河北省五个一名校联盟2021届高三联考数学试题
河北省“五个一”名校联盟2021届高三数学上学期第一次联考试题【含答案】
数学答案
1． C 因为 A x | 2x 1 x | x 0， B x | x2 5x 6 0 x | 6 x 1，所以
A B {x | 0 x 1) ．
2．B
2
i
1
1 i
2
i
1 i
1
1
3i
．
3．A 由题意知 0．1．1．0．1．4 0 4m 0 4n 2 5 ，可得 m n 5 ．
A．（0）,
B．（1）,
C．（- , 0）
D．（0，1）
8．蹴鞠（如图所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日 的足球．2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产
则（ ）
A． a0 0
B． a3 20
C． a1 a5 0 D． | a0 +a2 a4 a6 a1 a3 a5 |
12．已知 f x是定义在 R 上的奇函数，且 f 1 x f 1 x，当 0 x 1时， f x x ，关于函数
g x f x f | x |，下列说法正确的是（ ）
f
x
sinx
的图象得到函数
g(x)
cos
3
2
x
的图象的过程中，下列表述正确的是（
）
A．先将 f x sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 （纵坐标不变），再向左平移个 单位长度
2
12
B．先将
f
x
sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
河北省“五个一名校联盟”2021届高考数学二诊试卷(含答案解析)
河北省“五个一名校联盟”2021届高考数学二诊试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合M={x|−2≤x−1≤2}和N={x|x=2k−1,k=1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个2.下面是关于复数z=2−i的四个命题：p1：|z|=5；p2：z2=3−4i；p3：z的共轭复数为−2+i；p4：z的虚部为−1，其中真命题为()A. p2，p3B. p1，p2C. p2，p4D. p3，p43.如图，在正方体ABCD−A 1B1C1D1中，过DD1的中点作直线，使得与BD 1所成角为40°，且与平面A1ACC1所成角为50°，则的条数为()A. 1B. 2C. 3D. 无数)，cosα=3cos(α+2β)，则下列选项正确的是()4.已知α，β∈(0,π2A. tan(α+β)tanβ=2B. tan(α+β)tanβ=12tanβC. tan(α+β)=2tanβD. tan(α+β)=125.设x，y∈R，向量a⃗=(x,1)，b⃗ =(1,y)，c⃗=(2,−4)且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，则|a⃗+b⃗ |=()A. 2√5B. √10C. 3√5D. √56.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A. B. C. D.7.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于√5，则该双曲线的方程为()A. 5x2−45y2=1 B. x25−y24=1 C. y25−x24=1 D. 5x2−54y2=18.已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f(x)g(x)=a x，且f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，(a>0，且a≠1)，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52.若数列{f(n)g(n)}的前n项和大于62，则n的最小值为()A. 6B. 7C. 8D. 9二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=√3sin2x−2cos2x−1，则()A. f(x)图象的一条对称轴为x=2π3B. f(x)图象的一个对称中心是(π12,0)C. 将曲线y=2sin(x−π6)上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移两个单位长度，可以得到y=f(x)的图象D. 将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到的曲线关于y轴对称10.设S n为数列{a n}的前n项和，且S n=n+12n−1，若数列{b n}满足：b n=n(1−a n)，且T n=b1+ b2+⋯+b n，则以下说法正确的是()A. 数列{a n−1}是等比数列B. 数列{b n}是递增数列C. T n=2−n+22nD. S n≥T n11.设函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是奇函数，则()A. f(1)=0B. f(x+1)=−f(−x−1)C. f(−x+2)=−f(x)D. |f(x+1)|为偶函数12.在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有()A. √x2+(y−2)2+√x2+(y+2)2=4B. √(x+1)2+y2+√(x−1)2+y2=4C. 2√(x−1)2+y2=|4−x|D. √(x+2)2+y2=2|2+x|三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有______ 种.14.如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE=1，AB=3，CF=4√2，则BC边的长为______ ．15.如图所示，向量.(用表示)16.已知e1⃗⃗⃗ =(2,1)，e2⃗⃗⃗ =(2,−1)，点P的坐标(x,y)满足方程x24−y2=1，若OP⃗⃗⃗⃗⃗ =a e1⃗⃗⃗ +b e2⃗⃗⃗ (a,b∈R,O为坐标原点)，则a，b满足的一个等式是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里? (Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?18. 已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2，2a n =1+a n a n+1，b n =a n −1．(1)求证：数列{1b n}为等差数列，并求数列{a n }通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，令T n =S 2n −S n ，求T n 的最小值．19. 如图，在三棱柱∠DOT =2∠DMB 中，已知∠BMC =30°.，AB =BC =1，BB 1=2，∠BCC 1=π3． (1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．20. 已知椭圆W：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且经过点C(2,√3).(Ⅰ)求椭圆W的方程及其长轴长；(Ⅱ)A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴于点Q.若△ACQ的面积比△BDQ的面积大2√3，求点D的坐标．21. 甲、乙、丙三个人独立地翻译同一份密码，每人译出此密码的概率依次为0.4，0.35，0.3.设随机变量X表示译出此密码的人数．求：(1)恰好有2个人译出此密码的概率P(X=2)；(2)此密码被译出的概率P(X≥1)．22. 已知f(x)=e x+e−x−alnx(a∈N,a≥2)的极值点x0∈(12,1)．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若不等式f(x)≥b(b∈Z)恒成立，求b的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：M={x|−2≤x−1≤2}={x|−1≤x≤3}，N={1,3，5，…}，∴M∩N={1,3}.故阴影部分共2个元素．2.答案：C解析：解：∵z=2−i，∴p1：|z|=√22+(−1)2=√5，p2：z2=(2−i)2=3−4i，p3：z的共轭复数为2+i，p4：z的虚部为−1．∴其中真命题为：p2，p4．故选C．由z=2−i，知p1：|z|=√22+(−1)2=√5，p2：z2=(2−i)2=3−4i，p3：z的共轭复数为2+i，p4：z的虚部为−1，由此能求出结果．