最小熵产生原理
第3节：熵的定义及熵增加原理
第三节：熵
任意可逆循环的热温商
熵的引出 熵的定义 克劳修斯不等式 熵增加原理
1
第三节：熵
9
3.3 熵增加原理
当过程为绝热过程时，因系统与环境之间无热交 换，即δQ＝0 ，则克劳休斯不等式可以写作： ΔS绝热 ≥0 > 不可逆过程
= 可逆过程 Tamb = T
∴(1)绝热系统中只能发生熵大于0或者等于0的过程,
即：不可逆绝热过程的熵必定增大；
(2) 绝热可逆过程的熵不变——称为恒熵过程； (3)不可能发生熵减少的绝热过程.
Q1
T1
Q2
T2
0
对于一个任一不可逆循环，同时能用无限多个小不可逆 卡诺循环代替，所以所有小不可逆卡诺循环的热温商只和也 同样小于0。即： Qi Q i ＝ 0 式中T为环境温度 T T
不可逆
8
3.2 克劳修斯不等式
将一任意过程与一可逆途径组成一个循环, 则有
或它的环程积分等于零。
QR Q R T T 0
4
第三节：熵
5
第三节：熵
再将循环分成途径a(12)和b(21), 有
1 QR 0 1 2 T a T b 2 QR
p
a
2
1
b
或
2 QR 1 1 T a T b
Q Tamb
1
1
2
2
1 QR Q 0 2 Tamb T
熵产生和熵流 演示文稿very good
熵增原理举例
• 一间房子，如果你很久不管它，那房子 就会布满灰尘
• 盐放到水里会溶解
• 天下为什么会分久必合合久必分
1、从社会资源配置的角度 2、从管理的角度 3、从系统优化的角度
• 距离产生美说的好“人是 铁，饭是钢，一顿不吃饿的慌”，但是吃饭却 不仅仅是为了填饱我们的肚子，食物还会供给 我们身体所需要的各种能量，人的活动离不一 这些能量，这就好比是汽车如果没有了汽油就 跑不起来了的道理一样，人如果没有了食物也 就不存在任何生命活动了，从小到大人的身体 及各个组织都在生长发育，而县城也在不断的 更新，这就需要许多来自于食物当中的营养物 质来满足人的各个组织的发育及更新。 所以说人吃饭为了填饱肚子只是表面的一种现 象，吃饭其实就是为了维持人体的正常活动， 维持人的生命及健康。
• 生物体还可以通过其他方式向外排泄正熵，比如汗液， 尿液，呼吸等等。这也是环境向生物体的“负熵”流。
生物中的负熵流
• 生物中熵的减少是以环境熵的增加为代 价的，故把这种熵的减少称为生物中的 负熵流，或称生物中的负熵。
• 生物体的富集效应也是生物中负熵流的 典型例子。如海带能富集海水中的碘原 子
• 如海带能富集海水中的碘原子，若设想一个模型，海 水中的碘原子是在海水背景中的理想气体分子，则海 带富集碘相当于把碘“气体”进行等温“压缩”。显 然在这样的过程中碘原子系统的熵是减少的（也就是 说碘从无序向有序转化），这时海带至少必须向外释 放TΔS的热量。注意到理想气体等温压缩中外界要对 系统作功，但在海带富集碘的过程中外界并未作功， 而是利用了一定的信息量（即造成信息的欠缺），从 而使海带的熵减少。从海带富集碘这一例子可清楚地 看到，生命体是吸取了环境的负熵而达到自身熵的减 少的。在这里“吸取环境的负熵”可理解为是向外界 放热或采用其他的形式。
最小熵产生原理的简单应用
最小熵产生原理的简单应用1. 熵的概念简介熵（Entropy）是信息论中的一个重要概念，它表示一个系统的不确定性或者混乱程度。
在信息论中，熵被定义为对一个随机变量进行平均的信息量。
熵越大，表示系统的不确定性越高，反之则越低。
2. 最小熵原理最小熵原理是基于熵的概念，它是一种有监督学习的方法，用于处理分类问题。
最小熵原理的核心思想是选择一个具有最小熵的模型作为最优模型，以提高分类的准确性和效率。
在最小熵原理中，熵可以用来衡量一个分类模型的纯度和效果。
3. 最小熵原理的简单应用最小熵原理可以应用于许多领域，例如数据挖掘、机器学习和自然语言处理等。
下面将介绍最小熵原理的一些简单应用。
3.1 文本分类在文本分类中，最小熵原理可以用来构建一个分类模型，根据文本的特征将其分为不同的类别。
通过计算每个词语在文本中出现的频率，并使用最小熵原理选择最优的特征词，可以实现一个高效准确的文本分类模型。
3.2 图像识别最小熵原理也可以应用于图像识别领域。
通过分析和提取图像的特征，然后使用最小熵原理来构建一个分类模型，可以实现图像的自动识别和分类。
3.3 声音识别最小熵原理还可以应用于声音识别领域。
通过提取声音的频谱特征和时域特征，并利用最小熵原理构建一个分类模型，可以实现对不同声音的自动识别和分析。
3.4 电子邮件过滤在电子邮件过滤中，最小熵原理可以应用于垃圾邮件的过滤。
通过提取邮件的特征，并使用最小熵原理构建一个分类模型，可以将垃圾邮件和正常邮件区分开来，实现自动过滤。
3.5 推荐系统最小熵原理还可以应用于推荐系统中。
通过分析用户的行为和偏好，提取用户的特征，并使用最小熵原理构建一个个性化推荐模型，可以为用户提供符合其兴趣的个性化推荐。
