数学物理方法第十章球函数
球函数 数学物理方法
第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
数学物理方法第十章球函数幻灯片
勒让德多项式的性质
奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x)
零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
正交性
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
P k ( x ) P l ( x ) d 0 , x P k (c ) P l (o c ) s s d o i 0 n ,s ( k l )
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
勒让德多项式的应用
例题 4
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确 定球外空间的电势 u 。
P l(0) (1)(k2 (k 2)k! !1)!!,l2k
0,
l2k1
(2k)!246(2k) (2k1)!135(2k1) 0!!(1)!1
根本递推公式
( k 1 ) P k 1 ( x ) ( 2 k 1 ) x k ( x ) P k k 1 ( x P ) P k 1 '( x ) ( k 1 ) P k ( x ) x k '( x P ) k k ( x P ) x k '( x P ) P k 1 '( x ) ( x 2 1 ) P k '( x ) kk ( x x ) k P k 1 ( P x )
P l(x)2 1 ll!d dllx (x2 1 )l
P l(x)2 1i2 1 l ((z z 2 x1 )l) l1dz
湘潭大学数学物理方法课件之101轴对称球函数
(l 2)(l 3) (2 l 4)! 2 al 4 al 2 (1) (4)(2l 3) 2!2l (l 2)!(l 4)! (l 4)(l 5) (2l 6)! 3 al 6 al 4 (1) (6)(2l 5) 3!2l (l 3)!(l 6)!
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 中 k l / 2 n 的那一项，所以
[ l / 2] k
n
(2n)! (2n)! n n (2n 1)!! P2 n (0) (1) n (1) (1) n 2 2 n !2 n ! [(2n)!!] (2n)!!
数学物理方法
将多项式乘以适当的系数，称为 l 阶勒让德多项式，记作 Pl ( x) 。由于 m 0 时 ( ) 常数，是轴对称的。轴对称 球函数 Y ( , ) 简化为 P l ( x) 。 下面具体写出勒让德多项式。通常约定，用适当的常数乘 以本征函数，使最高次幂项 xl 的系数
dl 1 ( x 2 1)l d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl 1 dx
1
l
一次一次分部积分共 l 次，即得
(1) N 2l 2 (l !)2
2 l
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
注意到 ( x2 1)l 是 2l 次多项式，它的 2l 阶导数也就是最
l/2 1 π 1 π 2 2 cos sin d d 1 π 0 π 0
数学物理方法
*（二）第二类勒让德函数 略。
（三）勒让德多项式的正交关系 作为施图姆－刘维尔本征值问题的正交关系的特例，不同 阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上正交。
球函数解析式方法
求函数解析式的几种方法山东 胡大波求()f x 解析式方法多，难度大．只有正确求出函数解析式才能进一步研究函数性质，因此本文介绍几种求()f x 解析式的方法，供同学们参考．1．配凑法例１ 已知2(1)2f x x -=+，求()f x ．解：22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+，即2()23f x x x =++．2．换元法例2 若2(1)21f x x +=+，求()f x ．解：令1t x =+，则1x t =-，22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+． 2()243f x x x ∴=-+．3．解方程组法若已知()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 是未知量外，还出现其他未知量（如()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()f x -或1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到()f x 的解析式．例３ 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．解： 2()()1f x f x x --=+，用x -去替换式中的x ， 得2()()1f x f x x --=-+，即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+⎧⎨--=-+⎩，， 解方程组消去()f x -，得 ()13x f x =+． 4．待定系数法当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设()(0)f x ax b a =+≠，再利用恒等原理确定其系数．例4 设方程210x x -+=的两根为αβ，，试求满足()f αβ=，()f βα=，(1)1f = 的二次函数()f x 的解析式．解：由已知条件，可得1αβ+=，1αβ= ，显然αβ≠，即0αβ-≠．设二次函数2()(1)f x a x x bx c =-+++．αβ ，为方程210x x -+=的两根，210αα∴-+=且210ββ-+=．