本题考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：试题分析：取的中点，的中点为，的中点为，的中点为，连结和，则平面，.在平面内，以点为圆心，半径为画圆，则点与此圆上的点的连线满足：过的中点与平面所成的角为.所以满足与所成角为的直线有且只有条，故选B．考点：1、异面直线所成的角；2、直线与平面所成的角．4.答案：B)，cosα=3cos(α+2β)，解析：解：已知α，β∈(0,π2整理得cos[(α+β)−β]=3cos[(α+β)+β]，故cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=3cos(α+β)cosβ−3sin(α+β)sinβ，整理得：2sin(α+β)sinβ=cos(α+β)cosβ，．故tan(α+β)tanβ=12故选：B．直接利用三角函数的关系式的变换，同角三角函数的应用，角的恒等变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，同角三角函数的应用，角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：a⃗⊥c⃗；∴a⃗⋅c⃗=2x−4=0；∴x=2；b⃗ //c⃗；∴1⋅(−4)−y⋅2=0；∴y=−2；∴a⃗+b⃗ =(3,−1)；∴|a⃗+b⃗ |=√10．故选：B．由a⃗⊥b⃗ ，便有a⃗⋅b⃗ =0，这样可以求出x，而由b⃗ //c⃗，便有−4−2y=0，这样可求出y，从而得出向量a⃗+b⃗ 的坐标，根据坐标即可得出其长度．考查非零向量垂直的充要条件，数量积、向量加法的坐标运算，以及平行向量的坐标关系，根据向量坐标求向量长度．6.答案：C解析：考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．(n+1)，解：由图形可得三角形数构成的数列通项a n=n2同理可得正方形数构成的数列通项b n =n 2， 则由b n =n 2(n ∈N +)可排除D ，又由a n =n2(n +1)，n2(n +1)=289与n2(n +1)=1024无正整数解， 故选C ．7.答案：D解析：解：抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，c =1,e =c a =1a =√5,a 2=15,b 2=c 2−a 2=45双曲线的方程为5x 2−54y 2=1 故选：D ．先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c ，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b 2=c 2−a 2求得b 2，则双曲线的方程可得．本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了抛物线的性质的运用，属于基础题．8.答案：A解析：解：∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x)， ∴[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g 2(x)>0，即f(x)g(x)单调递增，又f(x)g(x)=a x ，故a >1．所以由f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，即a +a −1=52，解得a =2．所以数列{f(n)g(n)}是以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和Sn =2(1−2n)1−2=2(2n −1)， 由Sn >62即2(2n −1)>62，解得n ≥6， 所以n 的最小值为6． 故选A ．根据导数不等式可知函数f(x)g(x)的单调性，从而确定a 的取值范围，然后根据条件求出a 的值，从而可判定数列{f(n)g(n)}是等比数列，可求出其前n 项和，然后求出满足条件的n ，由此可得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及等比数列的前n项和，同时考查了运算求解能力，考查计算能力和转化得思想，属于基础题．9.答案：CD解析：解：函数f(x)=√3sin2x−2cos2x−1=√3sin2x−cos2x−2=2sin(2x−π6)−2，令x=2π3，求得f(x)=−3，不是最值，故不A正确．令x=π12，求得f(x)=−2，故f(x)图象的一个对称中心为(π12,−2)，故B不正确．将曲线y=2sin(x−π6)上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得y=2sin(2x−π6)的图象；再向下平移两个单位长度，可以得到y=2sin(2x−π6)−2=f(x)的图象，故C正确．将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=2sin(2x−π3−π6)−2=−2cos2x−2图象，显然，由于所得函数为偶函数，故它的曲线关于y轴对称，故D正确．故选：CD．由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．10.答案：ACD解析：解：因为S n=n+12n−1，当n≥2时，S n−1=n−1+12−1，两式相减可得a n=1−12n，当n=1时，a1=S1=12也适合上式，故a n=1−12n，则a n−1=−12n ，因为a n−1a n−1−1=−12n−12n−1=12，故数列{a n−1}是等比数列，故选项A正确；因为b n=n(1−a n)，所以b n=n2n，故b n+1−b n=n+12−n2=1−n2，当n≥1时，b n+1−b n≤0，所以b n+1≤b n，则数列{b n}不是递增数列，故选项B错误；因为Tn=1×12+2×122+⋯+n⋅12n，所以12T n=1×122+⋯+(n−1)×12n+n×12n+1，两式相减可得12T n=12+122+⋯+12n−n2n+1=12×(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1，所以T n=2−n+22n，故选项C正确；S n−T n=n+12n −1−(2−n+22n)=n−3+n+32n，当n=1时，S1−T1=1−3+42=0，则S1=T1，当n=2时，S2−T2=2−3+54>0，则S2>T2，当n≥3时，S n−T n=n−3+n+32n>0，则S n>T n，综上可得，S n≥T n，故选项D正确．故选：ACD．利用a n与S n的关系求出a n，再求出a n−1，利用等比数列的定义即可判断选项A，求出b n，再利用作差法判断选项B，利用错位相减法求出T n判断选项C，利用作差法即可判断选项D．本题考查了数列的综合应用，涉及了a n与S n的关系的应用、等比数列定义的应用、数列单调性的判断、错位相减法求和的应用，综合性强，对思维能力和运算能力都有很高的要求，属于中档题．11.答案：ACD解析：解：根据题意，函数f(x+1)是奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则有f(x+1)=−f(1−x)，对于A，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称且f(x)的定义域为R，必有f(1)=0，A正确，对于B，f(x)满足f(x+1)=−f(1−x)，B错误，对于C，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则有f(x+1)=−f(1−x)，变形可得f(−x+2)=−f(x)，C正确，对于D，f(x)满足f(x+1)=−f(1−x)，则有|f(x+1)|=|f(1−x)|，则函数|f(x+1)|为偶函数，D正确，故选：ACD．根据题意，分析可得函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，据此分析选项，综合即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性的判断以及性质的应用，属于基础题．12.答案：BC解析：解：选项A：等式表示的是点P(x,y)到点A(0,2)，B(0,−2)的距离和为4=|AB|，根据椭圆的定义可知点P的轨迹不是椭圆，A错误，选项B：等式表示的是点P(x,y)到点A(−1,0)，B(1,0)的距离的和为4>2，根据椭圆的定义可得点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故B正确，选项C：等式化简为：x24+y23=1，故C正确，选项D：等式化简为：3x2+12x−y2+16=0，显然不是椭圆的方程，故D错误，故选：BC．