有限离散函数的导数和性质

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求函数的极限值的方法总结

求函数的极限值的方法总结在数学中，函数的极限值是指函数在某一特定区间上取得的最大值或最小值。

求解函数的极限值是数学分析中经常遇到的问题之一，下面将总结一些常用的方法来求解函数的极限值。

一、导数法对于给定的函数，可以通过求导数来判断函数在某一点附近的单调性和极值情况。

导数表示了函数在某一点处的变化率，通过求导数可以获得函数的驻点（导数为零的点）以及极值点。

一般来说，当函数从单调递增变为单调递减时，即导数由正变负，函数的极大值出现；当函数从单调递减变为单调递增时，即导数由负变正，函数的极小值出现。

所以，通过求导数可以找到函数的极值点，然后通过比较极值点和边界点的函数值，即可确定函数的极限值。

二、二阶导数法在某些特殊情况下，求函数的二阶导数可以提供更加准确的信息来确定函数的极限值。

当函数的二阶导数恒为正时，表示函数处于凸型，此时函数可能有极小值但没有极大值；当函数的二阶导数恒为负时，表示函数处于凹型，此时函数可能有极大值但没有极小值。

通过对二阶导数进行符号判断，可以帮助确定函数的极限值。

三、极限值存在性判定对于一些特殊的函数，通过判定函数的极限值是否存在可以快速确定函数的极限值。

当函数在某一区间上连续且存在最大最小值时，函数的极限值也会存在。

因此，可以通过求解函数在区间端点的函数值，并比较这些函数值来确定函数的极限值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种通过引入约束条件来求解极值的方法，特别适用于求解带有约束条件的函数的极值。

通过构造拉格朗日函数，将原始问题转化为无约束的极值问题，然后通过求解极值问题来确定函数的极限值。

五、切线法切线法是一种直观而有效的求解函数极值的方法。

通过观察函数图像，在极值附近找到一条切线，使得切线与函数图像的接触点的函数值最大或最小。

通过近似切线与函数图像的接触点，可以获得函数的极值的近似值。

六、数值法数值法是一种通过计算机进行数值逼近的方法来求解函数的极限值。

通过将函数离散化，并在离散点上进行计算，可以得到函数在这些离散点上的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的极限值。

考研314数学(农)大纲

数学(农)大纲一、函数、极限、连续函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系。

2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3. 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。

5. 了解数列极限和函数极限(包括左极限和右极限)的概念。

6了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法。

7理解无穷小量的概念和基本性质,掌握无穷小量的比较方法,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。

8. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判断函数间断点的类型。

9. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。

二、一元函数微分学导数和微分的概念导数的几何意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数和隐函数的微分法高阶导数微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数的最大值与最小值1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程。

