高中数学常见题型解法归纳-函数的值域(最值)的常见求法
重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型(解析版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法
例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。
说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。
解：Y=20-2X
Y>0，即20-2X>0，X<10，
两边之和大于第三边，
2X>Y，
即2X>20-2X
4X>20
X>5。
本题定义域较难，很容易忽略X>5。
∴5
4、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为［a，b］（a<b），值域也是［a，b］，则区间［a，b］是（ ）
A.［0，4］B. ［1，4］C. ［1，3］D. ［3，4］
当x>2时,2/(2-x) 6≥2-x => x≥-4
∴定义域：[-4,2)
三. 解答题
10、求函数 的定义域。
11、已知 ，若f（a）＝3，求a的值。
12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。
解：2f(-x)-f(x)=-x2-4x 4f(x)-2f(-x)=-2x2+8x 相加得 f(x)=-x2+4x/3
2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例2. （1）已知 ，试求 ；
（2）已知 ，试求 ；
解：（1）由条件式，以 代x，则得 ，与条件式联立，消去 ，则得： 。
（2）由条件式，以－x代x则得： ，与条件式联立，消去 ，则得： 。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值1 2例 1 已知f (x) = -(x € R,且x 工一1) , g(x) = x + 2( x €R).1十—(1) 求f(2) , g(2)的值；(2) 求f [ g(3)]的值.” 1 1 1解(1) ••• f(x) = ,••• f(2)= =-.1 十x 1 +2 32又•/ g(x) = x 十 2,2•g(2) = 2 + 2= 6.2(2) ••• g(3) = 3 + 2= 11,1 1•-f[g(3)] = f(11) = 1—11 =悝.反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)] 的区别.—十1跟踪训练4已知函数f(x)= .—十2(1) 求f(2) ； (2)求f[f(1)].—十 1 2 + 1 3解(1)•••f(x)= X+2，•f(2)= 2十2 = 4.1十1 2(2) f(1)=乐=3, f[f(1)]5.已知函数f (x)=—十x— 1.1(1) 求f(2) , f(—)；z\.(2) 若f (—) = 5,求—的值.解(1) f (2) = 22十 2— 1 = 5,21 1 1 1 十———f ( ) = 2 十—1 = 2 -------.XXX —2f2 3十15=f(3)=厂=8.3十2⑵■/ f (x) = x2+ x— 1 = 5,「. x2+ x— 6= 0,•- —= 2，或—=—3.⑶4.函数f (x)对任意自然数—满足f (x十1) = f (x)十1, f (0) = 1,则f (5) = ______答案 6解析 f (1) = f (0) + 1 = 1 + 1 = 2, f (2) = f (1) + 1 = 3,f (3) = f (2) + 1 = 4, f (4) = f (3) + 1 = 5, f (5) = f (4) + 1 = 6.二、值域是函数y=f （x ）中y 的取值范围。
高中数学函数求值域的类型归纳解析(2013.7.18)
高中数学函数求值域的类型归纳解析类型一：分式函数形如))()((d x cf b x af y d cx b ax y ++=++=或可利用分离变量转化为)(x g n m y +=借助反比例函数性质研究值域)0(≠=k x k y ，也可以利用反函数法，原式反解转化为)(y g x =形式，由x 的取值范围得到关于)(y g 的不等式，求得y 的范围就是函数的值域。
例1：112-+=x x y 例2：)1(112>-+=x x x y 例3：11-+=x x e e y例4：类型二：形如)(22b ax e dx cx y e dx cx b ax y +++=+++=或可转化为))()((x bf k x af y nx p mx y +=+=利用基本不等式求解，可利用对勾函数的单调性。
例5：x x y 12+= 例6：12++=x x x y例7：)1(1132->++-=x x x x y 例8：x x y 22sin 4sin +=例9：4522++=x x y类型三：形如fex dx c bx ax y ++++=22，式子转化为关于x 的一元二次方程，利用∆判别式法，0≥∆解出y 的范围。
例10：11222+-+=x x x y 变式：已知1)(2++=x b ax x f 的值域是[]9,1-，求b a ,的值类型四：形如d cx b ax y +±+=可利用换元法 ，令d cx t +=，转化为二次函数求解，注意换元后自变量的取值范围。
例11.x x y +-=21换元法常见题型：①1241++=+x x y ②()2log log 222+-=x x y ③1cos sin 2-+=x x y④1cos sin cos sin +++=x x x x y ⑤422122---+=xx x x y⑥21x x y -+=(三角换元）类型五：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域，可根据复合函数单调性或两个函数的和或差的单调性。
高中数学-函数值域的求法及应用
高中数学-函数值域的求法及应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本文主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题1.重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力2.值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见基本函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.3.求函数值域（最值）的常用方法3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解.3.2配方法对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数的值域：3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数：（1）形如的函数，令；（2）形如的函数，令；（3）形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例2：求函数的值域：.分析：设则.所以原函数可化为进行求解3.4不等式法利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可.例3：求函数的值域：.分析：一次比二次或者二次比一次的分式函数的通用方法是先换元再利用基本不等式求值域3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例4：f(x)＝x+在区间[1,3]上的值域3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率.