微弱信号检测课件6(高晋占 --清华大学出版)

6. 2 相关函数实际运算及误差
6. 2.1 相关函数实际运算 1．模拟积分
ˆ (τ ) = 1 T x(t )x(t − τ )dt Rx T ∫0 ˆ (τ ) = 1 T y (t )x(t − τ )dt Rxy T ∫0 1 N −1 ˆ Rx (k ) = ∑ x(n )x(n − k ) N n =0 1 N −1 ˆ Rxy (k ) = ∑ y (n )x(n − k ) N n =0
特点：Rxy (τ )不包含噪声的自相关项， 例如：Rxy (0 )反映S的平均功率，
∴可根据各种τ值的Rxy (τ )判断S的特征。 Rxy (∞ )反映S的直流分量及周期性。
例：火焰监视器
6. 5. 2 延时测量
y (t ) = x(t − D ) + n(t ) Rxy (τ ) = E [x(t − τ ) y (t )] = E [x(t − τ )[x(t − D ) + n(t )]] 令α = t − D， Rxy (τ ) = E [x(α − (τ − D ))x(α ) + x(t − τ )n(t )] = Rx (τ − D ) + Rxn (τ )
指数加权递推算法
以固定数β代替上式中的 N ( N + 1)
ˆN ˆN Rxy (k ) = βRxy −1 (k ) + (1 + β )x( N − k ) y ( N )
0 < β < 1，一般取0.9 < β < 1 。 特点：（1）跟踪时变的 Rxy (k ) ； （2）一阶低通特性，时常= 1 (1 − β )个 采样周期； （3） β 越小，跟踪能力越强，但 Rxy (k ) 方差越大； （4）指数加权平均。
实现方法：
3．估计值的偏差
ˆ′ Rxy (τ ) = 2
π
•
Rxy (τ )
Rx (0)
6. 3. 3 极性相关算法(Polarity Correlation)
1. 模拟积分式
1 ˆ ′′ Rxy (τ ) = （1）算法： T
∫
T
0
sgn[ y (t )]sgn[x(t − τ )]dt
（2）实现： 相乘结果：
Rxy (n ) = F
−1
[
1 S xy (k ) = N
]
X * (k )Y (k ) exp(2πjnk N ) ∑
n =1
N −1
6.4
相关函数峰点跟踪
1 . 用途：跟踪速度、距离的变化
如超声测距、雷达测距、相关测速度等。
2. 调整方法：
用dRxy (τ ) dτ 自动调整τ
3. 实现方法
3．用相关法恢复谐波分量
4. 互相关法检测非周期信号
x(t ) = K1s (t ) + n1 (t ) y (t ) = K 2 s(t ) + n2 (t )
Rxy (τ ) = E [ y (t )x(t − τ )]
= E{[K 2 s (t ) + n2 (t )][K1s (t − τ ) + n1 (t − τ )]}
1 N −1 = [x(n − k ) y(n )] + x(N − k ) y(N ) ∑ N + 1 n=0
特点：
N ˆ N −1 1 = Rxy (k ) + x( N − k ) y ( N ) N +1 N +1
（1） 每个采样周期内4次乘1次加， 4M次乘和M次加后可得一组 Rxy (k )（k=0,1,…,M-1）值； （2）随采样数的增加，计算精度不断提高； （3）N值越大，新数据作用越小，不适于时变情况。
例：
2．互相关法
设
Rxy (τ ) = E [ y (t )x(t − τ )] = E{[s1 (t − τ ) + n(t − τ )][s2 (t ) + v(t )]} = Rs1s 2 (τ ) + Rs1v (τ ) + Rns 2 (τ ) + Rnv (τ ) = Rs1s 2 (τ )
[
]
=
1
ε
=
2 BT ρ xy (τ )
2 1 + ρ xy (τ )
ρ xy (τ ) < 1 3 情况下，SNR ≈ ρ xy (τ ) 2 BT
5． 数字相关量化噪声导致的SNR退化比
模拟相关的 SNR D= 数字相关的 SNR
D是量化级别数、采样频率的函数。来自 6．3相关函数算法及实现
∑ y(n)x(n − k ) (k = 0,1,…, M − 1)
Chapter 6 Correlation-Based Measurement
฀ 应 ฀ ฀ ฀ ฀ 简介：相关检测技术与LIA对比， 用，相关器分类 相关函数实际运算及误差分析 相关函数算法及实现 相关函数峰点跟踪 相关检测应用
6．1 相关检测简介
1. 相关检测技术与LIA对比
检测同一时刻信号相关情况
ˆ Var Rxy (τ ) Rxy (τ )
[
]=
1 2 BT
2 1 + ρ xy (τ )
4.
