蝴蝶定理

中学数学几何一个重要的定理----蝴蝶定理

蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。

关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。

如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。

蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单

几何方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于

EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒

得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB :V V ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆:，AUM MVC ∠=∠

则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1]

证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○

1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即

PC'CQ =。又

111

CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222

∠∠（）（）

故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠

而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有

FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC 1ME DN CF

⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到

NA ND NC NB ⋅=⋅

得22

FM AN ND BF CF BF CF

ME AE ED BN CN AE ED

⋅=⋅⋅⋅=⋅

()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME

-==-+--

化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令

DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y

αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由

FCM AME EDM FMB

FCM EDM FMB AME

S S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，

即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ

αγβδ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

化简得 ()()()()222

222MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====

⋅⋅-+- 即 222

222x y a y a x -=-，

从而 ,ME MF x y ==。

证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对

MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有

()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA

αβαββαβα

++=+=+，

上述两式相减，得

()()()1

1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD

MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪

⋅⋅⎝⎭ 设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有

()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα

-==︒-=-==︒-=