例5：求函数的值域：分析：画出图像便能一目了然3.7函数的有界性法形如，可用表示出，再根据，解关于的不等式，可求的取值范围.3.8导数法设的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.例6：设f(x)＝x3－－2x＋5，求f(x)在[-2,3]上的值域3.9判别式法例7：求函数的值域典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围命题意图本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)(1)证明当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值(3)求证对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1学生巩固练习1 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )A(－∞,－ B［－,+∞C［,+∞D(－∞,－］2 函数y=x+的值域是( )A (－∞,1B (－∞,－1C RD ［1,+∞3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表器电箱问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域(2)求函数f(x)的最小值。
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
函数的值域与最值知识点归纳
函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。
在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。
本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。
一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。
确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。
2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。
3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。
二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。
确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。
需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。
2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。
首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。
3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。
综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。
确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
求函数最值的12种方法
求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。
下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。
1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。
例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。
如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。
2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。
3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。
4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。
例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。
5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。
通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。
6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。
例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。
7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。
首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。
8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。
高考常考专题知识：值域(最值)的求解方法
专题五高考常考的求函数值域（最值）的题型总结求函数的值域（最值）一直是高考常考的重要题型. 不论是高考的小题，还是高考的大题，都曾考过求函数的值域（最值），而且是以各种难度、各种形式的题来考查的. 所以我们要对这种题型高度重视、加强训练，从而达到熟练掌握求值域（最值）的方法、技巧和规律. 高考常考的求值域（最值）的题型主要有四种：用一元二次函数的方法求值域（最值）、用三角函数的方法求值域（最值）、用均值不等式的方法求值域（最值）、用导数的方法求值域（最值）.当然，如果容易画出对应函数的图像，还可以根据函数图像求值域（最值）；如果容易知道对应函数的单调性，还可以根据函数的单调性求值域（最值）.根据所给题目的具体条件，我们可以灵活选用某一种或几种方法来求值域（最值）.学习本专题必备知识点总结：1. 关于一元二次函数的一些知识点总结：（1）解析式.① 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且；② 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 为常数，且；③ 两根式：),0)()((2121为对应方程的两根的常数，为不等于x x a x x x x a y --=.（2）其他知识点：① 顶点坐标：）或（）（ab ac a b k h 44,2,,2--； ② 对称轴方程：;2a b x -= ③ .,0,0开口向下开口向上；开口方向：<>a a2. 关于三角函数的一些知识点总结：（1）二倍角公式：① αααcos sin 22sin =； ② ααα2tan 1tan 22tan -=； ③ 22cos 1cos 22cos 1sin sin 211cos 2sin cos 2cos 222222ααααααααα+=⇒-=⇒-=-=-= (2) 辅助角公式：为非零常数）、或b a x b a x b a x b x a ()cos()sin(cos sin 2222ϕϕ±+=±+=+ （3）熟记各种三角函数的图像，并利用图像记住性质.（4）牢记基本三角函数在自变量不限制范围和限制范围时，求值域（最值）的基本方法.3. 关于均值不等式的一些知识点总结：（1）重要不等式：R b a ab b a ∈≥+、其中(222，当且仅当a =b 时，取“=”号）（2）均值不等式：2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. （的几何平均数，叫的算术平均数，叫b a ab b a b a ,,2+且a ,b>0，仅当a =b 时，取“=”号） 注意：在应用均值不等式求值域（最值）时，要注意“一正，二定，三相等”.