二次函数图像的平移优秀课件
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二次函数平移变换课件
二次函数平移变换的数学表达式
总结词
二次函数平移变换的数学表达式包括水平平移和垂直平移。水平平移是 $f(x-h)$ ，垂直平移是 $f(x) pm k$。
详细描述
水平平移表示将函数图像沿 x 轴移动，移动距离为 $h$。垂直平移表示将函数图 像沿 y 轴移动，移动距离为 $k$。这两种平移都可以通过改变函数表达式来实现 。
总结词
函数值整体上移
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，向上平移一个单位后，新的函数 为 $f(x) + 1 = ax^2 + bx + c + 1$ 。图像上每一个点的纵坐标增加1。
一次向下平移的二次函数
总结词
函数值整体下移
VS
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$， 向下平移一个单位后，新的函数为 $f(x) - 1 = ax^2 + bx + c - 1$。图像上每一 个点的纵坐标减少1。
综合练习题
题目
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图象先向左平移3个单位 ，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解析式是 ____．
解析
原函数$f(x) = x^2 - 2x$的顶点坐标为$(1, -1)$。向左 平移3个单位后，顶点坐标变为$( -2, -1)$；再向下平移 5个单位，顶点坐标变为$( -2, -6)$。因此，平移后的函 数解析式为$y = (x + 2)^2 - 6$。
一次向左平移的二次函数
总结词
函数图像向左平移
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，向左平移一个单位后，新的函数为 $f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$。图像上每一个点 $(x, y)$ 对应到新的函数上变为 $(x+1, y)$。
《二次函数的平移》课件
01 02 03 04
详细描述
例如，函数$f(x) = x^2$的图像 向右平移2个单位后，新的函数 表达式变为$f(x) = (x-2)^2$。
详细描述
在坐标系中，原函数$f(x) = x^2$的图像位于(0,0)，当其向 右平移2个单位后，新的函数图 像将位于(2,0)。
向上平移
总结词
当二次函数图像向上平移时，其函数 表达式的常数项会增加。
在物理中的应用
振动和波动
在物理中，二次函数的平移可以用于 描述振动和波动现象。例如，在弦振 动方程中，通过平移可以描述弦的位 移和时间的关系。
引力与势能
电路分析
在电路分析中，二次函数的平移可以 用于描述交流电的电压或电流随时间 的变化。
在研究引力或势能时，二次函数的平 移可以用来描述物体在引力场中的运 动轨迹或势能随位置的变化。
总结词 详细描述 总结词 详细描述
当二次函数图像向左平移时，其 函数表达式中的x值会增加。
平移后的函数图像与原函数图像 在x轴方向上错开，距离等于平移 的单位数。
向右平移
总结词
当二次函数图像向右平移时，其 函数表达式中的x值会减少。
总结词
平移后的函数图像与原函数图像 在x轴方向上错开，距离等于平 移的单位数。
详细描述
例如，函数$f(x) = x^2$的图像向上 平移3个单位后，新的函数表达式变 为$f(x) = x^2 + 3$。
总结词
平移后的函数图像与原函数图像在y 轴方向上错开，距离等于平移的单位 数。
详细描述
在坐标系中，原函数$f(x) = x^2$的 图像位于(0,0)，当其向上平移3个单 位后，新的函数图像将位于(0,3)。
04
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
二次函数的上下平移 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
22.1.3二次函数 y=ax2+k的图象和性质
（一）创设情境，自主学习
1．二次函数y＝4x2的图象是____，它的开口向 _____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在 对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴 的右侧，y随x的增大而______，函数y＝4x2，当x ＝______时，取最______值，其最______值是 ______。 2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的 图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?你将 采取什么方法加以研究?
的是(
)
A.y＝2x2与y＝3x2 B.y＝2x2与y＝x2+2
C. .y＝x2与y＝x2－2
5.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，
y2 )且x1＜x2Biblioteka 0，则y1y2(填“＜”或
“＞”＝)
拓展延伸
求抛物线y=2x2-1关于x轴对称的
抛物线的解析式.