2. 掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求隐函数的导数。

3. 了解高阶导数的概念,掌握二阶导数的求法。

有关联的数学概念

有关联的数学概念在数学中，有很多概念是彼此关联的，它们构成了一个庞大而错综复杂的知识网络。

以下是一些常见的关联数学概念：1. 数字与数列：数字是数学中最基本的概念之一，它们按一定顺序排列形成数列。

数列可以是等差数列（每个数之间的差相等）、等比数列（每个数与前一个数的比相等）等等。

数列的总和可以用数列求和公式来计算。

2. 运算符与方程：数学中各种运算符（如加法、减法、乘法、除法、指数等）用于进行数学运算。

方程是带有未知数的等式，解方程就是找到使方程成立的未知数的值。

解方程的方法包括代入法、消元法、配方法等。

3. 几何与代数：几何和代数是数学中两个重要的分支。

几何研究点、线、面、体等几何元素之间的关系，而代数则研究符号和运算规则。

几何可以用代数的方法进行推导和证明，而代数也可以用几何的方法来解释和展示。

4. 连续与离散：连续和离散是数学中两个基本的概念之一。

连续指的是数学对象在一定范围内可以无限细分的性质，如实数、连续函数等；而离散则指的是数学对象在一定范围内只能取有限个值的性质，如整数、离散函数等。

连续和离散可以相互转换，例如通过近似的方法将连续对象离散化或者通过取极限的方法将离散对象连续化。

5. 概率与统计：概率和统计是数学中两个重要的分支。

概率研究随机事件的发生可能性，通过概率模型来计算和预测随机事件的结果；而统计则是根据现有数据来推断总体情况，并给出相应的推断和估计。

概率和统计有着密切的联系，它们共同构成了数理统计学。

6. 极限与导数：极限和导数是微积分中的两个重要概念。

极限研究函数在某一点逼近某个值的性质，它是微积分的基础；导数则研究函数在某一点的变化率，它描述了函数的瞬时变化情况。

极限和导数相关联，导数可以通过极限的方法来定义和计算。

7. 矩阵与向量：矩阵和向量是线性代数中的基本概念。

矩阵是由数值按照矩形排列而成的方阵，它们可以进行加法、乘法等运算；向量是由大小和方向组成的量，它们可以进行加法、数乘等运算。

新高考高中数学知识点全总结

新高考高中数学知识点全总结一、集合与简易逻辑1. 集合定义：集合是由确定的对象所组成，这些对象称为集合的元素。

表示方法：列举法、描述法。

集合之间的关系：子集、真子集、相等。

集合的运算：并集、交集、补集。

2. 简易逻辑充分条件与必要条件。

四种命题及其关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。

逻辑联结词：且、或、非。

二、函数1. 函数的概念定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作y=f(x)，x∈A。

其中，x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域；与x的值对应的y值称为因变量，因变量的取值范围称为函数的值域。

2. 函数的性质单调性：函数在某一区间内，函数值随自变量增大而增大（或减少）的性质。

奇偶性：若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

3. 常见函数一次函数：f(x)=kx+b (k≠0)。

二次函数：f(x)=ax²+bx+c (a≠0)。

指数函数：f(x)=a^x (a>0, a≠1)。

对数函数：f(x)=logₐx (a>0, a≠1)。

幂函数：f(x)=x^α (α为实数)。

三、数列1. 数列的概念定义：按一定顺序排列的一列数称为数列。

通项公式：表示数列中每一项与项数之间关系的公式。

2. 等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

通项公式：aₙ=a₁+(n-1)d。

前n项和公式：Sₙ=n/2[2a₁+(n-1)d]。

3. 等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。

通项公式：aₙ=a₁q^(n-1)。

前n项和公式：Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。

四、三角函数1. 角度与弧度角度制：用度（°）、分（'）、秒（''）来表示角的大小的制度。

数学：3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)

上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何意义，研究单调性的定义与其导数正负的关系？在某个区间（a,b）内， ①如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. ②如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x) 有什么特性？
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0,
解：f (x)=2ax - x3在（ 0， 1]上是增函数， f '(x)=2a - 3x 0在（ 0， 1]上恒成立， 3 2 即：a x 在（0， 1]上恒成立， 2 3 2 3 而g( x ) x 在（0， 1]上的最大值为， 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数
在

2024年高考数学第一轮复习知识点总结

2024年高考数学第一轮复习知识点总结一、函数与方程（约占25%）1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。