4. 结论最小熵原理是一种重要的分类方法，它可以应用于文本分类、图像识别、声音识别、电子邮件过滤和推荐系统等领域。
通过最小化模型的熵，可以构建出高效准确的分类模型，提高分类的准确性和效率。
熵产生原理与不可逆过程热力学简介
熵产生原理与不可逆过程热力学简介一、熵产生原理（Principle of Entropy-Production ）熵增加原理是热力学第二定律的熵表述。
而这个原理用于判断任一给定过程能否发生，仅限于此过程发生在孤立体系内。
而对于给定的封闭体系中，要判断任一给定的过程是否能够发生，除了要计算出体系内部的熵变，同时还要求出环境的熵变，然后求总体的熵变。
这个过程就相当于把环境当成一个巨大的热源，然后与封闭体系结合在一起当成孤立体系研究。
但是一般来说，绝对的孤立体系是不可能实现的。
就以地球而言，任何时刻，宇宙射线或高能粒子不断地射到地球上。
另外，敞开体系也不能忽视，就以生物体为例，需要不停地与环境进行物质交换，这样才能保证它们的生存。
1945年比利时人I. Prigogine 将热力学第二定律中的熵增加原理进行了推广，使之能够应用于任何体系（封闭的、敞开的和孤立的）。
任何一个热力学体系在平衡态时，描述系统混乱度的状态函数S 有唯一确定值，而这个状态函数可以写成两部分的和，分别称为外熵变和内熵变。
外熵变是由体系与环境通过界面进行热交换和物质交换时进入或流出体系的熵流所引起的。
熵流（entropy flux ）的概念把熵当作一种流体，就像是历史上曾经把热当作流体一样。
内熵变则是由于体系内部发生的不可逆过程（例如，热传导、扩散、化学反应等）所引起的熵产生（entropy-production ）。
由上述的概念，可以得到在任意体系中发生的一个微小过程，有：S d S d dS i e sys +==S d T Qi +δ (1-1)，式中S d e 代表外熵变，S d i 代表内熵变。
这样子就将熵增加原理推广到了熵产生原理。
而判断体系中反应的进行，与熵增加原理一致，即0≥S d i （> 不可逆过程；= 可逆过程） (1-2)而文字的表述就是：“体系的熵产生永不为负值，在可逆过程中为0，在不可逆过程中大于0”。
熵产生原理与不可逆过程热力学简介
熵产生原理与不可逆过程热力学简介一、熵产生原理（Principle of Entropy-Production ）熵增加原理是热力学第二定律的熵表述。
而这个原理用于判断任一给定过程能否发生，仅限于此过程发生在孤立体系内。
而对于给定的封闭体系中，要判断任一给定的过程是否能够发生，除了要计算出体系内部的熵变，同时还要求出环境的熵变，然后求总体的熵变。
这个过程就相当于把环境当成一个巨大的热源，然后与封闭体系结合在一起当成孤立体系研究。
但是一般来说，绝对的孤立体系是不可能实现的。
就以地球而言，任何时刻，宇宙射线或高能粒子不断地射到地球上。
另外，敞开体系也不能忽视，就以生物体为例，需要不停地与环境进行物质交换，这样才能保证它们的生存。
1945年比利时人I. Prigogine 将热力学第二定律中的熵增加原理进行了推广，使之能够应用于任何体系（封闭的、敞开的和孤立的）。
任何一个热力学体系在平衡态时，描述系统混乱度的状态函数S 有唯一确定值，而这个状态函数可以写成两部分的和，分别称为外熵变和内熵变。
外熵变是由体系与环境通过界面进行热交换和物质交换时进入或流出体系的熵流所引起的。
熵流（entropy flux ）的概念把熵当作一种流体，就像是历史上曾经把热当作流体一样。
内熵变则是由于体系内部发生的不可逆过程（例如，热传导、扩散、化学反应等）所引起的熵产生（entropy-production ）。
由上述的概念，可以得到在任意体系中发生的一个微小过程，有：S d S d dS i e sys +==S d T Qi +δ (1-1)，式中S d e 代表外熵变，S d i 代表内熵变。
这样子就将熵增加原理推广到了熵产生原理。
而判断体系中反应的进行，与熵增加原理一致，即0≥S d i （> 不可逆过程；= 可逆过程） (1-2)而文字的表述就是：“体系的熵产生永不为负值，在可逆过程中为0，在不可逆过程中大于0”。
熵的起源、历史和发展
熵的起源、历史和发展一、熵的起源1865年，德国物理学家鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius, 1822 – 1888）在提出了热力学第二定律后不久，首次从宏观上提出了熵(Entropy)的概念。
Entropy来自希腊词，希腊语源意为“内向”，亦即“一个系统不受外部干扰时往内部最稳定状态发展的特性”（另有一说译为“转变”，表示热转变为功的能力）。
在中国被胡刚复教授（一说为清华刘先洲教授）译为“熵”，因为熵是Q除以T（温度）的商数。
