高等数学极限习题100道
高等数学极限习题500道汇总
．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim)()(11110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：， ．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx →+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（ ） ． ． ． ．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在 ． ． ．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（ ）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（ ）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是： 不存在 答（ ）limx xeA B C D →+015353054答（ ） ，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（ ） 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（ ） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f ex f x，则设 答（ ） 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlimcos ln ....x a xxa A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π____________cos 13lim 20的值等于xxe e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x b x b a x 4313)(lim1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim0)(lim 0x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是 ．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a nn ． ：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []之值．求极限3sin 01)(cos limx x xx -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
高等数学极限习题100道
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0)sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。
f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。
f x xx x f x ()tan ()=2．该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +设 其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()limsincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim (ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x x x x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b kS ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。
极限练习(基础题)
极限练习(基础题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二章 极限与连续一、判断题1. 若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=，则 )(x f 必在 0x 点连续； （ ）2. 当0x →时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小； （ ）3. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→= ；（ ）4. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在 0x = 点连续； （ ） 5. 1=x 是函数 122--=x x y 的间断点； （ ） 6.()sin f x x = 是一个无穷小量； （ ）7. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量； （ ） 8. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义； （ ）9. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；（ ）10. 21sin lim0=+→x x x x ； （ ）11. 01lim sin 1x x x→= ； （ ）12. 22lim(1)x x e x-→∞+= ；（ ）13. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；（ ）14. 当0x +→x ；（ ）15. 函数 1()cos f x x x= ，当 x →∞ 时为无穷大；（ ）16. sin lim 1x xx→∞= ；（ ）17. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量；（ ）18. ln(1)x +~x ； （ ） 19. 1lim sin1x x x→∞= ；（ ） 20. 0tan lim1x xx→= . （ ）二、单项选择题1、=+-+-→45127lim 224x x x x x （ ） A ．1 B ．0 C ．∞D ．312、 hx h x 220h )(lim -+→ =( )。
极限计算练习题
极限计算练习题极限计算是高等数学中的一个重要概念，它涉及到函数在某一点或无穷远处的行为。
以下是一些极限计算的练习题，供学习者练习和检验自己的极限计算能力。
1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
2. 求函数 \( f(x) = x^2 - 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的左极限和右极限，并判断极限是否存在。
3. 计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 5}{x^2 + 4}\)。
4. 求 \(\lim_{x \to 1} (x^3 - 3x^2 + 2x - 1)\)。
5. 判断函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处是否有极限，并说明理由。
6. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
7. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}\)。
8. 计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)。
9. 求 \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}\)。
10. 计算 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1}\)。
11. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
12. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\)。
13. 判断函数 \( f(x) = x^3 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \)在 \( x = 0 \) 处是否有极限。
14. 求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)。
15. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2}\)。
极限练习题含答案
极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。
下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。
练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以\( x^2 \)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当\( x \)趋近于1时，\( x - 1 \)趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以\( \sin x \)，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当\( x \)趋近于无穷大时，\( \sin x \)的值在-1和1之间波动，但相对于\( x \)来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。
