分式运算有技巧
分式运算的技巧掌握分数四则运算的要点
分式运算的技巧掌握分数四则运算的要点分式运算是数学中常见且重要的运算方式之一，对于掌握分数四则运算的要点至关重要。
本文将介绍一些分式运算的技巧，帮助读者更好地掌握分数四则运算的要点。
一、分数的基本概念在进行分数四则运算前，我们首先需要了解分数的基本概念。
分数由分子和分母两部分组成，分子表示被分割的部分，分母表示分割的份数。
例如，1/2中，1为分子，2为分母。
二、分数的加减法运算1. 相同分母的分数相加减：当两个分数的分母相同时，我们只需要对分子进行加减运算，分母保持不变。
例如，1/3 + 2/3 = 3/3 = 1。
2. 不同分母的分数相加减：当两个分数的分母不同时，我们需要找到它们的最小公倍数作为新的分母，并通过等分的方式将分子转化为新的分母。
例如，1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12。
3. 分数的混合运算：当分数与整数进行加减运算时，我们可以先将整数转化为分数，再进行相加减的运算。
例如，1/3 + 2 = 1/3 + 6/3 = 7/3。
三、分数的乘除法运算1. 分数的乘法运算：分数的乘法可以简单地将分子相乘，分母相乘。
例如，1/3 × 2/5 =2/15。
2. 分数的除法运算：分数的除法可以转化为乘法的逆运算，即将除号改为乘号，被除数的分子乘以除数的倒数。
例如，1/3 ÷ 2/5 = 1/3 × 5/2 = 5/6。
四、分数运算的技巧1. 约分与通分：在进行分数运算时，约分与通分是非常常见的操作。
约分是指将分子与分母的公因数约掉，使分数的值保持不变但更简洁；通分是指将分母转化为相同的值，便于进行加减运算。
例如，2/4可以约分为1/2，1/2和2/3可以通过通分转化为3/6和4/6。
2. 分数的化简：在进行分数运算后，我们可以对结果进行化简，使分数变得更加简洁。
化简是指将分子与分母的公因数约掉，使分数的值保持不变但更简洁。
例如，6/12可以化简为1/2。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式计算及方法
（答案： ）
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式=
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6，圆圆的卡片比这些多2，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少卡片？（答案：团团8，圆圆4）
三. 拆项法
例3. 计算：
解：原式
说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式 ，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
同类方法练习题：计算：
（答案： ）
四. 活用乘法公式
例4. 计算：
解：当 时，
原式
说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算：
（答案： ）
五. 巧选运算顺序
例5. 计算：
解：原式
说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号的。
同类方法练习题：解方程
（答案： ）
分式运算的技巧方法
分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。
下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。
2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。
最后再将两个分子相加或相减。
二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。
2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。
3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。
三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。
2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。
3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。
四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。
2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。
五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。
2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。
3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。
六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。
2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
分式运算的常见应用技巧
∴不等式组的解集为－1<x<1，即整数x＝0，
则A＝－
1. 3
技巧10 整体法求值 12．【中考·齐齐哈尔】先化简，再求值：
1－ 2 x
x2－4 x＋4 － x＋4 ，
x 2－4
x＋2
其中x2＋2x－15＝0.
解：原式＝ x－2 x
( x－2)2 － x＋4 ( x＋2)( x－2) x＋2
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从 左向右下降，y随着x的增大而减小．
＝
x－x 2·xx＋ －22
－
x＋4 x＋2
＝
x＋2－ x＋4 x x＋2
∵x2＋2x－15＝0，
( x＋2)2－x( x＋4)
＝
x( x＋2)
＝
4 x2＋2x ,
∴x2＋2x＝15. ∴原式＝ 4 .
