2章 轴向拉(压)杆的强度计算
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材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
解： 量得a点的应力、应变分别 为230MPa、0.003
E=σa/εa=76.7GPa 比例极限σp=σa=230MPa 当应力增加到σ＝350MPa时，对应b点，量得正应变值
ε = 0. 0075 过ｂ点作直线段的平行线交于ε坐标轴，量得 此时的塑性应变和弹性应变
εp=0. 0030 εe= 0 . 0075-0.003=0.0045
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
FN FN<0
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（1）外载荷不能沿其作用线移动。
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（2）截面不能切在外载荷作用点处，要离开或 稍微离开作用点。
1
2
11
22
f 30 f 20
60kN
Ⅲ 强化阶段 抗压强度 （强度极限）σb
Ⅳ 局部颈缩阶段
例1
一根材料为Q235钢的拉伸试样，其直径d＝10mm，工作段 长度l＝100mm。当试验机上荷载读数达到F＝10kN 时，量 得工作段的伸长为Δ l＝0.0607mm ，直径的缩小为 Δd=0.0017mm 。试求此时试样横截面上的正应力σ，并求出 材料的弹性模量Ｅ。已知Q235钢的比例极限为σ p ＝200MPa。
轴向拉(压)杆的强度计算
② 求杆件横截面上的应力。
BC
FNBC ABC
23.094 103
500
46.2 MPa
( 压应力 )
BD
FNBD ABD
11.547 103
200
57.7 MPa
( 拉应力 )
图6-4
1.2 斜截面上的应力
铸铁压缩的实验表明，破坏有时也可能是沿斜截面发生的。要更全方位地研 究拉(压)杆的强度，就需要进一步讨论斜截面上的应力。
面的剪应力 τα 。由图6-5d 可得
p cos cos2
(6-2)
p
sin
cos
sin
1 2
sin
2
(6-3)
式 (6-2) 和式(6-3) 表明轴向拉 (压) 杆斜截面上任一点既有正应力 σα ，又有 剪应力 τα ，并且它们都随斜截面方位角α 的变化而变化。
计算时要注意 α 、σα 和 τα 的符号，规定如下 (见图6-6 )：
图6-2
根据平面假设可断定拉杆所有纵向纤维的伸长相等。又因材料是均匀的，各 纵向纤维性质相同，因而其受力也就一样。所以，杆件横截面上的内力均匀分布， 即在横截面上各点的正应力相等，亦即 σ 等于常量 (见图6-2b)。由 FN = σA 得
FN A
(6-1)
式 (6-1) 就是拉 (压) 杆横截面上正应力σ 的计算公式。正应力符号与轴力FN 的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。由于拉 (压) 杆横截面上各点的正
120o
2
sin
2
100 sin 2
2 120o
43.3 MPa
在本例中发现，α = 30o 和 α = 120o 两 个正交截面上的剪应力数值相等而符号相反， 此结果具有一般性，称为剪应力互等定理， 即在受力构件内互相垂直的任意两截面上， 剪应力大小相等而符号相反，其方向同时指 向或同时离开两截面的交线。
学习任务3：轴向拉压杆强度计算
10MPa 。请根据强度条
件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
A
B
30° 2
1 45° C
P 38.61kN
P
支架①杆的许用正应力为1 100 MPa ，
②杆的许用正应力为 2 160 MPa ，两
杆的面积均为A=200mm2。求许用荷载。
已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力
我们加油！
2.5 轴向拉(压) 杆 的强度计算
材料的力学性能指标
1.弹性指标：弹性模量E、泊松比μ
2.塑性指标： 断后伸长率δ 断面收缩率ψ
l1 l 100 %
l
A A1 100 %
A
工程上一般将δ＞5％的材料称为塑性材科，
将δ＜5％的材料称为脆性材料。 3.强度指标
屈服极限σs : 塑性材料的极限应力 强度极限σb ：脆性材料的极限应力
N
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此杆满足强度要求，是安全的。
简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为
使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[]。
L
分析：
x
A
B
V ABDLBD;
[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
B
钢拉杆
8.5m
解：① 整体平衡求支反力
q
q
C
HAA
钢拉杆
RA
RB
8.5m
件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
A
B
30° 2
1 45° C
P 38.61kN
P
支架①杆的许用正应力为1 100 MPa ，
②杆的许用正应力为 2 160 MPa ，两
杆的面积均为A=200mm2。求许用荷载。
已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力
我们加油！
2.5 轴向拉(压) 杆 的强度计算
材料的力学性能指标
1.弹性指标：弹性模量E、泊松比μ
2.塑性指标： 断后伸长率δ 断面收缩率ψ
l1 l 100 %
l
A A1 100 %
A
工程上一般将δ＞5％的材料称为塑性材科，
将δ＜5％的材料称为脆性材料。 3.强度指标
屈服极限σs : 塑性材料的极限应力 强度极限σb ：脆性材料的极限应力
N
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此杆满足强度要求，是安全的。
简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为
使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[]。
L
分析：
x
A
B
V ABDLBD;
[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
B
钢拉杆
8.5m
解：① 整体平衡求支反力
q
q
C
HAA
钢拉杆
RA
RB
8.5m
讲轴向拉压杆强度计算.