3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。

4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。

5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。

6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。

7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。

二、空间与向量（约占15%）1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。

2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。

3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。

4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。

三、导数与微分（约占15%）1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。

2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。

3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。

4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。

四、概率与统计（约占15%）1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。

2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。

3. 概率分布：离散型随机变量的分布、二项分布、泊松分布、连续型随机变量的分布、均匀分布、正态分布。

4. 统计与抽样：参数与统计量、抽样方法与数据处理、样本均值与总体均值的关系、抽样分布与中心极限定理。

五、数列与数列极限（约占13%）1. 数列与数列极限：数列的概念与性质、数列极限的定义与性质、等差数列、等比数列、收敛性判定、数列极限的性质。

浙江高一数学知识点

浙江高一数学知识点浙江高一数学知识点概述一、函数与导数1. 函数的概念与性质- 定义：函数是两个变量之间的一种特殊关系，其中一个变量的值依赖于另一个变量的值。

- 函数的表示方法：符号表示法、表格表示法、图形表示法。

- 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。

2. 函数的运算- 四则运算：加法、减法、乘法、除法。

- 复合函数：两个函数的组合。

- 反函数：一个函数的逆过程。

3. 常见函数类型- 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数。

4. 导数的概念与计算- 导数的定义：表示函数在某一点处的瞬时变化率。

- 导数的计算方法：利用导数公式、链式法则、乘积法则、商法则。

5. 导数的应用- 极值问题：利用导数求解函数的极大值和极小值。

- 曲线的切线与法线：导数在几何中的应用。

二、平面解析几何1. 平面直角坐标系- 坐标系的建立与性质。

- 点的坐标表示。

2. 直线的方程- 点斜式、斜截式、一般式、截距式。

- 两直线的位置关系：平行、垂直、相交。

3. 圆的方程- 标准圆方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。

- 一般圆方程：Ax + By + C = 0。

4. 椭圆、双曲线、抛物线的方程- 椭圆的标准方程：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。

- 双曲线的标准方程：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。

- 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c。

5. 曲线的交点与方程组- 曲线交点的求解。

- 方程组的解法：代入法、消元法。

三、立体几何1. 空间直角坐标系- 坐标系的建立与性质。

- 点的空间坐标表示。

2. 直线与平面的方程- 空间直线的方程：对称式、参数式。

- 空间平面的方程：一般式、点法式。

3. 立体图形的性质- 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的基本性质。

- 体积与表面积的计算。

4. 空间图形的位置关系- 直线与平面、平面与平面的平行与垂直。

有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍

有限差分，有限元，有限体积等离散方法的区别介绍1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

2导数的基本概念

Chap2 导数产生:①光滑曲线()y f x =在点(,)P x y 处的切线.根据正切角α,从通过P 点的所有直线中选择一条,知道该点的邻域性质即可; ②非匀速速度。

应用：几何,力学,光学中的最优化问题；极大和极小值问题.割线的极限位置.曲线上的两点间连线的极限,和其它直线的不同：这个方向是唯一的。

什么方向呢?与x ∆引起的y ∆有关,而其余的方向与y ∆无关.隅点和尖点没有唯一的方向:该点是不同曲线的交点,所以在不同方向有不同的y ∆. 一导数概念的三个理解1切线是割线的导数----因变量增量与自变量增量的关系1α是割线PP 1同正x 轴构成的夹角，α是切线同正x 轴构成的夹角，则11lim p pαα→=。

Y=f(x)图2-1 导数的定义可得：11111()()tan y y f x f x x x x xα--==--，则极限过程的表达式 11111()()limlim tan tan x xx x f x f x x xαα→→-==- def2.1.1(函数的差商)表达式1111()()f x f x y y yx x x x x--∆==--∆，称为函数()y f x =的差商，其中y ∆和x ∆分别表示函数()y f x =和自变量x 之差分。

α的正切，即曲线的“斜率”，等于函数()y f x =的差商当1x x →时所趋向的极限。

Def2.1 （函数在某一点的导数）将这个差商的极限称为函数()y f x =在点x 处的导数，''()y f x =是导数的拉格朗日（Lagrange ）表示法，(),,()dy df x d f x dx dx dx ⎛⎫⎪⎝⎭是莱布尼茨表示法。

说明：''()y f x =称为导函数，表示导数本身是x 的函数，因为所考虑的区间上的每一个x 值都对应一个'()f x 的值。

用导函数，导曲线强调这个事实，并不表示导数是一种特殊类型的函数，在初等函数之外的新型函数，而是表示与()y f x =的关系是导数与函数的关系。

matlab离散数据求导

matlab离散数据求导
在MATLAB中，可以使用diff函数来求解离散数据的导数。

diff函数用于计算向量或矩阵的差分。

假设你有一个包含离散数据的向量x，对其进行求导的方法如下：dx = diff(x); % 计算x的差分
dy = diff(y); % 计算y的差分
其中，dx和dy分别表示x和y的差分，可以理解为对应坐标上的斜率。

需要注意的是，由于差分会减少一个数据点，因此导数的长度将比原始数据的长度小1。

如果你想要计算更高阶的导数，可以多次应用diff函数，例如：
d2x = diff(dx); % 计算x的二阶导数
除了使用diff函数，MATLAB还提供了其他的数值微分函数，如gradient和diff等，可以根据具体需求选择合适的函数来求解离散数据的导数。