15
点拨： 本题考查了分式的化简求值，解题关键是掌
握分式的基本运算．先按照分式计算的顺序(先算 乘除，再算加减)化简分式．再根据题目的需要， 灵活运用条件x2＋2x－15＝0转化整体代入求值．
图). 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
感悟新知
知识点 1 正比例函数的图象
知1－讲
分式技巧
一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分 例1 计算2312+++x x x +4222--x xx2、分离整数 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3、裂项相消 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x4、分组通分 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a二、分式方程的特殊解法1、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x2、化归法 例2．解方程：012112=---x x3、左边通分法 例3：解方程：87178=----x x x4、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+5、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x6、分离常数法 例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x7、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x三、条件分式求值的常用技巧1、整体代入法例1. 若分式73222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为 . 例2. 已知a 1+b 1=4，则bab a b ab a 323434-+-++= 。
例3. 已知a 2-3a+1=0，求142+a a 的值。
2、参数法例4. 已知c z b y a x ==，求证：22ax ca bc ab zx yz xy =++++例5.已知532-==z y x ，求xz y x 232++的值．三、倒数法例6.已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。
例7.已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z===≠+++且求证ab ac bc abc x -+=2四、主元法例8.已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,且abc ≠0,求2223333242ac c b b a c b a +-+-的值．例9.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值.五、变形代入法 例10.（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值.例11.（归类变形）. 已知a c c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a。
分式通分的常用技巧
分式通分的常用技巧
张永平
分式加减运算的关键是通分，对于有些特殊的分式加减题，若按照常规方法进行通分，往往运算比较繁杂，不便于速算。
若能注意观察分式的结构特征，灵活运用解题技巧，则能化繁为简，常可收到事半功倍的效果。
下面向同学们介绍几种通分的常用技巧，供学习时参考。
一. 先整体考虑，再通分
例1. 计算
解：原式
二. 先结合，再通分
例2. 计算
解：原式
三. 先分组，再通分例3. 计算
解：原式
四. 先降次，再通分例4. 计算
解：原式
五. 先分解，再通分例5. 计算
解：原式
六. 先约分，再通分例6. 计算
解：原式
七. 先分离，再通分例7. 计算
解：原式
八. 先拆项，再通分例8. 计算
解：原式
九. 先添项，再通分例9. 计算
解：原式
十. 先变号，再通分
例10. 计算
解：原式
十一. 先代入，再通分
例11. 已知
，求
解：原式
年级初中学科数学版本期数
内容标题分式通分的常用技巧
分类索引号G.622.46 分类索引描述辅导与自学
主题词分式通分的常用技巧栏目名称学法指导供稿老师审稿老师
录入常丽霞一校曲兰香二校审核。
小学数学分式运算技巧总结
小学数学分式运算技巧总结数学是一门重要的学科，而分式运算是其中的一个重要内容。
在小学阶段，学生需要掌握基本的分式运算技巧，为进一步的数学学习打下基础。
本文将总结小学数学分式运算的技巧，帮助学生更好地理解和应用分式运算。
一、分式的定义和基本性质在学习分式运算之前，我们先来了解分式的定义和基本性质。
分式由分子和分母组成，分母不能为零。
分式可以表示整数之间的除法运算，也可以表示代数式之间的除法运算。
1. 分式的定义：分式是一个形如a/b的数，其中a为分子，b为分母，b不等于0。
2. 基本性质：- 分子与分母互质：分子与分母没有公共的因数。
- 真分式和假分式：分子小于分母的分式被称为真分式，反之为假分式。
二、分式的四则运算1. 加法和减法：- 分母相同的分式，直接将分子相加或相减，不改变分母。
- 分母不同的分式，需先找到它们的公倍数，然后通分，再进行相加或相减。
2. 乘法：- 将分子相乘，分母相乘，得到的新的分子和分母组成新的分式。
- 可以对乘法顺序不同的分式进行变形，结果相同。
3. 除法：- 将被除数与除数的分子和分母对调，然后进行乘法运算。
- 可以将除法转化为乘法，以便进行简化。