他发表了《力学的热理论的主要方程之便于应用的形式》一文，在文中明确表达了“熵”的概念式——dS=（dQ/T）。
熵是物质的状态函数，即状态一定时，物质的熵值也一定。
也可以说熵变只和物质的初末状态有关。
克劳修斯用大量的理论和事实依据严格证明，一个孤立的系统的熵永远不会减少（For an irreversible process in an isolated system, the thermodynamic state variable known as entropy is always increasing.），此即熵增加原理。
克劳修斯提出的热力学第二定律便可以从数学上表述为熵增加原理：△S≥0。
在一个可逆的过程中，系统的熵越大，就越接近平衡状态，虽然此间能量的总量不变，但可供利用或者是转化的能量却是越来越少。
但是克劳修斯在此基础上把热力学第一定律和第二定律应用于整个宇宙，提出了“热寂说”的观点：宇宙的熵越接近某一最大的极限值，那么它变化的可能性越小，宇宙将永远处于一种惰性的死寂状态。
热寂说至今仍引发了大量争论，没有得到证明。
二、熵的发展在克劳修斯提出熵后，19世纪，科学家为此进行了大量研究。
1872年奥地利科学家玻尔兹曼（L. E. Boltzmann）首次对熵给予微观的解释，他认为：在大量微粒(分子、原子、离子等)所构成的体系中，熵就代表了这些微粒之间无规律排列的程度，或者说熵代表了体系的混乱度（The degree of randomness or disorder in a thermodynamic system.）。
—熵概念及其应用
系统稳定，道路交通系统受到扰动，经过 控制调节，仍可恢复原来状态 若 ，定态是不稳定。道路交通系统 受到扰动，将出现难以控制的交通堵塞现 象，系统无法恢复原有定态，这时应考虑
5．道路交通系统热力学熵的 建立
从热力学的观点出发，自然系统可分为 两类，一类是热力学系统，另一类是非 热力学系统（宏观巨系统）。 热力学熵
薜定谔用负熵解释了生命现象。
2 熵的发展
负熵社会
资源、 资源、空间 熵增
最佳生存模式
3 能源利用可持续发展的热力 学原理
普利高津(Prigogine)于1969年正式提出 耗散结构理论。即需要耗散能量的有序 结构称为耗散结构。 非平衡态热力学从复杂开放系统出发， 对系统的熵变化规律描述为
3 能源利用可持续发展的 热力学原理
得出复杂系统总的发展趋势基本可为三 种形式：
3 能源利用可持续发展的 热力学原理
应设法避免在发展过程中的熵产代价大于 从环境获得的熵流。 例如：污水处理过程伴随的熵增与污水与 净水的熵差；矿石冶炼过程的熵增与矿物 的熵值 地球一个开放的耗散结构，有源源不断的 来自太阳的“负熵流”，可维持总体熵值 在可接受的程度。
在一切孤立系统中，物质与外界的热交换 不存在，即dQ=0。故有：
2 熵的发展
1872年玻尔兹曼(L·Boltzmann) ，从分子 运动的角度对克劳修斯的热力学熵理论 进行了发展，引入了“统计熵”的定义。
按玻尔兹曼等概率原理
2 熵的发展
1944年奥地利著名理论物理学家、量子 波动力学创始人、诺贝尔奖获得者薜定 谔(schr6dinger)在他所写的《生命是什 么?》的一书中提出了“负熵”的概念。 薜定谔将Ω的倒数称为有序度的量度。
3 能源利用可持续发展的 热力学原理
流体最小熵产生原理与最小能耗率原理Ⅰ
微分方程组。
2 4 熵平衡方程 根据热力学吉布斯公式[ 6] , 写出单位体积吉布斯公式如下:
( 15) 为非线性偏
TdSV = de + pdVm - d
( 16)
式中: SV 为单位体积熵 ( 亦称局域熵) ; T 为绝对温度; 为化学势; Vm 为体积度, 表示单位质量
37
的体积, 即
Vm =
V m
=
1
( 17)
在假设没有外力场及力学平衡条件下, 对于局域子系统, 式 ( 16) 变为[8]
SV
j
=-
j
T
将式 ( 18) 代入式 ( 14) 中, 则有
SV t
=
-
n j= 1
j
T
j
t
将质量守恒方程式 ( 15) 代入上式推导, 最后得
SV t
=
n
n
(
j= 1
j
T
Jj
)
-
Jj
j= 1
r
n
j
=
-
n Js d
( 24)
= QJ
( 9)
式中: Q 为流量; J 为比降。 最后根据最小能耗率原理, 可以写出:
QJ = 最小值
( 10)
杨志达的上述证明至少存在以下几个问题: ( 1) 假设水流的流速分布只满足连续方程, 而不满足 运动方程, 这样的水流实际上是一种虚拟水流, 在自然界中并不存在。为自然界中的任何水流运动无
中图分类号: TV131
文献标识码: A
1 最小能耗率原理研究回顾及述评
赫姆霍尔兹 ( Helmholtz) 于 1868 年提出适用于缓慢粘性流动的 最小能耗率原理 。其基本观点
新教科版物理选修3-3同步讲义：初 识 熵