(3) 均值不等式的推广公式：33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0，当且仅当a =b=c 时，取“=”号)(4) 均值不等式的文字表述：n 个正数的算术平均数不小于这n 个正数的几何平均数.4. 关于导数的一些知识点总结：（1）一些求导公式：① 1)(-='n n nx x ；当2211)1(1xx x x n -=-='='-=--）时，（； 当；即常数的导数为时，0,0)(00='=x n 当x x x x n 2121)(212121=='='=-）时，（. ② ;)(,log ln )(;sin )(cos ;cos )(sin x x a xx x e e e a e a a a a x x x x ='==='-='='时，当 xx e a x e a x x a a 1)(ln ,log ln 1)(log ='==='时，当. (理科生必记！) （2）一些导数的运算性质：① )()(])()([x g x f x g x f '±'='±；)()(])([为常数其中c x f c x cf '='⇒；② )()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='⋅； ③ )()()()()()()(2x g x f x g x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. (其中运算性质②③理科生必记！)（3）利用导数求函数在闭区间上值域（最值）的方法、步骤：① 令导函数的函数值为0，求出导函数对应方程的根，再把根和导数不存在但有定义的自变量值代入原函数得函数值；② 把闭区间的端点值代入原函数得函数值；③ 把前两步得到的所有函数值进行比较，它们中最大的为最大值，最小的为最小值. 明确导数求值域（最值）的步骤后，就可以利用这种方法解决有关函数最值的实际问题.一、利用一元二次函数求值域（最值）利用一元二次函数来求函数的值域（最值）是高考常考的重要基本知识点之一. 有些是直接考查一元二次函数求值域（最值）；有些是与其他的函数结合在一起，通过换元变成一元二次函数的形式来考查；还有些是在综合题中通过对含有参数的一元二次函数求值域（最值）来考查. 这三种形式的求一元二次函数值域（最值）的题型都是我们学习的重点.例1.求下列一元二次函数的值域：;32)1(2R x x x y ∈+-= ;)3,2[32)2(2-∈+-=x x x y ;,32)4();0,1(32)3(242R x x x y x x x y ∈+-=-∈+-=.4sin 2cos )6(];2,1[,324)5(21+--=∈+-=+x x y x y x x 解析：例1中的各题都是一元二次函数求值域或与其有关的题型. 其中题（1）（2）（3）是直接为一元二次函数的形式，但自变量的取值范围不同；（4）（5）（6）题是通过转化、换元后可以变成一元二次函数求值域的题型.;...2.2.22)1(32)1(22略后面各题的这种做法省，但做题速度较慢的一元二次函数求值域方法三适用于各种类型图像知值域画出该函数的图像，由方法三：因此，，且顶点纵坐标为因为抛物线开口向上，方法二：又方法一：≥∈≥∴∈+-=+-=y R x y R x x x x y }{}{;112|,)2()1(|32),3,2[1)2(≤≤-≤≤∴--∈=y y f y f y x 即为为：该一元二次函数的值域离对称轴远，比端点点且抛物线开口向上，端对称轴方程{}}{}{；此时函数值域为且对称轴方程或者用即为为：该一元二次函数的值域内函数单调递减，知在区间且抛物线开口向上，易对称轴方程63|,3)0(,6)1(),0,1(1.63|,)1()0(|)0,1(),0,1(1)3(<<∴==--∉=<<-<<∴-∈-∉=y y f f x y y f y y y x x }{;2|.2),,0[1)0(,32.0,,)4(22≥≥∴+∞∈=≥+-=⇔∴≥∴∈=y y y t t t t y t R x x t 即原函数的值域为：对称轴方程又原函数令}{;113|],4,2[13].4,2[,32].4,2[],2,1[,2)5(2≤≤∴∉=∈+-=⇔∴∈∴∈=y y t t t t y t x t x 该函数值域为：对称轴）同理，与题（原函数令 }{.62|],1,1[12].1,1[,32],1,1[sin .3sin 2sin 4sin 2)sin 1()6(222≤≤∴-∈=-∈+-=⇔∴-∈=+-=+---=y y t t t t y x t x x x x y 该函数值域为：对称轴）类似，与题（原函数令原函数变形为总结：在求一元二次函数的值域（最值）时，（1）当自变量属于一切实数时，只需要考虑抛物线的开口方向和顶点纵坐标. 开口向上时，函数值大于或等于顶点纵坐标（如例1（1）），开口向下时，函数值小于或等于顶点纵坐标；（2）当自变量限制在某个区间内时，就要考虑开口方向、对称轴方程、区间端点离对称轴的距离等. 如果对称轴方程对应的自变量值属于给定的区间，则开口向上时，顶点纵坐标为最小值，最大值为离对称轴较远的端点对应的函数值（如例1（2）（4）（6）），开口向下时，顶点纵坐标为最大值，最小值为离对称轴较远的端点对应的函数值；如果对称轴方程对应的自变量的值不属于给定的范围，则可以把区间端点对应的函数值直接求出，最大的为最大值，最小的为最小值（如例1（3）（5））.练习1. 求下列函数的值域：.3log )(log )5(;2)4(;12)3();4,2[],3,0[,542)2(;,94)1(232322--=-+-=--=∈∈-+-=∈-+-=x x y x x y x x y x x x x y R x x x y 或参考答案：}{]5,21()4,2[];3,11[]3,0[)2(;5|)1(--∈∈--∈∈-≤y x y x y y 时，当时，当;；得用一元二次函数求值域则原式变为令),871[.0,22,01)3(2+∞∈≥+-=≥-=y t t t y x t }{}{).,4[.,32,log 52|3;2|)4(23+∞-∈⇒∈--=⇔∈=≤-≥y R t t t y R x t x x y y 则原式令）（的减函数；质判别该题是定义域为）的方法或用增减的性提示：用题（ 例2. 求下列函数的最值：].2,[,32)2(]3,1[,32)1(22+∈--=∈--=a a x x x y x ax x y ；解析：例2是含有参数的一元二次函数求最值的题型.题（1）代表的是对称轴变化，所给范围固定的题型；题（2）代表的是对称轴固定，而所给范围变化的题型.这两种形式是含有参数的一元二次函数求最值（值域）中最常考的，并且对多数学生来说有一定的难度,因此我们要重点训练这种题型.因为对称轴与所给范围的关系不知道，而且当对称轴在所给范围内时，我们还要确定所给范围的端点哪一个离对称轴的距离远，这些是问题的关键..66)3(,22)1(]3,1[3.3)(,22)1(32.3)(,66)3(21.22)1(,66)3(]3,1[1.,]3,1[,32)1(min max 2min max 2min max min max 2a f y a f y a a a f y a f y a a a f y a f y a a f y a f y a a x x ax x y -==--==∴≥--==--==<≤--==-==<≤--==-==∴<∴=∈--=上为减函数，时，函数在区间当时，此时，当时，此时，当上为增函数，时，函数在区间当开口向上的对称轴为函数.32)2(,32)(,.]2,[1,21.4)1(,32)(01,211.4)1(,32)2(10,11.32)(,32)2(.]2,[1,1.,1]2,[,32)2(2min 2max min 2max min 2max 2min 2max 2-+=+=--==+-<+>-==--==<≤-+≤<+-==-+=+=<≤+≤<--==-+=+=∴+≥≤∴=+∈--=a a a f y a a a f y a a a a f y a a a f y a a a f y a a a f y a a a a a a f y a a a f y a a a a x a a x x x y 此时上为减函数时，函数在区间即当时，即当时，即当此时，上为增函数时，函数在区间即当且抛物线开口向上的对称轴方程为函数总结：因为这种题型的对称轴与所给范围的关系不知道，而且当对称轴在所给范围内时，我们还要确定所给范围的端点哪一个离对称轴的距离远，所以我们分类讨论的关键是搞清 这些问题. 