2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学
参考答案与解析
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=
A 、0
B 、
C 、1
D 、
【答案】C
【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1
【考点定位】复数
2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =
A 、{x|-1<x<2}
B 、{x|-1x 2}
C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}
D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B
【解析】由题可得C R A={x|x 2
-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}
【考点定位】集合
3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是：
A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A
【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，
【考点定位】简单统计
4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A、-12
B、-10
C、10
D、12
【答案】B
【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:
2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10
【考点定位】等差数列求和
5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的
切线方程为：
A、y=-2x
B、y=-x
C、y=2x
D、y=x
【答案】D
【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:
f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1
f（x）=x3+x
求导f‘（x）=3x2+1
f‘（0）=1 所以选D
【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数
6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=
A、--
B、--
C、-+
D、-
【答案】A
【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=
AC 2
1
AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=
AC 4
1AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 4
1AB 43）AC 41AB 41（
-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、
B 、
C 、3
D 、2 【答案】B
【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在
4
1
圆周处。

∴最短路径的长度为AB=√22+42
【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径
8.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，
则
·
=
A.5
B.6
C.7
D.8 【答案】D 【解析】
抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F(1,0)
A A
B
直线MN 的方程: ）2（3
2
y +=x
消去x 整理得：y 2-6y+8=0 ∴y=2 或y=4 M 、N 的坐标（1，2），（4，4）
则
·
=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8
【考点定位】抛物线焦点 向量的数量积 如果消去Ｘ，计算量会比较大一些，您不妨试试。

9.已知函数f （x ）=g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的
取值范围是 A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】
根据题意：f(x)+x+a=0 有两个解。

令M(x)=-a, N(x)=f(x)+x ={e x +x x ≤0
lnx +x x >0
分段求导：N‘(x)=f(x)+x ={e x +1>0 x ≤0
1x +1>0 x >0 说明分段是增函数。

考虑极限位置，图形如下：
M(x)=-a 在区间(-∞，+1]上有2个交点。

∴a 的取值范围是C. [-1，+∞）
【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。

此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为。

直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC. △ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。

在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p 1=p 2
B. p 1=p 3
C. p 2=p 3
D. p 1=p 2+p 3
【答案】A 【解析】
整个区域的面积： S 1+S 半圆BC = S 半圆AB + S 半圆AC +S △ABC 根据勾股定理，容易推出S 半圆BC = S 半圆AB + S 半圆AC ∴S 1= S △ABC 故选A
【考点定位】古典概率、 不规则图形面积
11.已知双曲线C ：
-y ²=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条
渐近线的交点分别为M ，N . 若△OMN 为直角三角形，则∣MN ∣= A.
B.3
C.
D.4
【答案】B 【解析】
右焦点,OF=√3+1==2，
渐近线方程y=±√3
3x ∴∠NOF=∠MOF =30°
在Rt △OMF 中，OM=OF*cos∠MOF=2*cos=30°√3 在Rt △OMN 中，MN=OM ∗tan∠NOM =√3*tan(30°+30°)=3 【考点定位】双曲线渐近线、焦点
概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。