（完整版）函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。
4、设)(x f 的定义域是的定义域是[0[0[0，，1]1]，则，则)(sin x f 的定义域为。
5、设)(x f y =的定义域是的定义域是[0[0[0，，2] ，则)(2x f y =的定义域为。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n n nn nn n n Λ。
1010、函数、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。
1111、、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
1212、、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
1313、函数、函数23122+--=x x x y 的间断点是。
1414、当、当+∞→x 时，x 1是比13+-+x x 的无穷小。
1515、当、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
1616、函数、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
1717、设、设113--=x x y，则x=1为y 的 间断点。
1818、已知、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
1919、设、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
2020、曲线、曲线2sin 2-+=xx x y 水平渐近线方程是 。
高数极限习题及答案
练习题1. 极限xx x x x x x x xx x x x x x 1lim)4(11lim)3(15865lim )2(31lim )1(2312232---+-+-+++-∞→→→∞→(5) 已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→(8) xx x21lim 0-→ (9)x x x sin )31ln(lim 0-→(10)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1xx e x2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x e x b x x f y x 在x =0点连续.(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x xx f sin )(=② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x ex b x x f y x在x =0点连续.解:1)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x b a x ba x bx ax x x x f yb a x f x f b a f x x -====-+=-+→→)(lim 1)(lim 21)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 21)1(_111,0-==b a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x x x f sin )(=解: x =0为可去间断点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx解:1)(lim 1)(lim 0-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f <取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 若A x f ≡)(, 则显然结论成立.设存在A x f >)(0, 则存在X >0, 当X x ≥时, 有2)()(0Ax f A x f -<- 于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ{})(],[:)(max )(0x f X X x x f f ≥-∈=ξ从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C AC x f <+<2)( 于是有CAC X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。
高数 上 习题及答案 极限
x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （ ）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （ ）
专升本函数极限的练习题
专升本函数极限的练习题### 专升本函数极限练习题#### 一、选择题1. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限为：- A. 1- B. 2- C. 无穷大- D. 不存在2. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是：- A. 0- B. 1- C. 无穷大- D. 不存在3. 函数 \(g(x) = x^3 - 3x\) 在 \(x = 2\) 处的导数是：- A. 9- B. 3- C. -1- D. 1#### 二、填空题1. 计算 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 5}{2x^2 + 1}\) 的结果为______。
2. 若 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)，则 \(\lim_{x \to 1}\frac{1}{x - 1}\) 的结果为______。
3. 已知 \(\lim_{x \to 0} f(x) = 5\)，若 \(f'(x) = 3x^2 + 2x\)，则 \(f'(0)\) 的值为______。
#### 三、解答题1. 求函数 \(h(x) = \frac{\sin 3x}{x}\) 在 \(x = 0\) 处的极限，并说明理由。
2. 计算 \(\lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 4)\)，并给出计算过程。
3. 已知 \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 存在，求其值。
#### 四、证明题1. 证明 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
2. 证明当 \(x > 0\) 时，\(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} =0\)。
#### 五、应用题1. 某工厂生产的产品数量随时间变化，若生产函数为 \(P(t) = 100t + t^2\)，求当时间趋于无穷大时，产品数量的增长速度。
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
(完整word版)高等数学极限习题100道
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x→+011求极限．limarctan x xxx →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞⋅1 求极限．lim x x x →-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。
f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。
f x xx x f x ()tan ()=2．该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121设 其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim(ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x xx x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 求的表达式．f x x x n nn ()lim =+→∞1 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。
(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
1、函数与函数相同．()12++=x x x f ()113--=x x x g 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴与函数关系相同，但定义域不同，所以与()12++=x x x f ()113--=x x x g ()x f 是不同的函数。
()x g 2、如果（为一个常数），则为无穷大．()M x f >M ()x f 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列是有界数列，但极限不存在()nn x 1-=4、，．a a n n =∞→lim a a n n =∞→lim 错误 如：数列，，但不存在。
()nn a 1-=1)1(lim =-∞→nn n n )1(lim -∞→5、如果，则（当时，为无穷小）．()A x f x =∞→lim ()α+=A x f ∞→x α正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果～，则．αβ()α=β-αo 正确 ∵，是1lim=αβ∴，即是的高阶无穷小量。