选项AB，根据椭圆的定义即可判断，选项CD，化简等式与椭圆方程比较即可判断．本题考查了椭圆的方程以及定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．13.答案：60解析：解：由题意知本题可分三步完成第一步：先从5人中选出2名翻译，共C52种选法，第二步：从剩余3人中选1名交通义工，共C31种选法，第三步：从剩余2人中选1名礼仪义工，共C21种选法．∴不同的选派方法共有C52C31C21=60(种)．故答案为：60本题可分三步完成，首先从5人中选出2名翻译，再从剩余3人中选1名交通义工，最后从剩余2人中选1名礼仪义工，共C21种选法．根据分步乘法原理得到结果．本题考查分步计数原理，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果．14.答案：√57解析：解：依题意，AE=1，AB=3，得BE=2√2，因△BEA∽△CFA得AEAF =BEFC=ABAC，所以AF=2，AC=6，所以EC=7，所以BC=√BE2+EC2=√57．故答案为：√57．先求出BE，再利用△BEA∽△CFA，求出AC，可得EC，利用勾股定理求出BC．本题考查相似三角形的性质，考查学生的计算能力，正确运用相似三角形的性质是关键． 15.答案：解析： 本题主要考查向量的减法运算的定义及向量的分解，是基础题． 解：由向量减法定义可得：， 由图可得：， 故答案为．16.答案：ab =14解析：解：∵e 1⃗⃗⃗ =(2,1)，e 2⃗⃗⃗ =(2,−1)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a e 1⃗⃗⃗ +b e 2⃗⃗⃗ ，∴得(x,y)=(2a +2b,a −b)，代入已知方程x 24−y 2=1得(2a+2b)24−(a−b)24=1，化简得4ab =1． 故答案为：ab =14．由e 1⃗⃗⃗ =(2,1)，e 2⃗⃗⃗ =(2,−1)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a e 1⃗⃗⃗ +b e 2⃗⃗⃗ ，可得(x,y)=(2a +2b,a −b)，代入已知方程x 24−y 2=1，化简即可得出结论．本题考查双曲线方程，考查向量知识的运用，确定坐标之间的关系是关键． 17.答案：解： 如图，由题意知，在三角形BCD 中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距 海里；因为所以设 追击时间为t ，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．18.答案：解：(1)2a n=1+a n a n+1，b n=a n−1，∴b n−b n+1=b n b n+1，∴1b n+1−1b n=1，∴数列{1b n}是公差为1，首项为1等差数列，∴1b n =n，即b n=1n，∴a n=1n +1，即b n=1n．(2)T n=S2n−S n=1n+1+1n+2+⋯+12n，∵T n+1−T n=12n+1+12n+2−1n+1>0∴{T n}单调递增∴T n≥T1=12，∴T n的最小值为12．解析：(1)由已知利用等差数列的定义即可证明，再利用通项公式即可；(2)证明T n是递增数列即可得出．熟练掌握等差数列的定义、通项公式、递增数列等是解题的关键．19.答案：(1)证明：因为侧面AB⊥BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，在△BCC1中，BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=π3，由余弦定理得BC1=√3，故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，而BC ∩AB =B ，∴BC 1⊥平面ABC(2)解：由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则B(0,0，0)，A(0,1，0)，B 1(−1,0，√3)，C(1,0，0)，C 1(0,0，√3). ∴CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，√3)，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0，√3λ)，∴E(1−λ,0，√3λ)，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,−1,√3λ)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√3).设平面AB 1E 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{(1−λ)x −y +√3λz =0−x −y +√3z =0， ∴n ⃗ =(3−3λ2−λ,32−λ,√3)是平面AB 1E 的一个法向量．∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)是平面BEB 1的一个法向量，∴平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的余弦为32−λ1×√(2−λ)2+(2−λ)2+3=√32．两边平方并化简得2λ2−5λ+3=0，∴λ=1或λ=32(舍去)解析：(1)证明：AB ⊥BC 1，BC ⊥BC 1，即可证明C 1B ⊥平面ABC ；(2)以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1E 的法向量，平面BEB 1的一个法向量，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求λ的值．本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面所成的角，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．20.答案：解：(Ⅰ)由已知可得：{ c a =√324a 2+3b 2=1a 2=b 2+c 2， 解得a =4，b =2，c =2√3，故椭圆的方程为：x 216+y 24=1，且长轴长为2a =8；(Ⅱ)因为点D 在x 轴下方，所以点Q 在线段AB(不包括端点)上，由(Ⅰ)可知A(−4,0)，B(4,0)，所以△AOC 的面积为12×4×√3=2√3，因为△ACQ 的面积比△BDQ 的面积大2√3，所以点Q 在线段OB(不包括端点)上，且△OCQ 的面积等于△BDQ 的面积，所以△OCB的面积等于△BCD的面积，所以OD//BC，设D(m,n)，n<0，则nm =0−√34−2=−√32，因为点D在椭圆W上，所以m216+n24=1，解得m=2，n=−√3，所以点D的坐标为(2,−√3).解析：(Ⅰ)由已知点，椭圆的离心率以及a，b，c的关系式即可求解；(Ⅱ)根据已知条件推出OD与BC平行，设出点D的坐标，利用平行关系以及点D在椭圆上联立方程即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．21.答案：解：记“第i个人破译出密码”为事件A i(i=1,2，3)，依题意有P(A1)=0.4，P(A2)=0.35，P(A3)=0.3，且A1，A2，A3相互独立．(1)设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B=A1⋅A2⋅A3+A1⋅A2⋅A3+A1⋅A2⋅A3，且e1⋅A2⋅A3，A1⋅A2⋅A3，A1⋅A2⋅A3彼此互斥于是P(B)=P(A1⋅A2⋅A3)+P(A1⋅A2⋅A3)+P(A1⋅A2⋅A3)=0.4×0.35×(1−0.3)+0.4×(1−0.35)×0.3+(1−0.4)×0.35×0.3=0.239．答：恰好二人破译出密码的概率为0.239．(2)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D．D=A1⋅A2⋅A3，且A1，A2，A3互相独立，则有P(D)=P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)=(1−0.4)(1−0.35)(1−0.3)=0.273．而P(C)=1−P(D)=1−0.273=0.727，答：此密码被译出的概率为0.727．解析：根据题意，记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2，3)，分析可得三个事件的概率且三个事件相互独立；(1)设“恰好二人破译出密码”为事件B，则B包括彼此互斥的A1⋅A2⋅A3+A1⋅A2⋅A3+A1⋅A2⋅A3，由互斥事件的概率公式与独立事件的乘法公式计算可得答案；(2)设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D ，则D =A 1⋅A 2⋅A 3，由独立事件的乘法公式计算可得D 的概率，再由对立事件的概率公式可得C 的概率，比较可得答案．