河北省张家口市宣化第一中学2021届高三下学期阶段模拟(三)数学试题含答案

2020-2021学年下学期宣化一中高三数学阶段模拟试卷（三）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，则A. B. C. D. 2，2.已知复数的实部与虚部的和为7，则a的值为A. 1B. 0C. 2D.3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是A. 234B. 346C. 350D. 3634.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，中的面积为S，且，则A. B. C. D.5.甲乙两名学生，六次数学测验成绩百分制如图所示．甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；甲同学的平均分比乙同学高；甲同学的平均分比乙同学低；甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是A. B. C. D.6.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则n年后这批设备的价值为A. B. C. D.7.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为A. B. C. D.8.函数的单调递增区间是A. B. C. D.二、不定项选择题（本大题共3小题，共15.0分）9.已知椭圆：的离心率为，的三个顶点都在椭圆r上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，，均不为0，为坐标原点，则A. ：=2：1B. 直线AB与直线OD的斜率之积为C. 直线BC与直线OE的斜率之积为D. 若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则的值为10.已知函数，则下列说法正确的是A.的值域是B.是以为最小正周期的周期函数C.在区间上单调递增D.在上有2个零点11.某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立用随机变量X表示该游客游览的景点个数，则A. 该游客至多游览一个景点的概率为B.C.D.三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）12.已知函数，，则、满足______．A.，B.，C.D.13.已知直线和圆C：相切，则实数k=______ ．14.已知函数，数列满足，且是递增数列，则实数a的取值范围是______．15.在直角梯形ABCD中，，，，E为AD的中点将和分别沿EB，EC折起，使得点A，D重合于点F，构成四面体若四面体FBCE 的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为______ ．16.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、已知，，求sin C的值；在边BC上取一点D，使得，，求的值．18.已知正项等差数列和它的前n项和满足，等比数列满足，．求数列与数列的通项公式．若，求数列的前n项和．19.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．20.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为正方形，为等边三角形，E是PB中点，平面AED与棱PC交于点F．Ⅰ求证：；Ⅱ求证：平面AEFD；记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值．21.已知函数的导函数的两个零点为和0．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若的极小值为，求在区间上的最大值．22.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5．求该抛物线C的方程；已知抛物线上一点，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且，判断直线DE是否过定点？并说明理由．2020-2021学年下学期宣化一中高三数学阶段模拟试卷（三）答案1.【答案】C【解析】解：，或，．故选：C．可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，所以复数z的实部与虚部分别为，，则，得．故选：C．先利用复数的乘法运算求助复数z的代数形式，然后由复数的定义得到实部和虚部，列出等式求解即可．本题考查了复数的定义，考查了复数的运算法则的运用，解题的关键是求出复数的代数形式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，当前排坐一个，后排坐一个，排法种数有．当后排坐两个不相邻，排法种数有．当前排坐两个不相邻，排法种数有．排法种数共有．故选B．本题主要考查排列组合的综合应用，是中档题．分别讨论当前排坐一个，后排坐一个，当后排坐两个不相邻，当前排坐两个不相邻，的排法种数，再相加即可．4.【答案】C【解析】解：中，，由余弦定理：，且，，整理得，．，化简可得．，，故选：C．首先由三角形面积公式得到，再由余弦定理，结合，得出，然后通过，求出结果即可．本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：根据茎叶图数据知，甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是，甲的中位数小于乙的中位数；甲同学的平均分是，乙同学的平均分是，乙的平均分高；甲同学的平均分是乙同学的平均分是，甲比乙同学低；甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．正确的说法是．故选：A．由茎叶图数据，求出甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．本题考查了利用茎叶图分析数据的平均数，中位数和方差的问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：依题意可知第一年后的价值为，第二年价值为，依此类推可知每年的价值成等比数列，其首项公比为，进而可知n年后这批设备的价值为故选C根据题意可知第一年后，第二年后以及以后的每年的价值成等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得答案．本题主要考查等比数列的应用，解题的关键是利用已知条件求得数列的通项公式，属基础题．7.【答案】C【解析】解：如图所示，两个非零向量，满足，四边形ABCD是矩形，且．．．．向量与的夹角为．故选：C．如图所示，由于两个非零向量，利用向量的平行四边形法则和矩形的定义可知：四边形ABCD是矩形，且，进而得出．本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、直角三角形的边角关系，属于中档题．【解析】解：函数，，令，解得；当时，，是单调增函数，的单调增区间是．故选：C．求函数的导数，利用导数求出的单调增区间．本题考查了利用函数的导数判断单调性问题，是基础题．9.