有限元知识点总结

答：常应变三角形单元：形函数只与节点坐标有关；单元应变分量均为常量；
收敛性：位移函数含单元常量应变；反应单元刚体位移；单元内部位移连续；相邻公共边界连续协调。
四节点矩形单元：位移函数满足收敛性条件，为协调单元；较常应变单元有更高的计算精度。
六节点三角形单元：比常应变三角形单元精度高
30、非节点载荷等效的基本原则是什么？
答：能量等效原则和圣维南原理。
31、试计算三节点三角形边界上不同线性分布载荷的等效节点载荷。（参考教材P58面）
答：1.均质材料单元所受体力等效，只需将单元外载荷均匀等分至各个节点即可
2.边界受均匀分布力等效，只需将单元边界上的分布载荷之和平均分配至受力的连个节点
3.边界受三角形分布面力等效，总力ql/2，分布力ql/6;ql/3
23、何为单元的协调性和完备性条件？为什么要满足这些条件？平面问题三节点三角形单元是如何满足这些条件？矩形四节点单元是否满足？
答：完备性准则：如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元函数至少是m阶的完全多项式。
24、何为协调单元？何为非协调单元？为什么有时非协调单元的计算精度还高于协调单元？
答：1.位移函数应包含刚体位移
2.位移函数应能反映单元的常应变状态
3.位移函数在单元内要连续，在单元边界上要协调。
19、位移函数构造为何按Pascal三角形进行？为什么？
答：选取多项式具有坐标的对称性，保证单元的位移分布不会因为人为选取的方位坐标不同而变化。
20、如何理解有限元解的下限性？简要说明。
11、以平面微元体为例，考虑弹性力学基本假设，推导微分平衡方程。
12、常见的弹性力学问题解法有哪几类？各有何特点或局限？简述求解思路？

信号与系统第六章Z变换

差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的作用下，其输出信号不会无限增长，则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点位置和类型来分析系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如果两个信号在时间上相乘，那么它们的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因为它允许我们通过将两个信号相乘来得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领域的重要基础课程，其中第六章z变换是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数学工具，用于分析离散时间信号和系统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变换转换为复数序列，用于分析离散时间系统的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应，了解系统在不同频率下的性能表现。

离散点的导数算法

离散点的导数算法作者：白东玉赵康张杰杨文来源：《现代信息科技》2020年第05期摘要：目前的微积分总体说来都是利用函数求微分和积分而来，最近几年发展起来的线性回归也需要先把数据训练成一个模型后才能对数据进行预测。

文章介绍一种脱离数据到模型的方式，提出一种数据即模型的理论，这种模式仅采用最简单的数学计算得出导数斜率，从而获得离散数据中的导数，这种导数将突破微积分导数的概念，但这种导数具有和微积分导数同样的作用，即线性的变化趋势。

相信这种方式在大数据的今天能得到广泛实践。

关键词：离散曲线;切线;数据科学;微分中图分类号：O241.82 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2020）05-0035-03Derivative Algorithm for Discrete PointsBAI Dongyu，ZHAO Kang，ZHANG Jie，YANG Wen（Power China Kunming Engineering Corporation Limited，Kunming 650000，China）Abstract：In general，the current calculus is the use of functions to differentiate and integrate，the development of linear regression in recent years also needs to train the data into a model before the data can be predicted. This paper introduces a way of breaking away from data to model，and puts forward a theory of data as model. This model only uses the simplest mathematical calculation to get derivative slope，so as to obtain derivative in discrete data. This derivative will break through the concept of calculus derivative，but this derivative has the same function as calculus derivative，that is，linear change trend. I believe that this way can be widely practiced in today’s big data.Keywords：discrete curve;tangent;data science;differential0 引言一直以来，对于离散数据点曲线都存在一种认知，从总体上看，离散数据点可以构成一条直观的曲线，也认为它应该能够有类似导数的意义来确定某个位置的发展变化，但从微观上看，离散数据点是不连续的，且无法构成真正的线条，因此无法使用导数来研究其中的变化趋势。

有限元的性质和收敛性

有限元的性质和收敛性有限元的性质和收敛性一、有限元解的收敛准则有限单元法作为求解数学微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同在于有限单元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。

因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。

里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。

现在要研究什么是有限元解的收敛性提法？收敛的条件又是什么？在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。

如果采用完全多项式作为单元的插值函数（即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。

但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。

有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。

下面仍以含有一个待求的标量场函数为例，微分方程是：A(φ) = L(φ) + b = 0 (1.1)相应的泛函是：（1.2）假定泛函∏中包含φ和它的直至m阶的各阶导数，若m阶导数是非零的，则近似函数至少必须是m次多项式。

若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p≥m，这时及其各阶导数在一个单元内的表达式如下：......（1.３）由上式可见，由于是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中都包含有常数项。

