微弱信号检测课件6(高晋占 --清华大学出版)

ˆ Var Rxy (τ ) Rxy (τ )
[
]=
1 2 BT
2 1 + ρ xy (τ )
4.
RXY (τ )估计值的信噪比
SNR =
[ ] ˆ E [R (τ )] = ˆ Var[R (τ )]
xy xy
ˆ E Rxy (τ ) = Rxy (τ )
Rxy (τ ) ˆ Var Rxy (τ )
特点：Rxy (τ )不包含噪声的自相关项， 例如：Rxy (0 )反映S的平均功率，
∴可根据各种τ值的Rxy (τ )判断S的特征。 Rxy (∞ )反映S的直流分量及周期性。
例：火焰监视器
6. 5. 2 延时测量
y (t ) = x(t − D ) + n(t ) Rxy (τ ) = E [x(t − τ ) y (t )] = E [x(t − τ )[x(t − D ) + n(t )]] 令α = t − D， Rxy (τ ) = E [x(α − (τ − D ))x(α ) + x(t − τ )n(t )] = Rx (τ − D ) + Rxn (τ )
Chapter 6 Correlation-Based Measurement
฀ 应 ฀ ฀ ฀ ฀ 简介：相关检测技术与LIA对比， 用，相关器分类 相关函数实际运算及误差分析 相关函数算法及实现 相关函数峰点跟踪 相关检测应用
6．1 相关检测简介
1. 相关检测技术与LIA对比
检测同一时刻信号相关情况
2
ˆ Var Rxy (τ )
[
]=
1 2 BT
上式常用于计算积分所需时间。
例：若ρ (τ ) = 0.5，B = 100 Hz, 对于ε = 5%，则T ≈ 10s。
3. R xy (τ )估计值的归一化均方根 (rms )误差
ρ xy (τ ) 1 一般情况下ρ xy (τ ) < 1 3，ε ≈ ρ xy (τ ) 2 BT ε=
6. 3. 5
FFT法
N −1 n =1
对离散量： X (k ) = F [x(n )] = ∑ x(n ) exp(− 2πjnk N )
Y (k ) = F [ y (n )] = ∑ y (n ) exp(− 2πjnk N )
n =1 N −1
S xy (k ) = X * (k )Y (k )
3．用相关法恢复谐波分量
4. 互相关法检测非周期信号
x(t ) = K1s (t ) + n1 (t ) y (t ) = K 2 s(t ) + n2 (t )
Rxy (τ ) = E [ y (t )x(t − τ )]
= E{[K 2 s (t ) + n2 (t )][K1s (t − τ ) + n1 (t − τ )]}
[
]
对时延、速度测量无影响，其它应用须修正。
6. 3. 4 极性相关修正算法
条件：n1 (t )、n2 (t )互相独立，均匀分布，且与x(t )、y (t )独立 若Max n1 (t ) = A1，Max n2 (t ) = A2，(t ) ≤ A1， (t ) ≤ A2 x y
Rxy (τ ) 1 1 ′ (τ ) = ρ xy (τ ) 则：ρ xy • = A1 A2 Rxx (0)R yy (0 ) A1 A2
6. 2 相关函数实际运算及误差
6. 2.1 相关函数实际运算 1．模拟积分
ˆ (τ ) = 1 T x(t )x(t − τ )dt Rx T ∫0 ˆ (τ ) = 1 T y (t )x(t − τ )dt Rxy T ∫0 1 N −1 ˆ Rx (k ) = ∑ x(n )x(n − k ) N n =0 1 N −1 ˆ Rxy (k ) = ∑ y (n )x(n − k ) N n =0
例：x(t ) = s(t ) + n(t ) = A sin (ω0t + ϕ ) + n(t )
若s (t )与n(t )不相关， 1 T [s(t )s(t − τ )]dt + Rn (τ ) 则Rx (τ ) = Rs (τ ) + Rn (τ ) = lim T ←∞ 2T ∫−T 1 T = lim [A sin (ω0t + ϕ )A sin (ω0 (t − τ ) + ϕ )]dt + Rn (τ ) T →∞ 2T ∫−T A2 = cos(ω0τ ) + Rn (τ ) 2 A2 τ很大时，Rx (τ ) = cos(ω0τ ) 2
] [
[
] [
]
]
[
]
[
]
2.
