大概率统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设P?A??P?B??0.7，且A,B只发生一个的概率为0.5，则A,B都发生的概率为________________ ．?e-x，x?0X2．设随机变量X的概率密度为fX(x)??，则随机变量Y?e的概率密度为?0,x?0fY(y)?______________ _ _ ．3．设随机变量X, Y的相关系数为0.5，EX?EY?0,EX2?EY2?2，则E(X?Y)2?．4．生产一个零件所需时间X?N(?,?2)，观察25个零件的生产时间得x?5.5秒，样本标准差s?1.73秒，则?的置信度为0.95的置信区间为__________________． 5．设随机变量X, Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则P{max(X,Y)?1}?______ ．注：可选用的部分数值：t0.05(24)?1.7109, t0.025(24)?2.0639,t0.025(25)?2.0595,?（1.96）?0.975，?（1.645）?0.95.二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设0?P?B??1,P(A|B)?P(A|B)?1，则（A）A,B互不相容.（B）A,B互为对立事件. （C）A,B相互独立.（D）A,B不独立.【】 2．下列函数可作为随机变量的分布函数的是?x, x?01?Fx?,???x???（A）??．（B）F(x)??1?x ．1?x2?? 0, x?0（C）F(x)?e,???x??．（D）F(x)?-x31?arctanx,???x??．【】42?3．设X1, X2, ?, Xn为来自总体N(1,22)的一个样本，其中X为样本均值，则下列结论中正确的是11n1n222（A）??Xi?1?~??n?．（B）??Xi?1?~F(n,1)．4i?14i?1（C）X?1X?1（D）【】 ~N?0,1?．~t(n)．2/n2/n144．设随机变量X~U[0, 6]，Y~B(12, )，且X,Y相互独立，则根据切比雪夫不等式有P(X?3?Y?X?3)?__________．（A）1335．（B）．（C）．（D）．【】 4541225．设X1, X2, ?, Xn是来自总体N(?, ?2)的简单随机样本，X与S分别为其样本均值和样本方差，则下列结论正确的是（A）2X2?X1~N(?,?)．（B）2nX??S2??2~F(1,n?1)．（C）S2?2X??~?2?n?1?．n?1~t(n?1)．（D）【】S三、（9分）某人外出可以乘坐飞机，火车，轮船，汽车四种交通工具，其概率依次为0.05,0.15,0.30,0.5，而乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为0.80,0.70,0.60,0.90，求：（1）该人如期到达的概率；（2）已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。

哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案A卷(2006)