222()(1)()(1)(1)(111)1f a b c f a b c f a b c ααααβββββα⎧=-+++=⎪=-+++=⎨⎪=-+++=⎩，，， 可得1b c b c a b c αββα+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，， 故111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，22()(1)122f x x x x x x ∴=-+-+=-+．5．特值法此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式中，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式．例5 已知(0)1f =，()()(21)()f p q f p q p q p q -=--+∈R ，，求()f x ． 解法1：令0p =，得(0)(0)(1)f q f q q -=--+，即()1(1)f q q q -=--+．又令q x -=，代入上式，得2()1()(1)1f x x x x x =--+=++，2()1f x x x ∴=++．解法2：令p q =，得(0)()(1)f f p p p =-+，即2()1(1)1f p p p p p =++=++， 2()1f x x x ∴=++．。
球函数
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
3.3 特殊函数及其应用(球函数)
拉普拉斯积分． 式（3.3.2）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分． ）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分
1 π P(x) = ∫ (x +i 1− x2 cosϕ)l dϕ l π 0
【证明 取 C 为圆周，圆心在 证明】 为圆周， 证明 ．在 C 上有： ξ − x = 上有：
(3.3.3)
x2 −1
1 1 P(x) = l 2πi 2l
C为
(ξ 2 −1)l ∫ C (ξ − x)l+1 dx
（3.3.2） ）
点的任一闭合回路， z平面上围绕 z = x点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 勒让德多项式的施列夫利积分表示式
10
勒让德多项式的表示
♦ 级数表示
(2l − 2k )! Pl ( x ) = ∑ ( − 1) xl−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) ! k =0
k
[
l ] 2
1 dl ♦ 微分表示 P ( x ) = ( x 2 − 1) l l 2l l ! dxl
♦ 积分表示
8
1 1 (ξ 2 −1)l dx 代入（ 代入（3.3.2）得到 P(x) = ） l l ∫C l +1 2πi 2 (ξ − x) 1 2π P(x) = (x + 1− x2 cosϕ)l dϕ l 2π ∫0 1 π =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∫ (x +i 1− x2 cosϕ)l dϕ π 0
这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示． 这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示． 勒让德多项式的拉普拉斯积分表示 从该积分还很容易看出
数学物理方法第十章
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
大学物理-球函数
u12ur 10有0限,
(0 r a) u1 ra u0
(1) (2)
2u2 0
(a r )
(3)
u2
ra u0 ,
lim
r
u2
E0 r
cos
(4)
(2) 对称性及通解形式。本题有轴对称性，因为接地 导体为等势体，故球内、外电势可分别表示为
(5)
(3) 定系数。将式 (5) 的 u2 代入式 (4) 得到
函数 Ylm ( , ) 进行展开
(8-3-19)
其中展开系数 Clm 可以利用 Ylm ( , ) 的正交归一性求得
(8-3-20)
d
(d = sindd：立体角元)
(四) 球坐标系下拉普拉斯方程的通解 球坐标系下的拉普拉斯方程为：
分离变量，令 其中： 则，特解为
由叠加原理，得到通解： 通解的另一种形式：
Yl m (0,)
(l
(l
m )!(2l
m )!4
1)
Pl
m
(1)ei
m
由 (8-2-7) 式知，当 m' = 0 时，Pl m (1) 0，而 Pl (1) = 1。故
Yl m (0,)
(2l
4
1)
m0
将上式代入 (8-3-24) 得到
B0
4
2l 1Yl*m源自(',')
Am
4
2l
一方面，如果以 k' 为轴建立球坐标系，则 k'' 的极角和方位
角分别用 , 表示。如前图所示 (图中未画出 角)。
以 , 和 '' , '' 为变量的球函数是 = l (l + 1) 的方
第十章 球函数
2 lm
故物理上取归一化球函数
1 m Ylm (θ , ) = Pl (cosθ )eim Nlm
place方程的解
指数形式: u (r , θ , ) = ∑ ∑ A
l l=0 m =l ∞
rl + lm
1 l k 2 l lk 1
∞ l =1 l l
2l + 1 fl = 2
1
∫ f (x )P (x )dx , (8 )
l
1
二.Laplace方程在轴对称时的通解 在轴对称时物理量绕对称轴转动不变,在球坐 标下Laplace方程: △u= 0的通解为
Bl l u (r , θ ) = ∑ Al r + l +1 Pl (cos θ ), (1) r l =1
∞
(1)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有 两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0, ∞ Bl = 0, u = ∑ Al r l Pl (cos θ ), (2 ) u有限, l =0 而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域 两系数由球面的边界条件与r→∞, 两个条件 确定.