当Rxy (τ ) ≠ 0时，Rxy (τ )估计值的归一化均方误 差
1 ε = 1 + 2 2 Rxy (τ ) ρ xy (τ ) Rxy (τ ) 式中： T―积分时间； ρ (τ ) = xy Rxx (0 )R yy (0 ) B―信号带宽；
对极性相关，延时线可用移位寄存器实现。若其级数 为K，则所实现的延时为：
τ =K f
两点差分式相关函数峰点跟踪系统
四、存在问题 锁定在局部峰点。解决办法：用整体相关函数确定跟 踪范围
6. 5 相关检测应用
6. 5. 1 噪声中信号的恢复
1. 自相关法
x(t ) = s (t ) + n(t )，s (t )周期
实现电路：
2．数字累加式
（1）算法：
ˆ ′′ (k ) = 1 Rxy N
（2）实现
∑ sgn[y(n)]sgn[x(n − k )]
n =0
N −1
3． 估计值的偏差
对高斯信号： ˆ ′′ (τ ) 2 sin −1 Rxy
π
Rx (0)R y (0)
Rxy (τ )
=
2
π
sin −1 ρ xy (τ )
ˆ R (k ) = (1 − β )∑ β N − n y (n )x(n − k )
N xy n =1 N
6. 3. 2 Relay算法
1. 模拟积分算法
（1）算法 其中：
ˆ ′ (τ ) = 1 Rxy T
∫ y(t )sgn[x(t − τ )]dt
T 0
+ 1，当x ≥ 0 sgn[x ] = − 1，当x < 0
（1）直接相关器：两路信号都是模拟量; （2）混合相关器(1961)：一路信号为模拟量，另一路 量化。极限情况为继电器相关器（Relay Correlator）; （3）修正的Stieltjies相关器(1970)：数字通道叠加伪 随机信号; （4）数字式相关器(1969)：两路信号都量化；极性相 关器（1970）； （5）修正的极性相关器(1983)：极性相关器的两个通 道都叠加伪随机信号。
[
]
=
1
ε
=
2 BT ρ xy (τ )
2 1 + ρ xy (τ )
ρ xy (τ ) < 1 3 情况下，SNR ≈ ρ xy (τ ) 2 BT
5． 数字相关量化噪声导致的SNR退化比
模拟相关的 SNR D= 数字相关的 SNR
D是量化级别数、采样频率的函数。
6．3
相关函数算法及实现
∑ y(n)x(n − k ) (k = 0,1,…, M − 1)
Rxy (n ) = F
−1
[
1 S xy (k ) = N
]
X * (k )Y (k ) exp(2πjnk N ) ∑
n =1
N −1
6.4
相关函数峰点跟踪
1 . 用途：跟踪速度、距离的变化
如超声测距、雷达测距、相关测速度等。
2. 调整方法：
用dRxy (τ ) dτ 自动调整τ
3. 实现方法
2．数字累加
6. 2. 2 实际运算误差 1.估计值的方差
⌢ ˆ (τ ) = E R (τ ) − R (τ ) 2 = 1 R (0 )R (0 ) + R 2 (τ ) var Rxy xy xy xx yy xy 2 BT
[
⌢ ˆ (τ ) = E R (τ ) − R (τ ) 2Hale Waihona Puke Baidu= 1 R 2 (0) + R 2 (τ ) var Rx x x x x 2 BT
Rx (τ ) = E [x(t )x(t − τ )] = E{[s (t ) + n(t )][s (t − τ ) + n(t − τ )]} = E [s (t )s(t − τ )] + E [n(t )n(t − τ )] + E [s (t )n(t − τ )] + E [n(t )s (t − τ )] = Rs (τ ) + Rn (τ ) + Rsn (τ ) + Rns (τ )
n =0 N −1
ˆ (k ) = 1 Rxy N 实时计算过程：