但单元尺寸趋近于零时，在每一单元内及其直至m阶导数将趋近于它的精确值，即趋近于常数。

因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。

如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋近于它的精确值。

有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。

从上述讨论可以得到下列收敛准则：准则1完备性要求。

如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。

连续函数的导数与性质

连续函数的δ导数与性质杨根尚(数学与信息学院数学与应用数学专业00级5班)摘要文［1］关于连续函数的δ导数的研究表明，在采样点无限增多的情形下，它与有限离散函数概念相一致；在极限情形下，它与常规意义下连续函数导数概念相一致。

它具有与常规意义下导数相类似的性质。

但不能将常规意义下的导数的性质都平移到连续函数的δ导数中来，本文给出了这样两个连续函数乘积的δ导数的性质定理。

关键词：连续函数；δ导数；最佳平均逼近直线1 引言文［3］对有限离散函数导数概念作了研究。

文［1］在文［3］的基础上，引入了连续函数的δ导数新概念并研究了δ导数的一些性质。

结果表明它与常规意义下的导数有相类似的性质。

本文是在文［1］的基础上继续讨论了连续函数的δ导数的性质，给出了两个连续函数乘积的δ导数的性质定理，同时将文［1］中性质3用另一种方法给予了证明。

2 连续函数的δ导数的定义定义1［1］设函数)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数，0x 为),(b a 内一点，δ为一正数，满足],,[],[00b a x x ⊂+-δδ我们称dxx x dxx f x f x x x x x x 2000)()]()()[(0000---⎰⎰+-+-δδδδ为)(x f y =在点0x 的δ导数，记为.0x x xy=δδ由于)(x f y =是],[b a 上的连续函数，因此上面引入的δ导数有意义。

这说明只要)(x f y =在],[b a 上连续，则它的δ导数就存在。

而在常规意义下，连续函数的导数不一定存在。

例如，按照本文的定义，函数x y =在0=x 点的δ导数为：==0x x xy δδ0)()]()()[(220000000==---⎰⎰⎰⎰--+-+-δδδδδδδδdxx dx x x dxx x dxx f x f x x x x x x 而x y =在0=x 点导数是不存在的。

3 连续函数的δ导数的几何意义类似于研究有限离散函数的几何意义［3］，下面我们将研究连续函数)(x f y =在0x 点的δ导数的几何意义。

偏微分方程的离散化方法4

偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法4偏微分方程是描述自然现象和物理过程的重要数学工具。

离散化方法是对偏微分方程进行数值求解的一种常用方法，通过将连续的自变量离散化成一系列离散点，将偏微分方程转化为一组代数方程，从而实现通过数值计算求解偏微分方程的目的。

离散化方法有多种，本文将介绍四种常用的离散化方法：有限差分法、有限元法、谱方法和配点法。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程中的导数项用差商逼近。

对于偏微分方程中的一阶导数项，可以使用一阶中心差分公式进行离散化：\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h},\]其中$h$为离散步长。

对于二阶导数项，可以使用二阶中心差分公式：\[f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})}{h^2}.\]根据具体问题的边界条件，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，通过求解这组代数方程得到数值解。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学等领域的离散化方法。

与有限差分法类似，有限元法也将偏微分方程中的导数项离散化，但是它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。

每个有限元内部的离散点称为节点，假设在每个有限元内，问题的解可以用一个简单的多项式逼近，如线性多项式或二次多项式。

在每个有限元内，偏微分方程的解用这些节点的函数值进行近似，通过确定节点上的函数值可以得到整个求解区域上的数值解。

三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于函数空间变换的离散化方法，它可以达到很高的精度。

谱方法基于傅里叶分析的思想，使用特定选择的基函数进行近似。

对于一维偏微分方程，可以使用傅立叶级数或切比雪夫多项式作为基函数。

完整word版大一高数知识点总结

完整word版大一高数知识点总结大一高数知识点总结一、函数1、定义：函数是一种特殊的关系，满足：a) 在每一个x（其解域可以是实数集、整数集等）上产生唯一的实数yb) 从解域D到值域R内的一次对应c) 该对应关系满足恒等式f(x) = y2、函数的类别a) 一般函数：y=f(x)b) 二次函数：y=ax²+bx+cc) 指数函数：y=a·xbd) 对数函数：y=logax3、函数的表示形式a) 对图像：比如抛物线、曲线等b) 原函数形式：比如一般函数的三角函数形式、二次函数的二次根式形式等4、函数的性质a) 极限：通过极限可以判断函数的单调性、狭义局部有界等性质；b) 函数的增幅c) 奇偶性：函数在x=a处关于y轴对称，那么就称它具有f(-x)=-f(x)的奇偶性；d) 对称性：即y=f(-x)，此时函数具有反函数性质；e) 周期性：函数当x=0,2x,4x...时，f(x)重复出现，称为函数具有周期性；f) 增函数：若x从a变大去到b，其函数值在[a,b]上一直是递增的，此时此函数f （x）就是增函数。