Pl ( x ) =
l l 1 或 2 2
(2l 2n )! l 2 n ∑ ( 1) n!2l (l n )!(l 2n )! x .(1) n =0
n
前几项为
P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ, P2(x)=(3x2-1)/2, ….. 一般勒让德多项式的幂次取决L 当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0
=
∑
∞
数学物理方法第十章2010
习题9.3（ ） 习题 （5）P261 点邻域内， 在 x =1点邻域内，两个线性无关解 点邻域内 第一类勒让德函数 Pv ( x ) = ∑
n=0 ∞
d2 y dy (1 − x ) 2 − 2 x + v (v + 1) y = 0 dx dx y (-1)有限， y (1)有限
2
1 Γ(v + n + 1) x − 1 n ( ) 2 (n !) Γ(v − n + 1) 2
(sin θ Θ ') '+ l ( l + 1) sin θ Θ = 0 (r R ')'− l (l + 1) R = 0 Θ (0), Θ (π )有 界
2
x = cos θ
[(1 − x 2 ) Θ ']' + l ( l + 1) Θ = 0 Θ ( ± 1) 有 界
(35 cos 4θ + 20 cos 2θ + 9)
P2 n +1 (0) = 0
P2 n (0) = ( −1)n
每项总含 每项总含 x
( 2n)! n ! 22 n n !
唯一不含 x 的项 l = 2k
5
P0 ( x ) = 1
勒让德多项式的图象
P1 ( x ) = x P2 ( x ) = 1 (3 x 2 − 1) 2
1
本征值 v =0, 1, 2, 3, …
ρ ( x) = 1
−1
∫ P ( x )P ( x )dx = 0
k l
1
k≠l
1 2 dl d l −1 2 2 l d [ l −1 ( x − 1)l ] N l2 = ∫ [Pl ( x )]2 dx = ( l ) ∫ dx l ( x − 1) dx dx 2 l ! −1 dx −1
球函数方程与球函数
Helmholtz 方程加上齐次边界条件可构成 固有值问题。 固有值问题。
2
球函数方程与球函数
一维Helmholtz方程 X ′′( x) + λX ( x) = 0 方程: 一维 方程 r2vrr +rv +vθθ +λ r2v =0 二维Helmholtz方程： 方程： 二维 方程 r
Φ′′(θ) + n2Φ(θ) = 0 v(r,θ ) = R(r)Φ(θ ) ⇒ 2 r R′ (r) + rR′(r) + (λ r2 − n2 )R(r) = 0
现在来研究球域上的三维Helmholtz方程。 方程。 现在来研究球域上的三维 方程 在球坐标系下Helmholtz方程可表达为 在球坐标系下 方程可表达为
r 2 R′′(r ) + 2rR′(r ) + (k 2 r 2 − λ ) R(r ) = 0
(2)
(3)
称为球函数方程； 方程 (3)称为球函数方程；若 k =0,则 (2)为欧拉方 程。若 方程： 的Bessel方程： 方程
1/ 2 k ≠ 0, 令 y(r) = r R(r)，则 ( 2 )可化为关于 y(t )
9
球函数方程与球函数
球函数系具有如下正交性： 球函数系具有如下正交性：
0 2π π Ynm (θ , ϕ )Yl k (θ , ϕ ) sin θdθ dϕ = 2πδ m ( n + m )! ∫0 ∫0 2 n + 1 ( n − m )!
