函数逼近的基本概念
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(3) (u v, w) (u,w) (v,w), u,v,w X; (4) (u,u) 0,当且仅当u 0时，(u,u) 0. 则称(u,v)为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间称 为内积空间. (v,u)为(u,v)的共轭，当K R时 (v,u) (u,v).
定理 2 设X为一个内积空间，对u,v X , 有
三、内积与内积空间
Rn中向量x及y定义内积 : ( x, y) x1 y1 , xn yn. 定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对u,v X， 有K中一个数与之对应，记为( u, v )，并满足条件：
(1) (u,v) (v,u), u,v X;
(2) (u,v) (u,v), R;
||2
n
i
i 1
xi2
1/2
.
若x, y Cn，则定义加权内积
n
( x, y) i xi yi .
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,
; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
定理 1(维尔斯特拉斯) 如果f ( x) C[a,b], 那么 0,
多项式p( x),使得
| f ( x) p( x) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
Bn (
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
( x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
Biblioteka Baidu
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
i 1
2
，
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
1
|| f ||2 ab f 2( x)dx 2， 称为2 范数.
j1
j1
j1
n
( ju j ,uk ) 0, k 1, ,n.
j1
G非奇异 u1,u2, ,un线性无关(反证法)；反之亦然.
在内积空间X上可以由内积导出一种范数,即对u X ,记
|| u || (u,u)，
(1.10)
易证它满足范数定义的正定性和齐次性,而三角不等式由
Cauchy Schwarz不等式立得.
例1 考察Rn与Cn的内积和范数.
设x ( x1, , xn )T , y ( y1, , yn )T Rn，则定义
内积
( x,
y)
n
xi
i 1
yi；范数
||
x
||2
n
xi2
i 1
1/2
.
若给定i 0(i 1, , n)为权系数,则定义
内积
( x,
y)
n
i xi
i 1
yi；范数
||
x
(un , un )
称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是u1, u2, , un线性 无关.
证明：1) G非奇异 以G为系数矩阵的齐次线性方程组
n
n
( ju j , uk ) (u j , uk ) j 0,
j1
j1
只有零解。
k 1, ,n.
n
n
n
2) juj 0 ( juj , juj ) 0
Bn (
f
, x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x)
max
0 x1
f
n
( x) Pk ( x)
k0
,
故Bn( f , x)是稳定的.
n
而 lk ( x)无界,故拉格朗日插值Ln( x)不保证稳定性和
k0
收敛性.
函数逼近问题: 对f ( x) C[a,b], 求 * ( x) span{0, n},使得误差f ( x) * ( x)在某种度量意义下最小. 其中 0, ,n C[a,b]线性无关.
( 三角不等式)
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对Rn上的向量x ( x1, , xn )T，有 三种常用范数：
|| x || max | xi |， 称为 范数或最大范数，
1 i n n
|| x ||1 | xi ，| 称为1 范数,
| (u,v) |2 (u,u)(v,v).
(1.6)
称为Cauchy Schwarz不等式.
定理3 设X为一个内积空间，u1, u2, , un X , 矩阵
(u1, u1) (u2, u1)
G (u1, u2 ) (u2, u2 )
(u1, un ) (u2, un )
(un , u1) (un , u2 )
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素x1, , xn S,
如果存在不全为零的数1, ,n P,使得
1x1 n xn 0，
（1 .1）
则称x1, , xn线性相关. 否则,若(1.1)只对1 n 0成
立，则称x1, , xn线性无关.
S span{ x1, , xn}. Hn span{1, x, , xn}. 有限维空间 vs 无限维空间. Rn, C[a,b],
xk
(1
x)nk
,使得
lim Bn( f , x) f ( x)，在[0,1]上一致成立；
n
若f ( x) C m[0,1]，则 lim Bn(m)( f , x) f (m)( x).
n
其他性质：
Pk ( x)
n
0;
k0
Pk ( x)
n
n xk (1
k0 k
x)nk
1.
若 f ( x) ,x [0,1]，则
二、范数与赋范线性空间
定义2 设S是实数域上的线性空间，x S，如果存在唯一
实数 || ||，满足条件
(1) || x || 0, 当且仅当x 0时,|| x || 0;
(正定性)
(2) x || x ||, R;
( 齐次性)
(3) x y || x || || y ||, x, y S.