01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβαβα-α7、当时，与是同阶无穷小．0→x x cos 1-2x 正确 ∵ 2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 ．01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x 错误 ∵不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
xx 1sin lim 0→9、 ．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0错误 ∵ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 10、点是函数的无穷间断点．0=x xxy =错误 ，=-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x =+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点是函数的第一类间断点．0=x xxy =11、函数必在闭区间内取得最大值、最小值．()x f x1=[]b a ,错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，在处不连续()x f x1=0=x ∴函数在闭区间内不一定取得最大值、最小值()x f x1=[]b a ,二、填空题：1、设的定义域是，则()x f y =()1,0（１）的定义域是（ ）；()xef (,0)-∞ （２）的定义域是（ ）；()x f 2sin 1-,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭（３）的定义域是（ ）．()x f lg (1,10)答案：（1）∵ 10<<xe（2）∵ 1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x 2、函数的定义域是（ ）．()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f (]4,2-3、设，，则（ ）．()2sin x x f =()12+=ϕx x ()[]=ϕx f ()221sin +x 4、＝（ ）．nxn n sinlim ∞→x ∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设，则（ 2 ），（ 0 ）．()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩()10lim x f x →--=()=+→x f x 01lim ∵，()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x 6、设，如果在处连续，则（ ）．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ()x f 0=x =a 21∵，如果在处连续，则21cos 1lim 20=-→x x x ()x f 0=x ()a f x x x ===-→021cos 1lim 207、设是初等函数定义区间内的点，则（ ）．0x ()x f ()=→x f x x 0lim ()0x f ∵初等函数在定义区间内连续，∴()x f ()=→x f x x 0lim ()0x f 8、函数当（ 1 ）时为无穷大，当（ ）时为无穷小．()211-=x y x →x →∞ ∵，()∞=-→2111limx x ()11lim2=-∞→x x 9、若，则（ 1 ），（ ）．()01lim2=--+-+∞→b ax x xx =a =b 21-∵()bax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令，∴，012=-a 1a =±上式化简为∴()22112lim lim lim1x x x bab x a →+∞→+∞→+∞--+==+，，1a =021=+ab 12b =-10、函数的间断点是（ ）．()x x f 111+=1,0-==x x 11、的连续区间是（ ）．()34222+--+=x x x x x f ()()()+∞∞-,3,3,1,1,12、若，则（ 2 ）．2sin 2lim =+∞→x xax x =a ∴()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x 2=a13、（ 0 ），（ 1 ），=∞→x x x sin lim=∞→xx x 1sin lim （ ），（ ）．()=-→xx x 11lim 1-e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim ke ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x x x x x 111sinlim 1sinlim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(101)(1lim 1lim ---→→=-+=-e x x xx xx k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim 14、（不存在 ），（ 0）lim sin(arctan )x x →∞=lim sin(arc cot )x x →+∞=三、选择填空：1、如果，则数列是（ b ）a x n n =∞→lim n x a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数是（ a ）()()1log 2++=x x x f a a ．奇函数 b ．偶函数 c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当时，是的（ c ）0→x 1-xe x a ．高阶无穷小 b ．低阶无穷小 c ．等价无穷小4、如果函数在点的某个邻域内恒有（是正数），则函数在该邻域内（ c ()x f 0x ()M x f ≤M ()x f ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数在（ c ）条件下趋于.()x f x-=11∞+a ． b ． c ．1→x 01+→x 01-→x 6、设函数，则（ c ）()x f xxsin =()=→x f x 0lim a ．１ b ．－１ c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x 1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：不存在。
函数极限题库及答案详解
函数极限题库及答案详解1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当 \(x \to 0\) 时，分子分母同时趋向于0，可以应用洛必达法则。
对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\)。
2. 求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 +5}\)。
答案：当 \(x \to \infty\) 时，分子和分母的高次项将主导极限的值。
因此，\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3\)。
3. 求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
答案：这是一个0/0的不定式，可以进行因式分解，分子可以分解为\((x - 2)(x + 2)\)，因此原式变为 \(\lim_{x \to 2} (x + 2)\)，结果为4。
4. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
答案：根据e的泰勒展开式，\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \cdots\)，当 \(x \to 0\) 时，高阶项可以忽略，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)。
5. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
答案：根据泰勒展开，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} - \cdots\)，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 -\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2!} +\text{高阶项}}{x^2} = -\frac{1}{2}\)。
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设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x→+011求极限．limarctan x xx x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x→∞⋅1 求极限．lim x x x →-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。
f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。