m≠ k or n ≠l m=k and n =l
第10章_球函数
2
球坐标系中
u 0
1 Y 1 Y (sin ) 2 l (l 1)Y 0 球函数方程 2 sin sin
Y ( , ) [ A cos(m ) B sin(m )] ( )
式中 x cos
2 2 m d d 连带勒让德 (1 x 2 ) 2 2 x ] 0 [l (l 1) 方程 dx dx 1 x2
(2l 4)! (l 2)(l 3) 2 al 2 (1) l 2!2 (l 2)!(l 4)! (4)(2l 3)
al 4
al 6
(2l 6)! (l 4)(l 5) 3 al 4 (1) l 3!2 (l 3)!(l 6)! (6)(2l 5)
(一) 勒让德多项式 (1) 勒让德多项式的具体表达式 勒让德方程的级数解： y ( x)
a x
k 0 k
k
[l (l 1) 2] l (l 1) a3 a1 a2 a0 3 2 2 1 l (l 1) k (k 1) ak 2 ak (k 2)(k 1)
l n 0,1, 2, ,[ ] 2
[l/2]表示不超过 l/2的最大整数
l [ ] 2
l
l/2
(l 1) / 2
k
[ l /2]
(l 为偶数) (l 为奇数)
k
(2l 2k )! l 2 k x Pl ( x) ak x (1) l 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 k 0
l
11
1 d 1 d l 2 ( x 1) l l l l 2 l ! dx 2 l ! dx
数理方程总结(球函数)
球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。
得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。
P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解 作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0） 证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。
10. 球函数
dz,
• 其中C为z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。
• （二）连带勒让德函数的正交关系（m相同！）
∫ P +1 m −1 l
( x) Pkm
(
x)dx
=
(
N
m l
)2δ
kl
,
∫π 0
Plm (cosθ )Pkm (cosθ ) sinθdθ
=
(
N
m l
)
2
δ
kl
.
(Nlm )2 =
2(l + m)! . (2l +1)(l − m)!
∞
∑ u(r0 ,θ ) = Alr0l Pl (cosθ ) = cos2 θ = x2. l=0
x2
=
1 [1+ 3
ห้องสมุดไป่ตู้
2P2 (x)]
=
1 3
P0 (x)
+
2 3
P2 (x).
u(r,θ )
=
1 3
+
2r 2 3r02
P2 (cosθ ).
• 例4. 半径为r0的半球，其球面上的温度保持为u0cosθ， 底面绝热，试求这个半球的稳定温度分布。p285
?二正交关系对所有的m和?232101cos13210210cossincos?lllllllll??????????l???????l???????llmepllmmmpyimmlmlml???
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
∫ fl
=
2l +1 2
π 0
f (θ )Pl (cosθ ) sinθdθ.
数学物理方法7
w( x,t )
1 1 2xt t 2
Pl ( x )t l
l0
( x 1)
物理意义： 半径为a 的球北极置一电荷,
z
电量q 40 , 则空间一点的电势
· q 4 0 u( r , ) q
1
a
d
r ·M
4 0d a 2 2ar cos r 2
y 又：u 满足 u 0
u( r ,
本征值： l（l 1） l 0，1，2，3，
本征函数：l 阶勒让德多项式
( x ) pl ( x ) ( m 0 )
一、l 阶勒让德多项式
1. l 阶勒让德多项式的表达式:
l
p（l x）
2
（ 1）k
k0
2l
（2l 2k）！ k！（l k）！（l
2k）！x l 2k
l 2
:表示不超过l
x
)
1 8
64
( 63x5 70x 3 15x )
1 ( 63cos 5 35cos 3
30 cos
)
128
2. 勒让德多项式的微分表示:(Rodrigues公式)
pl
(
x
)
1 2l l!
dl dx l
(
x2
1 )l
3. 勒让德多项式的积分表示:
1 1 ( z2 1 )l
pl ( x ) 2i 2l C ( z x )l1 dz
( x ) pl ( x ) ( m 0 ) l 阶勒让德多项式
§10.1 轴对称球函数
当问题以球坐标的极轴为对称轴时: m 0 （） Acos m B sinm A(常数）
Y（ ,） A( )
l 阶勒让德方程（： m 0）
数学物理方法--球函数
1.轴对称球函数（m=0）
一. 勒让德多项式
(1) 一般表达式
级数表示
约定级数中最高次幂 xl 的系数是
(2l)! al 2l (l !)2
反用系数递推公式
ak 2
k 2 k l(l 1) (k 2)(k 1)
ak
Pl
(x)
[l / 2] k 0
2l
(1)k (2l 2k )! k !(l k )!(l 2k )!