第5节初_识_熵一、对熵的认识1．方向性不可逆过程总是系统从有差异的状态向无差异的均匀状态过渡，从有规则向无规则过渡，从集中向分散过渡。
2．有序、无序把系统的有差异的不均匀、有规则、集中说成有序，把系统的无差异的均匀、无规则、分散说成无序。
3．熵代表系统的无序性程度。
无序性大，熵大；无序性小，熵小。
二、熵增原理1．内容孤立系统的熵总是增加的，或者孤立系统的熵总不减少。
2．公式(1)ΔS表示过程中熵的变化，则熵增原理可以表示为：ΔS≥0。
(2)ΔS＝0表示系统处于平衡态，ΔS>0表示孤立系统的任何一个过程熵总是增加的。
3．适用条件孤立系统。
1．判断：(1)热传递的后果总是使得系统的温度分布趋于均匀化。
()(2)同一种物质在不同的状态下熵值一样。
()(3)孤立系统中的气体与外界无能量交换。
()答案：(1)√(2)×(3)√2．思考：刚买的扑克牌按花色及大小规则排列，我们打牌时要洗牌，让其混乱，哪种情况熵更小一些？提示：新牌熵小些，因为按花色及大小有序、有规则排列，故新牌的熵更小些。
1.有序与无序所谓有序，是指事物内部的要素或事物之间有规则的联系和运动转化；无序是指事物内部各种要素或事物之间混乱而无规则的组合和运动变化。
2．扩散、热传递的微观解释(1)扩散：扩散过程中气体分子完全打破了原来的有序分布，变得较为无序。
即从微观角度看，扩散现象实质上是系统向无序程度增加的方向进行的过程。
(2)热传递：高温物体中的分子平均动能大，低温物体中分子平均动能小。
两物体接触前，这些分子有序地按平均动能大小分居两处。
让两物体接触经一段时间后，高温物体温度降低，分子平均动能减小，低温物体的温度升高，分子平均动能增大，最后达到同一温度。
两物体的分子平均动能也变成一个中间值，运动较快的分子不再同运动较慢的分子隔开，分子的运动变得较为无序。
可见，热传递实质上也是向无序程度增加的方向进行的过程。
3．热力学第二定律的微观本质一切不可逆过程总是沿着大量分子热运动无序程度增大的方向进行。
第1章 非平衡态热力学3
例1 金红石加碳的氯化反应
钛白粉学名为二氧化钛 （ Titanium Dioxide）
由气固相反应的动力学方程可以得到
经计算可知 在1073K以及1273K温度下，进行TiO2和C的氯化，其中TiO2 和C的质量比为1：1。体系的压力为P总＝102.1kPa，PCl2＝35.0kPa， PAr＝67.1kPa，总流速为537ml/min。
3.1 多个子体系中各自进行多个化学反应的体系
不考虑体积黏滞性，不考虑扩散，在各子体系中都同时进行 着多个化学反应，体系的总熵增率为
其中 类似于均相体系，同样有
及
（3.1） （3.2）
（3.3）
式中 ， ， ，…分别为一级、二级、三级、…泰勒展开 系数。在近平衡区，只需取一级近似，则
且有昂萨格关系 该体系的质量守恒方程为
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现代物化 非平衡态热力学
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现代物化 非平衡态热力学
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用变分法可以更一般地证明最小熵增原理：
Jk X k Lk,l Xl X k
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• 平衡态是定态的特例.
• 体系达平衡态时一般具有空间均匀性, 如理想气 体达平衡态后, 体系的温度, 压力等强度性质都处 处相等.
• 但当体系受到某种外场作用时, 体系达平衡态时 也会具有某种空间不均匀性.
例如: 处于 重力场作用 下的平衡体 系, 其密度 的分布将随 高度而变化, 此变化遵守 玻尔兹曼分 布律.
热扩散过程最小熵产生定理的推导与讨论
热扩散过程最小熵产生定理的推导与讨论热扩散过程最小熵产生（Minimum Entropy Production，简称MEP）定理是一个描述分散式热扩散过程的定律，它描述了在热扩散过程中能量的流动是有最小熵生成的定律。
它是20世纪70年代瑞士物理学家莱因斯（Ruelle）提出的，它关于热扩散过程中能量和熵之间关系的推论，它可以广泛应用于多种物理系统，例如液体、磁性、电磁等系统。
基本原理：许多物理系统往往在热力学稳定态发展，这个过程就叫做热扩散过程。
在这种热扩散过程中，全局的热力学态定义为能量流的的及时熵改变的绝对值的最小值。
这就是MEP定理，它指热力学过程中，随机能量流和改变熵(Entropy Change)之间的关系，可以用能量流和改变熵之间关系的方程式来表示：ME= λ(∆S)其中ME表示最小熵产生，λ 是一个系数，∆S 是能量变化的熵改变量。
这就是MEP定理的基本原理。