第1页一、判断题(每小题2分,共10分)1、()0P A =,则A 为不可能事件. ( )2、设X Y 与相互独立,则X Y 与一定不相关. ( )3、µµ12,θθ为θ的两个估计量,µµ12()(),D D θθ<则µ1θ更有效. ( ) 4、A B 与互不相容,则A B 与互不相容.( ) 5、假设检验中,弃真表示事件{接收01H H 真}. ( ) 二、选择题(每小题3分,共15分) 6、设,A B 为两个事件,则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为( )()()()()A ABB AB ABC A BD AB U U7、设X Y 与相互独立,()4,()1,D X D Y == 则(23)D X Y -=( )()5()11()7()25A B C D 8、设(0,1),21X N Y X =-:,则Y : ( ) ()(0,1)()(1,4)()(1,3)()(1,1)A N B N C N D N ---9、设总体212(2,4),,,,n X N X X X :L 为X 的样本,则下列结果正确的是( )22()(0,1)()(0,1)416X X A N B N ::-- 2()(0,1)((0,1)2X C N D N ::-10、设2(),()E X D X μσ==,由切比雪夫不等式得{3}P X μσ-≥≤ ( )第2页 1218()()()()339A B C D三、填空题(每小题3分,共15分)11、设X 的概率密度为41,0(),40,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()D X =____________.12、设事件A B 与相互独立,()0.4,()0.7,P A P A B ==U 则()P B A = ______13、设()X πλ:,且{2}{3},P X P X ===则λ=____________.14、设(,)X Y 的概率密度为:,01(,),0,cx x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则c =_________.15、设(),X t n :则2X :______________.四、计算题(共60分)16、(6分)设()4,10X U :,求关于t 的方程2160t Xt -+=有解的概率.17、(6分)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下: 问α,β取何值时, ,X Y 相互独立?……………密………………………………封……………………………………装………………………………订…………………第3页18、(8分)设X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他,Y 表示对X 三次独立重复观察事件12X ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭出现的次数.求{}2P Y =.19、(8分)设随机变量(,)X Y 的分布律为求XY ρ.20、(8分)袋中有6只全新的乒乓球,每次比赛取出2只用完之后放回,已知第三次取得的2只球都是新球,求第二次取到的也是2只新球的概率.………………密………………………………封………………级学号姓名………………………………装………………………………订………………第4页21、(8分)某保险公司经多年的资料统计表明索赔户中被盗赔户占20%,在随意抽查的10000家索赔户中被盗的索赔户设为随机变量X ,试用中心极限定理估计被盗索赔户在1900户到2100户之间的概率.()()( 2.50.994,20.977,ΦΦ==()0.625Φ0.732)=其中(01)θθ<<为未知参数.已知取得样本值121,2,x x ==31x =,试求θ 的矩估计值. 23、有一批枪弹,出厂时,其初速2(950,10)v N :,经过较长时间储存,取9发进行测试得x =928米/秒.问这批枪弹的初速度是否有显著变化()0.1α=?()0.050.11.645, 1.28u u ==(8分)………………密……………封………………………………线…………………学院专业级学号姓名………………………………装………………………………订………………………………线…………………第5页一.判断题(5210⨯=分分)× √ × × × 二.选择题(5315⨯=分分)C D B B C三.填空题(5315⨯=分分)11、16 12、0.5 13、3 14、6. 15、(1,)F n四.计算题(共60分)16. 解:因为1,410()60,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他, (2分)所以{}{}{}102811064088.63P P X P X X dx ∆≥=-≥=≤-≥==⎰或 (4分) 17. 解:因为,X Y 相互独立,所以19=19α+⨯13,118=118β+⨯13 (4分)所以α=29,β=19.(2分)第6页18. 解:因为12011224P X xdx ⎧⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰, (3分)所以1(3,),4Y b :(3分){}2231392.4464P Y C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ (2分) 19. 解: 22()0.6,()0.6,()0.5,()0.5,E X E X E Y E Y ====Q (2分)()0.24,()0.25D X D Y ∴== (2分)()0.1,(,)()()()0.2E XY COV X Y E XY E X E Y =∴=-=-Q (2分)所以3XY ρ∴===- (2分)20. 解:设i A ,i 表示第二次取到只新球0,1,2i =;A 表示第三次取到2只新球.()()()21122244012222666186,,151515C C C C P A P A P A C C C ======()()()222342012222666631|,|,|151515C C C P A A P A A P A A C C C ======.(2分)()16836136151515151515225P A =⨯+⨯+⨯=.(3分)()01611515|.366225P A A ⨯== (3分)21. 解: 因为(10000,0.2)X b :,所以()()2000,1600E X D X ==(4分) 所以{}()200019002100 2.5 2.52 2.510.988.40X P X P Φ-⎧⎫≤≤=-≤≤=-=⎨⎬⎩⎭(4分) 22. 解:()221()122(1)3132E X μθθθθθ==⋅+⋅-+⋅-=- (4分)第7页()11412133A =++=4532,.36θθ∴-==) (4分)23. 解: 提出假设0010:,:H H μμμμ=≠拒绝域为2αμμ≥,2αμ≥(4分)又因为00.05928,950,10,9, 1.645x n μσμ=====,所以26.6,x u u αμ==-≥,所以拒绝0H ,枪弹的初速度有显著变化. (4分)。