三、分式的化简化简分式是将分子与分母约分，使得分子与分母不再有公共的因数，从而得到分式的最简形式。
化简分式的步骤如下：1. 找出分子与分母的公因数，并进行约分。
2. 若分子与分母都可以被一个数整除，则可以继续约分。
四、分式运算中的技巧1. 化简分式时，可以先找出分子与分母的公共因数，然后进行约分。
这样可以简化计算过程，并得到最简形式的分式。
2. 分式运算中，可以将分子和分母分别因数分解，再进行约分。
这样可以更直观地看到哪些因子可以约去。
3. 乘法运算中，可以将分子和分母分别进行因数分解，再进行约分。
这样可以简化分式，并得到最简形式的分式。
4. 在进行分式运算时，可以借助整数运算的方法进行计算。
例如，将分数化为带分数进行运算，再将结果转换为分数形式。
分式的乘除运算与简化规则
分式的乘除运算与简化规则在分式的乘除运算与简化规则方面，有一些基本的知识和方法可以帮助我们解决问题。
本文将在此基础上详细介绍分式的乘除运算以及简化规则，并通过示例来加深理解。
让我们一起来探索吧！一、分式的乘法运算分式的乘法运算是指两个分式相乘的操作。
具体计算方法如下：1. 乘法法则：两个分式相乘，先将分子相乘，再将分母相乘。
例如：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 乘法简化：如果分子和分母有公因数，可以约去这些公因数，使分式更简洁。
例如：(4/6) * (9/12) = (4*9) / (6*12) = 36 / 72= 1 / 2 (将分子和分母都除以公因数12得到简化形式)二、分式的除法运算分式的除法运算是指将一个分式除以另一个分式的操作。
具体计算方法如下：1. 除法法则：两个分式相除，先将除数的分子乘以被除数的分母，再将除数的分母乘以被除数的分子。
例如：(a/b) ÷ (c/d) = (a * d) / (b * c)2. 除法简化：如果分子和分母有公因数，可以约去这些公因数，使分式更简洁。
例如：(12/15) ÷ (8/10) = (12*10) / (15*8) = 120 / 120= 1 (将分子和分母都除以公因数120得到简化形式)三、分式的简化规则分式的简化规则是指将分子和分母中的公因数约去，使分式达到最简形式。
简化规则如下：1. 寻找公因数：分子与分母中有相同的因数，即为公因数。
例如：分式3/6中，公因数为3。
2. 约去公因数：将分子和分母都除以最大公因数，得到简化形式。
例如：分式3/6可以约去公因数3，得到最简形式1/2。
四、示例分析接下来，我们通过一些示例来加深理解分式的乘除运算和简化规则。
1. 示例一：计算分式的乘法运算和简化已知 (2/3) * (9/10)，我们按照乘法法则进行计算：(2/3) * (9/10) = (2 * 9) / (3 * 10) = 18 / 30将分子和分母都约去公因数6，得到最简形式 3 / 5。
分式运算的若干技巧
分式运算的若干技巧
在数学中，分式的运算经常被用来解决一些复杂的方程，这使得计算机科学、物理学及工程学方面的研究都变得更加得心应手。
尽管分式运算看起来有点复杂，但是通过一些有效的技巧，可以让分式运算变得简单易行。
以下是一些有效的分式运算技巧：
1、约分：约分是分式运算中最基本也是最常用的技巧，约分的目的是将分子和分母同时约简，在计算机科学上分式约分可以减少计算量，同时也有助于保持正确的结果。
2、简单运算：有时候分式运算中也可以使用简单运算，比如加减乘除等操作，比如：2/3 + 3/4 = 10/12。
3、使用分母的公约数：如果要将两个或多个分式相加减，那么，可以先将分母转化为同一个公约数，然后在进行加减操作，比如：2/3 + 3/4 = 8/12。
4、共轭分式：共轭分式是一种特殊的分式，其分子和分母的和等于1。
这种可以使用在分式的乘法、除法中，比如：3/5 * 5/3 = 3/5 * 3/5 = 1/1。
5、指数运算：指数不仅可以用来记录分式，也可以用来解决分式运算中的问题，比如：(2/3)^2 = 4/9。
6、求分式的逆数：对于一般的分式，求其逆数的步骤是：将分子和分母互换，然后用分子的取反数再除以分母，比如：2/3的逆数为：-2/3。
7、分式的混合运算：有时候也可以在分式运算中结合上述种运
算来完成混合运算，比如：(2/3 + 3/4) * 5/6 = 20/36。
以上就是一些常见的分式运算技巧，其实还有更多复杂的技巧，这里只是简单介绍了一些最基本的运算技巧。
当然，想要掌握这些技巧，不光是要理论知识，更重要的是要多加练习，不断的练习才能掌握这些技巧，实现分式运算中的高效率。
分式运算的八种技巧
技巧1、直接约分法:
通过公式提公因式，直接约分即可！技巧2、整体通分法:
技巧3:顺次相加法:
先计算前两项，通分化简的结果再和第三项结合计算！技巧4:通分换元法
每个多项式有相同项的时候，可以考虑换技巧5:裂项相消法:
通过把每一项变形，达到与其它项相抵消技巧6:整体带入法
每一项通分整理后，把相同的项整体带入
技巧7:倒数求值法
直接求不方便，可先求其倒数
技巧8:消元法
多个参数计算，可用一个参数表示出其它
分式的基本性质，以及通分、约分都是分式运算的基础！。
分式的运算通分技巧大放送
通分技巧大放送分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分例1 计算2111111x x x ++++- 分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存 在着平方差关系，可逐步通分达到目的．解：原式=221212x x ++-=414x- 评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。
