第二章 因次分析与π定理

组成的无因次准数π的函数关系式来表示。
因次独立的基本物理量的含义： 指任何一个基本物理量的因次不能由其它基本物理量诱导出来，或者更严 格的讲，由基本物理量不可能组成一个无因次的量。例如用质量ｍ，长度l， 时间t三个基本物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量。
假设x1, x2 ,x3——是基本量，它们的因次式表示如下：
[xm1] [x1]1 [x2 ]2 ...[ xm ]m
[
x 1 1
xm1 x22 ...xmm
]
1
[xm2 ] [x1]1 [x2 ]2 ...[ xm ]m
...................................
[xn ] [x1]1 [x2 ] 2 ...[ xm ] m
2）导出因次：这类因次可由基本因次推导出来。
若选择[M、L、T]为基本因次，
则速度因次可表示为： [V]=[L]/[T]=[LT-1]
加速度的因次为：[a]=[V]/[T]=[LT-2]
力的因次为： [F]=[M][a]=[M LT-2]
可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来，而且是基本因次幂指数 的乘积，即：
当待求的物理方程中包含的参变量大于3个时，瑞利法就无能为 力了。这时需采用因次分析的普遍方法——π定理，找出复合 无因次项，方能建立完整的物理方程式。
第三节 π定理及其应用
➢一、 π定理的基本概念
π定理的全部含意是：
某一物理进程，若有ｎ个物理量参与作用，其中有ｍ个具有因次独立 的基本物理量，则经过处理，这一物理过程可由包含ｎ-ｍ个由这些物理量
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
➢二、 因次分析方法
用瑞利因次分析法建立物理现象的函数表达式，最大的优点就是简单 易行，但有一定局限性： • 1、只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积； • 2、所建立的方程式正确与否，很大程度取决于参变量的选择是否正确、 完整； • 3、方程式中的待定系数或某些指数，一般需由模型试验或理论分析 （比较简单的物理过程）求得； • 4、只有当参变量不大于3个时，方能求解由3个基本因次构成的因次和 谐方程组，求得不大于3个的待定指数，从而建立方程的具体形式。
比如： x1 2m / s, x2 4m / s
[ x1 ] 1 x2
x1 1 x2 2
xm1
x 1 1
x2
2
...
xm
m
1
xm2
x 1 1
x2
2
...
xm
m
2
...................................
1, 2 , nm 均为无因次数
xm2
x r1 1
x2
r2
举例：水平圆管中层流流量Q的计算式的确定。
通过试验知道它与如下参数有关：
圆管半径 单位管长的压差
流体动力粘滞系数
r
p / l
写出函数关系式：
假设：
Q f (r, p / l, )
Q ( p ) r
l
其因次式为：
[Q] [ p ] [r] [ ]
l
选择[M,L,T]为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
➢二、 因次分析方法
应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：
1、 找出物理过程的参变量，建立函数关系式（一般采用幂指数乘积形 式）；
2 、写出函数的因次关系式； 3、 选定3个基本因次（一般为：M ,L,T ），按选定的基本因次整理、归 并得出函数的因次关系式； 4、根据因次和谐原理列出因次和谐方程，联立求解出各参变量指数值； 5、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简； 6、通过模型试验或现场观测，验证所得的函数表达式的完整性和正确性， 并确定表达式中的待定系数或指数，最后获得描述该物理现象的完整的表达 式。
[F]=[MLT-2] [m v2 ] [M][LT 1]2[L] 1 [MLT 2 ]
R
显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：
Fm v 2 R
➢2、因次和谐原理的重要性
3.用因次和谐原理建立某些物理方程。
实际工程中有许多自然现象，直至目前仍尚未找出具体形式的物理 方程。通过观察和试验等只知道有哪些物理量参与作用，那么，利用 因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式。
[ y] [L] [ y] [M ] [ y] [M ] [L] [T ]
y为一几何学量 y为一运动学量 y为一动力学量
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次 的平方,[A]=[L2]或写成[A]=[M0L2T0]。
流速因次为[V]= [LT-1] = [M0LT-1]； 力的因次为[F]=[M][a]=[M LT-2]。
设某一物理过程包含n个物理量x1, x2 ,…，xn，则这一物理 过程可用这些参变量的函数关系式表示：
f (x1, x2 ,, xn ) 0