二、极限1、极限的概念极限是数学分析的基础，它描述了一个有限序列或函数在某一无限大的极限点的行为。

2、极限的定义当一个有限序列{a_n}的每一项都逼近某一定值L时，就说该序列以L为极限，记作：lim_(n->∞)a_n=L3、极限的性质a) 有界性：如果极限存在，即使发散也有界。

b) 乘法性：lim_(n->∞)a_nb_n=(lim_(n->∞)a_n)(lim_(n->∞)b_n)c) 除法性：lim_(n->∞) (a_n/b_n) = (lim_(n->∞)a_n)/(lim_(n->∞)b_n)d) 求和性：lim_(n->∞) (a_n+b_n) = lim_(n->∞)a_n+lim_(n->∞)b_ne) 展开性：若函数f（x）在x=a处可导，则：lim_(x->a)f（x）=f（a）三、微积分1、定义微积分是一种研究函数及其变化规律的数学方法，其中重要概念为微分（Differentiation），即求取函数在某点处的切线斜率，主要用于求解函数的单调性，及其最大值等问题。

高数

洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x -x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

论文浅谈导数的应用

浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分Shallowly Discusses the Application of DerivativeAbstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative.Key words:Limit; Derivative; Differential0 引言导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题．1 导数的产生和发展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？1.1 微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它．设卫星当前时刻在地球表面附近的A 点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B 点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是C 点．BC =4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离．容易看出，如果C 点与地心O 的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了．因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段AB 的长度．ABC ∆是直角三角形，OA 和OC 可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度． 1.2 产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的．也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具．从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]3[．用导数思想来处理微分问题]10[．因为一方面，从微分的形式来看，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色． 1.3 导数的概念1、函数()x f y =在点0x 处的导数可以写成以下形式]4[：()()()0000limx x x f h x f x f x x --+='→2、导数的物理意义和几何意义:函数()x f y =在点x 处的导数是函数在该点处的平均变化率xy∆∆的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率．在几何学上，()x f y =在某点处的导数()0x f 表示函数()0x f y =的图形在点()00,y x 处的切线斜率，即()0tan x f '=α，其中α是过点()00,y x 的切线的倾角]7[．2 导数的应用2.1 导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1]6[ 已知数列{}n a ；()1109+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n a nn ，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设()1109+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x()0>x ，同时取对数后求导可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛='1110ln 9ln 1109x x y x，令0='y ，得4877.8=x ；当4877.80<<x 时，0>'y ；当4877.8>x 时，0<'y ，且有唯一解；当4877.8=x 时，y '最大；故8=n 或9=n 时，n a 最大； 8981099⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a ． 2.11 利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题．情况一：设()x f y =为可导函数，求过()000,y x m 点作C ：()x f y =的切线方程． (1)若()C y x m ∈000,，()x f y =；即()00x f y =．则()0x f k '=，过0m 的切线方程为()()000x x x f y y -'=-．(2)若()C y x m ∉000,，即()00x f y ≠．可设切点()111,y x m ，则()11x f y =过1m 的切线方程为()()()111x x x f x f y -'=-，此切线过0m ．于是可由()()()10110x x x f x f y -'=-解出1x ．因而过0m 的切线方程为 ()()()111x x x f x f y -'=- 或()()010x x x f y y -'=-．情况二：设()x f y =，()x g y =为可导函数，曲线p ：()x f y =与曲线q ：()x g y =相切，求切线方程．解：由于两曲线p ，q 相切，必须假设公切点()000,y x m 满足p m ∈0，q m ∈0，即()00x f y = (1) ()00x g y = (2) 又因为两曲线在公切点0m 处切线的斜率相等，即()()00x g x f '=' (3) 解(1)(2)(3)式，可得公切点()000,y x m 坐标，从而求得公切线方程． 2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设()x f 是可导的偶函数，有()()x f x f =-且()[]()x f x f '='-即()()x f x f '=-'-；所以 ()()x f x f '-=-'；即有()x f 的导数()x f '为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期．