二、整体通分例2 计算112+-+a a a 分析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式=11111)1)(1(1222+=++-=++--+a a a a a a a a a 评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相 加，使得问题的解法更简便．三、分裂整数例3. 计算：34452312-----+++-++x x x x x x x x 分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分. 31412111)311()411()211()111(3134********:-+--+-+=-----+++-++=-------++++-+++=x x x x x x x x x x x x x x x x 原式解 )4)(3(1)2)(1(1)3)(4()4(3)2)(1()1(2---++=------+++-+=x x x x x x x x x x x x)4)(3)(2)(1(23127)4)(3)(2)(1()2)(1()4)(3(22--++---+-=--+++----=x x x x x x x x x x x x x x x x )4)(3)(2)(1(1010--+++-=x x x x x 评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算是数学中常见的一种运算形式，也是解决实际问题中经常使用的一种方法。
在进行分式运算时，我们可以运用一些技巧来简化运算，提高计算效率。
下面将介绍几种常用的分式运算技巧。
1.化简分式化简分式是指将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母中的公因式。
这样可以使分式的形式变得更简单，计算也更方便。
例如，对于分式$\dfrac{4x^2}{8x^3}$，我们可以将分子和分母都除以$4x^2$，得到$\dfrac{1}{2x}$。
2.扩展分式扩展分式是指将分数表达式进行相乘或相除，以得到更大的分子或分母。
这种方法在化简有理函数、做分式方程的分母有理化等问题中经常使用。
例如，对于分数$\dfrac{1}{2}$，如果要得到一个分子为3的分式，我们可以将$\dfrac{1}{2}$扩展为$\dfrac{3}{6}$。
3.分解分式分解分式是指将分式分解为其它分式的和或差。
这种方法在化简复杂的分式、分数的加减运算等问题中非常有用。
例如，对于分式$\dfrac{3x+6}{2x+4}$，我们可以将其分解为$\dfrac{3(x+2)}{2(x+2)}$，然后约去分子和分母中的公因式，得到$\dfrac{3}{2}$。
4.分数的合并与拆分分数的合并与拆分是指将多个分数合并成一个分数，或者将一个分数拆分成多个分数。
这种方法在分数的加减运算中经常使用。
例如，对于两个分数$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{5}{6}$，如果要将它们合并成一个分数，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后将分子相加得到$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}$。
如果要将一个分数拆分成多个分数，我们可以找到它们的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
5.分式的通分通分是指将两个或多个分母不同的分式的分母进行相乘，使它们的分母相同。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
分式计算及方法
分式计算及方法
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算
（答案：）
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式=
说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，
各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
同类方法练习题：计算：
（答案：）
四. 活用乘法公式
例4. 计算：
解：当时，
原式
说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
同类方法练习题：计算：
（答案：）
五. 巧选运算顺序
例5. 计算：
解：原式
说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
同类方法练习题：解方程
（答案：）
六. 见繁化简
例6. 计算：
解：原式
说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
同类方法练习题：解方程
（答案：）
在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。
方能起到事半功倍的效率。
分式的加减法运算技巧及应用场景
分式的加减法运算技巧及应用场景一、分式的加减法运算技巧1.分式的概念与基本性质–分式是指有分数形式的表达式，一般形式为 a/b，其中 a 和 b 都是整式，且b ≠ 0。
–分式的基本性质包括：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
2.分式的加减法原则–同分母分式相加减，分子相加减，分母保持不变。
–异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式相加减的方法进行计算。
3.分式的加减法步骤–判断分式是否为同分母，若是同分母，则直接相加减分子的对应项。