RXY (τ )估计值的信噪比
SNR =
[ ] ˆ E [R (τ )] = ˆ Var[R (τ )]
xy xy
ˆ E Rxy (τ ) = Rxy (τ )
Rxy (τ ) ˆ Var Rxy (τ )
[
]
对时延、速度测量无影响，其它应用须修正。
6. 3. 4 极性相关修正算法
条件：n1 (t )、n2 (t )互相独立，均匀分布，且与x(t )、y (t )独立 若Max n1 (t ) = A1，Max n2 (t ) = A2，(t ) ≤ A1， (t ) ≤ A2 x y
Rxy (τ ) 1 1 ′ (τ ) = ρ xy (τ ) 则：ρ xy • = A1 A2 Rxx (0)R yy (0 ) A1 A2
n =0 N −1
ˆ (k ) = 1 Rxy N 实时计算过程：
每个采样周期内须完成M次乘和加， NM次乘和加后才能得到一组Rxy (k ), (k = 0,1,…, M − 1)。
6. 3. 1 递推算法
1 N ˆ R (k ) = ∑ x(n − k )y(n ) N + 1 n =0
N xy
ˆ R (k ) = (1 − β )∑ β N − n y (n )x(n − k )
N xy n =1 N
6. 3. 2 Relay算法
1. 模拟积分算法
（1）算法 其中：
ˆ ′ (τ ) = 1 Rxy T
∫ y(t )sgn[x(t − τ )]dt
T 0
+ 1，当x ≥ 0 sgn[x ] = − 1，当x < 0
6. 3. 5
FFT法
N −1 n =1
对离散量： X (k ) = F [x(n )] = ∑ x(n ) exp(− 2πjnk N )
Y (k ) = F [ y (n )] = ∑ y (n ) exp(− 2πjnk N )
n =1 N −1
S xy (k ) = X * (k )Y (k )
Rx (τ ) = E [x(t )x(t − τ )] = E{[s (t ) + n(t )][s (t − τ ) + n(t − τ )]} = E [s (t )s(t − τ )] + E [n(t )n(t − τ )] + E [s (t )n(t − τ )] + E [n(t )s (t − τ )] = Rs (τ ) + Rn (τ ) + Rsn (τ ) + Rns (τ )
对极性相关，延时线可用移位寄存器实现。若其级数 为K，则所实现的延时为：
τ =K f
两点差分式相关函数峰点跟踪系统
四、存在问题 锁定在局部峰点。解决办法：用整体相关函数确定跟 踪范围
6. 5 相关检测应用
6. 5. 1 噪声中信号的恢复
1. 自相关法
x(t ) = s (t ) + n(t )，s (t )周期
可用过零检测器得到
（2）实现方法 单路：
时延可用Shift Register or Circular RAM
多路：
τ =m f
2．数字累加式
ˆ ′ (k ) = 1 Rxy N
∑ y(n )sgn[x(n − k )]
n =0
N −1
(k (k NM次累加后可得一组Rxy’ )值， = 0,1, …, M − 1)。
2
ˆ Var Rxy (τ )
[
]=
1 2 BT
上式常用于计算积分所需时间。
例：若ρ (τ ) = 0.5，B = 100 Hz, 对于ε = 5%，则T ≈ 10s。
3. R xy (τ )估计值的归一化均方根 (rms )误差
ρ xy (τ ) 1 一般情况下ρ xy (τ ) < 1 3，ε ≈ ρ xy (τ ) 2 BT ε=
（1）直接相关器：两路信号都是模拟量; （2）混合相关器(1961)：一路信号为模拟量，另一路 量化。极限情况为继电器相关器（Relay Correlator）; （3）修正的Stieltjies相关器(1970)：数字通道叠加伪 随机信号; （4）数字式相关器(1969)：两路信号都量化；极性相 关器（1970）； （5）修正的极性相关器(1983)：极性相关器的两个通 道都叠加伪随机信号。
检测不同时刻信号相关情况
2. 应用
（1）从噪声中提取信号； （2）渡越时间测量：气体或液体检漏(Leak detection), 雷达，导航，超声测距，流体检测等； （3）速度测量：固体表面速度，困难流体流速； （4）系统动态特性辨识； （5）其他应用：火焰燃烧情况检测，气体色谱，光子相 关分析。