证明：设()x f 为可导的周期函数，其周期为t ，根据周期定义有：()()x f nt x f =+()...2,1,0±±=n ，于是有()()x f nt x f '=+'．例2]6[ 设函数()()ϕ+=x x f 2sin ()0<<-ϕπ，()x f y =图像上一条对称轴是直线8π=x ， (1)：求ϕ;(2)：求函数()x f y =的单调区间;(3)：证明直线025=+-c y x与函数()x f y =的图像不相切．解 (1)因为()()ϕ+='x x f 2cos 2，又因为图像的一条对称轴是直线8π=x ；知08=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πf ，则有04cos =⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ．所以24ππϕπ+=+k ； k =1，2…，又0πϕ-<< ，所以πϕ43-=．(2)由前问()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='π432cos 2x x f 而0y '>考虑到端点值有322242k x k ππππ≤-≤+，即函数()x f y =的斜率的取值范围为[2,2]-，而直线520x y c -+=的斜率为522>，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2 导数在高等数学中的应用2.21 利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3]2[ 求极限()xxx e x 1101lim -→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+解因为1110020(1)1(1)lim lim exp ln ln(1)lim exp xx xx x x x x ex e x x x -→→→⎧⎫⎡⎤++⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭-+⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而利用洛必达法则()()ee x x x xx x xxx x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+-=+--→→→1100201lim 212111lim 1ln lim利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是00或∞∞型．如果不是，要将其转化为00或∞∞型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果()()x g x f ''lim 不存在，不能判定()()x g x f lim 也不存在．2.22 利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如a ）改为x ，并把左端的函数记为()x F ，利用函数的单调性证明()0>x F 或()0<x F ．若要证明的不等式是()()x g x f >，一般是构造函数()()()x g x f x F -=，利用()x F '的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4]5[ 求极限211lim(1)nx n n→∞++解先求函数极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→2111lim ，取对数后的极限式为()112lim 12112lim 1ln 1ln lim 111ln lim 2222222=+++=--+++=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→+∞→+∞→x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 所以有归结原则可得211lim(1)n x n n →∞++=e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→2111lim2.23 函数极值及相关问题例5]7[ 设()x f 在()+∞∞-,上二阶可导且()1≤x f ，()[]()[]40022='+f f ;证明存在ξ，使得()()0=+''ξξf f ．证明有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成()()[]()[]22x f x f x F '+=,那么就存在()0,2-∈ξ,使得()()()()2020----='f f f η,同理存在()2,0∈η使得()()()12020≤---='f f f ξ, 则()()()2,40,2≤=≤ηξF F F ，故()x F 在()ηξ,内取得最大值．2.3 导数在经济学中的应用 2.31 常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求，一种商品的需求量Q 与该商品的价格P 密切相关．如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格P 的函数．即需求函数()P Q Q =．需求量随价格的上升而减少．供给函数是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量Q 与该商品价格P 有关．在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量Q 也可以看作是价格P 的函数．也就是供应函数()p Q Q =．例6]8[ 厂商的总收益函数和总成本函数分别为()230Q Q Q R -=和()122++=Q Q Q C ，政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格？(2)征税收益的最大值及此时的税率t ．(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格．解 (1)纳税前的利润函数为()12821230222-+-=++--=Q Q Q Q Q Q L ，当7=Q 时，利润最大；且()977=L ;此时价格30723p =-=．(2)T tQ =．纳税后的总成本函数为221t C Q Q tQ =+++;税后利润函数为()()()Q C Q R Q L t -=;获得最大利润的条件是()()dQQ dC dQ Q dR t =，由30222Q Q t -=++ 得0284tQ -=;经过纳税后的最大利润的产量为0Q ;于是征税的收益函数为()202841t t tQ T -==，求最大值即可．当014t =（此时072Q =）征税的收益最大，其值为0049T t Q ==．(3)纳税后利润函数()()()tQ Q Q Q C Q R Q L t ---=-=12282．当14=t ，72Q =时，最大利润max 1232L = 此时产品的价格为532．例7]8[ 新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出．换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购买的消费者．