每个采样周期内须完成M次乘和加， NM次乘和加后才能得到一组Rxy (k ), (k = 0,1,…, M − 1)。
6. 3. 1 递推算法
1 N ˆ R (k ) = ∑ x(n − k )y(n ) N + 1 n =0
N xy
可用过零检测器得到
（2）实现方法 单路：
时延可用Shift Register or Circular RAM
多路：
τ =m f
2．数字累加式
ˆ ′ (k ) = 1 Rxy N
∑ y(n )sgn[x(n − k )]
n =0
N −1
(k (k NM次累加后可得一组Rxy’ )值， = 0,1, …, M − 1)。
指数加权递推算法
以固定数β代替上式中的 N ( N + 1)
ˆN ˆN Rxy (k ) = βRxy −1 (k ) + (1 + β )x( N − k ) y ( N )
0 < β < 1，一般取0.9 < β < 1 。 特点：（1）跟踪时变的 Rxy (k ) ； （2）一阶低通特性，时常= 1 (1 − β )个 采样周期； （3） β 越小，跟踪能力越强，但 Rxy (k ) 方差越大； （4）指数加权平均。
= K1 K 2 Rs (τ ) + K1 Rsn 2 (τ ) + K 2 Rsn1 (τ ) + Rn1n 2 (τ )
则：Rsn1 (τ ) = Rsn 2 (τ ) = Rn1n 2 (τ ) = 0
若n1 (t )、n2 (t )、s(t )互不相关，
Rxy (τ ) = K1 K 2 Rs (τ )
互相关法检测周期信号：
被测信号：x(t ) = A sin (ω0t + ϕ ) AB Rxy (τ ) = cos(ω0τ + ϕ − θ ) 2 参考信号：y (t ) = B sin (ω0t + θ ) 若已知B、θ就可计算出A、ϕ
x(t ) = s1 (t ) + n(t )，y (t ) = s2 (t ) + v(t )
则Rsn (τ ) = Rns (τ ) = 0，Rx (τ ) = Rs (τ ) + Rn (τ )
∵ n(t )非周期零均值， Lim Rn (τ ) = 0 ∴
τ →∞
若n(t )与s(t )不相关，
而Rs (τ )仍为周期，τ很大时只剩Rs (τ )，Rn (τ )只反映在τ = 0附近。
例：
2．互相关法
设
Rxy (τ ) = E [ y (t )x(t − τ )] = E{[s1 (t − τ ) + n(t − τ )][s2 (t ) + v(t )]} = Rs1s 2 (τ ) + Rs1v (τ ) + Rns 2 (τ ) + Rnv (τ ) = Rs1s 2 (τ )
实现方法：
3．估计值的偏差
ˆ′ Rxy (τ ) = 2
π
•
Rxy (τ )
Rx (0)
6. 3. 3 极性相关算法(Polarity Correlation)
1. 模拟积分式
1 ˆ ′′ Rxy (τ ) = （1）算法： T
∫
T
0
sgn[ y (t )]sgn[x(t − τ )]dt
（2）实现： 相乘结果：
1 N −1 = [x(n − k ) y(n )] + x(N − k ) y(N ) ∑ N + 1 n=0
特点：
N ˆ N −1 1 = Rxy (k ) + x( N − k ) y ( N ) N +1 N +1
（1） 每个采样周期内4次乘1次加， 4M次乘和M次加后可得一组 Rxy (k )（k=0,1,…,M-1）值； （2）随采样数的增加，计算精度不断提高； （3）N值越大，新数据作用越小，不适于时变情况。
检测不同时刻信号相关情况
2. 应用
（1）从噪声中提取信号； （2）渡越时间测量：气体或液体检漏(Leak detection), 雷达，导航，超声测距，流体检测等； （3）速度测量：固体表面速度，困难流体流速； （4）系统动态特性辨识； （5）其他应用：火焰燃烧情况检测，气体色谱，光子相 关分析。
3. 相关器分类