P
N=266kN
max
N 4 266 103 116.2MP a 2 A 3.14 54
A
α
B P=30kN
C
一起重用支架。a= 30°，AB杆为圆截面 钢杆，1 160MPa 。BC杆为正方形木 材杆件， 2 10MPa 。请根据强度条 件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
L x A B
分析：
V ABDLBD;
P C
ABD N BD / ; LBD h / sin 。
h
D
L x
XA
A
B
YA
NBD
P
C
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
mA 0 , (NBDsin ) (hctg ) Px
PL NBD hcos
HC
C
RC
③应力：
N
max
N 4P A d2
4 26.3 103 MPa 2 131 3.14 0.016
max
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
[例] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[]。
2.5 轴向拉压（杆）强 度计算
一、许用应力与安全系数
1.材料的极限应力 塑性材料： σ°=σs 脆性材料： σ°=σb 2.许用应力
为了保证构件能正常地工作，应当把最大工作应 力限制在一定的范围之内，这个限制值称为材料在 拉伸（或压缩）时的许用应力。用 [σ]表示。
3.安全系数n
轴向拉伸和压缩—拉(压)杆的强度计算(建筑力学)
轴向拉伸与压缩
例7-12 图示三角支架，在节点A处受铅直荷载FP作用。已 知AB为圆截面钢杆，直径d=30mm，许用应力[σ]=160MPa， AC为正方形木杆，边长a=100mm，许用压应力[σc]=10MPa试 求许用荷载［ FP ］。
解 （1）计算杆的轴力
由∑Fy=0 －FNACsin30°－FP=0
A FNAB 63 103 mm2 393.8mm2
[ ] 160
轴向拉伸与压缩
当拉杆选用角钢时，每根角型的最小面积应为
A1
A 2
393.8 2
mm 2
196.9mm2
查型钢表，选用两根25×4的2.5号等边角钢。
A1=185.9mm2 故此时拉杆的面积为
A=2×185.9mm2=371.8mm2＞370.6mm2 满足强度要求。
材料的安全系数比塑性材料的大。建筑工程中，一般，取nS =1.4～1.7，nb=2.5～3.0。
轴向拉伸与压缩
3. 强度条件 为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时能安全正常地
使用，不发生破坏，必须使杆内的最大工作应力不超过材料 的许用应力，即
σmax≤[σ]
塑性材料： 脆性材料：
max
FN max A
解（1）先求支座反力。
FAy = FBy= 0.5q l = 0.5×10×8.4 = 42kN
轴向拉伸与压缩
（2）再求拉杆的轴力。
用截面法取左半个屋架为研究对 象，如图示。
由 MC 0
FNAB
h
FAy
l 2
q
l 2
l 4
0
FNAB
42 42 10 4.2 2.1 kN 1.4
63kN
（3）校核拉杆的强度。
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
拉压杆斜截面上的应力Ｐ
Ａ为横截面的面积 Ａ为斜截面的面积 横截面上的正应力 斜截面上的应力
N p A P P cos cos A A cos
P A
斜截面上的正应力和剪应力
p cos cos2 p sin cos sin
P
1 1 P A N1 3P C 2 N2
A
∴N2=P－3P= －2P
2
3、内力图
P A l P
3P
B
注意：
1 、一次只能取一个截面， 将原构件分成两部分。
C
l
Ｎ
O
2、内力方向设为正向后建立平 衡方程求解。（说明＋－）
3 、分离体图与原图上下对 齐，截面位置一目了然。 4 、轴力图大小近似按比例， 也要与上图对齐。 练习：
1、变形规律试验及平面假设：
a c
P
b d
变形前
a´ c´
b´ d´
受力后 P
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面. N 3、横截面上的应力：均匀分布 A
例２-４：计算下图中指定截面上的应力。ＡＢ段与ＣＤ段的横截面积均 为２０mm2，ＡＢ段横截面积为 1０ mm2 ，
C
已知：三角架 ABC 的〔σ 〕=120 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，AC 为 2 根 10 号槽钢，AB、AC 两杆的夹角为300 。 求：此结构所能承担的最大外荷载 Fmax
解： 1、F 与 FN 的关系
Y
0
X 0 F Y 0 F
NAC
FNAB cos30 0
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
2-4 直杆轴向拉伸和压缩时的强度计算
解题过程
吊环螺钉受力分析
2．选择截面尺寸
若已知杆件所受载荷和所用材料，根据强度条件，可 以确定该杆件所需横截面面积，其值为：
A ≥FN/[σ]