证明原理：MEP定理的根本原理是热力学稳定态的能量改变和熵改变之间的关系，它可以用一般的物理方法证明：设热力学着力于实现全局的稳定态，全局的稳定态表示最初的能量量 E1和最后的能量量 E2之间的能量流，那么可以假定从开始状态到最终状态经历R次循环迭代，考虑到每次循环迭代之间能量和熵的变化：∆E1=E1-E2∆S2=S2-S3 ……将∆E、∆S求和：∆E=∑(∆Ei), ∆S=∑(∆Si)将求和结果代入到拉格朗日不等式：∆E-λ《∆S然后极小化拉格朗日函数的结果得出：ME= λ(∆S)应用：MEP定理可以应用在多种实际的物理系统，其中最重要的应用是在液体热扩散过程中，它可以描述液体在热力学稳定态下，能量和熵之间关系，以及它们产生的最小熵。
此外，它们还应用于河流条件，温度、流量以及温度分布之间的关系，使河流保持最低的温度，最大化节水效果。
此外，MEP定理还被用于磁、电场等实际物理系统中。
由此可见，MEP定理具有广泛的应用，它为解决工程问题提供了很多有效的方法，特别是在复杂系统中，MEP定理可以帮助我们优化热力学稳定态下的能量流和熵改变等参数，以达到节能减排的目的。
最小熵原理的适用范围
最小熵原理的适用范围最小熵原理是信息论中一个重要的原理，它描述了在一定的约束条件下如何选择最优的概率分布。
该原理适用于各种不同领域的问题，例如通信、统计学、机器学习等等。
首先，最小熵原理在通信领域中有着广泛的应用。
在传输数据时，我们通常希望将信息以最高的效率传输出去，即在有限的带宽或时间限制下，能够传输最多的信息量。
信息论中的香农编码和霍夫曼编码就是基于最小熵原理设计的算法。
香农编码通过将出现频率较高的符号用较短的编码表示，而出现频率较低的符号用较长的编码表示，从而实现了传输效率的最大化。
霍夫曼编码则将这个思想推广到了非等概率分布的情况下。
最小熵原理的应用使得通信系统能够高效地传输数据，提高了信息的传输速率。
其次，最小熵原理在统计学中也有着广泛的应用。
在统计学中，我们经常需要估计未知分布的参数或对样本进行分类。
最小熵原理提供了一种选择概率分布的准则，即选择使得熵最小的分布。
最小熵原理认为，对于给定的已知信息，不确定性越小的概率分布越可靠。
因此，通过最小熵原理选择概率分布可以使得估计值更加准确，分类结果更加可靠。
例如，在最大熵模型中，我们通过最小化经验熵和正则项的和来选择概率分布，从而达到更好的分类效果。
最小熵原理在机器学习领域也有着重要的应用。
机器学习的目标是从数据中学习到一个模型，该模型可以对未知数据进行预测或分类。
最小熵原理可以用于选择模型的参数或优化模型的结构。
例如，在决策树算法中，我们通过最小化信息熵或基尼指数来选择节点的划分规则，从而得到更好的分类效果。
最小熵原理也可以应用于神经网络的训练中，通过最小化模型输出与真实标签之间的差异，从而优化模型参数的选择。
此外，最小熵原理还可以应用于物理学、经济学、生物学等各个领域。
在物理学中，最小熵原理可以用于解释热力学中的平衡态和非平衡态。
在经济学中，最小熵原理可以用于描述市场的供求关系，并预测价格的变化。
在生物学中，最小熵原理可以用于解释生物体内的信息传递和遗传编码。
线性非平衡态热力学
1、唯象关系— 流与力
处于非平衡态的热力学体系，发生的不只一种热力学力与 流的不可逆过程，往往同时存在多种不可逆过程。这些过程会 相互影响。一种热力学流不仅仅是产生该流的力的函数，还是 其它热力学力的函数。 例如：表明物质流与浓度梯度成正比的斐克定律，表明粘性 应力与速度成正比的牛顿粘性定律，表明化学反应率和化学亲和 力成正比的化学反应定律等都有类似线性关系，分别描述各不可 逆过程规律，以上统称为线性唯(现) 象定律。其共同特征可说明 某种流与力( 或势) 的关系。 用唯象关系表示为: J = XL J— 代表流， x — 代表力， L— 代表唯象系数。
线性非平衡态热力学特征
唯象系数的性质 唯象系数会受到各种限制 （1）第二定律限制 由热力学第二定律，体系内部的熵变不可能小于零，因此， 非平衡体系熵产生的唯象系数必须满足此要求。 （2）空间对称限制 ( Curie原理) 居里首先提出物理学上的对称性原理：在各向同性的介质中， 宏观原因总比它所产生的效应具有较少的对称元素 Prigogine把 Curie对称原理延伸到热力学体系：即简单表述为力不能比与之 耦合的流具有更强的对称性。空间对称限制原理对非平衡体系 中的各不可逆过程之间的耦合效应给出了一定的限制。普里高 金认为：非平衡体系中不是所有的不可逆过程之间均能发生耦 合，在各向同性的介质中，不同对称特性的流与力之间不存在 耦合。
线性非平衡态热力学特征
图1：线性区总熵产生随时间的变化
时 图1表明，在非平衡态的线性区，系统随着时间的发展总是 朝着总熵产生速率减少的方向进行，直至达到定态。在定态熵 产生速率不再随时间变化。
线性非平衡态热力学特征