课堂小结
复习y=ax2
探索 y=ax2+k的 图象及性质
描点法 图象的画法
平移法
图象的特征
平移关系
对称轴
开口方向
a>0,开口向上 a<0,开口向下
顶点坐标 （0,k）
y轴（直线x=0）
就得到抛物线y＝5x2＋1；
2、将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所
得到的抛物线解析式为_____________．
3、对于函数y=–3x2+1，它的开口向_____，顶
点坐
。
标是_____；当x___
时，函数值y随x
的增大而增大；当x
时，函数值y随x
的增大而减小；当x
（一）创设情境，自主学习
1．二次函数y＝4x2的图象是____，它的开口向 _____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在 对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴 的右侧，y随x的增大而______，函数y＝4x2，当x ＝______时，取最______值，其最______值是 ______。 2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的 图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?你将 采取什么方法加以研究?
的是(
)
A.y＝2x2与y＝3x2 B.y＝2x2与y＝x2+2
C. .y＝x2与y＝x2－2
5.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，
y2 )且x1＜x2Biblioteka 0，则y1y2(填“＜”或
“＞”＝)
拓展延伸
求抛物线y=2x2-1关于x轴对称的
抛物线的解析式.
课堂小结
复习y=ax2
探索 y=ax2+k的 图象及性质
描点法 图象的画法
平移法
图象的特征
平移关系
对称轴
开口方向
a>0,开口向上 a<0,开口向下
顶点坐标 （0,k）
y轴（直线x=0）
就得到抛物线y＝5x2＋1；
2、将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所
得到的抛物线解析式为_____________．
3、对于函数y=–3x2+1，它的开口向_____，顶
点坐
。
标是_____；当x___
时，函数值y随x
的增大而增大；当x
时，函数值y随x
的增大而减小；当x
二次函数专题—函数图像的平移
二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。
函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。
1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。
解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。
这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。
反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。
如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。
九年级数学下册第二章第二节二次函数图象的平移课件
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系
y Y=5(x+2)
2
Y=5x
2
y=5(x-2)
2
• 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图
• •
象向左（或向右）平移得到： 当h＞0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2 当h＜0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
口诀:左加右减,上加下减.Fra bibliotek学以致用
• 例1:已知函数Y=-5(X+6) -4 • (1)你能直接写出它的图象向右平移3个单位后的
2
• •
解析式吗？ 2 解：Y=-5(X+6-3) -4 2 Y=-5(X+3) -4
（2）如果向下平移2个单位呢？ 2 Y=-5(X+6) -4-2 2 • Y=-5(X+6) -6
抛物线 y
= a ( x-h)2 + k的特点：
向上 最 ____ 低 点是顶点; a＞0时，开口________, 高 向下 a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
直线 x = h (h , k) 。 顶点坐标是 __________
对称轴是 _____________，
y = a( x – h )2 + k
左 右 平 移 上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同,位置不同。
二次函数的平移公开课ppt课件
B、 y=－2（x－1）2
C、 y=－2x2 +1
D、 y=－2x2 －1
C
（）
19
y 2 x 2. （2006年兰州市）已知抛物线
2
的图象是抛物线,若抛物线不动,把x轴分别向
上平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
____________.
y=2x2-2
0，-2)
20
六、
21
七、作业：
2 ） 把 二 次 函 数 y a x 2 的 图 象 向 下 平 移 k 个 单 位 后 得 到 的 函 数 解 析 式 为 y a x 2 k
17
四、巩固练习
1 ） 把 y 3 x 2 向 下 平 移 4 个 单 位 后 的 函 数 解 析 式 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 2 )二 次 函 数 ya x2 1 向 下 平 移 2 个 单 位 后 经 过 点
向上
y轴
y=f(x)
对称轴的左侧，y随 对称轴的右侧，y随
x的增大而
x的增大而
增大
减小
13
开动脑筋：
结论:
2. y x 2 与 y x 2 1 和 y x 2 1
有何关系? 形状完全相同(开口大小、方向相同)
只是顶点的位置不同.