因此，要分四种情况讨论：（1）对称轴在所给范围的左边；（2）对称轴位于所给范围区间的左端点和区间中点之间；（3）对称轴位于区间中点和区间右端点之间；（4）对称轴位于所给范围的右边.练习2. 求函数]1,1[,542+-∈-+-=a a x x x y 的最值.参考答案：.106)1(,22)1(32max 2min -+-=-=-+-=+=≥a a a f y a a a f y a 时，当 .22)1(,106)1(1.1)2(,106)1(21.1)2(,22)1(322max 2min max 2min max 2min -+-=+=-+-=-=<-==-+-=-=<≤-==-+-=+=<≤a a a f y a a a f y a f y a a a f y a f y a a a f y a 时，当时，当时，当二、利用三角函数的方法求值域（最值）利用三角函数求值域（最值）也是高考常考的一种题型. 这种题型可以是直接求一个基本的三角函数在自变量取一切实数或限制在某一个范围内的值域（最值），也可以是经过一系列三角公式的化简，得出一个基本的三角函数后再求值域（最值），当然也可以是利用圆、椭圆等的参数方程后，得出一个关于三角函数的式子，再求值域（最值）.例3. 求下列三角函数的值域：.2,4)1()1()5()2,0(,sin 22sin )4()3,0(,2cos 32sin )3(]2,0[,1)32cos(2)2(;,5)42sin(3)1(222的取值范围求已知圆的标准方程为：；；；y x y x x x x y x x x y x x y R x x y +=++-∈-=∈+=∈--=∈+-=πππππ解析：例3中的题目都是关于利用三角函数求值域的题目. (1)(2)都是直接给出基本的三角函数式，只不过（1）中自变量取一切实数，（2）中自变量限制了范围.(3)(4)都是需要利用三角函数的一些公式，经过一系列变换最后可以化成题（2）的形式来做.（5）是需要利用圆的参数方程把所求式子化成基本三角函数式来求的题型.];1,13[]1,23[)32sin(]32,3[32]2,0[)2(];8,2[],1,1[)42sin(,42,)1(--∈∴-∈-∴-∈-∴∈∈∴-∈-∴∈-∴∈y x x x y x R x R x πππππππ];2,3(.2).3,0(),32sin(2)3(-=∴∈+=y x x y ）做法类似以下与（得原函数利用辅助角公式ππ ];12,2(.2).2,0(,1)42sin(212cos 2sin )2cos 1(2sin 4--∈∴∈-+=-+=--=y x x x x x x y ）类似以下做法与题（式得原函数等价于利用三角函数的降次公）（ππ ].152,152[2).2tan (1)sin(521sin 2cos 42).(,sin 21cos 21)5(++-∈+=Φ+Φ+=++=+⎩⎨⎧+-=+=y x y x y x 所以其中所以为参数其中参数方程：由圆的标准方程得它的θθθθθθ总结：这种题型的基本解法是：先把所给的关于三角函数的式子化成基本的三角函数式,如：的形式为常数，且其中或)0,,,,()cos(,)sin(≠++=++=ωϕωϕωϕωA m A m x A y m x A y .然后再由所限制的自变量的范围求出括号内式子的范围，从而根据基本的三角函数的图像得函数值的范围.如果没有限制自变量的范围，则易得.].1,1[)cos()sin(的范围从而得或y x x -∈++ϕωϕω 练习3. 求下列三角函数的最值：（1）函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 ； （2）函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 ；（3） 求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的最值． （4）已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<< （I ）若,a b ⊥ 求;θ （II ）求a b + 的最大值.参考答案：（1）25； （2） 1； （3）;2,2min max -==y y （4）14π-. 三、利用均值不等式求值域（最值）高考常利用求值域（最值）和证明不等式这两种形式来考察均值不等式的应用，有的是在小题中直接考察均值不等式求值域（最值），有的是需要先通过公式变形化成能用均值不等式的形式，然后再用均值不等式求值域（最值），当然还有的是在综合的大题（如高考常考的三角函数、解析几何、导数大题）中求值域（最值）. 用均值不等式求式子值域（最值）和证明不等式有类似之处：在记住公式的基础上，都要注意“一正，二定，三相等”的原则.若是求最值的题型，尤其要注意等号成立的条件，如果不能取得等号，则对应的最值就不存在.关于利用均值不等式求值域（最值）的方法、技巧可参考专题二中的有关知识.四、利用导数求值域（最值）导数的大题、小题基本上是每年高考必考的题目，利用导数求值域（最值）更是在高考题中多次出现.因此，我们要熟练掌握用导数求值域（最值）的步骤、方法、技巧.设函数)(x f 在[a ,b]上连续，在(a ,b)内可导，求函数)(x f 在[a ,b]上最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(a ,b)内的极值；（2）将)(x f 的各极值与它的端点值)(),(b f a f 相比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注意：因为导数不存在的点也有可能取得极值(如函数却是函数的极小值点处导数不存在，但此点在0||==x x y )，因此在求函数)(x f 的极值时，不能仅看)(x f 的导数为0的点.当然，导数为0的点也不一定为极值点. 如函数.003点，只能称为驻点，但显然此点不是极值处导数为在==x x y .解决有关函数最值的实际问题时，就是要根据实际问题给出的条件，建立相应的关于某个自变量的函数关系式，并由实际情况写出自变量的取值范围，然后再利用导数求最值的步骤来解题就可以了.当然，所求出的结果要符合实际意义.例4. 求下列函数的最值：（1）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , 且f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（2）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值. 解析：题(1)(2)是求函数最值的典型题，难度不算大，要注意导数公式、运算性质以及利用导数求最值的步骤、方法的正确应用. 只不过，（1）偏重文科考的题型，（2）偏重于理科考的形式.(1) 对原函数求导得：)(x f '＝－3x 2＋6x ＋9．令)(x f '=0，解得x =－1，或x =3（舍）， 因为f (－1)=－5+ a ，f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)>f (－2)> f (－1)．因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (－1)=－5+ a ＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．