由最小熵产生原理得出结论： 线性区非平衡定态是稳定的如图2 X 代表某状态变量，设体系已处 于定态1，由于涨落(扰动) 体系可 偏离定态达到某个与时间有关的 非定态2。 根据最小熵产生原理，体系的 熵产生会随时间减小，最后返回到 图2：最小嫡产生原理及稳定性示意图 与最小熵产生相对应的定态1。这种 现象与力学中的“ 惯性” 原理相似，因而又称“ 惯性”原理或 “ 回归” 原理。
最小熵产生原理
最小熵产生原理嗨，朋友们！今天咱们来聊一个超级有趣的话题——最小熵产生原理。
这听起来是不是有点高大上？别担心，我会用最通俗易懂的方式给大家讲明白的。
我有个朋友叫小李，有一天我们一起出去散步。
他看到路边有个落叶堆，就突然问我：“你说这世界上的东西怎么总是从有序变得无序呢？就像这些树叶，从树上整整齐齐地长着，到现在乱七八糟地堆在这儿。
”我当时就乐了，跟他说：“这就和熵有关啦，熵就是描述一个系统的混乱程度的。
”那这个最小熵产生原理呢，就像是宇宙的一个“节俭”法则。
想象一下，宇宙就像一个超级大的家庭，里面的每个小系统就像家庭里的成员。
这个家庭的资源是有限的，所以每个成员都不会随意地挥霍能量，让自己变得特别混乱。
这就有点像我们过日子，谁也不想把自己的家弄得一团糟，对吧？我们再来看一个例子。
假如有一个热的物体和一个冷的物体放在一起，热量会从热的物体传向冷的物体。
这个过程是很自然的，就像水往低处流一样。
那这个热量传递的过程呢，其实就是在遵循最小熵产生原理。
如果热量可以随便乱传，一会儿从热的到冷的，一会儿又从冷的到热的，那这个系统可就乱套了，熵就会变得很大。
可是宇宙不喜欢这样，它就像一个精明的管家，总是让这个热量传递按照最“节省”熵增加的方式来进行，也就是让这个过程尽可能地平稳、有序。
在化学反应里也有这样的情况。
我记得在化学课上，老师做实验的时候，那些化学物质反应的时候，并不是毫无规律地乱反应。
它们也像是一群很听话的小士兵，按照最小熵产生原理来进行反应。
比如说有些反应会朝着让整个体系的能量分布更均匀、更稳定的方向进行。
这就好比是大家一起合作，找到一个最和谐的状态，而不是各自为政，把整个局面弄得混乱不堪。
我又想到了一个事儿。
我之前参加过一个环保活动，在活动里大家都在讨论如何让生态系统保持平衡。
这其实也和最小熵产生原理有点关系呢。
生态系统里有各种生物，植物、动物、微生物。
它们之间相互作用，形成了一个复杂的网络。
这个网络如果要健康地运行下去，就不能有太多的“浪费”和“混乱”。
我理解的最小熵产生原理
我理解的最小熵产生原理摘要： 通过上课知道了最小熵产生原理，在稳定状态下，熵产生速率最小。
也了解到，能量流和物质流对熵产生有一定影响。
通过阅读文献，资料，老师的ppt ，说说自己理解的熵产生定理。
关键词：最小熵产生原理 昂萨戈倒易 定态 最小熵产生态前言： 最小熵产生定理，在非平衡态的线性区（非线性区），系统处于定态时熵产生速率取最小值，它是由普里戈金于1945年提出的。
它是非平衡热力学中一条重要定理，与昂萨戈倒易构成非平衡态热力学的基础。
正文： 我们知道体系的混乱程度，公式表达，即热能除以温度所得的商，标志热量转化为功的程度。
且由热力学第二定律知，一个孤立系统的无论系统在什么状态不可逆过程总是沿着系统熵增加的方向进行。
最后达到最大熵的状态也就是平衡态。
但是当系统并不是出于一个完全隔离系统，在有外热或外热的状态时，譬如如果一个隔热箱两壁都是相同温度的热源（假设T 1=T 2）。
会达到一个相对平衡态（其实并不是平衡，只是近平衡态吧）。
系统熵会沿减小的方向进行。
直到熵产生为零。
定态：当dS/dT=0,即单位时间内的负熵流抵消熵产生。
通过PPT 可知用变分法可一般性证明该原理。
体系中各种热力学力和流均为定值，不再随时间变化，故有 K=1,2,3dP/dT=0 故熵增取极值，即为最小熵原理,,()k l k l l k V k l V X X dP dV L X X dV dt t t t σ∂∂∂==+∂∂∂∑⎰⎰,,k k k l l k k k l J X L X X σ==∑∑()k l k l k l V X X J J dV t t ∂∂=+∂∂∑∑⎰2k k V kX J dV t ∂=∂∑⎰0k X t ∂=∂可以理解非平衡系统在多个恒定力的作用下，最终达到一个与这些恒定力不相对应的流消失，熵产生率极小的非平衡稳定态。
即虽然系统处于非平衡态（近平衡态），但此时混乱程度最小。
从而达到相对稳定的状态。
耗散结构论
耗散结构论耗散结构理论的创始人是伊里亚·普里戈金(Ilya Prigogine)教授，由于对非平衡热力学尤其是建立耗散结构理论方面的贡献，他荣获了1977年诺贝尔化学奖。
普里戈金的早期工作在化学热力学领域，1945年得出了最小熵产生原理，此原理和翁萨格倒易关系一起为近平衡态线性区热力学奠定了理论基础。
普里戈金以多年的努力，试图把最小熵产生原理延拓到远离平衡的非线性区去，但以失败告终，在研究了诸多远离平衡现象后，使他认识到系统在远离平衡态时，其热力学性质可能与平衡态、近平衡态有重大原则差别。