如果用解方程，计算量很大。

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
M
F
N
o
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=√2
2
截面面积S=6×√34×（√2
2
）2
=
【考点定位】立体几何 截面
【盘外招】交并集理论：ABD 交集为√3，AC 交集为 3
4，选A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x ，y 满足约束条件则z=3x+2y 的最大值为 .
【答案】6 【解析】
当直线z=3x+2y 经过点（2，0）时，Z max =3*2+0=6
【考点定位】线性规划（顶点代入法）
14.记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若S n =2a n +1，则S 6= . 【答案】-63 【解析】
S 1=2a 1+1=a 1 ∴a 1=-1
n>1时，S n =2a n +1，S n-1=2a n-1+1 两式相减：S n -S n-1= a n =2a n -2a n-1 ∴a n =2a n-1 a n =a1×2n-1= （-1）×2n-1 ∴S 6=（-1）×（26-1）=-63 【考点定位】等比数列的求和
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】
C 21C 42+C 22C 4
1=2×6+1×4=16 【考点定位】排列组合
16.已知函数f （x ）=2sinx+sin2x ，则f （x ）的最小值是 . 【答案】
−3√3
2
【解析】
f （x ）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)
考虑到f （x ）为奇函数，可以求f （x ）最大值.将f （x ）平方：
f 2（x ）=4sin 2
x(1+cosx)2
=4(1-cosx)(1+cosx)3
=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3
≧(4/3)×（（3-3cosx ）+3(1+cosx))/4）4
=
34 ×（46）4=4
27
当3-3cosx=1+cosx 即cosx =1
2
时，f 2（x ）取最大值
f （x ）min =
−3√3
2
【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用 【其他解法】：１．求导数解答
２．f （x ）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。

三.解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5. （1）求cos∠ADB ； （2）若DC =
，求BC .
【答案】
【解析】（1）在△ABD 中，由正弦定理得BD
sin∠A =AB
sin∠ADB ∴sin∠ADB =ABsin ∠ADB/BD=√2
5
由题设可知，∠ADB<90°∴ cos∠ADB =√1−225=√23
5
(2)由题设及（1）可知cos ∠BDC= sin∠ADB =√25 在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2=BD 2+DC 2-2BD ×DC ×cos ∠BDC
=25+8-2×5×
×
√2
5
=25 ∴BC=5
【考点定位】正弦定理 余弦定理
18.（12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把∆DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .
（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
【答案】
【解析】（1）由已知可得PF ⊥BF ，BF ⊥EF ∴BF ⊥平面P EF 又BF 在平面ABFD 上 ∴平面PEF ⊥平面ABFD
(2) PH ⊥EF，垂足为H ，由（1）可得，PH⊥平面ABFD ∴DP 与平面ABFD 所成角就是∠PDH . CD 2=PD 2=DH 2+PH 2=DE 2+EH 2+PH 2= DE 2+（EF-HF ）2+PH 2 CF 2=PF 2=HF 2+PH 2
设正方形ABCD 的边长为2.上面两个等式即是： 22
=12
+（2-HF ）2
+PH 2
12
=HF 2
+PH
2
∴解方程得HF=12 PH=√3
2
在Rt △PHD 中, sin∠PDH=PH/PD=√3
2/2=√3
4. 【考点定位】立体几何 点、直线、面的关系
19.（12分）
设椭圆C ：
+y²=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两
点，点M 的坐标为（2，0）.
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
【答案】
【解析】（1）由已知可得F （1，0） ，直线l 的方程为x=1 由已知可得, 点A 的坐标为（1，√2
2）或（1，— √2
2
）
∴直线AM 的方程为y=—
√22x+√2 或 y= √22
x —√2 (2)当l 与x 轴重合，.∠OMA=∠OMB=00
当l 与x 轴垂直，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB 当l 与x 轴不重合且不垂直，设直线l 的方程为y=k(x-1) (k ≠0) 点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) ，x 1<2,X 2<2, 则直线MA 、MB 的斜率之和 K MA +K MB =y1
x1−2+y2
x2−2=
k(x1−1)x1−2
+
k(x2−1)x2−2
=
2kx1x2−3k (x1+x2)+4k (x1−2)(x2−2)
将y=k(x-1)代入椭圆C 的方程得：（2k 2
+1）x 2
-4k 2
x+(2k 2
-2)=0 x 1∴+x 2=
4k 22k 2+1
,x 1x 2=
2k 2−22k 2+1
2kx1x2−3k (x1+x2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k
2k 2+1
=0
从而 K MA +K MB =0 MA 、MB 的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB
综上所述，∠OMA=∠OMB
【考点定位】圆锥曲线
20、（12分） 某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的ｋ概率都为P （0<P<1），且各件产品是否为不合格品相互独立。

