数学物理方法第十章球函数

Pk0(x)0
递推公式的证明
u(x,r) 0 P l(x)rl12 1 rx r2 u r(x,r) 0 P l(x)lrl 1(12 rx xr r2)3/2 ( x r ) 0 P l( x ) r l （ x ( 1 r 2 )r 1 ( 2 x r r 2 ) 3 / x r 2 2 ) ( 1 2 r x r 2 ) 0 P l( x ) lr l 1
u(x,r)
1 1 02i2l
C((zz 2 x) 1 l) l1dr zl
21 i
dz Czx
(z21)lrl 02l(zx)l
1 2i
dz
1
C zx 1(z21)r
2(zx)
21 i
C
dz (zx)1 2(z21)r
奇点：
1 z r (1
12xrr2 )
12i 1 2i 1z
u (0 ,r)
0 P l(0 )rl1 1 r2
( 1 )k(2 k 1 )!r !2 k 0 (2 k )!!
Pl(0)(1)(k2(k2)k!1)!,l 2k
0,
l 2k1
(2k)!!246 (2k) (2k 1)!!135 (2k 1) 0!!(1)!!1
基本递推公式
( k 1 ) P k 1 ( x ) ( 2 k 1 ) x k ( x P ) k k 1 ( P x ) P k 1 '(x ) ( k 1 )P k (x ) xk '( P x ) kk ( P x ) xk 'P (x ) P k 1 '(x ) (x 2 1 )P k'(x ) kk x (x )P kk P 1 (x )
勒让德多项式的应用
例题 1
半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球内空
间的电势 u 。
解： 定解问 题 u0 为 ,r： a u|raf Ac
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球内解要u求 (0,)有界，半通解化为
u
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 x 件 l 0B 得 lal ： 1P l(x)
根据完备 B1性 a2A,： Bl10
勒让德多项式的应用
例题 6
半径为a的半球球面上电势分布为 f = A，底面电势为 零，确定半球内空间的电势 u 。
r |zz
1 12x rr2
母函数的应用
u(x,r)
0 P l(x)rl
1 12rx r2
u ( 1 ,r )0 P l( 1 )r l 1 1 r0 r l P l( 1 ) 1 u ( 1 ,r ) 0 P l( 1 ) r l 1 1 r 0 ( 1 ) lr l P l( 1 ) ( 1 ) l
数学物理方法
第十章 球函数
球函数
轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用
解轴 对 称 拉 普 拉 斯 方 程 的 求
l0
Alrl
Pl (c
os )
由边界A 条 2 x件l 0 得 A lalP ： l(x)
根据完 A k2 2 k 备 a k1 1 1 性 A2 P x k ： (x )d x
勒让德多项式的应用
例题 2
半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球外空
间的电势 u 。
解： 定解问 题 u0 为 ,r： a u|raf Ac
Pl(x)21 i
1 2l
((zz 2 x1 )l) l1dz
代数表达式
图象
勒让德多项式的代数表达式
P l(x ) 2 lk (! ( 1 l) k ( k 2 ) l (l! 2 k 2 )k ) !x ! l 2 k 2 1 ll!d d ll(x x 2 1 )l
P0(x)1
P1(x)xcos P2(x) 12(3x2 1) 14(3cos21) P3(x)12(5x33x)81(5cos33cos) P4(x) 81(35x4 30x2 3) 614(35cos420cos29)
勒让德多项式的应用
例题 4
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确 定球外空间的电势 u 。
解： 定解问 u 题 ru|r a0 为 ,rf： aAcos
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
由边界条 0 x 件 l l 0 0得 ((A A llb all： B B llb a ll 1 1))P P ll((x x))
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
递推公式的应用
( k 1 ) P k 1 ( x ) ( 2 k 1 ) x k ( x P ) k k 1 ( P x ) k 0 P 1 (x ) x0 (P x ) 0 x k 1 2 P 2 ( x ) 3 x 1 ( x P ) P 0 ( x ) 3 x 2 1 k 2 3 P 3 ( x ) 5 x 2 ( x P ) 2 P 1 ( x ) 1 2 x 3 5 9 2 x