本题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力，难点在于对于恰有二人破译出密码的事件分类不清．22.答案：解：(I)f′(x)=e x −e −x −a x 在(0,+∞)上单调递增．∵f(x)=e x +e −x −alnx(a ∈N,a ≥2)的极值点x 0∈(12,1)．∴f ′(12)=√e −√e 2a <0，f′(1)=e −1e −a >0，又a ∈N ，a ≥2． 可得a =2．(II)首先当x =1时，f(1)=e +e −1∈(3,4)，又∵b ∈Z ，∴b ≤3．其次，我们可以证明不等式：e x +e −x ≥x 2+2(x >0)．设g(x)=e x +e −x −x 2−2(x >0)，g′(x)=e x −e −x −2x ，g ″(x)=e x +e −x −2>0恒成立． ∴g′(x)=e x −e −x −2x >g′(0)=0恒成立．∴g(x)>g(0)=0恒成立．∴e x +e −x ≥x 2+2(x >0)．∴e x +e −x −2lnx ≥x 2+2−2lnx(x >0)．设ℎ(x)=x 2+2−2lnx(x >0)，ℎ′(x)=2x −2x =2(x+1)(x−1)x ．可得x =1时，函数ℎ(x)取得极小值即最小值，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=3．∴e x +e −x −2lnx ≥3恒成立．∴b 的最大值是3．解析：(I)f′(x)=e x −e −x −a x 在(0,+∞)上单调递增．f(x)=e x +e −x −alnx(a ∈N,a ≥2)的极值点x 0∈(12,1).可得f ′(12)=√e −√e 2a <0，f′(1)=e −1e −a >0，又a ∈N ，a ≥2.即可得出a ． (II)首先当x =1时，f(1)=e +e −1∈(3,4)，又b ∈Z ，可得b ≤3.其次，我们可以证明不等式：e x +e −x ≥x 2+2(x >0).设g(x)=e x +e −x −x 2−2(x >0)，利用导数研究其单调性即可证明．e x +e −x −2lnx ≥x 2+2−2lnx(x >0).设ℎ(x)=x 2+2−2lnx(x >0)，利用导数研究其单调性即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2021年河北省“五个一名校联盟”高考数学二诊试卷(含解析)
2021年河北省“五个一名校联盟”高考数学二诊试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U是实数集R.如图的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}关系，那么阴影部分所表示的集合可能为()A. {x|x<2}B. {x|1<x<2}C. {x|x>3}D. {x|x≤1}2.若复数z=a+bi(i为虚数单位，a，在复平面内对应点为Z(a,b)，O为坐标原点，将实轴非负半轴绕点O逆时针旋转到OZ，转过的最小角叫复数z的辐角主值，记作arg(z)，则arg(21−i)的值为()A. π4B. 3π4C. 5π4D. 7π43.正三棱锥A−BCD，侧棱AB=2√3，棱CD=2，E，F分别是AB，CD的中点，则EF与BC成角为()A. 60°B. 90°C. 30°D. 45°4.已知sinxcosy=12，则cos x sin y的取值范围是()A. [−12,12] B. [−32,12] C. [−12,32] D. [−1,1]5.点O是Rt△BAC的外心，A=π2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=()A. 6B. 1C. 52D. −526.某商场一年中各月份的收入、支出(单位：万元)情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是()A. 1至2月份的收入的变化率与10至11月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是6：1C. 第三季度平均收入为60万元D. 利润最高的月份是2月份7.若直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于M、N两点，且线段MN中点的横坐标为3，则线段MN的长为()A. √13B. 8C. 8√2D. 168.有下列命题：①x=0是函数y=x3的极值点；②三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2−3ac>0；③奇函数f(x)=mx3+(m−1)x2+48(m−2)x+n在区间(−4,4)上是单调减函数；④若函数g(x)=(x−1)(x−2)…(x−2009)(x−2010)，则g′(2010)=2009．其中真命题的个数有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）)，则下列说9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，且f(0)=f(5π6法正确的为()A. 函数y =f(x −2π3)为奇函数B. 对任意x ∈R 均满足f(7π6+x)+f(7π6−x)=0C. 若函数f(x −π2)在区间[0,m]上有两个极值点，则m 取值的范围是[11π12,17π12)D. 要得到函数g(x)=2cos2x 的图象，只需将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度10. 已知数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，则下列各数是{a n }的项的有( )A. −2B. 23C. 32D. 311. 若函数f(x)对∀a ，b ∈R ，同时满足：①当a +b =0时，有f(a)+f(b)=0；②当a +b >0时，有f(a)+f(b)>0，则称f(x)为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有( )A. f(x)=e x +e −xB. f(x)=e x −e −xC. f(x)=x −sinxD. f(x)={0,x =0−1x,x ≠012. 我们通常称离心率是√5−12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A. |A 1F 1|⋅|F 2A 2|=|F 1F 2|2B. ∠F 1B 1A 2=90°C. PF 1⊥x 轴，且PO//A 2B 1D. 四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用数字2，0，1，7，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为______．14. 一轮船行驶时，单位时间的燃料费u 与其速度v 的立方成正比，若轮船的速度为每小时10km 时，燃料费为每小时35元，其余费用每小时为560元，这部分费用不随速度而变化．已知该轮船最高速度为25km/ℎ，则轮船速度为______ km/ℎ时，轮船航行每千米的费用最少．15. 如图，等腰直角三角形ABC ，点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与CA ，CB 两边分别交于M ，N 两点，且CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+4μ的最小值为______．16. 已知双曲线x 29−y 216=1的两个焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上，若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点M 到x轴的距离为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅ (Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅18.已知{a n}的各项均为正数的等差数列，其中a1=2，且a1、a3、a7成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)令b n=2a n，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n+4=2b n．