u
|ra
u0
cos (
2
)
9
利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次:
(1 x2 )P[m] 2(m 1)xP[m] [l(l 1) m2]P[m] 0(m 0,1, 2, )
m
所以 y(x) Pl[m](x) (1 x2 ) 2 Pl[m] (x) 通常记作: Plm (x)
Pl m
u |ra f ( )
u 0
(r2R' )'l(l 1)R 0
(sin' )'l(l 1) sin 0 (0),( )有界
x cos
r2R"2rR'l(l 1)R 0
[(1 x2 )' ]'l(l 1) 0 (1)有界
R Al rl Bl rl1
f ( )
l 0
Rl
(a)
Pl
(cos
)
u
l 0
Rl
(r)Pl
(cos
)
8
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 c，os 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
定解问题为：u |rr0 u0 cos
球函数
15
l
将上式求导l次, 2l-2k<l 的项在求导l次后零, 只需 保留 2l 2k l 即 k l / 2 的项, 这样,
l 1 dl 2 x 1 l l 2 l! dx [l / 2] k ( 2l 2k )(2l 2k 1) ( 2l 2k l 1) l 2 k ( 1) x l 2 (l k )!k! k 0
(2l 2k )! ( 1) l x l 2 k Pl ( x ). 2 k! (l k )!(l 2k )! k 0
[l / 2] k
16
• （3）Legendre 多项式的积分表式: 由
1 ( z 1) ( x 1) C z x dz 2i
2 l 2 l
6
分离变量：
Y ( , ) ( )( )
极角部分：本征值问题
' ' 0 ( ) (2 )
Am eim ; m 2 , m 0,1,2, 解为： ( ) or cosm , m 2 , m 0,1,2, sin m
代入（9.1.1）得到
Y d 2 dR R Y R 2Y 0. r 2 sin 2 2 2 2 r dr dr r sin r sin
1 / R( r )Y ( , )
1
1 d 2 dR 1 1 Y 1 1 2Y . r sin 2 2 R dr dr Y sin Y sin
al 4 al 6 ( 2l 4)! ( 1) , l 2! 2 (l 2)!(l 4)! ( 2l 6)! 3 ( 1) , l 3! 2 (l 3)!(l 6)!
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根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界 A 条 x l 0 件 ( l 1 得 )B la l ： 2P l(x)
根据完B1 备 1 2 性 a3A,： Bl10
勒让德多项式的应用
例题 5
半径为a的球面保持温度分布为 f = Acosθ，确定球外 空间的稳定温度分布 u 。
解：定解问题 uu|r为 a 0,： A rcoas
勒让德多项式
定义
斯 — 刘问 [ 1 (题 ( 1x )有 2) ']界 ' l(l1)0的本征函数
一般表示
级数表示
P l(x) 2 lk (! (1 l) k(k 2 ) l ( !l2 k 2 )k! )! xl 2 k
微分表示
积分表示
具体形式
Pl(x)21 ll!d dlx l (x21)l
1
0
模
1 1 P l ( x ) P l ( x ) d 0 x P l (c ) P l ( o c s ) s o d is n N l 2 2 l 2 1
正交性应用例题
1 P l(x ) d x 1P 0 (x ) P l(x ) d x l,0 N 0 2 2l,0
1
1
1 1 xl( P x ) d x 1 1P 1 (x ) P l(x ) d x l,1 N 1 2 2 3l,1
1 1 x 2 P l( x ) d x 1 1 ( 2 3 P 2 1 3 P 0 ) P ld 2 3 x l,2 N 2 2 1 3l,0 N 0 2
u(x,r)
1 1 02i2l
C((zz 2 x) 1 l) l1dr zl
21 i
dz Czx
(z21)lrl 02l(zx)l
1 2i
dz
1
C zx 1(z21)r
2(zx)
21 i
C
dz (zx)1 2(z21)r
奇点：
1 z r (1
12xrr2 )
12i 1 2i 1z
勒让德多项式模的计算
u(x,r) 0 P l(x)rl12 1 rx r2
1 1
0 P l(x )r l 0 P k (x )r k d x 1 11 2 d r x r x 2