设产品总数与时刻t 的关系为()t x ，再假设每一产品在单位时间内平均吸引k 位顾客，则()x t 满足微分方程()kx t x =' (4) 设初始条件为()00x x = (5) 则易得到上述微分方程的解为()kt e x t x 0= (6) 这是指数假设，下面我们对结果(6)式进行分析与验证：经过与实际情况比较，发现(6)式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符；在产品卖出之初，0=t 时，显然0=x ，这是由(6)式得的()0=t x ，这一结果与事实不符，产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，便不可能进行任何推销．事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的；令t →+∞，若针对某种耐用商品而言，这显然与事实不符，事实上，)(t x 往往是有上界的．针对假设1的上述分析的缺陷，我们用下面的假设2来改进．假设2：设需求量的上界为M ，假设经营者可通过其他方式推销产品．这样产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关．故()t x '与()x M x -成正比，比例系数为k ，则()t x 满足()()x M kx t x -=' (7) 再加上初始条件()00x x = (8) 利用分离变量方法易求得上述微分方程的解 ()()kMte x M x Mx t x --+=000(9)当0=t 时，若00x ≠，则易从(9)式中得到()0≠t x ，另外在(9)中令t →+∞，易得到()M t x →，这样从根本上解决了假设1的不足．由(7)式易得()0>'t x ，即()t x 是关于时刻t 的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越来越少，另外对(7)式两端求导得：()()()t x x M k t x '-=''2．故令()0=''t x 得到()20Mt x =；当0t t <时，由()0>'t x ，()()0t x t x <，得()0>''t x ．即函数()t x '单调增加．同理，当0t t >时()t x '单调递减，这说明在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的，销售量恰好达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降． 2.32 广告在当今社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，下一步便是思考更快更多的买出产品，由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中备受经营者的青睐．当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？假设1：独家销售的广告：首先，如下假设：(1)商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度会趋于极限值，这是销售速度将开始下降．(2)自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加而减少．(3)设()S t 为t 时刻商品的销售速度．M 表示销售速度的上限；0λ>为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度．()A t 为t 时刻的广告水平（以费用表示）.根据上面的假设，我们可以得到：()()()()t S M t S t A p t S λ-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅='1 (10)其中p 为响应系数，即()t A 对()t S 的影响力，p 为常数．假设(1)当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告．都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：()0()(0)t A t A t ττ>⎧=⎨<<⎩ 其中A 为常数在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则aA τ=，代入(10)式有()ττλa P S a M P t S ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++' 令,P a Pa b r c M ττ=+⋅= ;则有()c bS t S =+' (11) 解(11)式得()b cke t S bt +=- (12)给定初始值0(0)S S =，则(12)式成为 ()()bt bt e S e bct S --+-=01 (13) 当t τ>时，由()A t 的表达式，则(10)式变为()S t S λ-=' (14)其解为()()t ket S -=τλ (15)为保证销售速度()S t 不间断，我们在(13)式中取t τ=而得到()S τ，将其作为(14)式的初始值，故(15)式解为()()()t e S t S -=τλτ (16) 这样，联合(13)式与(16)式，我们得到()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---)()0(10ττττλt e S t e S e b c t S t btbt假设2: 竞争销售的广告我们做如下假设，(1)两家公司销售同一产品，而市场量()t M 有限.(2)每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为i C ，1,2i =. (3)设()i t S 是销售量，1,2i =.()t N 是可获得的市场．分析：根据题意显然有：()()()()t S t S t M t N 21--=．由假设(2)有()N C t S 1=' (17)()N C t S 22=' (18) 将上述二式相除，易得()()t S C t S 132'=' (19) 其中231C C C =为常数，对（19）式积分得 ()()4132C t S C t S += (20)4C 为积分常数，假设市场容量()()t e t M βα--=1 ,αβ为常量.则()()()()41311C t S C e t N t -+--=-βα (21) 再将(19)式代入(17)式得()C Be AS t S t ++-='-β11 (22) 其中()311C C A +=；α1C B -=；()41C C C -=α解方程(22)易得()3211k e k e k t S Bt At ++=--代入(20)式，得()3212m e m e m t S Bt At ++=-- (23) 其中i k 及i m (i =1，2，3)均为常数．3结束语导数在数学发展、教学和生活中有其重要的地位，若能在教学中充分发挥导数的作用，对于提高教学质量，培养学生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰当的应用导数，很容易就能解决一些棘手的问题；当然在数学的各个不同分支的教学中如何运用导数，必然会有许多各自不同的特点，就需要我们发挥自己的创造思维，并在实践中不断地用心体会和总结．致谢辞感谢学校培养和教育，院系领导提供的良好的研究条件，以及这三年来各科老师的悉心培育。