f x xx x f x ()tan ()=2．该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121设 其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim(ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x xx x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 求的表达式．f x x x n nn ()lim =+→∞1 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。
f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞1121212222 ．的表达式，其中求01)1(1)1(lim)(≥+++++=∞→x x x x x x f nn n ．其中．求数列的极限)0( )(23)(23lim 11>>-+-+++∞→b a b a b a n n n n n求数列的极限．lim ()n n n n →∞⨯+⨯-53323 求数列的极限．lim()n n n →ℵ++++-123453212．，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞→q nq q q n n求数列的极限其中．lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥>11211231110 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅+⋅∞→)12)(12(1531311lim n n n 求数列的极限 ．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⋅+⋅∞→)1(1431321211lim n n n [])0( )1(321lim 222232>-++++∞→a n na n 其中求数列的极限．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n 求数列的极限．lim ()n n n n →∞+-+21[]求数列的极限．lim ()n n n n →∞++--2451．求数列的极限nn n n n n )1)(1(63lim 34+---+∞→．其中．求数列的极限)1( 2lim ≠+∞→a a a nnn ．求数列的极限)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ 求数列的极限．lim n n n →∞+1000012求数列的极限．lim n n n n n →∞++-+2243351 求数列的极限．lim()n n n →∞+-1求数列的极限．lim n n n n →∞++123)200( 2122lim≠>>+-+--+∞→b b a n b n n a n n 且，．求数列的极限求数列的极限．lim ()n n n n →∞--1212 求数列的极限． lim ()n n n n →∞-+-1213求极限．lim n n nn n →∞--⨯-⨯⨯+⨯2103103102102121．，，且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(00．试判定是否可得：B A >是否成立？为什么？，则，若0)()(lim 0)(1lim 0)(lim 000=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x[][]确定，之值，使，并在确定好，后求极限a b x x ax b a b x x x ax b x x lim()lim ()→+∞→+∞++-+=++-+347034722求极限．lim()x xx x x →∞+--11求极限．lim cos sin x x xx x →∞+-23求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222[]求极限．lim ()x xx x x →+∞++-+2251 求极限．lim ()x x x x →-∞-+++485212讨论极限．lim x x xx x e e e e→∞---+2343232 求极限．lim ()()()()()()()x x x x x x x x →∞-----++121314151233232 求极限．lim ()()()()()()x x x x x x x →∞+++++-⋅12131415153222222222335 求极限．lim ()()()x x x x →∞--+43326723425 求极限 ，．lim ()x x x a a a a →+∞+>≠1012 求极限．lim tan tan()x x x →⋅-ππ424为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→求极限．lim x x x x x →-+-+1343243 求极限．lim x x x x →-+-222564求极限．lim x x x →+--233222求极限．lim x x x x →--+-2251254求极限．lim x x x →+-0255 求极限lim ()()()()x x x x x →---++--0352312114132 求极限．lim ()()x x x x →+--02324211 ．为自然数，求极限)( )2(lim n m ax a a x n n mm a x ---→ 求极限lim ()()x x x x →+-+0531214 求极限．lim ()x x x→+-04131设f x ax a x ax a x a()()()=------2211222问：当为何值时，； 当为何值时，； 当为何值时，，并求出此极限值。
()lim ()()lim ()()lim ()1212301112a f x a f x a f x x x x →→→=∞=>求极限．limcsc cot x x x x →-0 求极限．lim cos x axx →-021求极限．lim tan sin x x x x →+-+0311 )20(tan tan lim π<α<α-α-α→ 求极限x x x 求极限 为常数，．lim sin cos sin cos ()x x xpx px p p →+-+-≠0110 讨论极限．lim cos x x x→-022．求极限x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→求极限．lim ln()x x x→+013．求数列的极限1)41(arctan lim 2+π-+∞→n n n n 求数列的极限．lim sin n n e n →∞．求数列的极限12sin 2lim -∞→πn n n 求数列的极限．lim (cos )n n n →∞-21π[] 答（ ） 存在不一定存在都存在，而，不一定存在存在，但不一定存在存在，但，则，上的单调增函数，，是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(00000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈．存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞→+=>>lim 011 。
存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞→++==lim 2211设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．x x x ax a x n n n n n 110120>=+>+→∞()()lim设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。
x x x x x x x x n nnn n 010*******==++=+++→∞lim存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++=lim )(131211222 .lim 1311311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211212==⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅<+→∞()()()()lim求极限．lim ...x x x x x x →∞+++++100101010010001232 {}．为定数）证明：适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n nn n x r r x xx求极限．limtan tan cos()x x xx →-+ππ3336求数列的极限．lim !n n n →∞2 ．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02lim =∞→n n n．求数列的极限)12111(lim 222nn n n n +++++∞→ ．求数列的极限1!sin lim32+∞→n n n n．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++∞→222)2(1)2(1)1(1lim n n n n 求极限．lim ln()ln()x x x e e →+∞++233223 求极限．lim ln()ln()x x x x x →∞++-+6325734 求极限．lim x x x x xx→+∞+++[]设，，当，当讨论及．f x xg x x x x x g x f g x x x ()sin ()lim ()lim ()==-≤+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪→→220200ππ [])()(lim , )()(lim )(lim 0000u f x f u f u f u x x x u u x x =ϕ==ϕ→→→证明：，设。