第13章 质点系动能定理xs

1 1 2 T J O mL2 2 2 18
例 题
如图，均质杆质量为m，长为l，可绕距端点l/3的转轴O转动，求杆由水平位 置静止开始转动到任一位置时的角速度、角加速度以及轴承O的约束反力。
解：本题已知主动力求运动和约束反力。
解法1：用动能定理求运动 以杆为研究对象。由于杆由水平位置静止 开始运动，故开始的动能为零，即 O C
功率
dr F v F 力的功率: P dt dt W d j 力(偶)矩的功率: P M M
dt dt
W
质点系动能定理
1 2 d( mv ) dv dv P m v F v 2 质点： m F dt dt dt
1 2 d( mv ) 2 质点系： P dt
dT P — 功率方程 dt
－微分形式
dT Pdt
dT W
T2 T1 W 12
— 积分形式
若作用力分类(内力和外力)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dT W 外 W 内
dT dt
P
外
P 内
T2 T1 W 外 W 内
z A
P P W W W主 W约
2 P 瞬心， C质心 2
1 2 mv 2
永为正值的标量
2
对于任意点为基点, 上述结论正确
？
例 题
纯滚动均质圆柱体的动能
质量为M，半径为R的均质圆柱体沿水平面作纯滚动， 角速度为。 可以得到动能表达式：
vC

（P 是速度瞬心）
C
P
问题：
？
例 题
均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下 端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相 连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为vA，杆与水平线 的夹角 =45o，求该瞬时系统的动能。
1 2
Q3
例 题 补充方程 (运动学) vD vA vD B , vA vD , A r r r
3Q 2 T vD , 2 g M Q P ( r － 2 )v D
M Q － 2 g aD r 3W
3Q 2 d( vD ) 3Q M Q 2g 2v Da D ( － )v D dt 2g r 2
O C mg
J O M O (F )
得
1 2 l ml mg cos j 9 6 3g cos j 2l
d d dj d d t dj d t dj

即
又
d 3g 所以 cos j d j 2l

即

0
d

j
0
3g cos j d j 2l
Jc F r
4 v 2 gh 3
4 dh 2v a g 3 dt
a 2g r 3r
2 3gh 3
由平面运动微分方程：
1 F mg 3
v
§12-6
普遍定理的综合应用
动能
非负的标量，与方向无关 内力作功时可以改变动能 理想约束不影响动能
动量、动量矩
矢量，有大小方向 内力不能使之改变 只有外力能使之改变 约束力是外力时对之有影响。不与 能量相互转化，应用时不考虑能量 的转化与损失。 当外力主矢为零时，系统动量守恒 当外力对定点O 或质心的主矩为零 时，系统对定点或者质心的动量矩 守恒。
B B
M
FBy
FBx
Q2
动能定理微分形式
vD
D
dT 1 1 1 1 2 2 2 2 P主 T＝ m D v D J B B m Av A J A A dt 2 2 2 2 o P P P P Q sin30 v A M B Q v i Q Q M 1 3 D i vD vA vD 补充方程 B , vA vD , A r r r
0 FBx FTcos30o W a D FBy 2W FTsin30o g
Q2 aD
D
1 3 M FBx ( Q )cos 30o 2 2 r 1 53Q M FBy ( ) 12 2 r
Q3
例 题
F
r
均质圆柱体的质量为m，在外圈绕以细绳， 绳下降，其初速度为零。求当圆柱体的轴 心的上端固定不动，如图。当绳铅锤时圆 柱降落了高度 h 时轴心的速度和绳子的拉 力F.
A
O1
vA O1 A AB 2a cos j a
2 2 1 ma 2 TA mAvA 2 2
vC
C
j
vB B
vB O1B AB 2a sin j 3a
1 3ma 2 TB mB vB 2 2
2
2
O
例 题
2 2 I m a ma 对OC： O 3 OC
1 2 2 1 ml 0 mgl sin j 18 6
3g sin j l
2
3g sin j l
O
C
j
mg

将前式两边对时间求导，得
d 3g dj 2 cos j dt l dt
3g cos j 2l
解法2：用微分方程求运动 由定轴转动微分方程
FOy FOx
力偶的功 WM M (j 2 j1 ) 摩檫力的功 •两物有相对滑动, 摩擦力
j1
j2
作负功
纯滚动时, 作用在速度瞬心P点 的摩擦力F 所作元功为 O P Fs WFs Fs d rp Fs v p dt 0
vO
FN
这瞬时P点的位移为零。
纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功 约束力不作功的约束称为理想约束 不作功的约束力 光滑固定面约束 内约束力: 光滑圆柱铰链约束 二力构件 柔性约束
第十三章 动能定理
从汽车的驱动问题看 动量方法与能量方法
从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力
maC = F1 - F2 - Fr F1 －汽车行驶的驱动力
C
Mf1 F1 F N1 Fr
F1 >F2 ＋Fr 汽车向前行驶
W Mf2
FN2
F2
从汽车的驱动问题看 动量方法与能量方法 如果发动机的功率很小而摩擦力很大 如果发动机的功率很大而摩擦力很小
A 30o
Q D
Q
求：1、物块D的aD； 2、二圆轮间绳索拉力；轴承B处约束力。
Q
例 题
解:一、研究对象： 整体 二、受力分析: Q1 , Q2 , Q3, M, FN ,Fs ,FB A 三、运动分析： 圆柱A: 平面运动 A 定滑轮B: 定轴转动 vA 物块D: 平动 四、应用理论： Fs 30o Q1 FN
2m
受力分析如图 OA杆定轴转动, AB杆平面运动 OA杆铅垂时, AB杆瞬时平移

