高中数学排列组合几种常见题型及解法

高中数学排列组合几种常见题型及解法
摘要:排列、组合问题是高中数学的重要知识之一,或单独命题,或与概率内容相结合,一般以较易题出现,但由于解这类问题时方法灵活,切入点多,且抽象性极强,在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现,所以又成为学习的难点之一。

故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解,运用化归思想、比较分类思想和模型化思维方法,将问题简单化、常规化。

关键词:分类计数原理、分步计数原理、特殊元素、特殊位置、捆绑法、插空法、隔板法
排列组合的学习虽然注意发散思维、逆向思维能力的培养,但如果能够掌握一些常见题型及其解题策略,则会降低学习这部分知识的难度。

本文就排列组合的基本题型、基本思路做以简略介绍:
一、排列组合的基本思路
1、排列、组合的应用问题
(1)无限制条件的简单排列、组合应用问题,可直接用公式求解。

(2)有限制条件的排列组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。

2、排列、组合的综合问题
排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排列问题。

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:
(1)限制条件的排列问题常见命题形式:
“在”与“不在”“相邻”与“不相邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:
①“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排特殊元素或特殊位置。

②“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,即可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻问题最常用的方法。

③“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中。

④元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。

(2)限制条件的组合问题常见命题形式:
“含”与“不含”“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。

(3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复、不遗漏按事件的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列组合问题的最基本,也是最重要的思想方法。

3、解题步骤
(1)认真审题:据题意分析属于什么数学问题(看这个问题是否与顺序有关)?题目中的事
件是什么?有无限制条件?怎样才能完成这个事件?用什么计算方
法?
(2)列式并计算;
(3)作答。

二、排列组合的基本题型
题型一:排列应用题
若男生5名,女生4名共9名同学站成一排:
(1)如果甲必站在中间,有多少种排法?(答案:a88)
(2)如果甲不能站在中间,有多少种排法?(答案:a81a88)
(3)如果甲在排头,乙在排尾,有多少种排法?(答案:a77)
(4)如果甲不能在排头,乙不能在排尾,有多少种排法?(答
案:a88+a71a71a77或a99-a88-a88+a77)
(5)如果甲、乙排在两端,有多少种排法?(答案:a22a77)
(6)如果甲、乙不能排在两端,有多少种排法?(答案:a72a77)
(7)如果甲、乙必须在一起,有多少种排法?(答案:a88a22)
(8)如果甲、乙必须不在一起,有多少种排法?(答案:a77a82或
a99-a88a22)
(9)如果甲、乙间隔1人,有多少种排法?(答案:a77a71a22)
(10)如果5男4女分别在一起,有多少种排法?(答案:a22a55a44)
(11)如果5男4女相间排列,有多少种排法?(答案:a55a44)
(12)如果甲,乙,丙顺序固定,有多少种排法?(答案:a96)
题型二:组合应用题
若从这9名同学中选出3名出席一会议
(1)若甲,乙两名必在其内,有多少种选法?(答案:c71)
(2)若甲,乙两名都不在内,有多少种选法?(答案:c73)
(3)若甲,乙两名有且只有一名在内,有多少种选法?(答
案:c21c72)
(4)若甲,乙两名中至少有一名在内,有多少种选法?(答
案:c71+c21c72或c93-c73)
(5)若甲,乙两名中至多有一名在内,有多少种选法?(答
案:c73+c21c72或c93-c71)
题型三:排列与组合综合应用题
若9名同学中男生5名,女生4名
(1)若选3名男生,2名女生排成一排,有多少种排法?(答
案:c53c42a55)
(2)若选3名男生2名女生排成一排且有一男生必须在排头,有多少种排法?(答案:c53c42a31a44)
题型四:关于数的整除个数的性质:
①被2整除的:个位数为偶数;
②被3整除的:各个位数上的数字之和被3整除;
③被6整除的:3的倍数且为偶数;
④5的倍数:个位数是0,5;
用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,
(1)可组成多少个不同的四位数?(答案:a51a53)
(2)可组成多少个不同的四位偶数?(答案:a53+a21a41a42)
(3)可组成多少个能被3整除的四位数?(答案:4a31a33+a44)
(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一列,问第85个数是什么?(答案:2301)
题型五:分组问题
6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?
(1)一堆一本,一堆两本,一堆三本(答案:c61c52c33)
(2)甲得一本,乙得两本,丙得三本(答案:c61c52c33)
(3)一人得一本,一人得两本,一人得三本(答案:c61c52c33a33)
(4)平均分给甲、乙、丙三人(答案:c62c42c22)
(5)平均分成三堆(答案:)
(6)分成四堆,一堆三本,其余各一本(答案:c63)
(7)分给三人每人至少一本。

(答
案:c64a33+c63c32c11a33+c62c42c22)
题型六:编号问题
(1)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有多少种?(答案:c42a43)
(2)将数字1,2,3,4填在标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填上一个数字且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种?(答案:9)
题型七:隔板法:(适用于“同元”问题)
(1):把17个相同的小球分别放入编号为①②③的三个盒子中,且每个盒子不空,有多少种分法?(答案:c162)
(2):把17个相同的小球分别放入编号为①②③的三个盒子中,且每个盒子中的小球数目不小于其编号,有多少种分法?(答案:c142) (3):方程有多少组整数解? (答案:c132)
题型八:染色问题
(1)梯形的两条对角线把梯形分成四部分,用五种不同颜色给这四部分涂色,且相邻的区域不同色,问有多少种不同的涂色方
法?(答案:a52a31a31+a51a41a41)
(2)若为一个四棱锥的顶点染色,定义由同一条棱连结的两个顶点叫相邻顶点,规定相邻顶点不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则共有多少种不同的染色方法?(答案:72)
题型九:几何问题
(1)平面上有12个点,任何三点不共线,一共可画出三角形多少个?(答案:c123)
(2)平面上有12个点,其中四点共线,其它任何三点不共线,一共可画出三角形多少个?
(答案:c123-c43)
(3)在∠aob的边oa上有5个点,在边ob上有6个点(不包括o点),用这些点(含o点)为顶点,可画出三角形多少个?(答
案:c51c62+c52c61+c51c61或c123-c63-c73)
(4)在∠aob的边oa上有5个点,在边ob上有6个点(不包括o点),用这些点(含o点)为顶点,可画出四边形多少个?(答案:c52c62) (5)在∠aob的边oa上有5个点,在边ob上有6个点(不包括o点),
如果用这些点中的任意两点连线,直线的交点在∠aob内部的个数为多少?(答案:c52c62)
(6)平面内有7条线,任意三条不共点,有且只有两条平行,则可构成三角形多少个?
(答案:c53+c21c52或c73-c51)
(7)在平面α内有4个点,与之平行的平面β内有5个点,没有任意三点共线,则最多可构成多少个三棱锥?(答
案:c52c42+c41c53+c51c43或c94-c54-c44)
(8)长方体abcd-a1b1c1d1的8个顶点,可构成多少个三棱锥?(答案:c84-12)
以上是对排列组合问题的简单总结,尽管在具体的排列组合问题中,种类繁多,变化无常,但只要能把握住最常见的原理和方法,即:“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”,掌握常见题型及其解法,留心容易出错的地方就能够以不变应万变,把排列组合学好。