高中数学常见题型解法归纳-函数的值域(最值)的常见求法

高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法1 (直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)

【知识要点】

一、函数值域的定义

函数值的集合叫做函数的值域.

二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.

三、常见函数的值域

1、一次函数的值域为.

2、二次函数，当时的值域为；时的值域为

.

3、反比例函数的值域为.

4、指数函数的值域为.

5、对数函数的值域为.

6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.

7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.

四、求函数的值域常用的方法

求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.

五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.

六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.

【方法讲评】

【例1】求函数的值域.

【解析】故函数的值域是.

【点评】（1）对于某些特殊的数的性质大家要熟悉，如算术平方根具有双重非负性，即：被开方数的非负性和值的非负性；是非负数；是一个非负数，是一个正数.掌握这些数的性质后，可以很快得到函数的值域.（2）不等式的性质在求函数的值域中经常用到，所以不等式的性质要熟练掌握.

【反馈检测1】求函数的值域.

函数是对称的分式函数.

【例2 】求函数的值域.

【点评】对于对称的分式函数，常利用分式的除法分离成常数和一个分式函数的和，再求函数的值域.

【反馈检测2 】求函数的值域.

【例3】【2017北京，文11】已知，，且，则的取值范围是__________．

【点评】（1）对于二次函数，常用配方法求函数的值域.先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域.（2）有时函数的配方计算量比较大，所以可以不配方，直接计算抛物线的对称轴，画出抛物线的草图，截取定义域内的那一段观察，即可得到函数的值域.（3）本题注意不能把函数

的定义域看作是，必须根据求出满足的条件，再和求交集得到函数的定义域.

【反馈检测3】求函数的值域.

【例4】求函数的值域.

【解析】反解得即

因为反函数的定义域为，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为.

【点评】（1）当函数是分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),一般可以利用反函数法求函数的值域，当然，其它一些能反解出的函数，也可以选择反函数法求函数的值域.（2）利用反函数

法求函数的值域，利用的知识点是“反函数的定义域是原函数的值域”.

【反馈检测4】求函数值域.

【例5】求函数的值域.

【点评】（1）对形如的函数，可以考虑换元，消掉根式，化成一个二次函数.（2）在任何地方换元，都要注意新元的取值范围，它就是新函数的定义域.(3)本题也有简单一点的方法，由于函数在定义域上增函数，函数在定义域上也是增函数，所以原函数在定义域上是增函数，所以时，函数取最小值.

【例6 】已知满足不等式.

（1）求的取值范围；

（2）求函数的最小值.

【解析】（1）

【点评】（1）当函数中某一个复杂的式子反复出现时，我们可以考虑换元，使书写简单，使函数式子

形式更简单明了.如果后面是指数，也可以换元.（2）换元时一定要注意新元的范围,注意数学等价转化的思想.

【例7】求函数的值域.

【点评】（1）由于，所以当已知中同时有

或者同时有时，可以考虑换元，化成一个二次函数.（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. （3）本题显示出换元建立新函数转化化归的好处，本来一个函数有两个变量，不好处理，但是通过换元，变成了一个我们熟悉的一元二次函数，大大地提高了解题效率.

【例8】已知是圆上的点，试求的值域.

【解析】由题得，设

则，即故，所以函数的值域为.

【点评】当已知条件可以化为时，可以设，实行三角换元，这样可以优化解题，提高解题效率.

【反馈检测5】若求函数的值域.

函数的值域（最值）的常见求法1

(直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)参考答案

【反馈检测1答案】

【反馈检测1详细解析】由题得所以函数的定义域

，，

即函数的值域为

【反馈检测2答案】

【反馈检测3答案】

【反馈检测3详细解析】由题得

，所以函数的定义域为.

所以，所以函数的值域为.

【反馈检测4答案】.

【反馈检测4详细解析】由原函数式可得：则其反函数为，其定义域为，故所求函数的值域为.

【反馈检测5答案】

高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法2 （判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）

【知识要点】

一、函数值域的定义

函数值的集合叫做函数的值域.

二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.

三、常见函数的值域

1、一次函数的值域为.

2、二次函数，当时的值域为，时的值域为

.

3、反比例函数的值域为.

4、指数函数的值域为.