(2) 对原函数求导得：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍 又因为412ln )1(-=f ，),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值. 总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的关键是：严格按照利用导数求最值的步骤、方法、技巧来做，这种方法不仅易掌握，而且运算速度较快，不容易出错.因为如果只需要求函数的最值，那么我们就不需要求函数的单调区间，判断函数的单调性和极大（小）值了，而只需要求出函数极值、闭区间的端点函数值，再比较大小就可以了.练习4. 求函数]1,0[,274)(2∈--=x xx x f 的值域.参考答案：对原函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-='令0)(='x f 解得 21=x ，或27=x （舍） 又因为.3)1(,4)21(,27)0(-=-=-=f f f所以当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[3,4--].五、根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）高考中还有些求值域（最值）的题目不属于上述四种求值域的类型，这些题目总结一下可以归纳为根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）的类型. 例如：若我们已经知道所给函数的单调性，则可以利用该函数的单调性来求值域（最值）；若我们容易画出所给函数的图像，则可以由函数的图像求得值域（最值）；当然还可以根据题目实际情况和我们已有的知识点来求值域（最值）.例5. 求下列各题的最值：(1) ;],0[|sin |的最值，求函数π∈=x x y的最值求函数1,l o g 42)2(3≥+=x x y x ;(3) 过点(1的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = .解析：题（1）属于容易画出函数图像的题目，那么画出图像后由图像我们易知最值；题（2）属于函数的单调性容易判断出的题目，那么由函数在所给区间内的单调性易求最值； 题（3）属于根据实际情况并结合我们已有的知识点，容易判断出何时圆心角最小的题目.(1) ;0,1],0[|sin |min max ==∈=y y x x y 的图像，易知，由函数π；函数无最大值上为增函数，所以，易知其在由函数..2)1(1log 42)2(min 3==≥+=f y x x y x .22.,21)3(=∴k l l 满足条件时连线垂直）平分即该点与圆心的，被点（由实际情况知，当直线 总结：这些根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）的题型，首先我们要判断出所给题目是属于哪一类题型，然后根据题型的各自特点针对性解决即可. 如：易画出图像的看图即知最值；易知函数单调性的利用单调性的定义即知最值；由实际情况易知何时取得最值时，根据实际情况即可求出最值.练习5. 求下列函数的最值：（1）的最值；求]1,0[,3223∈++=x x x y x（2） 设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .（3）已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+3参考答案：（1）内为增函数提示：函数在所给区间;1,6min max ==y y ； （2） 1 . 提示：根据图像或实际情况我们知道圆心到直线的距离减去半径为最小值，加上半径为最大值；（3）选B. 由三个方程联立易知.,,.23,21222的值，得所求的最小值然后再由c b a c b a ===.本专题典型的求函数值域（最值）的高考真题汇总及解析较容易的基础题：1. 函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．22. 若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1BCD ．23. 函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－54. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12， 则a =（ ）Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．4 5. 在函数c bx ax x f ++=2)(中，若a ，b ，c 成等比数列且4)0(-=f ，则f x ()有最 值（填“大”或“小”），且该值为 .6. 函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是________________. 7. 函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 8. 函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 .9. 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的 距离乘积的最大值是 .中等难度的提高题：1. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最 小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图像关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图像关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图像关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图像关于点)0,(π对称 2. 用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折 断),能够得到期的三角形面积的最大值为（ ）A. 58cm 2B. 106cm 2C. 553cm 2D. 20cm 23. 函数191()n f x x n ==-∑的最小值为（ ）A. 190B. 171C. 90D. 454. 设yx b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为( )A. 2B.23 C. 1 D. 21 5. 当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A. 2B. 32C. 4D. 346. 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( )A ．43 B ．75 C ．85D ．3 7. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 .8. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 .9. 若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .10. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨． 11. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．12．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．13. ∆ABC 的三个内角为A 、B 、C,求当A 为何值时,cosA+cos2CB +取得最大值,并求出这个最大值.14. 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．15. 求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最大值和最小值.16. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m 2.问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?17．某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。