哈尔滨工业大学《概率论与数理统计》历年期末考试

n
i 1, n ，则 b ai X i i 1
~
N b
n i 1
ai i ,
n i 1
ai2 i 2
亦为正态变量(
a1,, an不全为0
3分
)且
五、解： X ~ B(2, 1) Y ~ U[0,1] 3
0, x 0
FY
(
y
)
x,
0 x 1
1, x 1
FZ (z) P(Z z) P(X Y z)
于是有：
A Ai A i 1
P(A)
i 1
P( Ai )P( A Ai )
i 1
i i!
e (1)i 2
e
( )i 2
e (e 2
1) e 2
e
i1 i!
2分 2分
2011年《概率论与数理统计》期末考试试题及答案解析
一、填空题（每小题 3 分，共 5 小题，满分 15 分）
(z)
n
2
1 1
(
2z 2 1
) n1 ,1
z
2
0,
其它
EZ
2 1
zf Z
( z )dz
2 n 1
n
n
11
1, 但EZ
1(n
)
x(1)为1的渐进无偏估计。
4分
七、解：令 A. 表示器皿产生了甲类细菌而没有产生乙类细菌事件，而 Ai 表示产生了 i 个细菌的事件（ i 1,2,3,）。
于是 1 , 2
矩估计为
ˆˆ12
x x
3s 3s
s s2
4分 4分
（2）似然函数
Lx1,,
xn ;1 , 2

概率论与数理统计考试试卷(经,A卷)及参考答案

哈尔滨工业大学2017—2018年度第I 学期概率论与数理统计考试试卷(经,A 卷)及参考答案一. 填空题(每空两分,共30分)1. 若B A ,为随机事件，且6.0)(=A P ,2.0)(=-A B P .当A 与B 相互独立时, =)(B P 0.5 ；A 与B 互不相容时,=)(B P 0.2 。

2. 若每次试验时A 发生的概率都是2.0，X 表示50次独立试验中事件A 发生的次数，则=)(X E 10 ，=)(X Var 8 。

3. 若随机变量X 只取2±,1之三个可能值,且15.0)2(=-=XP ,5.0)1(==X P 。

则=)(X E 0.9 ，=)(X Var 1.69 。

4. 若随机变量21,X X 相互独立,且1X ～)3,3(2N ，2X ～)2,1(2N 。

令212X X X -=，则=)(X E 1 ，=)(X Var 25 ，)1(>X P ＝ 0.5 。

5. 若n X X X ,,,21Λ为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记 ∑==ni i X n X 11，212)(11X X n S ni i --=∑=. 则σμ/)(-X n ～)1,0(N , 2/)(S X n μ-～1-n t , 22/)1(σS n -～21-n χ。

进一步，记αZ 为标准正态分布上α分位点，)(αm t 为自由度为m 的t 分布上α分位点,)(2αχm 为自由度为m 的2χ分布上α分位点,m 为自然数，10<<α为常数。

当2σ已知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为])/(,)/([2/2/αασσZ n X Z n X +-；当2σ未知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为)]2/()/(),2/()/([11αα--+-n n t n S X t n S X , 2σ的置信系数为α-1的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)2/1()1(,)2/()1(212212αχαχn n S n S n 。

哈工大概率论与数理统计课后习题答案四

习题四1 •一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字 1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以 X,Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求（X,Y ）的分布列•解（X,Y ）的分布列为12 1 4 36余者类推。

2 •将一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y ）的分布列及边缘分布列。

一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故 X 〜B （3,丄）.2其中 P(X 1, Y 1)X ”1 2 3 11 16 12 21 1 16 6 61 1312 6P(X1)P(Y 1| X 1) P(X 1, Y 2) P(X 1)P(Y 2| X 1)2 2P(X 1, Y 1) P(X 1)P(Y 1|X 1) 余者类推。