思考:
我们知道这种形状完全相同的平面图形可以通过平移 使之重合.那么怎样由
结论：函数 y=2x2+1的图象可以看作是函数
y=2x2的图象向 移动了 个单位
上
1
7
二：动手画一画并进行比较：
平移
y
9
8 7 6 54（0，4） 3 2
1
32 1 0 1 2 3 4 5
二次函数图象的变换课件-人教新课标版省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
c
B
A
O
c1
解：由题意知点C1旳坐标为（3，－4）
设 旳函数关系式为
y=a(x－3)2－4
又∵点A(1,0)在抛物线
y=a(x－3)2－4上
∴a(1－3)2－4＝0
解得a=1
∴抛物线 函数关系式为y=(x－3)2－4
(或y=x2－6x+5)
(2)将 向左平移几种单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴旳另一种交点旳坐标。
课前检测：
1、抛物线y=－(x－1)2+3旳开口方向是 ； 顶点坐标是 ，对称轴为 。2、 抛物线 旳开口方向是 ； 顶点坐标是 ，对称轴为 。
向下
（1，3）
直线x=1
向上
（－2，－3）
直线x=－2
二：考点研究1： 平移
（4，－4）
（4，4）
巩固：
考点研究2： 轴对称
（4，－4）
（－4，4）
（4，4）
考点研究3： 旋转
（4，4）
考点研究3： 旋转
（4，4）
考点研究3： 旋转
（4，4）
考点研究3： 旋转
（4，4）
C
3. （2023年兰州市）已知抛物线 旳图象是抛物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线旳解析式是____________.
(-2，-2)
y=2(x+2)2-2
4、（2023.德阳市）如图 已知 与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)旳抛物线 旳顶点为C(3,4)，抛物线 与 有关x轴对称，顶点为 C1 （1）求抛物线 旳函数关式；
二次函数的图像和性质PPT课件
所以该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
（2）点A（-1，3）和B(2，-6）的坐标满足抛
物线的表达式，即
解得
a b 6 3， 4a 2b 6 6.
a 3， b 6.
所以该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.
例. 通过配方，写出下列抛物线的 开口方向、对称轴和顶点坐标．
画二次函数的图像取点时先确定顶 点，再在顶点的两旁对称地取相同 数量的点，一般取5－7个点即可.
函数y=ax²+bx+c的图像和性质：
顶点坐标：（-2ba ，4a4ca-b2）对称轴： 直线x=-2ba
与y轴交点：（0，c） 与x轴交点（：-b± b2-4ac
2a
，0）
开口 增减性
最值
向 a>0 上
-
b2 4a
+c
=
a( x
+
b )2 2a
+
4ac 4a
b2
1、函数y= ax2+bx+c的图像 的顶点坐标:
(- b , 2a
4ac - b2 ) 4a
对称轴:直线
x
=
-
b 2a
函数y= ax2+bx+c Ⅰ、当a＞0时:
当
x
=
-
b 2a
最小值=
4ac - b2 4a
函数y= ax2+bx+c
二次函数的图像和性质
课件
1、抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质：
1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线x=h； 3.顶点坐标是 (h，k.)
2、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与 y=ax2的 形状 相同，位置 不同
二次函数图像的平移 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
y -2(x 4)2 4的图像？
先向左平移1个单位再向下平移2个单位 或
先向下平移2个单位再向左平移1个单位
平方之内，左加右减：平方之外，上加下减
3、函数y x 2 2x 2的图像
先向左平移2个单位，再向上平 移1个单位后，得到的新函)2 2 (-3，2)
谢谢
库尔勒市第四中学 姜小磊
二次函数图像的 平移规律
平方之内，左加右减 平方之外，上加下减
1、把函数y 2(x 3)2 2的图像
先向右平移2个单位，再向上平移5个
单位，则得到的新的函数图像的解析 式为 y 2(x 1)2 3
平方之内，左加右减：平方之外，上加下减
2、函数y -2(x 3)2 2的
图像经过怎样的平移可得到
先向左平移1个单位再向下平移2个单位 或
先向下平移2个单位再向左平移1个单位
平方之内，左加右减：平方之外，上加下减
3、函数y x 2 2x 2的图像