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
例2 设f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数,则可
定义内积
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx. 1,( f , g) ab f (x)g(x)dx.
容易验证内积定义中的四个性质，并导出范数
定理 2 设X为一个内积空间，对u,v X , 有
三、内积与内积空间
Rn中向量x及y定义内积 : ( x, y) x1 y1 , xn yn. 定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对u,v X， 有K中一个数与之对应，记为( u, v )，并满足条件：
(1) (u,v) (v,u), u,v X;
(2) (u,v) (u,v), R;
||2
n
i
i 1
xi2
1/2
.
若x, y Cn，则定义加权内积
n
( x, y) i xi yi .
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,
; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
定理 1(维尔斯特拉斯) 如果f ( x) C[a,b], 那么 0,
多项式p( x),使得
| f ( x) p( x) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
Bn (
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
( x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
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i 1
1
||
x
||2
n
xi2
i 1
2
，
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
1
|| f ||2 ab f 2( x)dx 2， 称为2 范数.
j1
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j1
n
( ju j ,uk ) 0, k 1, ,n.
j1
G非奇异 u1,u2, ,un线性无关(反证法)；反之亦然.
在内积空间X上可以由内积导出一种范数,即对u X ,记
|| u || (u,u)，
(1.10)
易证它满足范数定义的正定性和齐次性,而三角不等式由
Cauchy Schwarz不等式立得.
例1 考察Rn与Cn的内积和范数.
设x ( x1, , xn )T , y ( y1, , yn )T Rn，则定义
内积
( x,
y)
n
xi
i 1
yi；范数
||
x
||2
n
xi2
i 1
1/2
.
若给定i 0(i 1, , n)为权系数,则定义
内积
( x,
y)
n
i xi
i 1
yi；范数
||
x
(un , un )
称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是u1, u2, , un线性 无关.
证明：1) G非奇异 以G为系数矩阵的齐次线性方程组
n
n
( ju j , uk ) (u j , uk ) j 0,
j1
j1
只有零解。
k 1, ,n.
n
n
n
2) juj 0 ( juj , juj ) 0
Bn (
f
, x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x)
max
0 x1
f
n
( x) Pk ( x)
k0
,
故Bn( f , x)是稳定的.
n
而 lk ( x)无界,故拉格朗日插值Ln( x)不保证稳定性和
k0
收敛性.
函数逼近问题: 对f ( x) C[a,b], 求 * ( x) span{0, n},使得误差f ( x) * ( x)在某种度量意义下最小. 其中 0, ,n C[a,b]线性无关.
( 三角不等式)
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对Rn上的向量x ( x1, , xn )T，有 三种常用范数：
|| x || max | xi |， 称为 范数或最大范数，
1 i n n
|| x ||1 | xi ，| 称为1 范数,
| (u,v) |2 (u,u)(v,v).
(1.6)
称为Cauchy Schwarz不等式.
定理3 设X为一个内积空间，u1, u2, , un X , 矩阵
(u1, u1) (u2, u1)
G (u1, u2 ) (u2, u2 )
(u1, un ) (u2, un )
(un , u1) (un , u2 )
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素x1, , xn S,
如果存在不全为零的数1, ,n P,使得
1x1 n xn 0，
（1 .1）
则称x1, , xn线性相关. 否则,若(1.1)只对1 n 0成
立，则称x1, , xn线性无关.
S span{ x1, , xn}. Hn span{1, x, , xn}. 有限维空间 vs 无限维空间. Rn, C[a,b],
xk
(1
x)nk
,使得
lim Bn( f , x) f ( x)，在[0,1]上一致成立；
n
若f ( x) C m[0,1]，则 lim Bn(m)( f , x) f (m)( x).
n
其他性质：
Pk ( x)
n
0;
k0
Pk ( x)
n
n xk (1
k0 k
x)nk
1.
若 f ( x) ,x [0,1]，则
二、范数与赋范线性空间
定义2 设S是实数域上的线性空间，x S，如果存在唯一
实数 || ||，满足条件
(1) || x || 0, 当且仅当x 0时,|| x || 0;
(正定性)
(2) x || x ||, R;
( 齐次性)
(3) x y || x || || y ||, x, y S.
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
例2 设f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数,则可
定义内积
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx. 1,( f , g) ab f (x)g(x)dx.
容易验证内积定义中的四个性质，并导出范数