3 •设(X,Y)的概率密度为 1 (6 x y), 0 x f (x,y) 80 2, 2 y4, ,其它. 又( 1) D {(x,y)|x 1,y 3}; (2) {(x, y)|x 1 3}。

求 P{(X,Y) D}P{( x,y) D} 解 (1) P{(X,Y) 1 8 1 6 - 21 8 5 24设(X,Y)的概率密度为 D} 求(1) 1 0x(1 C(R J x 2 y 2), 0 2系数C ；(2)(X,Y)落在圆x f(x,y) (1 ) 1 C x 2 (R , x 2 y 2 R 2 312 83 8 1 (2)设 D(6 y)dxdxy x)dx R 32 R3 3{( x,y)|xP{(X,Y) D}x 2x 1 8(6 1[(3 0x y)dxdy2 x 其他.2 r (r R)内的概率 y 2)dxdy C R3 2r ｝，所求概率为r 2x)24]dx R 2, £(R 、X 2 y 2)dxdy RR r 2drd5 •已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为求x 和Y 的联合分布函数.解i 设(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则f x (x) 2x,其他x If Y (y)2y,其它 1,0 ,其他；0 ,其它.I , x 1. 0, y 0, y 2, 0y 1, 1 ,y 1.3R 3Rr 2乙丄至1兰R 3Rf (x, y)4xy, 0 x 1,0 0 ,其它.x yF(x, y)f(u,v)dudvx 0y4uvdudv 0 x 1, 0 y 1,x 10 04uydudy0 x 1, y 1,1 y0 4xvdxdv x 1, 0 y 1,0, x 2 2x y , 0 2x ,0 2y , x 1,x 1, y 1.0 或 y 0, x 1, 0 y 1, x 1, y 1, 1,0 y 1, 1, y 1.解2由联合密度可见,X,Y 独立，边缘密度分别为边缘分布函数分别为F X (x), F Y (y)，则F x (x)xf x (u)du0, xx 2, 00, x 1,0 ,x 0 或 y 0,yF Y (y) f x (v)dv22x设(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则 0, x 0 J或 y 0,2 2x y , 0 x 1, 0 y 1 F(x, y) F x (x) F Y (V )x 2, 0 x 1, y 1, 2 y , x 1, 0 y1,1, x 1, y 1.6 •设二维随机变量 (X,Y) 在区域D : 0 x率密度。

哈工大概率论2022年秋季学期期末考题及答案

哈工大概率论2022年秋季学期期末考题及答案哈工大2022年秋季学期概率论与数理统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设大事A 、B 互相自立，大事B 、C 互不相容，大事A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则大事A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 听从参数为2的指数分布，则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -?>?=??≤?，利用契比雪夫不等式估量概率≥+=0,00,11)(2x x x第1页/共10页x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x =?≤? . 【】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则【】（A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n -（D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时光内来到百货公司的顾客数听从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机互相自立，试求=A “该段时光内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。

四、（8分）设随机变量[]~0,1X U ，求（1）241Y X X =-+的概率密度()Y f y ；（2）X 与Y 的相关系数XY ρ.第2页/共10页五、（8分）设随机变量X 和Y 的分布列分离为X 0 1 Y —1 0 1P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3且1)(22==Y X P ，求（1）二维随机变量),(Y X 的概率分布；（2）XY Z =的概率分布；（3）X 与Y 的相关系数XY ρ.六、（12分）设随机变量X 与Y 互相自立,且分离听从正态分布)2,(σμN 和)22,(σμN ,其中σ为未知参数且0σ>. 记Y X Z -=.（1）求的概率密度Z 2(;)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 为来自总体Z 的容易随机样本, 求2σ的最大似然估量2σ∧第3页/共10页;（3）证实2σ∧是2σ的无偏估量量。

哈工大概率论与数理统计模拟试题(四)