先向左平移2个单位，再向上平 移1个单位后，得到的新函)2 2 (-3，2)
谢谢
库尔勒市第四中学 姜小磊
二次函数图像的 平移规律
平方之内，左加右减 平方之外，上加下减
1、把函数y 2(x 3)2 2的图像
先向右平移2个单位，再向上平移5个
单位，则得到的新的函数图像的解析 式为 y 2(x 1)2 3
平方之内，左加右减：平方之外，上加下减
2、函数y -2(x 3)2 2的
图像经过怎样的平移可得到
二次函数图像的平移
二次函数图像平移的示例
1
水平平移示例
对二次函数y=x²进行水平平移2个单位得到y=(x-2)²的图像。
2
垂直平移示例
对二次函数y=x²进行垂直平移3个单位得到y=(x+3)²的图像。
3
复合平移示例
对二次函数y=x²进行水平平移2个单位和垂直平移3个单位得到y=(x-2)²+3的图像。
二次函数图像平移的应用
二次函数图像的平移的概念
1 平移
平移是指图像在平面上的移动，保持图像的 形状和大小不变。
2 二次函数图像平移
平移二次函数图像的方式是改变二次函数的 位置，包括水平平移和垂直平移。
二次函数图像平移的规律
水平平移
当二次函数的自变量x在函数内部加上一个常数h时， 图像向左平移 h 个单位。
垂直平移
当二次函数的因变量y在函数外部加上一个常数k时， 图像向上平移 k 个单位。
二次函数图像的平移
回顾一次函数，了解其定义和图像。
二次函数的定义和图像
定义
二次函数是形式为y=ax²+bx+c 的函数，其中a、b二次函数的图像为抛物线， 开口方向由a的正负决定。
特点
对称轴为x=-b/2a，顶点坐标 为(h, k)，其中h和k分别为对 称轴的横纵坐标。
要点
水平平移时改变自变量x，垂直平移时改变因变量y。
应用
二次函数图像平移可以应用于优化设计、调整图像位置和控制变量实验等领域。
调整图像位置
通过平移二次函数的图像，可 以调整其在平面上的位置，使 其更符合实际问题。
优化设计
在工程和建模中，通过平移二 次函数的图像来优化设计，使 其更加高效和准确。
控制变量
《二次函数的图像》ppt课件
二次函数的顶点及其性质
顶点坐标
指引如何求解二次函数的顶点坐 标。
凹凸性
讨论二次函数图像的凹凸性及其 与二次函数的系数关系。
图像特点
解释顶点与图像特点的关系，如 开口方向、对称轴和伸缩。
二次函数与判别式
判别式的定义
解释二次函数的判别式及其含义，如何通过判别式判断函数图像的性质。
判别式的示例
提供实际的例子，演示如何使用判别式确定二次函数图像的形状。
二次函数的图像
二次函数的概念。了解二次函数的基本定义和特点，包括函数的二次项、一 次项和常数项。
二次函数的标准式和一般式
1 标准式
介绍二次函数的标准形式，形如y=ax^2释二次函数的一般形式，形如y=ax^2+bx+c。
二次函数图像的基本性质
开口方向
讲解二次函数图像的开口方向， 以及如何通过系数判断。
对称轴
解释二次函数图像的对称轴， 如何确定并绘制。
顶点坐标
介绍二次函数图像的顶点坐标 的求法，以及其意义。
二次函数图像的平移、翻转和伸缩
1
平移
说明二次函数图像的平移，如何改变顶
翻转
2
点的横纵坐标。
讨论二次函数图像的翻转，如何改变函
数的开口方向。
3
伸缩
探讨二次函数图像的伸缩，如何调整二 次函数图像的形状和大小。
二次函数与实际问题的应用
介绍二次函数在实际问题中的应用，如抛物线的运动轨迹、物体的抛体运动 等。
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二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是抛 物线y=ax2先沿着x轴向右平移后得到的
• 当h < 0 时 向左平移∣h∣个单位得到. • 当h > 0 时 向右平移∣h∣个单位得到.
在下列平面直角坐标系中，做出y=（3x-1）² 的图像
x
y=3x²
y=3(x1)²
-2 -1 0 1 2 3 12 3 0 3 12
12 3 0 3 12
y 3x2
y3x12
y 3x2
2、观察图象,回答问题
y3x12
(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与y=3x2的图象有 什么关系?
二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 当c < 0 时 向下平移-c个单位得到.
上加下减
函数
y=ax2
开口方向 a>0时,向上 a<0时,向下
a>0时,向上 y=ax2+c a<0时,向下
对称轴 顶点坐标 y轴 （0,0）
y轴 （0,c）
x y=2x2+1
y=2x2+1
y
9
y=2x2
8
-2
9
7
-1.5 5.5
-1
3
-0.5 1.5
0
1
0.51.51源自31.55.5
2
9
6
函数y=2x2+1
5
的图象是什
4
么形状? 它的 开口方向,对
3
称轴和顶点
2
坐标分别是
1
什么?