19.如图，四边形ABEF为矩形，四边形CEFD为直角梯形，CE//DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平FD．面CEFD，P为AD的中点，且AB=EC=12(1)求证：CD⊥平面ACF；(2)若BE=2AB，求二面角B−FC−P的余弦值．20.如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角，我们把由曲线C1和曲线C2合成的曲线C称为“月蚀圆”.若|AF1|=7，|AF2|=5．(Ⅰ)求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程；(Ⅱ)过F2作一条与x轴相交的直线l，分别与“月蚀圆”依次交于B、C、D、E四点，(1)当直线l⊥x轴时，求|CD|的值；|BE|(2)当直线l不垂直x轴时，若G为CD中点、H为BE中点，问|CD|⋅|HF2|是否为定值？若是，求|BE|⋅|GF2|出此定值；若不是，请说明理由．21.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中率都是2，每次3命中与否互相独立．求：(1)直到第3次射击汽油才流出的概率；(2)直到第3次射击汽油罐才被引爆的概率；(3)汽油罐被引爆的概率．22.设函数f(x)=e x−ax+3(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值是4，求a的值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由韦恩图得所有元素是有属于U，但不属于M∪N的元素构成，即x∈∁U(M∪N)，由M={x|x>2}与N={x|1<x<3}则M∪N={x|x>1}，则∁U(M∪N)={x|x≤1}．故选：D．根据韦恩图表示集合关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，利用韦恩图表示集合关系是解决本题的关键．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数z的辐角主值的概念，属于基础题．由复数代数形式的乘除运算化简，求出21−i在复平面内点的坐标得答案．解：由21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i，∴复数21−i在复平面内对应点的坐标为(1,1)，则arg(21−i )的值为π4．故选：A．3.答案：A解析：解：取BD中点O，BC中点M，连结EO，FO，AM，DM，∵AB=AC，BD=CD，∴AM⊥BC，DM⊥BC，∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∵正三棱锥A−BCD，侧棱AB=2√3，棱CD=2，E，F分别是AB，CD的∴EO//AD，EO=12AD=√3，FO//BC，FO=12BC=1，∴∠EFO是EF与BC所成角(或所成角的补角)，且∠EOF=90°，EF=√3+1=2，∴cos∠EFO=EF2+FO2−EO22×EF×FO =4+1−32×2×1=12，∴∠EFO=60°．∴EF与BC成角为60°．故选：A．取BD中点O，BC中点M，连结EO，FO，AM，DM，推导出BC⊥AD，从而∠EFO是EF与BC所成角(或所成角的补角)，且∠EOF=90°，由此能求出EF与BC所成角．本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.答案：A解析：解：由于−1≤sin(x+y)≤1，sinxcosy=12，sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny=12+cosxsiny，故有−32≤cosxsiny≤12①．再根据sinxcosy−cosxsiny=sin(x−y)，且−1≤sin(x−y)≤1，∴−1≤12−cosxsiny≤1，∴−12≤cosxsiny≤32②．结合①②可得−12≤cosxsiny≤12故选：A．由题意可得−1≤sin(x+y)≤1，sin(x+y)=12+cosxsiny，由此求得cos x sin y的取值范围．再根据12−cosxsiny=sin(x−y)，且−1≤sin(x−y)≤1，求得cos x sin y的范围，再把这两个范围取交集，即得所求．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于中档题．解析：解：由题意，如图，O 为Rt △ABC 的外心，∠A =π2，且，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =12(4−9)=−52 故选：D ．由题意，可把 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两个向量看作基向量，将 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 两个向量用基向量表示出来，由数量积的运算及题设条件计算出两个向量的数量积。
河北省“五个一名校联盟”2021 2021学年高三上学期质检数学试卷(文科) Word版含解析
河北省“五个一名校联盟”2021 2021学年高三上学期质检数学试卷（文科） Word版含解析河北省“五个一名校联盟”2021-2021学年高三上学期质检数学试卷（文科）word版含解析2022-2022学年河北省“五一名校联盟”高三（一）质检数学考试卷（文科）最新的试卷上洒下了多少汗水，播下了多少期待，终于在交高考的那一刻尘埃落定。
你错过了多少回忆和梦想，你给了流水多少青春。
生活中，在你成长之前，总会有这样的成功或失败。
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1.如果集合a={x | x |≤ 1，X∈ r} ，B={y | y=X2，X∈ r} ，然后∩ B=（）a.{x | 1≤ 十、≤ 1} B.{x |x≥ 0}C.{x|0≤ 十、≤ 1} D？2.在复平面和复Z中=所对应的点关于实轴对称的点为a，则a对应的复数为（a．1+ib．1ic．1id．1+i3.让x∈ R、那么“1＜x＜2”是（）A.充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.必要和充分条件D.既不充分也不必要条件4。
中频双曲线=如果1的渐近线通过点（3,4），则该双曲线的偏心率为（a.b.c.d5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值（）a、 1b.3c.4d.86．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）a、不列颠哥伦比亚省。
7．若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（）a．b。
c．d。
））8．在面积为s的△abc内部任取一点p，则△pbc的面积大于的概率为（）a．b。
c．d。
≤恒成立，则实数a的最小值为（）（n）∈ n*），然后A10=（）9．若对任意正数x，不等式a．1b。
c．d。
10．已知数列{an}满足：?…=a．e26b．e29c．e32d．e3511.一个四面体的三个视图如图所示，那么四面体四个面的最大面积为（）a．2b．c．d．12.给定函数f（x）=x2ax，G（x）=B+AlN（x1），有一个实数a（a）≥ 1），使得y=f（x）的像和y=g（x）的像没有公共点，那么实数B的取值范围是（）A.[1，+∞)b．[1，）c．[)d(）二、填空：这个大问题有4个小问题，每个小问题5分，总共20分。
河北省“五个一”名校联盟2021届高三上学期第一次联考数学试题 含解析
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分
也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】直线与双曲线有一个公共点时，有可能是直线与双曲线的渐近线平行，
此时直线和双曲线相切不成立；
直线与双曲线相切时，可以推出直线与双曲线有一个公共点，命题成立，
所以 P 是 Q 的必要不充分条件.
1 可判断 A，令 t x 1 可判断 B，令 x 0, x
2可
判断 C 和 D.
fx
xx
4
a0 f
1
0 【详解】记
2
，
则
．
(1 ) 2
令 t x 1，则 x t 1，所以 为 (2t t ) t 1 的展开式中 t3的系数，
a
4
2 3
因为 (t+1)4 的通项为 4 ，所以 a
C
Crt r
2
3 24
4
6
1
3
5
故选：ACD. 【点睛】本题考查二项式定理，考查分析与转化的能力.