【例 2—4—2】如图所示，钢质拉杆承受载荷F=20 kN， 若材料的许用应力[σ]=100 MPa，杆的横截面为矩形，且 b=2a，试确定a与b的最小值。
解题过程
钢质拉杆受力分析
3．确定许可载荷
已知杆件尺寸（即横截面面积A）和材料的许用应力 [σ]，根据强度条件，可以确定该杆件所能承受的最大轴 力，其值为 ：
FN ≤ [σ] ·A
由此及静力学平衡关系可确定构件或结构所能承受的 最大载荷。
脆性材料，因脆性材料达到抗拉强度Rm时，材料将 产生较大塑性变形或断裂，所以σ°=Rm。
二、许用应力和安全系数
1．许用应力 [σ]
可把危险应力σ°除以大于1的系数n，并将所得的结 果作为材料的许用应力，用[σ]表示，即 ：
[σ]=σ°/n
2．安全系数 n——构件工作的安全储备
塑和压缩时的强度计算
了解直杆轴向拉伸和压缩时的强度计算。
一、危险应力和工作应力 工作应力——构件工作时由载荷引起的实际应力。 工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。 危险应力（σ°）——工程上把材料丧失正常工作能力的应力。 正常工作——指构件不发生塑性变形或断裂现象。
塑性材料，因塑性材料达到屈服强度ReL时，材料将 产生较大塑性变形或断裂，所以σ°=ReL。
塑性材料
脆性材料
危险应力σ° 许用应力[σ]
安全系数n
σ°=ReL
σ°=Rm
[σ]=ReL/ns
[σ]=Rm/nb
Ns是按屈服强度规定取值， ns=1.5～2.0
拉(压)杆的强度计算
工程力学
拉（压）杆的强度计算
1.1 许用应力与安全系数
极限应力是指材料因强度不足而丧失正常工作能力时的应力， 用统一的符号σo表示。通过对材料进行拉伸和压缩实验，可以测定 常温静载条件下塑性材料的屈服极限σs（或σ0.2）和脆性材料的强 度极限σb。塑性材料的应力达到σs，就会出现显著的塑性变形；脆 性材料的应力达到σb时，就会发生断裂。这两种情况都称为强度破 坏，更确切些应称为强度失效。它们都是工程中所不允许的，因此 σs和σb分别是塑性材料和脆性材料的极限应力，即
拉（压）杆的强度计算
拉（压）杆的强度计算
工程力学
（5-12）
拉（压）杆的强度计算
考虑到实际构件的加工方法、加工质量、工作条 件等因素，为使构件工作安全可靠，必须留有适当的 强度储备。为此引入许用应力的概念。许用应力是指 构件正常工作时所允许承受的最大应力，用σ表示， 其值为
（5-13） 式中，n为大于1的正数，称为安全系数。
拉（压）杆的强度计算
拉（压）杆的强度计算
1.2 轴向拉（压）杆件的强度条件
工程实际中，把构件上应力最大值所在截面称为 危险截面，而把应力最大值所在的点称为危险点。为 了保证构件具有足够的强度，必须使危险点的应力值 不超过材料的许用应力。即轴向拉伸（压缩）时的强 度条件为
（5-14） 工程应用中，根据强度条件，可以进行三种类型 的强度计算。
对于塑性材料构件，其拉、压许用应力一般是相同的；对于脆性 材料构件，则应分别根据其拉、压实验测定的σ+b、σ－b定出其许用拉 应力σ+和许用压应力σ－。几种常用材料的许用应力值见表5-3。
拉（压）杆的强度计算
安全系数的确定，应兼顾到安全与经济两个方面， 考虑构件的重要程度、荷载性质、工作条件、材料的缺 陷、设计计算的精确程度等各方面因素，是一个比较复 杂的问题。设计时，可查阅有关的设计规范。在通常情 况下，对静荷载问题，安全系数的取值范围，塑性材料 一般取ns=1.5~2；脆性材料一般取nb=2.0~2.5。随着 科学技术的发展和人类对客观事物认识的深入，安全系 数的确定会更加趋于合理。
拉（压）杆的强度计算
1.1 许用应力与安全系数
极限应力是指材料因强度不足而丧失正常工作能力时的应力， 用统一的符号σo表示。通过对材料进行拉伸和压缩实验，可以测定 常温静载条件下塑性材料的屈服极限σs（或σ0.2）和脆性材料的强 度极限σb。塑性材料的应力达到σs，就会出现显著的塑性变形；脆 性材料的应力达到σb时，就会发生断裂。这两种情况都称为强度破 坏，更确切些应称为强度失效。它们都是工程中所不允许的，因此 σs和σb分别是塑性材料和脆性材料的极限应力，即
拉（压）杆的强度计算
拉（压）杆的强度计算
工程力学
（5-12）
拉（压）杆的强度计算
考虑到实际构件的加工方法、加工质量、工作条 件等因素，为使构件工作安全可靠，必须留有适当的 强度储备。为此引入许用应力的概念。许用应力是指 构件正常工作时所允许承受的最大应力，用σ表示， 其值为
（5-13） 式中，n为大于1的正数，称为安全系数。
拉（压）杆的强度计算
拉（压）杆的强度计算
1.2 轴向拉（压）杆件的强度条件
工程实际中，把构件上应力最大值所在截面称为 危险截面，而把应力最大值所在的点称为危险点。为 了保证构件具有足够的强度，必须使危险点的应力值 不超过材料的许用应力。即轴向拉伸（压缩）时的强 度条件为
（5-14） 工程应用中，根据强度条件，可以进行三种类型 的强度计算。
对于塑性材料构件，其拉、压许用应力一般是相同的；对于脆性 材料构件，则应分别根据其拉、压实验测定的σ+b、σ－b定出其许用拉 应力σ+和许用压应力σ－。几种常用材料的许用应力值见表5-3。
拉（压）杆的强度计算
