分式运算有技巧

(x2 5x 6) 4 x2 5x 6
1 4 x2 5x 6
1
【解】 x 2 x x3 1 x 1
= x2 x 1 x3 (x 1)( x2 x 1) x3 x3 1 x3 1
x 1
x 1
x 1 x 1
x 1
三、【分组运算法】
【例5】计算：
1 【解】x2
x

x2
1 2x
1

x 1 x 1 x2 1 x4 1
2x
2x 4x3
=


x2 1 x2 1 x4 1
=
4x3 4x3 x4 1 x4 1
8x7 = x8 1
二、【整体通分法】
【例3】计算： a 2 a 1
a 1
【解】 a 2 a 1
a 1
a2
=
(a 1)
a 1
【分析】本题是一个分式 与整式的加减运算.如能 把（-a-1）看作一个整体， 并提取“-”后在通分会使 运算更加简便.通常我们 把整式看作分母是1的分 式.
=
a 2 (a 1)(a 1) a 2 (a 2 1) 1
a 1
a 1
a 1
a 1
【例4】计算：x 2

x

x3 x 1
= 10 a(a 10)
【分析】本题的10个分 式相加，无法通分，而 式子的特点是：每个分 式的分母都是两个连续 整数的积（若a是整数 ），联想到
1 1 1 a(a 1) a a 1
这样可抵消一些项.
五、【分式化简法】
【例5】计算：
x2 3x 6 x2 5x 2 x2 3x 2 x2 5x 6
【解】原式=
1
x2

4 3x

2

1
x2

4 5x

6

=4 4
x2 3x 2 x2 5x 6
= 4(x 3) 4(x 1)
(x 1)( x 2)( x 3)
=
8(x 2)
(x 1)( x 2)( x 3)
11
2
4


x 1 x 1 x2 1 x4 1
2
2
4
=


x2 1 x2 1 x4 1
=
44 x4 1 x4 1
= 8x4 x8 1
1 【例2】计算：x 1

1 x 1

2x x2 1

4x3 x4 1
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】 1 1 2x 4x3
【分析】本题项数较多， 分母不相同.因此，在进行 加减时，可考虑分组.分组 的原则是使各组运算后的 结果能出现分子为常数、 相同或倍数关系，这样才
能使运算简便.
四、【巧用拆项法】
【例6】计算：
1
1

1

1
a(a 1) (a 1)(a 2) (a 2)(a 3)
(a 9)(a 10)
x2

1 3x

2

x2
1 4x

3
=
1 x2
x

x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2x
1

x2

1 3x

2

x2

1 4x

3
=

1 x2
x

x2

1 3x

2



x2
1 2x
1

x2

1 4x

3
=
1

x(x

1)

(x
1 1)(x


2)




(
=
8
(x 1)(x 3)
【分析】本题若采用直接 通分的话，运算量较大， 因此我们可采用把分式先 化简的方法.在这里有
x2 3x 6 (x2 3x 2) 4 x2 3x 2 x2 3x 2
1
x2

4 3x

2
x2 5x 2
= x2 5x 6
【解】原式=
1 1 1 1 1 1 1 1
a a 1 a 1 a 2 a 2 a 3
a 9 a 10
= 1 1 a a 10
a 10 a = a(a 10)
x
1 1)2

(x
1 1)(x


3)

=
x 2 x x 3 (x 1) x(x 1)( x 2) (x 1)2 (x 3)
=
2

2
x(x 1)( x 2) (x 1)2 (x 3)
= 2(2x2 6x 3)
x(x 1)2 (x 2)(x 3)
分式运算有技巧
一、【顺次相加法】
【例1】计算：
1 x 1

1 x 1

2 x2 1

4 x4 1
【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化
成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较
大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常
简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】