12. 已知 f x 是定义在R 上的奇函数，且 f 1 x
f 1 x ，当0 x 1 时， f x
x，
关于函数 g x
fx
f | x | ，下列说法正确的是（ ）
A. g x 为偶函数
B. g x 在 1, 2 上单调递增
∴ x 4y
x 4y 2
4
yx
yx
x 4y
x 2 y 6 （当且仅
当
，即
时取等号），
yx
∴ x+y 5 4 9 a ．
故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
2022年 五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试数学文配套精选
河北省“五个一名校联盟〞 2021届高三第一次诊断考试数学〔文科〕试题〔总分值：150分，测试时间：120分钟〕第I卷〔选择题，共60分〕一、选择题(此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的,把正确答案填涂在答题卡上.)1．集合，，那么A． B． C． D．2．设〔其中为虚数单位〕，那么复数A. B. C. D.3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中中年人数为12人，那么A. B. C. D.4.“〞是“方程表示焦点在轴上的双曲线〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数是定义在上的奇函数，当时，，，那么实数A. B. C. D.6.等差数列中，，那么数列的前项和为A. B. C. D.7.点为圆上一点，,那么的最大值为A. B. C. D.8.函数，且，那么的最小值为A. B. C. D.9.某几何体的三视图如右图所示，假设该几何体中最长的棱长为，那么该几何体的体积为A. B.C. D.10.分别是椭圆的上下两个焦点，假设椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，那么椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D.11.在平面四边形中，,，现沿对角线折起,使得平面平面，那么此时得到的三棱锥外接球的外表积为A. B. C. D.12.函数,假设关于的方程有个不相等的实数根，那么实数的取值范围为A. B. C. D.第II卷〔非选择题，共80分〕二、填空题(此题共4小题，每题5分，共20分,把正确答案填在答题卡上)13.向量，，那么向量在上的投影为 .14.在平面直角坐标系中，假设满足约束条件，那么的最大值为 .15.假设过定点的直线与曲线相交不同两点,那么直线的斜率的取值范围是 .16.在如下图的四边形区域中，，，,现园林绿化师方案在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为 .三、解答题(本大题共7小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程和演算步骤．〕〔一〕必考题：共60分.17．(本小题总分值12分〕正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设，求数列的前项和.18．(本小题总分值12分〕进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟〞统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了局部学生的成绩，得到如下图的成绩频率分布直方图：〔Ⅰ〕估计五校学生综合素质成绩的平均值；〔Ⅱ〕某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，假设名同学中有名理科生，名文科生，试求这人中含文科生的概率.19．(本小题总分值12分〕如图，在三棱锥中，面，，且=1，过点作平面，分别交于点.〔Ⅰ〕假设求证：为的中点；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求点到平面的距离．20．(本小题总分值12分〕动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.〔Ⅰ〕求曲线的方程；〔Ⅱ〕直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为，求证为定值.21．(本小题总分值12分〕函数〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕令，假设对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.(二)选考题(共10分.请考生在第22、23题中任选一道．．．．作答，如果多做，那么按所做的第1题计分．)22．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(Ⅰ)写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线与曲线交于两点，且弦的中点为求的值.23．〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数(Ⅰ)解关于的不等式(Ⅱ) 假设, 的解集非空，求实数的取值范围.文科数学参考答案一、选择CABBD DCCAA BD二、填空13. 14. 15. 16.三、解答17.解：〔1〕∵数列是公差为的等差数列，∴∴又是与的等比中项，，∴解得舍掉)故数列的通项公式为………………….6分，……………….9分……..12分〔化简整理成其他形式也给总分值〕18.(Ⅰ)依题意可知：，……………3分所以综合素质成绩的的平均值为.……………5分〔Ⅱ〕设这名同学分别为其中设为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果为共20种，……………9分其中含有文科学生的有16种所以含文科生的概率为.……………12分19.解：〔1〕取中点，连接∵∴，……………2分∵面，∴，又Q为的中点，为的中点………………5分〔Ⅱ〕设点到平面的距离为，∵为的中点，又，，∴，∵∴……………………………7分又，，，…………9分可得边上的高为，∴………………10分由得∴……………………12分20．〔Ⅰ〕设动圆圆心坐标为，根据题意得，……………………2分化简得. …………4分〔Ⅱ〕设，,由题意知的斜率一定存在设，那么，得所以，，，……………7分又………………10分=……………12分21.〔Ⅰ〕此函数的定义域为，〔1〕当时，在上单调递增，................2分〔2〕当时，单调递减，单调递增…………………4分.. 综上所述：当时，在上单调递增当时，单调递减，单调递增…………5分..〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知恒成立，那么只需恒成立，那么，…………………………………..8分令那么只需那么单调递减，单调递增，……………10分即的最大整数为……………………12分22．解：(Ⅰ) 直线的参数方程为：为参数〕，曲线的直角坐标方程为：……………4分〔其它形式的直线参数方程均给分〕(Ⅱ)直线的参数方程代入得：……………10分〔利用圆的几何性质均给分〕23. 解：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：即：……………2分由得由得综上原不等式的解集为……………5分(Ⅱ)原不等式等价于的解集非空，令，即，…………8分由，所以，所以.………………10分。
河北省“五个一”名校联盟2021届高三数学上学期一轮复习收官考试试题 理
河北省“五个一”名校联盟2021届高三一轮复习收官考试数学(理)试卷第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．设集合{}1|21-=≥x A x ，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B C A =( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 2．已知复数z 满足121ii z-=+，则z =( ) A ．5 B ．322 C ．10 D ．3 3．已知函数()2x f x =，若()0.22a f =，()2b f =，()2log 5c f =，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．b<a<cD ．a<c<b 4．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法．比如借助天平鉴别假币．有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币(质量较轻)，把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币．现有27枚这样的硬币，其中有一枚是假币(质量较轻)，如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．如图，直线l 的解析式为y=-x+4，它与x 轴和y 轴分别相交于A ，B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x 轴和y 轴分别相交于C ，D 两点，运动时间为t 秒(0≤t ≤4)，以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE(E ，O 两点分别在CD 两侧)．若△CDE 和△OAB 的重合部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．如图所给的程序运行结果为S=41，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥?B ．6k ≥?C ．5k ≥?D ．6k >? 7．下列判断正确的是( ) A ．“2x <-”是“1n(x+3)<0”的充分不必要条件B ．函数()2299f x x x =+++的最小值为2C ．当α，R β∈时，命题“若sin sin αβ≠，则αβ≠”为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” 8．