安全系数的确定，应兼顾到安全与经济两个方面， 考虑构件的重要程度、荷载性质、工作条件、材料的缺 陷、设计计算的精确程度等各方面因素，是一个比较复 杂的问题。设计时，可查阅有关的设计规范。在通常情 况下，对静荷载问题，安全系数的取值范围，塑性材料 一般取ns=1.5~2；脆性材料一般取nb=2.0~2.5。随着 科学技术的发展和人类对客观事物认识的深入，安全系 数的确定会更加趋于合理。
轴向拉、压杆的强度计算
N [ ] A
[ ] —材料的许用应力。
对于受到几个轴向外力作用的等截面直杆而言，要选择轴力最大的截面进 行强度计算；在变截面杆中，则要对不同截面计算应力，并选择应力最大的截面 进行强度计算。根据强度条件可以解决工程实际中有关构件强度的三类问题：
1、设计截面
如果已选定了构件的材料（即材料的许用应力[σ]为已知），同时又已 知作用在构件上的荷载，则构件所需 的横截面面积A可由右式决定
由平衡方程 得
M ( F c ) 0
N
,
P 2 N 1 sin 45 0
2P 2 10 28.3 KN ( 压) sin 45 sin 45
（2）确定截面尺寸
按强度条件，斜杆的截面面积为
N 28.3 10 3 A 4720mm2 [ ] 3
故截面边长
a A 4720 68.7 mm
算
保证构件具有足够的抵抗破坏能力的条件叫做强度条件。轴向拉、压构件 的强度条件是保证构件的最大工作应力不超过材料的许用应力，即
公式中：
max
max ——杆内横截面上的最大工作应力。
N——产生最大工作应力的截面上的轴力。这个截面称危险截面 A——危险截面的截面面积。
A
N
课题八 轴向拉、压杆的强度计算
2、强度校核 若已知构件的横截面尺寸、材料及所受荷载，构件的强度是否满足要求可
由
N [ ] A
来判定。若满足上式，则构件满足强度条件（安全）；若
[ ] ，则强
度不足。 3、确定许用荷载 若已知构件的材料和截面尺寸，则构件允许承受的轴力应按下式确定。
[ N ] A [ ]
然后再根据静力平衡条件确定许用荷载[ P ]。
材料力学 第02章 轴向拉伸和压缩及连接件的强度计算
O e
弹屈 性服 阶阶 段段
强 化 阶 段
颈 缩 阶 段
33/113
2.3 材料在拉伸或压缩时的力学性能 2.3.1 低碳钢Q235拉伸时的力学性能-弹性阶段
Oa段应力与应变成正比
s Ee
s
b a
弹性模量E是直线Oa的斜率 Q235 E≈200GPa
直线部分的最高点a所对应的应力称为 比例极限，sp Oa段材料处于线弹性阶段
(2) 杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力 和切应力。
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C 3 300 kN 400 mm
26/113
D
200 kN
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例2-3】解
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C
内力相同，
但是常识告诉我们，
F F
直径细的拉杆更容易破坏。
求得各个截面上的轴力后，并不能直接判断杆件是否具有足 够的强度。必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
18/113
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 2.2.2 1 拉压杆横截面上的应力
a
F
c
c' d'
F4
D
FN4
F
x
0 FN4 F4 0
FN4 20 kN 拉
16/113
同一位置处左右侧截面上的内力分量具有相同的正负号
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例】解
1
FR A F1
F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN，F4=20kN
2
F2 B
弹屈 性服 阶阶 段段
强 化 阶 段
颈 缩 阶 段
33/113
2.3 材料在拉伸或压缩时的力学性能 2.3.1 低碳钢Q235拉伸时的力学性能-弹性阶段
Oa段应力与应变成正比
s Ee
s
b a
弹性模量E是直线Oa的斜率 Q235 E≈200GPa
直线部分的最高点a所对应的应力称为 比例极限，sp Oa段材料处于线弹性阶段
(2) 杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力 和切应力。
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C 3 300 kN 400 mm
26/113
D
200 kN
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例2-3】解
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C
内力相同，
但是常识告诉我们，
F F
直径细的拉杆更容易破坏。
求得各个截面上的轴力后，并不能直接判断杆件是否具有足 够的强度。必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
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2.2 拉压杆截面上的内力和应力 2.2.2 1 拉压杆横截面上的应力