若n个参变量中有m个因次独立（m<n） ，则上式可以改写：
f (x1, x2 ,xm , xm1, xm2 xn ) 0
x1, x2 , xm
为基本参变量
xm1, xm2 , xn 为其它参变量,其因次可以由基 本量诱导出来
第二章 因次分析与π定理
一 物理量的因次、量度单位和因次式 二 因次和谐原理和因次分析方法 三 π定理及应用
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
➢1 因次、量纲的概念
因次及量纲：表征物理量，除了有量的数值外，还有量的种类（或类 别），如长度、时间、质量、力等，人们把表征物理量的种类通称为“因 次”（Dimension）或称为“量纲”。
因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求 物理现象的函数关系式的一种数学分析方法。
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
➢二、因次分析方法
因次分析方法有二种： 瑞利（Rayleigh）法——适用于解决较简单问题
π定理——具有普遍性的方法 瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的 函数关系。
常见因次关系详见P34页表2－1
物理量
无因次量
有因次量
导出量
基本量
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
➢1、因次和谐原理
凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程， 其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理。
只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理 量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。 比如，1m+1kg是没有意义的。所以，方程中各项因次都必 须是一致的。
[ y] [M ] [L] [T ]γ
该式称为因次关系式。 证明过程：见书P32页。
物理量ｙ的性质可由指数αβγ来反映，如均为0，则y为一次无因次纯数， 指数αβγ中有一个不等于0，就可以说ｙ是一个有因次的物理量。
从上式可以导出常见的有因次的物理量
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
➢二、 因次分析方法
例： 一弦长为L的单摆,摆端有质量为m的摆球，要求用瑞利法求单摆
的摆动周期t的表达式。
根据单摆现象观测，周期t与弦长l、摆球质 量m为及重力加速度g有关，即：
t f (l, m, g)
用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：
t f (l m g )
...
xm
rm
nm
则：n-m个参变量均可用它们同m个基本参变量的复合量表 示，并转换为n-m个无因次数，这些数称为π。
而对于基本参变量：
x1, x2 ,xm 不但因次之比等于1，其数值之比也等于1
[
x11
x1 x2 0 ...
xm
0
]
1
x1 x11 x2 0 ... xm 0
[L] : 0
[T ] : 2 1
Ｌθθ
联立求得上列3式求解得：
: 1 ， 0， 1
图2-1 单摆
2
2
[T ]
[l
1 2
g
1 2
]
t
k
l
g
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
➢二、 因次分析方法
由单摆试验得到 k 常数等于2π，则单摆周期的表达式为： t 2 l
g
这与理论分析结果完全相同。
单位：度量各物理量数值大小的标准，称为单位。 市制、公制、英制、 美制 。
国际单位
1）长度——米 2）时间——秒 3）质量——千克
4）力 ——牛顿
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
➢2 物理量分类
物理量可分为两大类
物理量
1）有因次的:如长度、时间、速度、加速度、 质量、力等，这类物理量要以人为的单位来 表示，其数值大小随着单位的更换而改变； 1m=100cm
2. 用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。
质量为M、以速度v沿半径为R的圆周运动时其关系式为：
v2 Fm
R 利用因次和谐原理可以证明关系式的合理性 各物理量的量纲为： [F]=[MLT-2]、[m]=[M]、[v]=[MLT-1]、[R]=[L]
根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐 ：
左侧 右侧
➢2、因次和谐原理的重要性
利用方程因次和谐特征：（1）可以探求物理方程的结构形 式，（2）检验复杂方程式的正确性，（3）还可以用来导出 模型试验中必须遵循的相似准则。因此，这一原理是因次分 析的重要依据。
➢2、因次和谐原理的重要性
1. 一个物理方程式在因次上是和谐的，则方程的文字结构形式不随量度单 位的更换而变化。因此因次和谐原理可以用以检验新建方程式或经验公式 的正确性和完整性。