-4 -3 -2 -1
o1 2
34
x
y=2x2+1与 y=2x2的图 象有什么关 系?
把y=3x²的图像沿轴向右 平移1个单位就得到 y=3(x-1)²的图像
(2)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什 么共同点？其对称轴和顶点坐标分别是什么 ?
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
y 3x2
y3x12
顶点坐标 是点(1,0).
猜一猜,在同一坐标系中作 二次函数y=3(x+1)2的图象, 会在什么位置?
开口方向
向上
向下
y随x 变化规律
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随
着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而增大. 在对称轴的右侧, y随
着x的增大而减小.
最值 开口大小
当x=h时,最小值为0. a 越大,开口越小.
当x=h时,最大值为0. a 越小,开口越大.
-0.75.
-1.
二这次两函函数数的y=图3像x2有-1什图么像关可系以？由y=3x2 的 图象向下平移一个单位得到
y=3x2
0.25.
-1 -0.75. -0.5. -0.25 0. 0.25. 0.5. 0.75. 1
x
-0.25.
y=3x2-1
-0. 5.
-0.75.
-1.
二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？
做一做
1、画出函数y=2x2 的图象
XY
﹣1.5 4.5
﹣1 2
﹣0.5 0.5
0
0
0.5 0.5
1
2
1.5 4.5
-4 -3
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 -1 o 1
y=2x2
函数 y=2x2的 图象是什 么形状? 它的开口 方向对称 轴和顶点 坐标分别 是什么?
x
2 34
2、画出函数 y=2x2+1的图象
y 3x2
y3x12
列表看一看
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x2
27 12 3 0 3 12 27
y3x12
27 12 3 0 3 12 27
y3x12 27 12 3 0 3 12 27
y=3(x-1)²的值比y=3x²的值落后， y=3(x+1)²的值比y=3x²的值提前。
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
线
线
y=3(x+1)2 抛物 向上 （-1， 直线x=- 以直线x=-1为界
线
0） 1
线
猜一猜,函数y=-3(x-1)²,y=-3(x+1)2和y=-3x² 的图象的位置和形状.
函数
y=-3x²
图像 抛物线
开口 方向
向下
顶点坐标 对称轴
（0，0） 直线x=1
y随x变化规律
以直线x=0为界线
y=-3(x-1)2 抛物线 向下 （1，0） 直线x=1 以直线x=1为界线
函数y=3(x-1)²的图像是什么? 它与y=3x²的图像有什么关系？
1、完成下表
x
-3 -2 -1 0
y 3x2
27 12 3 0
y3x12
27 12 3
1 2 34 3 12 27 0 3 12 27
比较y=3x²和y=3(x-1)²的值,它们之间有什么关系? y=3(x-1)²的值比y=3x²的值落后
画图看一看
y 3x2
把y=3x²的图像沿轴向右平 y3x12
移1个单位就得到y=3(x-1)² 的图像
y3x12
把y=3x²的图像沿轴向左平
移1个单位就得到y=3(x+1)²
的图像
函数
图像 开口
方向
顶点坐 标
对称轴
y随x变化规律
y=3x²
抛物 向上 （0，0）直线x=1 以直线x=0为界
线
线
y=3(x-1)2 抛物 向上 （1，0）直线x=1 以直线x=1为界
y
y=2x2+1
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
想一想
你知道 函数 y=3x2-1的大 致图象和位 置吗?
-1
y 1. 0.75. 0.5. 0.25.
-0.75. -0.5. -0.25 0. -0.25.
y=3x2
0.25. 0.5. 0.75. 1
-0. 5.
y=-3(x+1)2 抛物线 向下 （-1，0） 直线x=-1 以直线x=-1为界线
理由是：它们分别和y=3x²,y=3(x-1)², y=3(x+1)²互为相反数
抛物线 顶点坐标
对称轴
二次函数y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） 直线x=h
y=a(x-h)2 (a<0) （h，0） 直线x=h
二次函数图像的平移优秀课件
初中数学资源网
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
y ax2
抛物线 顶点坐标
y=ax2 (a>0) （0，0）
y= ax2 (a<0) （0，0）
对称轴
y轴
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)