19世纪存在着两种对立的发展观。
一种是以热力学第二定律为依据推演出的退化观念体系，它认为，由于能量的耗散，世界万物趋于衰弱，宇宙趋于“热寂”，结构趋于消亡，无序度趋于极大值，整个世界随着时间的进程而走向死亡；另一种是以达尔文的进化论为基础的进化观念体系，它指出，社会进化的结果是种类不断分化、演变而增多，结构不断复杂而有序，功能不断进化而强化，整个自然界和人类社会都是向着更为高级、更为有序的组织结构发展。
显然，物理学与生物学、社会学中的这两种观点至少表面上在发展观上是根本对立的。
难道生命系统与非生命系统之间真的有着完全不同的运动规律吗？为此，物理学家普利戈金创立了“耗散结构论”，他认为，无论是生命物质还是非生命物质，应该遵循同样的自然规律，生命的过程必然遵循某种复杂的物理定律。
以普里戈金为首的布鲁塞尔学派又经过多年的努力，终于建立起一种新的关于非平衡系统自组织的理论──耗散结构理论。
这一理论于1969年由普里戈金在一次“理论物理学和生物学”的国际会议上正式提出。
自组织现象是指自然界中自发形成的宏观有序现象。
在自然界中这种现象是大量存在的，理论研究较多的典型实例如：贝纳德(Bé nard)流体的对流花纹，贝洛索夫－扎鲍廷斯基(Belousov-Zhabotinsky)化学振荡花纹与化学波，激光器中的自激振荡等。
不可逆过程热力学理论
热寂说、生物进化，…。
2
★自组织现象
系统内部由无序变为有序使其中大量分子按一定的规律运动的现象
生命过程的自组织现象
► 各种生物都是由各种细胞按精确规律组成的高度有序的机构：
☺人大脑是由150亿个左右神经细胞组成的极精密及有序组织；
第五章 不可逆过程热力学简介
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§5-1 概 述
自然界的一切实际过程都是不可逆的。不可逆过程 并不能使能量消失，但发生了能量的耗散。过程不可逆 性的本质微观表现:孤立系统内的一切不可逆过程是使系 统的分子（或其它微小单元）的运动从某种有序的状态 向无序状态转化，最后达到稳定平衡状态（最无序的状 态），并保持这种状态不再变化。
这种认识不仅为弄清物理学和化学中各种有序现象的起因指明了方向，也 为 阐明像生命的起源、生物进化以至宇宙发展等等复杂问题提供了有益的启 示，更有助于人们对宏观过程不可逆性的本质及其作用的认识。
系统内部究竟是什么因素导致定态的不稳定而发生分支的呢? ——涨落的作用。
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► 通过涨落达到有序 无论平衡态还是非平衡定态都是系统在宏观上不随时间改变的状态， 实际 上由于组成系统的分子仍在不停地做无规则运动，因此系统的状态表现为宏 观均匀态，但在局部上经常与宏观平均态有暂时的偏离。这种自发产生的微 小偏离称为涨落。 另外宏观系统所受的外界条件也或多或少地总有一些变动。 因此，宏观系统 的宏观状态总是不停地受到各种各样的扰动。随着控制条件 的改变，有的涨落分量随时间很快地哀减掉，有的涨落分量却会随时间长大， 以致其振幅终于达到宏观尺度而使系统进入一种宏观有序状态，这样就形成 了耗散结构。远离平衡态的系统的定态的不稳定以致发展到耗散结构的出现 就植根于这种涨落，普里高津把这个过程叫 做"通过涨落达到有序"。
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关于非平衡态热力学最小熵产生原理的最合理解释
通过上课知道了最小熵产生原理：在稳态状态下，熵产生速率最小。
也了解了一下，能量流和物质流对熵产生有一定的影响，从而引发出普里戈金的最小熵产生原理的合理解释，但不知道具体的作用机理，通过阅读文献、资料和老师的讲义，自己得到了如下的一点点见解。
昂萨格倒易关系与最小熵产生原理 昂萨戈（Onsager）倒易关系力与流之间的线性唯象关系恰当地关联了各种缓慢的不可逆过程，但非平衡系统中如果存在n种力，就需要确定n2个唯象系数，这仍然是一个极困难的问题。
然而热力学第二定律，空间与时间对称性所强加的限制使这些唯象系数间必须满足一定的关系。
这些关系中最为重要的就是Onsager倒易关系：线性唯象系数具有对称性。
即当第i个不可逆过程的流Ji受到第j个不可逆过程的力Xj影响时(Lij)，第j个不可逆过程的流Jj也必定同样受到第i个不可逆过程力Xi的影响(Lji)表征这两种相互影响的耦合系数相等Lij=Lji。
Onsager倒易关系得到大量实验事实的支持。
有了Onsager倒易关系，就使需要确定的唯象系数个数减少。
.最小熵产生原理如果不考虑外场(如重力场)的作用将一个系统从环境中
隔离出来，根据热力学第二定律，在隔离系统中无论系统开始处于什么状态不可逆过程总是沿着系统熵增加的方向进行。