高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法含答案
A. ［－1，3］B. ［－3，1］C. ［－2，2］D. ［－1，1］解∵函数y=f 〔*〕的值域是[-2，2]，∴y=f 〔*〕的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f 〔*+1〕的图象是由y=f 〔*〕向左平移1个单位而得∴函数y=f 〔*+1〕最大值是2，最小值是-2所以函数y=f 〔*+1〕的值域仍是[-2，2]应选C2、函数f 〔*〕＝*2－2*，则函数f 〔*〕在区间［－2，2］上的最大值为〔 〕 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长*的函数，则其解析式和定义域是〔 〕 A. y ＝20－2*〔*≤10〕 B.y ＝20－2*〔*<10〕C.y ＝20－2*〔4≤*<10〕D.y ＝20－2*〔5<*<10〕解：Y=20-2* Y>0，即20-2*>0，*<10， 两边之和大于第三边， 2*>Y ， 即2*>20-2* 4*>20 *>5。
此题定义域较难，很容易忽略*>5。
∴54、二次函数y ＝*2－4*＋4的定义域为［a ，b ］〔a<b 〕，值域也是［a ，b ］，则区间［a ，b ］是〔 〕 A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］解： a ，由于对称轴为*=2，当*=0或*=4时有最大值y=4，*=2时有最小值y=05、函数y ＝f 〔*＋2〕的定义域是［3，4］，则函数y ＝f 〔*＋5〕的定义域是〔 〕 A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 解： y ＝f 〔*＋2〕的定义域是［3，4］，即 3≤*≤4 则3+2 ≤*+2≤4+2，所以5≤*+2≤6 所以 y=f(*)的定义域为[5,6] 则5≤*+5≤6，则0≤*≤1 所以y ＝f 〔*＋5〕的定义域为［0，1］6、函数22234x y x x +=+的值域是〔 〕 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解：判别式法 7、〔2007〕图中的图像所表示的函数的解析式是〔 〕333.1(02).1(02)2223.1(02).11(02)2A y x x B y x x C y x x D y x x =-≤≤=--≤≤=--≤≤=--≤≤二. 填空题。
高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。
（1）2121x y x -=+； （2）()lg 12cos y x =-；（3）2y x =（4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6）3sin 2cos xy x-=-。
解：（1）[解一]分离常数法：()()21212211,11,212121x x y y x x x -+-===-≠⇒∈-∞+∞+++ [解二]反函数法：()21122112122x y y y x y x y x y -+=⇒-=--⇒=-⇒≠+-（2）基本函数性质法：[][]cos 1,112cos 1,3x x ∈-⇒-∈-又12cos 0x -> (](]12cos 0,3,lg3x y ⇒-∈⇒∈-∞（3）换元法：令0t =≥，则221x t =+[)22132101,24y x t t t t y ⎛⎫=++=++≥⇒∈+∞ ⎪⎝⎭又（4）基本不等式法：令10t x =+≠，则()()21211414t t x t y t tt---+=-⇒==+-当0t >时，40y ≥=，当且仅当2t =即1x =时取等号当0t <时，48y ≤-=-，当且仅当2t =-即3x =-时取等号 ∴(][),80,y ∈-∞-+∞（5）单调性法：1lg y x =在[]1,2上单调增且226y x x =-+在[]1,2上单调增 12y y y ⇒=+在[]1,2上单调增[]5,8lg 2y ⇒∈+（6）数形结合法：设()cos ,sin P θθ、()2,3Q ，则3sin 2cos PQ xk y x-==-设()3212y k x k ⎡-=-⇒≤⇒∈-+⎢⎣⎦即2y ⎡∈+⎢⎣⎦例2：函数()21f x ax a =++在区间()1,1-上的值有正有负，求实数a 的取值范围。
函数的值域(最值)的常见求法带解析
【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。
常用求函数值域的几种方法
函 数 值
域
的 几
种 方
法
金 万金
（ 陇西 县 文 峰 巾学 ， 甘肃 陇 西 函数 是中学 数学 的重要 基本 概念 之一 ， 它与代 数式 、 方 程、 不等式 、 三角函数 、 微 积 分 等 内 容有 着 密 切 的 联 系 ， 应 用 十 分广 泛． 函数 的 基 础 性 强 、 概念多 ， 其 中函数 的定义域 、 值域、 奇偶性等是难点之 一 ， 是高考 的常见题型． 下 面 就 函数 值 域 的 求法举例说明如下．
二、 换 元 法
， 所 以原 函数 的值 域 为 ｛ ｙ １ ０ ＜ ｙ ≤
｝ ．
将 原 函数 化 为 ｆ （ ｘ ） ＋ — ， （ ａ ＞ ０ ） 型， 应 用 均 值 不 等式 及 其
ｔ （ Ｘ）
换 元 法 分 代 数 换 元 和 ｊ 角 换 元 ．代 数 换 元 是 将 一个 整 式 ＿ Ｆ Ｉ ＝ Ｊ 一个变量代换 ， 转 化 为 受 限 的 二 次 函数 等 求 值 域 ， 三 角 换 元 是利 用 三 角 代 换 ， 根 据 角 函数 间 的关 系 及 其 有 界 性 求 值 域 ． 例２ ． 求 函ｍ ｙ ＝ ｘ ＋ ｘ ／ ｘ 一 ３的 值 域
条 件 求 函 数 的值 域． 例６ ． 在 平 面直 角 坐 标 系 ｘ ｏ ｙ ， 过 原 点 的一 条 直 线 ｆ （ ｘ ） ＝
的图 像 交 与 Ｐ ， Ｑ 两点 ， 则线段Ｐ Ｑ 长的最小值是 分析 ： 由 已知 可 知 两 点 Ｐ ， Ｑ 必关 于原点对称 ， 从 而 设 出 交
ｘ 一 ｘ＋１
＋ （ １ － ｙ ） ｘ ＋ ｙ ＝ ０（ ＊ ） ， 。 ． ‘ ｙ ＝ ｌ 时， 方程（ ） 无 解 ． ｙ≠１ ， ‘ ． ‘ Ｘ∈Ｒ ． 方 程
2021高考数学常见题型解法归纳《第15招 分段函数常见题型解法》
x D1
y f1(x) x D1
x D2 x Dn
，不要写成
f
(x)
y f
2
(x) x
x Dn
D2
.注意分段函数的每一段的自变量的取值范
x Dn
y fn (x) x Dn
围的交集为空集，并集为函数的定义域 D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.
2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就
【例 2】已知函数 f x {lo2gx2231,xx, x2 2 ，若 f 2 a 1 ，则 f a （ ）
A. 2 B. 0 C. 2 D. 9
【解析】当 2 a 2
即 a 0 时，
log2
3 2 a
11 a 1 ,a 1
2
2
（舍）；
当 2 a 2 即 a 0 时， 22a2 1 1 a 1 f a log2 4 2 ，故选 A.
