3-格林函数法

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[
1
计算电磁学基础
由上分析可知，一般自由空间格林函数为标量，量纲为1/m。 它们将电荷、电流和电位、磁位联系起来。 在线性系统理论中，系统的冲击响应函数具有非常重要的 地位。 在某种意义上，格林函数具备系统冲击响应函数的特征。 因此许多近代电磁场问题可以借助于格林函数，采用线性 系统理论的方法来分析。
2
1
0
( x x)
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计算电磁学基础
格林函数与实际问题的对应关系： 实际问题:
求解区域 V内： 方程： 已知ρ( x’ )
格林函数:
( x x)
( x)
G ( x, x)
2
( x)
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1
1
0
0
( x x)
已知
S
n
2 2
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计算电磁学基础
7、矢量格林公式
• 对区域V中任意两个矢量场P和Q，对P×(D×Q)应用 高斯定理，可得矢量第一格林定理
Q P Q P dV P Q dS
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1、点电荷密度的δ函数表示
(1)、 函数
( x ) 0, ( x ) ,
( x ≠0 )
(x = 0)
(积分区域V包含x = 0点)
( x)dV 1,
V
函数---密度函数
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计算电磁学基础
(2) 函数的一个重要性质
若 f (x)在x’点附近连续，则
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计算电磁学基础

基本思路
原问题
点源问题
u f ( r ) u | 0 G ( r r ' ) G | 0
关系
u ( r ) f ( r ' )G ( r , r ' )d '
计算电磁学基础
f (r )

V
f ( x) ( x x)dV f ( x)
同理，若 f (x) 在原点附近连续，则

V
f ( x) ( x)dV f (0)
这一性质称为函数的选择特性。
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计算电磁学基础
(3) 点电荷的电荷密度 处于原点上的单位点电荷的密度用函数(x)表示
( x)dV ( x)dV 1
令
GS 0
G 1 ， n S 0S
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边界S上：
已知
令
S
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常见的几个格林函数： （1）无界空间的格林函数。 在无界空间中x’点上放一个单位点电荷，激发的电 势为:
( x)
1 40 r

1 40 ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 1
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电流源 时谐场中，位于原点的电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为 jkr Idl e A Idl G 4r
位于原点的磁流元Imdl在自由空间产生的矢量电位为 jkr I m d l e Am I m dl G 4r
jkr e 式中 G ，G为交变场中的自由空间格林函数。 4r
场点P的坐标为R。
z R' R0 θ' o

x
r' R θ

r
x
α
y
x
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计算电磁学基础
其中： R x 2 y 2 z 2
R x 2 y 2 z 2
cos cos cos sin sin cos( ) r | x x | R R 2 RR cos
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
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计算电磁学基础
电荷源
静态场时，位于原点的点电荷q在自由空间产生的标量电位为

q 4 0 r

1
0
qG
式中，G
1 ，G为静态场的自由空间Green函数。 4r
利用格林函数，分布电荷的标量位为

1
0

V
GdV
上式表明，格林函数G将电荷与电位联系起来。 场与源
V V
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
( x ) Q ( x )
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
( x ) Q ( x x)
Q ( x x) 0,
( x ≠x ’ 点 )

V
Q ( x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
格林函数与格林定理
经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响 函数法。 事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子 方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联 系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这 些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方 程，进而得到问题的求解。
1
计算电磁学基础
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。 • 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。 • 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。 确定论问题 • 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
计算电磁学基础
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格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和 边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表 示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解 问题； 3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可 以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就 转换为关键是求解点源的相对简单的问题。
1 4 1 4 1 ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z' ) 2 1 ( x x' ) 2 ( y y' )2 ( z z' )2
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计算电磁学基础
5、 泊松方程格林函数
一个处于x'点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
– 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件 – 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数
格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数，
不同的实际问题对应不同的格林函数。
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计算电磁学基础
4、稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到 原问题 方程
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计算电磁学基础
6、标量格林公式
• 对 应用高斯定理，可得标量第一格林定理
• 第一格林定理相减，可得标量第二格林定理
或 2 2 dV dS
V S
dS V dV S n n
2 2


1
2
R0 1 2 2 4 2 r | x ( ) x | R R R0 2 R0 RR cos R R


1
2
根据镜象法得
G ( x x ) 1 40 ( R 2 R2 2 RR cos ) 1 2 1 ] 1 RR 2 2 (( ) R0 2 RR cos ) 2 R0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
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计算电磁学基础
• 分类：
– 按泛定方程可以分为：
• 稳定问题的格林函数 L = Δ • 热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ) • 波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
– 按边界条件可以分为
f ( r ' ) ( r r ' )d '
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• 求解方法
• 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。 • 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个 电量为 - ε0 的点电荷。 • 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同 产生。
• 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用 一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电 荷的电像。
• 无界空间的格林函数，又称为基本解； • 齐次边界条件的格林函数。
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计算电磁学基础
稳定问题
输运问题
(t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0
波动问题
(tt – a2Δ) G =δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 Gt|t=0=0
格林函数
ΔG = δ(r-r’)
• 这种方法称为电像法
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计算电磁学基础
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数 解：根据题目，定解问题为 G ( x x' ) ( y y ' ) ( z z ' ), z 0
G |z 0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。
设想在M的对称点 N (x’,y’,-z’)处放置一个电量为 + ε0 的点电荷，容易看出在平面 z=0上电势为零， 这表明在N点的点电荷就是电像。
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计算电磁学基础
根据点电荷的电势公式，我们不难得到格林函数
1 1 1 1 G(r , r ' ) 4 | r r ' | 4 | r rN |
利用格林函数，分布电流和磁流的矢量位为
A JGdV V Am J m GdV


V
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3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。 – 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
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计算电磁学基础
2、 格林函数引入
• Green函数是与理想点源相联系的。
– 具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的 解答。
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
因此，无界空间的格林函数为
G ( x, x)
40 ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2
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计算电磁学基础
（2）上半空间的格林函数。 当Q＝1时，可得上半空间第一类边值问题的格林
函数。
以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在 点的坐标为(x’,y’,z’) ，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格 林函数为：
无界空间 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的基
基本解 基本解 本解
齐次边界 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的格 格林函数 林函数 G|Γ= 0 格林函数
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计算电磁学基础
• 性质：
– – – – – 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) 在相同的齐次定解条件下 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
G ( x, x)
1 40
( x x' ) ( y y ' ) ( z z ' ) 1 ] 2 2 2 ( x x' ) ( y y ' ) ( z z ' )
2 2
计算电磁学基础
[
1
2
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（3）球外空间的格林函数。
以球心O为坐标原点。设电荷所在点P’的坐标为R’，
( x)
2
1
若方程的解满足第一类边界条件 叫做第一类边值问题的格林函数。
0
( x x)
S
0，则方程的解就
1 ， 则方程 0S
若方程的解满足第二类边界条件 n
的解就叫做第二类边值问题的格林函数。
S
格林函数一般用G表示，则G所满足的微分方程为：
G ( x, x)
u f ( r )
点源问题
G ( r r ' )
点电荷电场
V q (r r ' ) / 0
解
u

f (r ' )d ' 1 q G V 4 | r r ' | 4 | r r ' | 4 0 | r r ' |