在二组分系统：当T1, T2均是绝热壁时，系统是隔离系统，根据热力学第二定律，无论系统开始处于什么状态，不可逆过程总是沿着系统熵增加的方向进行在充分长的时间后，系统达到具有最大熵值的平衡态，一切宏观的变化过程停止进行，熵是隔离系统演化的判据；当T1, T2是具有相同温度的巨大热源时，仍然会达到一个热力学平衡状态。
系统的状态会沿着熵产生减小的方向变化，直到熵产生为零，这时一切不可逆过程都已停止，系统达到一个热力学平衡状态。
当T1, T2是温度不同(T1＞T2)的巨大热源时，由于环境强加给系统一个不均匀的限制条件，这时系统将如何变化?最终到达一个什么样的状态呢?由于温差会引起浓度差，因此系统中同时存在一个引起热传导的力X1和一个引起物质扩散的力X2，假定热传导和扩散过程的力X与流J满足线性关系：
J1= L11 X1+L12X2
J2= L21 X1+L21X2
根据Onsager倒易关系L21=L12则熵产生率：
σ=J1X1+J2X2 =L11X12+L12X1X2+L22X22非对角线唯象系数不起主导作用。
为研究热导力恒定而扩散力扩散流可以自由变化时，熵产生如果变化，即在X1恒定时将对X2求导，等于2J2 实际上当系统经过足够长的时间后系统会到达一个扩散流J2=0而热导流J1依然存在且不随时间变化的非平衡定态。
在此非平衡定态下，由于等于0，所以σ=L11X12+L12X1X2+L22X22 取极值。
又因
2L22>0,这个极值必然是极小值。
普里戈金（Prigogine）一般性地证明了这一结论：“线性非平衡系统的熵产生率P随时间的进行总是朝着熵产生率减小的方向进行，直到熵产生率处于极小值，达到非平衡的定态。
这时熵产生率不再随时间变化，即“=”号对应定态情况,“＜”号对应离开定态的情况：这就是最小熵产生原理。
非平衡系统在多个恒定“力”的作用下，最终将达到一个与这些恒定“力”不相对应的流消失，熵产生率
极小的非平衡稳定态。
同时，最小熵产生原理还保证了非平衡态线性区各点性质不随时间变化的定态是稳定的。
根据最小熵产生原理，定态具有最小的熵产生率，任何在有限扰功下偏离定态的状态都具有比定态更大的熵产生，即P定态＜P扰动态，同时扰动态的熵产生率保证了扰动态的熵产生会随时间的延续不断减小，直到恢复为该条件下的极小值P定态，系统自动恢复到定态。
因此，非平衡线性区的定态是稳定的。
最小熵产生原理可表述为：在非平衡态的线性区(近平衡区)，系统处于定态时熵产生速率取最小值。
它是1945年由普里戈金确立的。
为了讨论该原理，先说明什么叫定态？
图I 混合气体的热扩散
如图1所示，设有一容器充入A、B两种气体形成均匀混合的气体系统。
实验时，把一温度梯度加到容器左右两器壁间，一为热壁、一为冷壁。
实验观测到，一种气体在热壁上富集，而另一种气体则在冷壁上富集。
这是由于热扩散带来的结果。
此外，我们还会发现，温度梯度的存在不仅引起热扩散，同时还导致一个浓度梯度的产生，即自热壁至冷壁会存在A、B两种气体的浓度梯度。
结果，熵一般地总是低于开始时气体均匀混合的熵值。
如果一个系统不受任何强加的外部限制，实际上即为隔离系统。
在隔离系统中，不论系统初始处于何种状态，系统中所有的广义推动力和广义通量自由发展的结果总是趋于零，最终达到平衡态。
然而对一个系统强加一个外部条件，如前述热扩散例子，在系统两端强加温度梯度，会引起一个浓度梯度，于是系统中同时有一个引起热扩散的力Xq和一个引起物质扩散的力X m，以及相应热扩散通量J q和物质扩散通量J m。
但是由于给系统强加的限制是恒定的热扩散力X q，而物质扩散力X m和物质扩散通量J m可以自由发展，发展的结果，系统最终会到达一个不随时间变化的状态，这时J m=0，气体混合物系统的浓度呈均匀分布，但热扩散通量依然存在。
因此，这个不随时间变化的状态不是平衡态，而是非平衡定态，简称定态)。
在非平衡态的线性区，可以证明总熵产生速率具有下列特征
上式即为最小熵产生原理的数学表达式。
它表明，在非平衡态的线性区，系统随着时间的发展总是朝着总熵产生速率减少的方向进行，直至达到定态。
在定态熵产生速率不再随时间变化。
如图2所示。
图2 线性区总熵产生速率随时间的变化
从最小熵产生原理可以得到一个重要结论：在非平衡态的线性区，非平衡定态是稳定的。
设想，若系统已处于定态，假若环境给系统以微扰(或涨落)，系统可偏离定态。
而由最小熵产生原理，此时的总熵产生值大于定态的总熵产生值，而且随时间的变化总熵产生值要减少，直至达到定态，使系统又回到定态，因此非平衡定态是稳定的。
进而还可以得到结论：在非平衡态的线性区(即在平衡态附近)不会自发形成时空有序的结构，并且即使由初始条件强加一个有序结构(如前述的热扩散例子)，但随着时间的推移，系统终究要发展到一个无序的定态，任何初始的有序结构将会消失。
换句话说，在非平衡态线性区，自发过程总是趋于破坏任何有序，走向无序。