若两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是( ) A ．6π B ．2π C ．23π D ．56π 9．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是( )A ．34 B ．712 C ．12 D ．51210．设F 2是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 2的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若22||3||MF PF =，且∠MF 2N=60°，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3 B ．2 CD11．设函数()()2sin ,0,x f x e a x x π=-∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为( )A 4e πB4e π C2e πD 2e π12．在三棱锥A-BCD 中，∠BAC=∠BDC=60°，二面角A-BC-D 的余弦值为13-，当三棱锥A-BCD时，其外接球的表面积为( ) A ．5π B ．6π C ．7π D ．8π第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题13．已知实数x 、y 满足线性约束条件114x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是________．14．在等比数列{a n }中，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5________S = 15．函数()3sin 4cos f x x x =+，若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴，则cos2sin cos ________θθθ+=．16．F 1、F 2是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上的一点，如果△PF 1F 2的面积为1，121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则a=________________三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若21cos 222A b c=+ (Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)BM 平分角B 交AC 于点M ，且BM=1，c=6，求cos ∠ABM ． 18．在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，△PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面GAC ；(Ⅱ)求二面角P-AG-C 的正弦值．19．已知函数()sin f x ax x =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中a 为常数．(Ⅰ)若函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求a 的取值范围；(Ⅱ)当1a ≤时，证明：()316f x x ≤． 20．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原x 1 2 3 4 5 6 7 8 y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型by a x=+和指数函数模型dx y ce =分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为0.296.54x y e -=，ln y 与x 的相关系数10.94r =-．参考数据(其中1i iu x =)：81i iiu y=∑u2u821iiu=∑81iiy=∑821iiy=∑0.616185.5⨯2e-183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出)．根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7．已知每件产品的原料成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由．参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v uαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，a v uβ=-，相关系数1222211ni iin ni ii iu v nuvru nu v nv===-=⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑．21．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点31,2G⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C的顶点为原点．(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(Ⅱ)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．①设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：PABPCDSS是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是()22281311k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩(k 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且a+b+c=2，证明：(Ⅰ)43ab bc ac ++≤； (Ⅱ)2228a b cb c a---≥．。
2021年名校联盟河北省21届高三4月联考《数学》试题及答案解析
12021年高三一模数学试题答案一、选择题：DBCACBCD 二、选择题：ABDBC AB ACD 三、填空题：13.3.514.1215.1；3e e -16.31四、解答题：17.证明：（1）因为13323(2)22n n n a a a +-=-=-，..................2分所以{2}n a -是以1724a -=-为首项，以32为公比的等比数列所以数列{2}n a -是等比数列..................4分解：（2）由（1）得1732(42n n a --=-⋅，..................5分所以312143n n n b +-=-´..................6分因为413114321432n n n n n n b b +-++-=-×++×-313222832382939(23)0n n n n n n n n +-++=-⋅<-=⋅-⋅<-<，...........8分所以1n nb b +<，所以{}n b 单调递减，..........9分所以n b 的最大值为12b =.................10分18.解：（1）法1：根据题意，2由cos B A =得sin cos a B A =.................2分由正弦定理得：sin sin cos A B B A B +=，..................3分化简得sin A A =..................4分联立1cos sin 22=+A A 解得21cos =A ，cos 1()A =舍去..................5分所以3A π=..................6分法2：根据题意，2sin cosB b A b +=，得2sin cos 1B A b +=...........2分由正弦定理可得2sin cos 1A A a +=cos 1A =得：sin A A +=， (4)分12(sin cos )sin()2232A A A π+=+=.................5分角A 为三角形内角，233A ππ∴+=所以3A π=..................6分（2）由sin 2sin CB =，得2c b =，又π3A =，a =，..................8分由余弦定理可得：222a b c bc =+-，解得：2b =，4c =，..................10分所以，1sin 2ABCS bc A ==△分319.