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f （P ），f （P ）求f （P ）的最大值点。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为P 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i ） 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ：
（ii ）
以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】
【解析】（1）f （P ）=C 202P 2
(1-P)18
=181C 202(9P)2
(1-P)18
≧181
C 202
×{
(9P∗2+（1−P)∗18）
20
}20
=1
81
C 202
×
{9
10}
20
当9P=1-P ，即f （P ）的最大值点P 0=0.1. f （0.1）=
19×9181019
(2)令Y 表示余下的180件产品中不合格品件数，依题意可知Y-B(180,0.1), X=20*2+25Y=40+25Y
∴E X=E(40+25Y)=40+25EY=490
(ii)如果开箱检验，检验费=200*2=400元
EX>400, ∴应该对这箱余下的所有产品作检验。

【考点定位】随机变量及分布：二项分布最值（基本不等式）、数学期望
21、（12分）
已知函数
. （1）讨论
的单调性； （2）若
存在两个极值点, ,证明： . 【答案】
【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）
f’（x ）=-1x 2−1+a x =-
x 2−ax+1x 2 △=a 2-4
(i)若a ≤2,则f’（x ）≤0，当且仅当a=2,x=1时f’（x ）=0，∴f （x ）在（0，+∞）单调递减。

(i)若a>2,令f’（x ）=0得到，x =
a±√a 2−42 当x ∈（0，
a−√a 2−42）∪（a+√a 2−42，+∞）时，f’（x ）<0 当x ∈（a−√a 2−42,a+√a 2−42）时，f’（x ）>0
∴f （x ）在x ∈（0，
a−√a 2−42）,（a+√a 2−42，+∞）单调递减, 在（a−√a 2−42,a+√a 2−42）单调递
增。

(2)由(1)可得f(x)存在2个极值点当且仅当a>2
由于f(x)的极值点x1,x2满足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨设x1<x2,则x2>1 由于
f (x1)−f(x2）x1−x2=1x1x2−1+a lnx1−Lnx2x1−x2=−2+a lnx1−Lnx2x1−x2=−2+a −2Lnx21/x2−x2
等价于1x2−x2+2lnx2<0
设g(x)= 1x −x +2lnx 由(1)可知g （x ）在（0，+∞）单调递减，又g(1)=0,从而当x ∈（1，+∞）时g(x)<0
∴1x2−x2+2lnx2<0 即
【考点定位】函数导数的应用
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]、（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为p²+2p-3=0.
（1）求C₂的直角坐标方程:
（2）若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.
【答案】
【解析】（1）由x=cosθ,y=sinθ得到C₂的直角坐标方程：
x2+y2+2x-3=0 即(x+1)2+y2=4
(2)由（1）可知C2是圆心为A（-1,0），半径为2的圆。

由题设可知，C1是过点B（0，2）且关于Y轴对称的两条射线，且
C1：={kx+2 x>0
−kx+2 x≤0
显然，K=0时，C1与C2相切，只有一个交点。

K>0时，C1与C2没有交点。

∴C1与C2有且仅有三个交点，则必须满足K<0且y=kx+2(x>0) 与C2相切,圆心到射线的距离√k2+1
=2故K=-4/3或K=0.
经检验，因为K<0，所以K=-4/3。

综上所述，所求 C₁的方程y=-4
3
∣x∣+2.
【考点定位】极坐标与参数方程直线与圆的关系
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.
【答案】
【解析】（1）当a=1时，f（x）=∣x+1∣-∣x-1∣={−2 x≤−1 2x −1<x<1 2 x>1
∴不等式f（x）﹥1的解集为{x|x>1
2
}
(2)当x∈（0，1）时不等式f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等价于∣ax-1∣<1成立若a≤0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣≧1
若a>0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣<1的解集为0<x<2
a ∴2
a
>=1 故0<a≤2
综上所述，a的取值范围是（0，2］。

【考点定位】绝对值不等式含参数不等式恒成立的问题。