离散数学复习题及参考答案

《离散数学II－抽象代数》复习题

一单项选择题

1、设集合S={a,b}，*运算如下定义。是代数系统的是（ A ）。* a b * a b * a b * a b

a a a a a a,

b a a b a b 无

b a a b a,b b b b e b b a

2、关于代数系统的某个二元运算*的幺元，说法正确的是（ A ）。A．幺元不一定存在

B．若幺元存在，不一定唯一

C．除非幺元存在且*运算满足结合律，幺元才唯一

D．幺元一定不是零元

3、已知代数系统和满同态，S∩S1=Φ。若中存在幺元x，则（ B ）。

A．一定存在幺元，幺元还是x

B．一定存在幺元，幺元不是x

C．不一定存在幺元

D．一定不存在幺元

4、下列代数系统不．是群的是（ C ）。

A．S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法

B．S是有理数，*是一般的加法

C．S是有理数，*是一般的乘法

D．S是整数，*是一般的加法

5、关于群正确的说法是（ C ）。

A．群一定存在零元

B．群一定不存在零元

C．群一定存在幺元

D．群一定不存在幺元

二填空题

1、一个代数系统，如果∀a,b∈S,a*b=b*a/∀a,b,c∈S,(a*b)*c=a*(b*c)，则*满足交换律/结合律。

2、一个代数系统∀a,b,c∈S,a*(b+c)=(a*b)+(a*c)且(b+c)*a=(b*a)+(c*a)，则*对+满足分配律。

3、设是群，对∀a,b∈G，填写以下证明过程每步的理由。

(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*(a-1) *满足结合律

=e 逆元定义、幺元定义

4、设是环，0是环的加法幺元、乘法零元。对∀a,b∈R，-a表示a的加法逆元。填写以下证明过程每步的理由。

(-a)·b=(-a)·b+(a·b+(-(a·b)))a·b+(-(a·b))=0, (-a)·b+0

=(-a)·b =((-a)·b+a·b)+(-(a·b)) +满足结合律

=((-a)+a)·b+(-(a·b))·对＋满足分配律

=0·b+(-(a·b)) (-a)+a＝0 =-(a·b) 0·b=0,0+(-(a·b))=(-(a·b))三计算题

（1）*是否有零元？

无零元。

（2）*是否有幺元？

无幺元。

（3）每个元素是否有逆元？

因为无幺元，所以每个元素都无逆元。

（4）*是否满足交换律？

因为运算表是对称矩阵，所以*满足交换律。

2、S={a,b,c }，构造群，并使a为幺元。

（1）给出*的运算表；

技巧：首先完成幺元的各行、列，然后根据b、c互为逆元，完成b*c=a，c*b=a，最后根据运算表每行都要出现所有元素完成b*b=c，c*c=b。

（2）写出各个元素的阶；

因b3=a，c3=a，所以b、c的阶都是3。

（3）找出的所有子群；

2个子群：<{a},*> <{a,b,c},*>

（4）该群是否是循环群？若不是，说明理由；若是，找出所有的生成元。是循环群。b和c都是生成元。

3、设<{a,b,c,d},+,*>是环，+和*由以下两表定义。

（1）该环是否是可交换环？

因*运算满足交换律，所以是可交换环。

（2）是否是含幺环？

因*运算没有幺元，所以不是含幺环。

（3）是否是含零因子环？如果是，找出所有零因子。

*运算有零元a，因b*c=a，c*d=a，因此有零因子b、c、d。

四证明题

1、设有幺元a、零元b，并且S的元素个数大于1。证明零元b一定无左、右逆元。

此题实际是课本P211定理10.5的证明。

2、设f、g都是到的同态，并且*、+都满足交换律和结合律，如下定义的函数h：A✂B

h(x)=f(x)+g(x)

证明：h是到的同态。

此题是课本P220第5题的作业。

证明：为证h是到的同态，根据同态定义，需证明对∀a,b∈A，有 h(a*b)=h(a)+h(b)。

根据h定义，h(a*b)=f(a*b)+g(a*b)

根据f是到的同态，f(a*b)=f(a)+f(b)

根据g是到的同态，g(a*b)=g(a)+g(b)

于是h(a*b)=f(a)+f(b)+g(a)+g(b)

=(f(a)+g(a))+ (f(b)+g(b)) (*、+满足交换律和结合律)

=h(a)+h(b) (h函数的定义)

3、设为群，定义集合S={x|x∈G∧∀y(y∈G✂x*y=y*x)}。证明为的子群。

此题是课本P236第10题作业。

证明：为证为的子群，需证明以下3点：

（1）G的幺元e∈S；

（2）若a,b∈S，则a*b∈S；

（3）若a∈S，则a-1∈S。

也可以只证明（2）、（3）。

（1）因为G是群，所以G存在幺元e。

对∀y∈G，e*y=y*e=y，所以e∈S。

（2）若a,b∈S，则对∀y∈G，(a*b)*y=a*(b*y) （*满足结合律）

=a*(y*b) （根据b∈S）

=(y*b)*a （根据a∈S）

=y*(b*a) （*满足结合律）

=y*(a*b) （根据a,b∈S）

所以a*b∈S。

（3）若a∈S，则对∀y∈G，a-1*y= a-1*(y-1)-1

=(y-1*a)-1(群性质，见定理11.10)

=(a*y-1)-1(根据a∈S)

=(y-1)-1*a-1(群性质，见定理11.10)

=y*a-1

所以a-1∈S。