0 0 r l k 1 1 P l( x ) P k ( x ) d x 2 1 r l1 n 2 r ( x r 2 )| 1 1 0 0 r l kl,k N k 2 1 r[l1 n r ) (ln 1 r ( )]
1
f2k (4k1) xP 2k(x)dx
0
例3：把函数 f(x)=(x-1)5 用勒让德多项式展开。
解 (x ： 1 )5
5
l 0fl P l(x )
fl 2l2 1 1 1(x1 )5P l(x)dx
例4：把函数 f(x)=x3 用勒让德多项式展开。
解 x 3 f 1 P 1 ： ( x ) f 3 P 3 ( x ) f 1 x f 3 1 2 ( 5 x 3 3 x )
勒让德多项式的应用
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。
解：定解问 u u |r题 a 0,ca为 or,s u： b |rb0
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
Pl(x)21 i
1 2l
((zz 2 x1 )l) l1dz
代数表达式
图象
勒让德多项式的代数表达式
P l(x ) 2 lk (! ( 1 l) k ( k 2 ) l (l! 2 k 2 )k ) !x ! l 2 k 2 1 ll!d d ll(x x 2 1 )l
P0(x)1
P1(x)xcos P2(x) 12(3x2 1) 14(3cos21) P3(x)12(5x33x)81(5cos33cos) P4(x) 81(35x4 30x2 3) 614(35cos420cos29)
Pk0(x)0
递推公式的证明
u(x,r) 0 P l(x)rl12 1 rx r2 u r(x,r) 0 P l(x)lrl 1(12 rx xr r2)3/2 ( x r ) 0 P l( x ) r l （ x ( 1 r 2 )r 1 ( 2 x r r 2 ) 3 / x r 2 2 ) ( 1 2 r x r 2 ) 0 P l( x ) lr l 1
勒让德多项式的应用
例题 4
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确 定球外空间的电势 u 。
解： 定解问 u 题 ru|r a0 为 ,rf： aAcos
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
0 x l r l P P l r l 1 0 l P l r l 1 2 ll r x l l P l P r l 1
x k P k 1 ( k 1 ) P k 1 2 k k x ( k 1 P ) P k 1 ( k 1 ) P k 1 ( 2 k 1 ) x k P k P k 1 0
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 x 件 l 0B 得 lal ： 1P l(x)
根据完备 B1性 a2A,： Bl10
勒让德多项式的应用
例题 6
半径为a的半球球面上电势分布为 f = A，底面电势为 零，确定半球内空间的电势 u 。
数学物理方法
第十章 球函数
球函数
轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用
解轴 对 称 拉 普 拉 斯 方 程 的 求
解：
u0,ra,/2
定解问 u题 |/为 2u： |z00
u|raf(co)sf(z/a)A
问题有反演对称 z进 性行 ，奇 对延拓后 u0， ra
u|rasgn(co)sf(|cos |)Asgn(co)s
勒让德多项式的应用
例题 7
半径为 a 的半球球面上温度分布为 f = A，底面绝热， 确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
母函数和递推公式
母函数
– 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用
递推公式
– 基本递推公式 – 证明 – 应用
母函数的推导
u(x,r) 0 Pl(x)rl
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
P k ( x ) P l ( x ) d 0 x , P k (c ) P l ( o c s ) s o d is n 0 ,( k l )
r |zz
1 12x rr2
母函数的应用
u(x,r)
0 P l(x)rl
1 12rx r2
u ( 1 ,ru ( 1 ,r ) 0 P l( 1 ) r l 1 1 r 0 ( 1 ) lr l P l( 1 ) ( 1 ) l
l0
Alrl
Pl (c
os )
由边界A 条 2 x件l 0 得 A lalP ： l(x)
根据完 A k2 2 k 备 a k1 1 1 性 A2 P x k ： (x )d x