勒让德多项式模的计算
u(x,r) 0 P l(x)rl12 1 rx r2
1 1
0 P l(x )r l 0 P k (x )r k d x 1 11 2 d r x r x 2
0 0 r l k 1 1 P l( x ) P k ( x ) d x 2 1 r l1 n 2 r ( x r 2 )| 1 1 0 0 r l kl,k N k 2 1 r[l1 n r ) (ln 1 r ( )]
解：
u0,ra,/2
定解问 u题 |/为 2Biblioteka Baidu： |z00
u|raf(co)sf(z/a)A
问题有反演对称 z进 性行 ，奇 对延拓后 u0， ra
u|rasgn(co)sf(|cos |)Asgn(co)s
勒让德多项式的应用
例题 7
半径为 a 的半球球面上温度分布为 f = A，底面绝热， 确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
母函数和递推公式
母函数
– 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用
递推公式
– 基本递推公式 – 证明 – 应用
母函数的推导
u(x,r) 0 Pl(x)rl
0 x l r l P P l r l 1 0 l P l r l 1 2 ll r x l l P l P r l 1
x k P k 1 ( k 1 ) P k 1 2 k k x ( k 1 P ) P k 1 ( k 1 ) P k 1 ( 2 k 1 ) x k P k P k 1 0
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
解：
u0,ra,/2
定解问题 uz |为 z0： 0
u|ra f ( c o)sA
问题有反演对称z性 进， 行对 偶延拓后 u 0， r a
u|ra f (|cos |)A
转动对称问题和连带勒让德函数
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
1
fk2k2 1 1 1f(x)P k(x)dx
完备性应用例题
例1：把函数 f(x)=x2 用勒让德多项式展开。
解 x2 ：
l0fl P l(x)
fk 2k2 1 1 1x2P k(x)dx
例2：把函数 f(x)=|x| 用勒让德多项式展开。
解 |x|： k 0f2 kP 2 k(x)
1
f2k (4k1) xP 2k(x)dx
0
例3：把函数 f(x)=(x-1)5 用勒让德多项式展开。
解 (x ： 1 )5
5
l 0fl P l(x )
fl 2l2 1 1 1(x1 )5P l(x)dx
例4：把函数 f(x)=x3 用勒让德多项式展开。
解 x 3 f 1 P 1 ： ( x ) f 3 P 3 ( x ) f 1 x f 3 1 2 ( 5 x 3 3 x )
勒让德多项式
定义
斯 — 刘问 [ 1 (题 ( 1x )有 2) ']界 ' l(l1)0的本征函数
一般表示
级数表示
P l(x) 2 lk (! (1 l) k(k 2 ) l ( !l2 k 2 )k! )! xl 2 k
微分表示
积分表示
具体形式
Pl(x)21 ll!d dlx l (x21)l
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界 A 条 x l 0 件 ( l 1 得 )B la l ： 2P l(x)
根据完B1 备 1 2 性 a3A,： Bl10
勒让德多项式的应用
例题 5
半径为a的球面保持温度分布为 f = Acosθ，确定球外 空间的稳定温度分布 u 。
解：定解问题 uu|r为 a 0,： A rcoas
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
P k ( x ) P l ( x ) d 0 x , P k (c ) P l ( o c s ) s o d is n 0 ,( k l )
勒让德多项式的应用
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。
解：定解问 u u |r题 a 0,ca为 or,s u： b |rb0
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
1
1
1 1 xl( P x ) d x 1 1P 1 (x ) P l(x ) d x l,1 N 1 2 2 3l,1
1 1 x 2 P l( x ) d x 1 1 ( 2 3 P 2 1 3 P 0 ) P ld 2 3 x l,2 N 2 2 1 3l,0 N 0 2
1
0
模
1 1 P l ( x ) P l ( x ) d 0 x P l (c ) P l ( o c s ) s o d is n N l 2 2 l 2 1
正交性应用例题
1 P l(x ) d x 1P 0 (x ) P l(x ) d x l,0 N 0 2 2l,0