第三十七讲9-5 驻 波

第三十七讲：§9-5驻波

一、驻波的形成

1、驻波形成的条件：在同一直线上相向传播的两列同振幅、频率、波速的波的叠加，是一种波的干涉现象。

2、图示

3、特点：其波形不变，与行波不同；不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。

二、驻波的波动方程

右行波：左行波：合成波：

)

(

2

cos

1λ

ν

π

x

t

A

y-

=

)

(

2

cos

2λ

ν

π

x

t

A

y+

=

()()t y x A

t

x

A

y

y

y=

=

+

=πν

λ

π

2

cos

2

cos

2

2

1

其中()x A x A

=λ

π

22为驻波的振幅，是x 函数；()t y t =πν2cos 为质点作简谐振动，是t 函数。

1、驻波振幅的分布特点——波腹与波节

①波腹公式：

推导：当12cos

=x λ

π

，()A x A 2=，振幅最大，为波腹。 12cos =x λ

π

⇒

πλπk x ±=2 ⇒ 2

λ

k x ±= ,2,1,0=k

②波节公式：

推导：当02cos

=x λ

π

，()0=x A ，振幅最小，为波节。 02cos =x λ

π

⇒

()2122πλπ

+±=k x ⇒ ()4

12λ

+±=k x ,2,1,0=k

③两个相邻波腹（波节）之间的间距 2

1λ

=-=∆+k k x x x

2、驻波相位的分布特点

①波节两侧点的振动相位相反，即相位差为π。

,,,k k

x 2102

=±=λ

()

,2,1,04

12=+±=k k x λ

②波节之间点的振动相位相同。即相位差为π2。

③各质点的振幅一定，仅在平衡位置附近做往复运动，顾其波形不变。

3、驻波的能量

驻波振动中无位相传播，也无能量的传播。一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。

①波节处主要集中于势能（越靠近波节就越大，∵dx dy E P ∝）

。 ②波腹处主要集中于动能（越靠近波腹就越大，∵22

1υm E k =）。

③其他各质点是动能和势能共存。 ④驻波不传递能量，与行波不同。

驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.

三、半波损失

当波从波疏介质到波密介质组成的界面上反射时，其振动方向相

反，即相位差为πϕ=∆ ⇒ 2λ=∆r ，故称为半波损失。r ∆=∆λ

π

ϕ2，相位

跃变π。

＊四、弦线振动的简正模式（两端固定弦振动的简正模式）

利用驻波特征来讨论弦乐的音调（基频、基音）、音色（谐频、泛音），基频与谐频统称为本征频率（简正频率）。两端固定的弦振动的简正模式。是通过弦线振动发声的，如二胡、京胡、扬琴、吉他、提琴等。

2

n k λ= ⇒ k n

2=λ

2u

k u n n ==λν ,3,2,1=k 其中：1=k 为基频； ,3,2=k 为谐频。

＊五、玻璃空气柱振动的简振模式

利用驻波特征来讨论管乐的音调（基频、基音）、音色（谐频、泛音），本征频率（简正频率）。一端固定一端自由的弦振动的简正模式。是通过管内空气柱振动发声的，如长笛、短笛、萨克管、小号、

圆号等。

()4

12n

k λ+= ⇒ ()124+=

k n λ

()

412u

k u n n +==λν ,3,2,1=k 其中：1=k 为基频； ,3,2=k 为谐频。

作业：P71 9-11；9-12 预习：§9.6 多普勒效应

第三十七讲：§9-5驻 波

9-11 解（1）因合成波方程为：21y y y +=

tm

x m t x t x t x t x m

t x t x ππππππππ4cos cos 12.02

)

4()4(cos

2

)

4()4(cos

06.02)]4(cos 06.0)4(cos 06.0[⨯=+--⨯++-⨯=++-=

故细绳上的振动为驻波式振动。

(2) 由0cos =x π得： 2

)12(π

π+=k x

故波节位置为： )2,1,0())(12(2

1

±±=+=

k m k x

由1|cos |=x π得： ππk x = 故波腹位置 )2,1,0()

( ±±==k m k x

(3) 由合成波方程可知，波腹处振幅为：m 12.0=A 在x=1.2m 处的振幅为：097.0|2.1cos 12.0|==m A x π 9-12 (1) )2410cos(2)40(10cos πππππ+-=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-

=x t A x t A y 入 ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

-+--

=πππ2)4028(10cos x t A y 反 )2

3410cos(2)4028(10cos π

ππππ-+=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡---

=x t A x t A (2) 驻波方程

)2

3410cos()2

4

10cos(ππ

ππ

π

π-+

++

-

=+=x t A x t A y y y 反入 )4

c o s ()2

10cos(2x t A π

ππ

π-

-

=

t x A t x A ππ

ππ

π10sin 4

cos

210sin )4

cos(2-=-

=

(3) 波节24)12(22

1

24

4

cos +=+-⇒+=

=k k x k x x ππ

π

波腹k x k x x 44

1

4

cos

===ππ

π