要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.
3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.
4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.
5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，
即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.
D.
【点评】（1）本题中 f (x) 的自变量 x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当 2 x 0 时， 计算 f (x) 要注意确定 x 的范围， 0 x 2 ，所以求 f (x) 要代入第一段的解析式.数学思维一定要注
意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.
高考数学 常见题型 三角函数的值域与最值
【解析】 ①∵f(x)＝2cos2x＋2 3sinxcosx＋m ＝1＋cos2x＋ 3sin2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1， ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝π.
②假设存在实数 m 符合题意．∵x∈[0，π2]， ∴π6≤2x＋π6≤76π，∴sin(2x＋π6)∈[－12，1]． ∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋m＋1∈[m,3＋m]． 又∵f(x)∈[12，72]，解得 m＝12， ∴存在实数 m＝12，使函数 f(x)的值域恰为[12，72]．
cos2x＋
3 4
＝12sinx·cosx－
23cos2x＋
3 4
＝14sin2x－
43(1＋cos2x)＋
3 4
＝14sin2x－ 43cos2x＝12sin2x－π3.
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2) 因 为 f(x) 在 区 间 －π4，－1π2 上 是 减 函 数 ， 在 区 间 －1π2，π4上是增函数，
故 y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－ 2≤t≤ 2)． 从而知 f(－1)≤y≤f( 2)，即－1≤y≤ 2＋12. 则函数的值域为[－1， 2＋12]．
点评：可化为y＝f(sinx)型三角函数的最值或值域也可通 过换元法转为其他函数的最值或值域．
对点训练 (1)求函数 y＝s1in－2xcsoisnxx的值域． 【解析】 ∵y＝2si1n－xcocsoxssxinx＝2cos1x－1－coscxos2x ＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋12)2－12， 于是当且仅当 cosx＝1 时，ymax＝4. 但 cosx≠1，∴y<4. 且 ymin＝－12，当且仅当 cosx＝－12时取得． 故函数值域为[－12，4)．
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高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法1 (直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为；时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】【例1】求函数的值域.【解析】故函数的值域是.【点评】（1）对于某些特殊的数的性质大家要熟悉，如算术平方根具有双重非负性，即：被开方数的非负性和值的非负性；是非负数；是一个非负数，是一个正数.掌握这些数的性质后，可以很快得到函数的值域.（2）不等式的性质在求函数的值域中经常用到，所以不等式的性质要熟练掌握.【反馈检测1】求函数的值域.函数是对称的分式函数.【例2 】求函数的值域.【点评】对于对称的分式函数，常利用分式的除法分离成常数和一个分式函数的和，再求函数的值域.【反馈检测2 】求函数的值域.【例3】【2017北京，文11】已知，，且，则的取值范围是__________．【点评】（1）对于二次函数，常用配方法求函数的值域.先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域.（2）有时函数的配方计算量比较大，所以可以不配方，直接计算抛物线的对称轴，画出抛物线的草图，截取定义域内的那一段观察，即可得到函数的值域.（3）本题注意不能把函数的定义域看作是，必须根据求出满足的条件，再和求交集得到函数的定义域.【反馈检测3】求函数的值域.【例4】求函数的值域.【解析】反解得即因为反函数的定义域为，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为.【点评】（1）当函数是分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),一般可以利用反函数法求函数的值域，当然，其它一些能反解出的函数，也可以选择反函数法求函数的值域.（2）利用反函数法求函数的值域，利用的知识点是“反函数的定义域是原函数的值域”.【反馈检测4】求函数值域.【例5】求函数的值域.【点评】（1）对形如的函数，可以考虑换元，消掉根式，化成一个二次函数.（2）在任何地方换元，都要注意新元的取值范围，它就是新函数的定义域.(3)本题也有简单一点的方法，由于函数在定义域上增函数，函数在定义域上也是增函数，所以原函数在定义域上是增函数，所以时，函数取最小值.【例6 】已知满足不等式.（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值.【解析】（1）【点评】（1）当函数中某一个复杂的式子反复出现时，我们可以考虑换元，使书写简单，使函数式子形式更简单明了.如果后面是指数，也可以换元.（2）换元时一定要注意新元的范围,注意数学等价转化的思想.【例7】求函数的值域.【点评】（1）由于，所以当已知中同时有或者同时有时，可以考虑换元，化成一个二次函数.（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. （3）本题显示出换元建立新函数转化化归的好处，本来一个函数有两个变量，不好处理，但是通过换元，变成了一个我们熟悉的一元二次函数，大大地提高了解题效率.【例8】已知是圆上的点，试求的值域.【解析】由题得，设则，即故，所以函数的值域为.【点评】当已知条件可以化为时，可以设，实行三角换元，这样可以优化解题，提高解题效率.【反馈检测5】若求函数的值域.函数的值域（最值）的常见求法1(直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】由题得所以函数的定义域，，即函数的值域为【反馈检测2答案】【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由题得，所以函数的定义域为.所以，所以函数的值域为.【反馈检测4答案】.【反馈检测4详细解析】由原函数式可得：则其反函数为，其定义域为，故所求函数的值域为.【反馈检测5答案】高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法2 （判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】形如的函数.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。