a
F
c
c' d'
F4
D
FN4
F
x
0 FN4 F4 0
FN4 20 kN 拉
16/113
同一位置处左右侧截面上的内力分量具有相同的正负号
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例】解
1
FR A F1
F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN，F4=20kN
2
F2 B
第二章轴向拉伸与压缩
第二章轴向拉伸与压缩(王永廉《材料力学》作业参考答案（第1-29题）)2012-02-26 00:02:20| 分类：材料力学参答|字号订阅第二章轴向拉伸与压缩（第1-29题）习题2-1试绘制如图2-6所示各杆的轴力图。
图2-6解：由截面法，作出各杆轴力图如图2-7所示图2-7习题2-2 试计算图2-8所示结构中BC杆的轴力。
图2-8 a）解：（a）计算图2-8a中BC杆轴力截取图示研究对象并作受力图，由∑M D=0，即得BC杆轴力=25KN（拉）（b）计算图2-8 b中BC杆轴力图2-8b截取图示研究对象并作受力图，由∑MA=0，即得BC杆轴力=20KN（压）习题2-3在图2-8a中，若杆为直径的圆截面杆，试计算杆横截面上的正应力。
解：杆轴力在习题2-2中已求出，由公式（2-1）即得杆横截面上的正应力（拉）习题2-5图2-10所示钢板受到的轴向拉力，板上有三个对称分布的铆钉圆孔，已知钢板厚度为、宽度为，铆钉孔的直径为，试求钢板危险横截面上的应力（不考虑铆钉孔引起的应力集中）。
解：开孔截面为危险截面，其截面面积由公式（2-1）即得钢板危险横截面上的应力（拉）习题2-6如图2-11a所示，木杆由两段粘结而成。
已知杆的横截面面积A=1000 ，粘结面的方位角θ=45，杆所承受的轴向拉力F=10KN。
试计算粘结面上的正应力和切应力，并作图表示出应力的方向。
解：（1）计算横截面上的应力= = 10MPa（2）计算粘结面上的应力由式（2-2）、式（2-3），得粘结面上的正应力、切应力分别为cos245,=5 MPa45=sin（2*45。
）=5MPa45=其方向如图2-11b所示习题2-8 如图2-8所示，等直杆的横截面积A=40mm2,弹性模量E=200GPa，所受轴向载荷F1=1kN，F2=3kN，试计算杆内的最大正应力与杆的轴向变形。
解：（1）由截面法作出轴力图（2）计算应力由轴力图知，故得杆内的最大正应力（3）计算轴向变形轴力为分段常数，杆的轴向变形应分段计算，得杆的轴向变形习题2-9阶梯杆如图2-13a所示，已知段的横截面面积、段的横截面面积，材料的弹性模量，试计算该阶梯杆的轴向变形。
材料力学02(第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能)
F 1＝ A1 sin F 2＝A2 tan
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
第2章 轴向拉伸与压缩
2.5.5 塑性材料和脆性材料的主要区别
(5) 塑性材料承受动载荷的能力强，脆性材料承 受动荷载的能力很差，所以承受动载荷作用的构 件多由塑性材料制做。
2.5.5 塑性材料和脆性材料的主要区别
对于脆性材料，当应力达到其强度极限σb 时， 构件会断裂而破坏；对于塑性材料，当应力达到 屈服极限σs时，将产生显著的塑性变形，常会 使构件不能正常工作。
2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能
OB:弹性阶段__弹性极限σe BC:屈服阶段__屈服极限σs CD:强化阶段__强度极限σb DE:颈缩阶段
2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能
OB:弹性阶段---弹性极限σe OA:线性阶段---比例极限σP
σ=Eε 胡克定律
E: 弹性模量 σe≈σP
伸长率
Fbs
Fbs
Fbs
实际挤压面
挤压应力：
2.8.2 挤压和挤压强度计算
smaxBiblioteka dFbs(a)
smax
(b)
t
(b)
ssj bs
(c) (c)
挤压面 计算挤压面积 =dt
两种材料的极限应力分别是？ 许用应力=？
2.6 拉压杆的变形
2.6 拉压杆的变形
例： 已知等截面直杆横截面面积A＝500mm2,弹性模量 E＝200GPa，试计算杆件总变形量。
6KN
8KN 5KN
3KN
1m
2m
1.5m
ΔL=？
2.8 拉压杆接头的计算
2.8 拉压杆接头的计算
2.8.1 剪切和剪切强度计算
(1) 多数塑性材料在弹性变形范围内，应力与应 变成正比关系，符合胡克定律；多数脆性材料在 拉伸或压缩时σ-ε图一开始就是一条微弯曲线， 即应力与应变不成正比关系，不符合胡克定律， 但由于σ-ε曲线的曲率较小，所以在应用上假设 它们成正比关系。
工程力学18轴向拉(压)杆的强度计算
考虑到许用应力是概率统计的数值，为了经济起见，最大工
作用正应应力力的也5%可为略宜F大N。,于max材 料 的许A用应力，一般认为以不超过许
然后根据静力平衡条件，确定结构所许用的荷载。