T1 0
vB
v
A
mg
2mg
B
1 2 1 1 m 2 2 2 T2 J O (2m)v ( 0.8 ) mv 2 2 2 2 3 7 2 B端速度为v， v 0.8 T2 mv
如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？
动能
质点的动能
质点系的动能
1 T mi v i2 i 2 刚体的动能 1 1 1 2 2 2 T＝ mi v i ＝ ( mi )vC mv C 平移: 2 2 2 1 2 T ＝ J 定轴转动: z 2 1 1 1 2 2 2 T ＝ mv J T J 平面运动: C C P
由 T2 T1
W
12
7 2 mv 0 1.2mg 6
0.8 W12 mg 2 2mg (1 0.6) 1.2mg
6
v 1.01m/s
例 题
已知：圆轮A和B: 重Q,半径r. 物块D: 重Q 圆轮B上有力偶矩M, 圆轮A作纯滚动。 不计轴承摩擦力。 B M
2 1
) 力的功 (几种常见力的功 z
2
弹簧刚性系数k 1 2 1 2 2 初变形 1 WF kxdx kx ] k (1 2 ) 未变形2 2 2 转动刚体上作用力的功
2 1
z1
m ( F ) C z W M m z ( F )dj W mz ( F ) (j 2 j1 )
在保守系统中，机械能守恒
动能定理描述质心运动及相对质 动量定理描述质心的运动变化 心运动中动能的变化。 动量矩定理描述绕质心或绕定点的 运动变化。
例 题
基本量的计算（动量，动量矩，动能）
1 p mvC mL 6
1 L 2 2 LO J O [ mL m( ) ] 12 6 1 mL2 9
系统的总动能为：
T TA TB TOC TAB
1 2 7 ma 2 2 2 3 2
j
vB
B
ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2
重力的功 W P Pdz P ( z1 z 2 ) Ph 弹性力的功 原长L0 ,
例 题
求椭圆规的动能，其中 OC 、 AB为均质细杆，质量为 m和 2m ， 长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为，j = 60°。
解：运动分析:滑块A和B作平动，曲柄OC作定 轴转动，规尺 AB 作平面运动。 O1 是 AB 的速度 瞬心. vA
AB
因: vc O1C AB OC AB
例 题 2. 对圆轮B和物块D dLB e M FT 应用动量矩定理 B dt
1Q 2 Q r B a D r M (Q - FT )r 2g g
运动学关系
B
B
M
FBy
FBx
a D＝r B
1 3 M FT ( W ) 2 2 r
质心运动定理 ma Cx Fx ma Cy F y
j
mg
T1 0
杆作定轴转动，转动到任一位置时的动能为

1 1 1 l l 2 1 2 2 T2 J O ml m( ) ml 2 2 2 2 12 2 3 18
在此过程中所有的力所作的功为
W12 mgh
1 mgl sin j 6
由
T2 T1 W12 得
h
mg v a
解：
设圆柱下降了h 距离。
重力作功： W mgh 质心速度： 系统动能：
F
r
h
mg v a
v r
T 1 2 1 3 mv Jc 2 mv2 2 2 4
由动能定理： W T 求导：
3 mgh mv2 4 2 a g 3
1
vA A O1
对AB
TOC I O 2 ma 2 2
：
1 2
1 6
2
I O1 I C mAB O1C
1 2m (2a) 2 12
AB
3
8 2m a 2 ma 2 vC
C
TAB I O1 AB
2
1 2
4 ma 2 2 3
O
1 6 4 3

解： T TA TAB 3 2 TA Mv A 4
ΑΒ
vA l sin
P
B
P 为AB杆的瞬心 vA PA ΑΒ
vA
A
C

l 2 1 1 2 1 2 2 J p J C m( ) ml ml ml 2 12 4 3
TAB
2 mv 1 1 2 1 2 A 2 J P AB mv T 9 M 4 m v A A 2 12 2 6sin 3
j
1 2 3g 3g sin j 所以 sin j 2 2l l 0 0
现在求约束反力。
y 质心加速度有切向和法向分量： x O
g a OC cos j 4 g n 2 aC OC sin j 2
t C
aCy
j
C
an
C
aCx

t aC
将其向直角坐标轴上投影得：

3g aCx a sin j aC cos j sin j cos j 4
主 约
主
约
FA FB
B
•内力作功？
当 rAB 0时
i 内
•理想约束条件下 W约 0
dT dt
W 0 y
P
主
x
T2 T1 W主
例 题
两均质直杆组成的机构尺寸如图示； AB 杆质量是OA杆质量 的两倍，各处摩擦不计，机构在图示位置从静止释放，求当 OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。 0.8m A O 解：取整体