【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题，都是增函数，利用到了复合函数的单调性,所以要对函数单调性的判定方法比较熟练，才能做到游刃有余.【反馈检测4】求函数的值域.【例6】求函数的值域.【点评】(1)画函数的图像，要先化简解析式，再画出函数的图像.(2)本题也可以利用重要的绝对值不等式得到函数的最值，，所以函数的最小值为5.（3）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图.【例7】如果函数定义在区间上，求的最小值.图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即.当时，函数取得最小值.图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.当时，函数取得最小值图3综上讨论，【点评】二次函数在闭区间上的最值问题，是一种较典型的问题.如果对称轴和区间的位置关系不能确定，常利用分类讨论和数形结合分析解答.【例8】求函数的值域.因为直线和圆相切，所以所以函数的值域为【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.【例9】设是上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A．（1，2）B．C．D．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数解所以恰有3个不同的实数解.则解得：＜a＜2. 故选D【点评】(1) 本题涉及到函数的奇偶性、周期性和零点问题，利用数形结合再好不过了. 所以要先根据已知条件作出函数的图像，再作出函数的图像，数形结合分析解答. (2)对于函数的问题，大家要比较敏感，随时想到利用函数的图像来分析.【例10】点为抛物线：上一动点，定点，则与到轴的距离之和的最小值为（）A.9B.10C.8D.5【解析】如图所示，焦点过点作垂直于准线交轴与点，到轴的距离,当三点共线时，取最小值，,所以与到轴的距离之和的最小值.【点评】圆锥曲线中，涉及到焦半径时，要想到圆锥曲线的定义，把问题转化，优化解题.【例11】已知x，y满足约束条件(1)求目标函数的最大值和最小值；(2)若目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，求的值；(3)求的取值范围．【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图：作直线：，并平行移动使它过可行域内的点，此时有最大值；过可行域内的点，此时有最小值，解，得．解，得．解，得．∴，.(2)一般情况下，当取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线平行于直线时，线段上的任意一点均使取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．又，∴.【点评】线性规划的问题，就是数形结合研究问题的典型.线性规划解答问题的一般步骤是（1）根据题意，设出变量；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系；（6）观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.【反馈检测5】若点的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时，点的坐标是.【例12】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．【点评】（1）由于蚂蚁在沿着曲面爬行，所以蚂蚁走过的路线时曲线，要直接求，比较困难，怎么办？我们这时可以把曲面展开，变成平面，再利用解三角形的知识来分析解答，问题迎刃而解.（2）本题利用了转化化归的思想，把空间的问题化成平面的问题，问题迎刃而解.【反馈检测6】如图，圆锥的底面圆直径为2，母线长为4，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为______．【例12】已知函数，（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）求在区间上的最小值．【解析】（1）当时，又故切线的斜率为所以切线方程为：即（2）函数的定义域为当x变化时，的变化情况如下表：【点评】对于结构较复杂或高次的函数，一般利用导数法来研究函数的值域.先利用导数研究函数的单调性，再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域.【例13】两县城和相距20，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城和城的总影响度为城与城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为,统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.（1）将表示成的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离;若不存在，说明理由.【解析】（1）如图,由题意知,,其中当时，,所以.所以表示成的函数为【点评】对于应用题，先要建立函数的模型，通过函数的模型，把一个实际问题转化成一个数学问题，再利用导数来研究函数的最值，最后再回到实际问题中去.【反馈检测7】已知函数，求函数在上的最大值．高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法2 （判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【反馈检测4答案】【反馈检测6详细解析】由题意知底面圆的直径，故底面周长等于．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得解得，所以展开图中，根据勾股定理求得=,所以小虫爬行的最短距离为【反馈检测7答案】当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为【反馈检测7详细解析】，∴．③当时，即时，在上是增函数，∴综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为.高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法3（绝对值不等式法和柯西不等式法）【知识要点】一、绝对值不等式1、重要绝对值不等式：|使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“一”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边. 再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“一”，总之要使中间是常数.2、求绝对值的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.二、柯西不等式1、二维形式的柯西不等式：若为实数，则.（当且仅当时取“=”）二维形式的柯西不等式的一些变式或或，要灵活选择应用.2、维向量的柯西不等式：设，则（当且仅当时取等号，假设）3、利用柯西不等式求最值时，要注意灵活配凑和构造,，使条件满足柯西不等式，这一点很关键.【方法讲评】直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.【例1】已知函数.(1)求的取值范围,使为常数函数；(2)若关于的不等式解集不是空集,求实数的取值范围.【点评】（1）关于的不等式解集不是空集，即关于的不等式有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于8.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.恒成立等价于，有解等价于，恒成立等价于，有解等价于.(3)第2问中绝对值的最值，用到了数形结合的方法和绝对值不等式.【反馈检测1】若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．【反馈检测2】若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【例2】已知的最小值.【点评】(1)本题利用其它方法求函数的最值不是很方便简洁，但是选择柯西不等式比较简洁.由于已知中有平方和等条件，所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时，要学会配凑和构造，使它满足柯西不等式左右两边的形式.【反馈检测3】已知，且，则的最小值是．【反馈检测4】若存在实数使成立，求常数的取值范围.【反馈检测5】已知函数，，且的解集为．(1)求的值；(2)若，且，求的最小值.高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法3 （绝对值不等式法和柯西不等式法）参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】不等式的解集为，故，所以，.【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得,即，所以，所以函数的最小值是，关于的不等式有实数解等价于，即，解得故选. 【反馈检测3答案】【反馈检测4答案】【反馈检测4详细解析】由柯西不等式，，即，又知为非负数，所以，当且仅当，即时取等号.所以最大值为8.则若存在实数使成立，，所以常数的取值范围为.【反馈检测5答案】（1）；（2）9.。