例1 阶梯形杆如图所示。AB、BC和CD段的横截面面积分别 为A1=1500mm2、 A2=625mm2、 A3=900mm2。杆的材料为 Q235钢，[σ]=170MPa。试校核该杆的强度。
解：（1）作轴力图
120 kN
①
220 kN
②
260 kN
③ 160 kN
（2）校核强度
A
B
C
D
由轴力图和各段杆的横
FN / kN
160
截面面积可知，危险截
120
面可能在BC段或CD段。
o
BC段：
x
100
2
FN 2 A2
100103 N 625 106 m2
160 106 Pa
160MPa（压应力）
CD段：
3
FN 3 A3
160103 N 900 106 m2
177.8 106 Pa
177.8MPa（拉应力）
2 160MPa 压 3 177.8MPa 拉
120 kN
①
A FN / kN 120
o
220 kN
②
B
100
结果表明，杆的最大正应力发生在CD段
260 kN
③
C 160
已算最校3.已轴确知出大核知力定杆该工。结，结件杆作构并构的所正承 由的横能应受此许截承力的确用面受m，ax荷定载尺的并载杆荷寸最检AF和 件和大查NA,材的m材轴是aFx料横料力否N,的截的，m满a许面x许亦足用面用称强应积应许度力。力用条，，轴件即可力的可根要算据求出强。杆度这件条称的件为最计强大度
作用正应应力力的也5%可为略宜F大N。,于max材 料 的许A用应力，一般认为以不超过许
然后根据静力平衡条件，确定结构所许用的荷载。
例1 阶梯形杆如图所示。AB、BC和CD段的横截面面积分别 为A1=1500mm2、 A2=625mm2、 A3=900mm2。杆的材料为 Q235钢，[σ]=170MPa。试校核该杆的强度。
解：（1）作轴力图
120 kN
①
220 kN
②
260 kN
③ 160 kN
（2）校核强度
A
B
C
D
由轴力图和各段杆的横
FN / kN
160
截面面积可知，危险截
120
面可能在BC段或CD段。
o
BC段：
x
100
2
FN 2 A2
100103 N 625 106 m2
160 106 Pa
160MPa（压应力）
CD段：
3
FN 3 A3
160103 N 900 106 m2
177.8 106 Pa
177.8MPa（拉应力）
2 160MPa 压 3 177.8MPa 拉
120 kN
①
A FN / kN 120
o
220 kN
②
B
100
结果表明，杆的最大正应力发生在CD段
260 kN
③
C 160
已算最校3.已轴确知出大核知力定杆该工。结，结件杆作构并构的所正承 由的横能应受此许截承力的确用面受m，ax荷定载尺的并载杆荷寸最检AF和 件和大查NA,材的m材轴是aFx料横料力否N,的截的，m满a许面x许亦足用面用称强应积应许度力。力用条，，轴件即可力的可根要算据求出强。杆度这件条称的件为最计强大度
拉压杆的强度计算
的许用应力［σ］，其他横截面上的应力都比［σ］小，显然造 成了材料的浪费。
因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等 于材料的许用应力［σ］，这样设计的杆称为等强度杆，其形状 如图2-33（a）所示。不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故 在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆［图2-33 （b）］或截锥形杆［图2-33（c）］。
2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分 为研究对象［图2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得 FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有
A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横
截面面积为A1＝400mm2，许用应力［σ］＝170MPa ；BC 为木杆，其横截面面积为A2＝10000mm2，许用压应力为［σc］ ＝10 MP。求荷载F的最大值Fmax 。
【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象 ［图2-31（b）］，
图2-33
材料力学
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0 得 FN2＝F/sin30°=2F（压） ∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0 得 FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
图2-31
2） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN1＝ 31/2F ≤A1［σ 所以对于AB杆，许用荷载为
3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相 同，故杆的最大正应力为