–若异分母，则先进行通分，即将分式化为同分母分式，再进行相加减。
–通分的方法：求最简公分母，将各个分式的分母乘以相应的倍数，使得分母相同。
4.最简公分母的求法–最简公分母是指几个分式的分母的最小公倍数，且不含有公因数。
–求最简公分母的方法：分别对各个分式的分母进行质因数分解，取各个质因数的最高次幂的乘积。
5.通分后的计算方法–通分后，分式的分子相加减，分母保持不变。
–计算过程中，注意化简分式，使其保持最简形式。
二、分式的应用场景1.溶液稀释问题–溶液的稀释问题中，浓度与体积的关系可以表示为分式，通过分式的加减法运算，可以求得稀释后的浓度。
2.分数运算问题–在解决分数运算问题时，如分数的加减乘除等，可利用分式的加减法技巧进行计算。
3.比例问题–在解决比例问题时，如求解比例系数，可以将比例关系表示为分式，通过分式的加减法运算求解。
4.几何问题–在解决几何问题时，如求解三角形面积、相似三角形问题等，可以将相关量表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
5.函数问题–在解决函数问题时，如求解分段函数的值域、函数的交点等，可以将函数表达式表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
6.实际应用问题–在解决实际应用问题时，如经济问题、物理问题等，可以将相关量表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
通过以上分式的加减法运算技巧及应用场景的学习，可以更好地理解和运用分式，提高解决实际问题的能力。
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=
8
(x 1)(x 3)
【分析】本题若采用直接 通分的话，运算量较大， 因此我们可采用把分式先 化简的方法.在这里有
x2 3x 6 (x2 3x 2) 4 x2 3x 2 x2 3x 2
1
x2
4 3x
2
x2 5x 2
= x2 5x 6
1
【解】 x 2 x x3 1 x 1
= x2 x 1 x3 (x 1)( x2 x 1) x3 x3 1 x3 1
x 1
x 1
x 1 x 1
x 1
三、【分组运算法】
【例5】计算：
1 【解】x2
x
x2
1 2x
1
11
2
4
x 1 x 1 x2 1 x4 1
2
2
4
=
x2 1 x2 1 x4 1
=44 Βιβλιοθήκη 4 1 x4 1= 8x4 x8 1
1 【例2】计算：x 1
1 x 1
2x x2 1
4x3 x4 1
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】 1 1 2x 4x3
= 10 a(a 10)
【分析】本题的10个分 式相加，无法通分，而 式子的特点是：每个分 式的分母都是两个连续 整数的积（若a是整数 ），联想到
1 1 1 a(a 1) a a 1
这样可抵消一些项.
五、【分式化简法】
【例5】计算：
x2 3x 6 x2 5x 2 x2 3x 2 x2 5x 6
x 1 x 1 x2 1 x4 1
2x
2x 4x3
=
x2 1 x2 1 x4 1
=
4x3 4x3 x4 1 x4 1
8x7 = x8 1
二、【整体通分法】
【例3】计算： a 2 a 1
a 1
【解】 a 2 a 1
a 1
a2
=
(a 1)
a 1
x
1 1)2
(x
1 1)(x
3)
=
x 2 x x 3 (x 1) x(x 1)( x 2) (x 1)2 (x 3)
=
2
2
x(x 1)( x 2) (x 1)2 (x 3)
= 2(2x2 6x 3)
x(x 1)2 (x 2)(x 3)
【分析】本题项数较多， 分母不相同.因此，在进行 加减时，可考虑分组.分组 的原则是使各组运算后的 结果能出现分子为常数、 相同或倍数关系，这样才
能使运算简便.
四、【巧用拆项法】
【例6】计算：
1
1
1
1
a(a 1) (a 1)(a 2) (a 2)(a 3)
(a 9)(a 10)
分式运算有技巧
一、【顺次相加法】
【例1】计算：
1 x 1
1 x 1
2 x2 1
4 x4 1
【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化
成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较
大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常
简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】
(x2 5x 6) 4 x2 5x 6
1 4 x2 5x 6
x2
1 3x
2
x2
1 4x
3
=
1 x2
x
x2
1 2x
1
x2
1 3x
2
x2
1 4x
3
=
1 x2
x
x2
1 3x
2
x2
1 2x
1
x2
1 4x
3
=
1
x(x
1)
(x
1 1)(x
2)
(
【分析】本题是一个分式 与整式的加减运算.如能 把（-a-1）看作一个整体， 并提取“-”后在通分会使 运算更加简便.通常我们 把整式看作分母是1的分 式.
=
a 2 (a 1)(a 1) a 2 (a 2 1) 1
a 1
a 1
a 1
a 1
【例4】计算：x 2
x
x3 x 1
【解】原式=
1 1 1 1 1 1 1 1
a a 1 a 1 a 2 a 2 a 3
a 9 a 10
= 1 1 a a 10
a 10 a = a(a 10)
【解】原式=
1
x2
4 3x
2
1
x2
4 5x
6
=4 4
x2 3x 2 x2 5x 6
= 4(x 3) 4(x 1)
(x 1)( x 2)( x 3)
=
8(x 2)
(x 1)( x 2)( x 3)