解：（1）法1：取AM 中点为H ，连结HS ，HB,因为ABM ∠=2π且AB=BM=1，所以ABM 为等腰直角三角形，同理ASM 也为等腰直角三角形，HS ，HB 均垂直AM 于H ，所以BSH,平面⊥AM 所以二面角S AM B --的平面角为BHS ∠=3π，.................2分因为SH=BH=22，所以三角形SHB 为正三角形，取BH 的中点Q ，连结SQ ，则SQ 垂直与BH ，得SQ=64，..................3分因为BSH,平面⊥AM 所以AM 垂直于SQ ，又,SQ BH ⊥所以SQ 垂直于底面ABCD ，连结AQ ，SAQ ∠为AS 与平面ABCD 所成角.................5分因为AS=1，6sin 4SQ SAQ AS ∠==所以AS 与平面ABCD 所成角的正弦值为64..................6分4法2：取AM 中点为H ，连接,SH BH ，因为AMS 和AMB 均为等腰直角三角形，所以,SH BH 均垂直于AM ，所以AM ⊥平面BSH (1)分以H 为坐标原点，,HB HM 分别为x 轴，y 轴建系如图：则点S 在坐标平面xOz 内，设其坐标为(,0,)S a c ，(0,0)a c >>由AMS 为等腰直角三角形且1AS =，得2(0,,0)2M ,2(0,,0)2A -，则2(,,),(0,2AS a c AM == .................2分因为||1AS = ，所以2212a c +=①，.................3分设平面ASM 的法向量为(,,)m x y z = ，则020m AS ax y cz m AM ⎧=++=⎪⎨⎪==⎩，所以(,0,)m c a =- 取设平面ABM 的法向量为(0,0,1)n = ，因为二面角B AM S --的大小为3π，所以1cos ,2m n <>== ②................4分5由①②得464a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，.................5分所以(,)424AS = 设AS 与平面ABCD 所成的角θ的正弦值为6sin |cos ,|4AS n θ=<>= 所以AS 与平面ABCD所成角的正弦值为4..................6分（2）法1：在平面SAM 内作SH AM ⊥连结BH，DH，则,BH AM ⊥又因为SD AM ⊥，SHD AM ∴⊥平面..................7分所以DH AM ⊥，又因为BH AM ⊥.,BH,DH AM 都在平面ABCD 内所以B ，H ，D 三点共线...................9分6BDAM ⊥因为矩形ABCD 中，BC=2AB=2M DAB AB 与相似AB AD =BM AB ∴，解得1BM=2..................11分所以MC=BC-BM=32..................12分法2：作BH AM ⊥于H ，则SH AM ⊥所以AM ⊥平面BSH (7)分以H 为坐标原点，,HB HM 分别为x 轴，y 轴建系如图：则点S 在坐标平面xOz 内，设其坐标为(,0,)S a c ，设(,,0)D x y ，则(,,)DS a x y c =-- 取AM 的方向向量为(0,1,0)p = 因为SD AM ⊥所以0DS p y =-= ，得0y =，即D 在x 轴上，所以,,B H D 三点共线..................9分以下解法同法一.20.解：（Ⅰ）由题意知收入提高的有260户，未种植A 作物的有100户，得列联表种植A 作物的数量未种植A 作物的数量合计收入提高的数量18080260收入未提高的数量202040合计200100300.....................2分经计算得，所以有的把握认为收入提高与种植A 作物有关．.....................4分（2）设,,i i i A B C 表示第i 次种植作物A,B,C 的事件，其中i=1,2,3，由已知条件得：2323223232113(),(|),(|);344223(),(|),(|);355P B P A B P C B P C P A C P B C ======.....................5分因为第一次必种植A ，则随机变量X 的取值为1,2.....................6分2323322322(1)()()(|)()(|)()323113534320P X P C B P B C P B C P C P C B P B ==+=+=⨯+⨯= ....................8分2323322322(2)()()(|)()(|)()22117534320P X P C A P B A P A C P C P A B P B ==+=+=⨯+⨯= ....................10分所以X 的分布列为X 12P1320720....................11分13727()12202020E X =⨯+⨯=....................12分21.解：（1）因为曲线2E ：24y x =的焦点恰好也是2F ，所以椭圆中c=1，2c=2.............1分因为2MNF 的面积为3,所以|MN|=3...................2分所以2123c b a ì=ïïïíï=ïïî得21a b c ì=ïïïï=íïï=ïïî，所以椭圆方程为22143x y +=，...................4分（2）因为O 为12,F F 的中点，所以O 到l 的距离为1F 到l 距离的一半，又因为1ABF 与OCD 的面积相等，所以||2||CD AB =，..................5分2(1,0)F ，设l 的方程为(1)y k x =-，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y 则：22(1)3412y k x x y ì=-ïïíï+=ïî得：2222(34)84120k x k x k +-+-=..................6分得：2122212283441234k x x k k x x k ìïï+=ïï+ïíï-ï=ïï+ïî，由两点间距离公式可得12|||AB x x =-所以224||434k AB k==-+；.........8分又因为2(1)4y k x y xì=-ïïíï=ïî得：2222(24)0k x k x k -++=..................9分得：34234421x x k x x ìïï+=+ïíïï=ïî，所以3424||24CD x x k =++=+；..................10分因为||2||CD AB =，所以62k =±..................12分22.解：(1)当1a =-时，()ln 1f x x x =-++，定义域为()0,∞+，()111xf x x x'-=-+=...................1分令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；..................2分所以()()max 10==f x f ..................3分（2）令1()()'()=ln 10)g x f x f x ax x a x x=-++-->，222111()ax x g x a x x x ++'=++=..................4分10,()(e 1)(2)0a g e a e ≥=-+->若存在，与()()'()0g x f x f x =-≤恒成立矛盾，所以必有0a <，..................5分210(*)ax x ++=，方程的1210,0x x a∆>=< ，所以方程必有一正根记2x所以函数()g x 在2(0,)x 单调递增，在2(,)x +∞单调递减，若满足条件必有max 2()()0g x g x =≤，注意到(1)0g =..................6分则有21x =，代入*式，解得2a =-.所以{}2.a -的取值集合为..................7分（3）因为()ln F x x =，设两切点为(),ln A t t ，1,ln B t t⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设A 在B 的右边，则1t >因为()1F x x'=，..................8分所以A ，B 两点处的切线方程分别为1ln 1y x t t=+-，ln 1y tx t =--，令1ln 1ln 1x t tx t t +-=--，解得022ln 1t x t t =-，()2021ln 11t t y t +=--..................10分因为1t >，所以022ln 01tx t t =>-，要证明()221ln 101t t y t +=->-即证明()221ln 11t tt +>-，因为21t >即证221ln 1t t t ->+设()()221ln 11t h t t t t -=->+，则()()()()22221011t h t t t t -'=>>+，所以()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=，则221ln 1t t t ->+，..................11分所以()2021ln101t tyt+=->-，故点P一定落在第一象限...................12分。
河北省“五个一名校联盟”2021届高三数学上学期第一次诊断考试试题含解析
14.已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x＝-1，过直线l上一动点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，则以AB为直径的圆与直线l的位置关系是________. （用“相交”“相切”或“相离”填空）
【答案】相切
【解析】
【分析】设 ，再切线方程为 ，与抛物线方程联立，消元后由 ，得 的关系，此式作为 的方程，方程的两个解就是切线 的斜率，然后求出 两点坐标，计算 ，求出切线 中点 到准线的距离它等于 即可得结论．
【答案】134
【解析】
【分析】依据题意可知，所求的数是被15除余14的数，假设“α数”的个数为 个，满足 ，最后根据该数列的特点进行判断即可.
【详解】由题可知：被3除余2且被5除余4的正整数为被15除余14的正整数，
由an＝2n-1，所以数列{an}前2021项即1到4041项中的奇数，
设“α数”的个数为 个，则 即
【详解】设 ，过 点的抛物线的切线斜率为 ，切线方程为 ，
由 得 (*)，所以 ，
，此时 ，此方程一定有两不等实根，为切线 的斜率．
， ，
由(*)，切点纵坐标为 ，则 ，
所以 ， ，
又 ， ，
设 中点为 ，则 ， 到准线的距离为 ，
，
所以以AB为直径的圆与直线l相切．
故答案为：相切．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系．直线与圆相切，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径，而直线与抛物线相切，只能应用韦达定理，即由直线方程与抛物线方程联立消元后由判别式等于0判断求解．
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】记双曲线 的左焦点为 ，根据题中条件，得到 ，根据双曲线的定义，得到 ，在 中，根据勾股定理，即可求出结果.