因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等 于材料的许用应力［σ］，这样设计的杆称为等强度杆，其形状 如图2-33（a）所示。不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故 在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆［图2-33 （b）］或截锥形杆［图2-33（c）］。
2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分 为研究对象［图2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得 FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有
A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横
截面面积为A1＝400mm2，许用应力［σ］＝170MPa ；BC 为木杆，其横截面面积为A2＝10000mm2，许用压应力为［σc］ ＝10 MP。求荷载F的最大值Fmax 。
【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象 ［图2-31（b）］，
图2-33
材料力学
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0 得 FN2＝F/sin30°=2F（压） ∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0 得 FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
图2-31
2） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN1＝ 31/2F ≤A1［σ 所以对于AB杆，许用荷载为
3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相 同，故杆的最大正应力为
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FN3 5kN(Compression)
2.2 轴力和轴力图
FR
1
40kN 55kN
2
25kN
3
4 20kN
A
1
B2
C
3D
E
4
截面 4-4 ：选择右半部分更易于分析。
FN4 20 kN(T ension）
步骤3: 画出杆件的轴力图.
FN4 4 20kN E
4
FR
40kN 55kN 25kN
轴力与应力的关系
F
F
FN
s d A sA
A
因此正应力计算公式为
s FN
A
2.3 轴向拉压杆的应力
s FN
A
公式的限制条件: ⑴ 上述计算正应力的公式对横截面的形式没 有限制，但对于某些特殊形式的横截面，如 果在轴向荷载作用时不能满足平面假设，则 公式将不再有效. ⑵ 试验和计算表明，该公式不能描述荷载作 用点附近截面上的应力情况，因为这些区域 的应力变化比较复杂，截面变形较大.
2.3 轴向拉压杆的应力
2.3 轴向拉压杆的应力
1 横截面上的应力 问题：
1）横截面内各点处产生何种应力？ 2）应力的分布规律？ 3）应力的数值？
2.3 轴向拉压杆的应力
杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形 内力与变形是并存的，内力是抵抗变形的一种能力。 所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律 我们可以做一个实验
FF
FN
F
FN F
FN 称为 轴力----内力的合力作用线总是与杆件的轴 线重合, 通常记为FN.( 或N).
2.2 轴力和轴力图
轴力FN的正负规定: 杆件拉伸时, FN 为正——拉力（方向从横截面指向外）
F
m
F
m
F
m FN
m
FN m
m
FN : +
F
2.2 轴力和轴力图
轴力FN的正负规定: 杆件压缩时, FN 为负——压力（方向指向横截面 ）.
90 s 0
(纵截面)
(2) 45 max s 0 / 2
45 min s 0 / 2
0
0 (横截面)
90 0 (纵截面)
2.3 轴向拉压杆的应力
即横截面上的正应力是所有各斜截面正应力中 的最大者。而最大切应力发生在α=π/4的斜截面 上，其值为τ(α=π/4)=τmax=σ/2。
P
P
P
P
杆件伸长，但各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线。 变形后原来的矩形网格仍为矩形。
2.3 轴向拉压杆的应力
平面假设 对于轴向荷载情况，所有横截面变形后仍保持为平 面并相互平行，且垂直于轴线.
2.3 轴向拉压杆的应力
推论:
1. 均质直杆受轴向荷载作用不产生剪切变形，因 此横截面上没有剪应力.
力的作用线沿杆件轴线.
b) 变形特点: 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短.
以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件称为 拉（压）杆.
2.1 轴向拉压的概念
讨论: 下图中哪些是轴向拉伸杆?
F
F
F
(a)
(b)
q F
F
(c)
(d)
第 2 章轴向拉压的应力与变形
2.2 轴力和轴力图
2.2 轴力和轴力图
m
F
F 直杆所受的轴力为
40° m
s
FN 50kN
横截面面积为 A 400mm 2
α=50° 则正应力为
p s FN 50103 125MPa (压力)
A 400
斜截面上的正应力和切应力分别为
s
s s cos2 -125 cos2 50 51.6MPa
材料力学
教材：材料力学I 孙训方主编
2019年8月20日
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第二章 轴向拉压的应力与变形
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
第 2 章轴向拉压的应力与变形
2.1 轴向拉压的概念 2.2 轴力与轴力图 2.3 轴向拉压杆的应力 2.4 材料拉伸和压缩时的力学性能 2.5 拉压强度条件及应用 2.6 轴向拉压杆的变形 2.7 简单拉压超静定问题 2.8 应力集中的概念
20kN
A
B 50 C
10 5
D
E
20
从轴力图我们 发现
FN,max FN2 50kN
FN (kN)
2.2 轴力和轴力图
例2 如下图所示杆件的轴力图.
F q=F/l
F
l
2l
F l
F
q
FR
F
F
1
F 2q
3
FR
F
1
F2
3
FN3 FR
2.2 轴力和轴力图
3 F
3 1
FN1
1
FR
F q=F/l
l
FN
F
F 2l
F
Fq2 FN2
F2
x1
F
l
F
2.2 轴力和轴力图
画出下列各杆的轴力图。
F
F
2F
2F
F （-）
（+） 2F
40kN
30kN
20kN
50kN
（+）
10kN
（+）
（-） 20kN
3F F
F
（+）
F=qa
2F
q F=qa
a
a
a
（-）
2F
qa
（+）
（-） （-）
qa
第 2 章轴向拉压的应力与变形
A2代入上式，得： σ1=FN1/A1=-17.5x103N/(0.2x0.2)m2=-0.438 Mpa
（负号表示压应力） σ2=FN2/A2=-27.5x103N/(0.4x0.4)m2=-0.172 Mpa
（负号表示压应力）
2.3 轴向拉压杆的应力
2 .斜截面上的应力
重物
圆柱是怎样断裂的？
混凝土圆柱
2
sin 2
sin 2
某点处各个方向上的应力称为该点的应力状态.
对于轴向受拉或者受压杆件，其在某一点
的应力状态可以由横截面上的正应力确定，称
为单向应力状态.
2.3 轴向拉压杆的应力
讨论:
s
p
s s 0 cos2
s 0 sin 2
2
(1) 0 s max s 0 (横截面)
即与横截面成450的斜截面上的切应力是所有 各斜截面切应力中的最大者。最大切应力在数 值上等于最大正应力的二分之一。
2.3 轴向拉压杆的应力
例5 图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截面尺
寸为40mm×10mm，荷载F＝50kN。试求斜截面
m-m上的正应力和切应力。
解: 斜截面的方位角为 50
s 0 cos
这里 s0 是横截面( 0 )上的正应力.
2.3 轴向拉压杆的应力
通常将斜截面上的应力分解为正应力和剪应力.
s
p
s s 0 cos2
s
p cos s 0 cos2 p sin s 0 cos sin
s0
2
s0
F
F
等价吗?
我们的研究对象是
变形体.
F
F
2.2 轴力和轴力图
举例：
n
m
F
n Fm
C
nB
m
A
(a)
FN=F
m
F
m
A
C
nB
m
A
(d)
FN=0 m
m
A
FN=F
(b)
n
nB
(e)
F FN=F n F
A
nB
A
(c)
(f)
2.2 轴力和轴力图
例1 画出如下所示杆件的轴力图.
40kN 55kN 25kN
20kN
2.3 轴向拉压杆的应力
F
F
变形假设: 变形后，原先平行的两个斜面仍保持为 平面并相互平行.
推论: 两个平行斜面之间的全部径向直线具有相 同的轴向变形.
也就是说，斜面上各点的合应力相同.
2.3 轴向拉压杆的应力
F
k A
F
A
k
F
k p F
k
p
F A
F
A / cos
F cos
A
s
2
sin
2
-125 sin 100 2
61.6MPa
第 2 章轴向拉压的应力与变形
2.4 材料拉伸和压缩时的 力学性能
2.4 材料拉伸和压缩时的力学性能
1 材料拉伸时的力学性能
拉伸试验
国家标准--GB
拉伸试验试样
标准试样： 圆柱形试样:
l 10d 或 l 5d
方柱形试样 l 11.3 A 或 l 5.65 A
FR
1
40kN 55kN
2
25kN
3
4 20kN
A
1
B2
C
3D
E
4
截面 1-1： 假设内力为正.
FR 1 FN1 FN1 10 kN(T ension）
截面 2-2：
A
1
FR
40kN
2
FN2
FN2 50 kN(T ension）