【答案】ACD【解析】解：因为椭圆的离心率为，由得，故A正确；设，，，则且，，两式作差得，即，所以，因为AB的斜率，OD的斜率，所以，所以，同理可得，故B错误，C正确；所以，又直线OD，OE，OF的斜率之和为1，即，所以，故D正确．故选：ACD．由题意的离心率定值及a，b，c之间的关系求出a，b的关系，可判断A正确，设A，B的坐标，求出AB的中点D的坐标，代入椭圆的方程作差可得直线AB的斜率，及OD的斜率，可得直线AB与OD的斜率之积，同理可得直线BC与OE的斜率之积，判断出B，C的真假，求出直线OE，OF，OD的斜率，由斜率之和为1，可得直线AB，BC，AC的斜率的倒数之和，判断出D的真假．本题考查椭圆的性质及真假命题的判断，直线斜率的求法，属于中档题．【解析】解：函数，作出函数的大致图象如图所示：由图可知的值域是，故A正确；因为，，所以，所以不是的最小正周期，故B错误；由图可知在区间上单调递增，在上单调递减，故C不正确；由图可知，在上，，所以在上有2个零点，故D正确；故选：AD．化简函数的解析式，画出函数的图象，判断函数的值域，函数的周期，函数的单调性，求解函数的零点判断选项的正误即可．本题考查三角函数的图象与性质的应用，函数的周期以及函数的最值，函数的零点，是基本知识的考查．11.【答案】ABD【解析】解：X的所有可能取值为0，1，2，3，4．A.，，该游客至多游览一个景点的概率为，故A正确．B.，故B正确．C.，故C错误．D.，，故D正确．故选：ABD．X的所有可能取值为0，1，2，3，4．A.分类讨论，该游客一个景点也没有旅游和只游一个景点两种情况：利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出结论．B.利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出．C.利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．D.利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出，进而得出．本题考查了相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：，故A正确，为增函数，则，成立，，，故B正确，，故C正确，，故D错误，故答案为：ABC．根据函数解析式分别代入进行验证即可．本题主要考查函数解析式的应用，结合指数幂的运算法则是解决本题的关键．13.【答案】或0【解析】解：由直线与圆相切可知，，化简得，解得或0．故答案为：或0．利用圆心到切线的距离等于半径，由点到直线的距离公式列出等式，求解即可．本题考查直线与圆的位置关系，主要考查了圆的切线方程的理解和应用，圆的切线问题一般会转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解，属于基础题．14.【答案】【解析】解：数列是递增数列，又，且解得，或故实数a的取值范围是故答案为：由函数，数列满足，且是递增数列，我们易得函数为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得，且，且，由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且，从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键．15.【答案】【解析】解：如图．由题意可知，折叠后所构成的四面体FBCE中，，，不可能为直角．在中，由可知，为直角，即．因为，，，FB，平面FBC，所以平面FBC，则有．又因为，所以平面FEC，则有．所以四面体FBCE外接球的球心为BE的中点，半径为在直角梯形ABCD中，设，则有，，由，解得负值已舍去，则因此，四面体FBCE外接球的半径为．故答案为：．画出折叠前后，折叠后所构成的四面体FBCE说明为直角，即证明平面FBC，推出转化求解外接球的半径即可．本题考查空间几何体的特征，外接球的半径的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】【解析】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，，球的表面积故答案为：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．17.【答案】解：因为，，，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；因为，所以，在三角形ADC中，易知C为锐角，由可得，所以，因为，所以，所以．【解析】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．由题意及余弦定理求出b，再由正弦定理求出sin C的值；根据展开可得及，进而求出的值．18.【答案】解：，．两式相减，得，．化简，得．又为正项等差数列，等差数列的公差为2．又，．，，等比数列的公比，．由知，，，，得：，．【解析】利用递推关系式，推出为正项等差数列，求解等差数列的公差为2，求出首项，然后求解通项公式；再求解数列的通项公式．推出，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0，1，2，3，，，1，2，3．所以随机变量的分布列为：X01 23P随机变量X的数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：，且，，故．所以事件A发生的概率：．【解析】本题考查分层抽样，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；若用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数的可能值，求出概率，得到随机变量X 的分布列，然后求解数学期望；利用互斥事件的概率加法公式求解即可．20.【答案】Ⅰ证明：为正方形，．平面PBC，平面PBC，平面PBC．平面AEFD，平面平面，；Ⅱ证明：ABCD为正方形，．平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面PAB．平面PAB，．为等边三角形，E是PB中点，．平面AEFD，平面AEFD，，平面AEFD；Ⅲ解：由知道，F是PC中点，所以，，，则，．【解析】Ⅰ由ABCD为正方形，可得再由线面平行的判定可得平面再由面面平行的性质可得；Ⅱ由ABCD为正方形，可得结合面面垂直的性质可得平面从而得到再由已知证得由线面垂直的判定可得平面AEFD；Ⅲ由Ⅰ知，，利用等积法把用表示，则的值可求．本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．21.【答案】解：Ⅰ，令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．又因为，所以时，，即，当，或时，，即，所以的单调增区间是，单调减区间是，．Ⅱ由Ⅰ知，是的极小值点，所以有，解得，，，所以．的单调增区间是，单调减区间是，，为函数的极大值，在区间上的最大值取和中的最大者．而，所以函数在区间上的最大值是．【解析】Ⅰ求导数，根据的两个零点和0以及a的符号，即可解得不等式，，从而得到函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ及所给已知条件可求出，再利用导数即可求得函数在闭区间上的最大值；本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．22.【答案】解：由题意设抛物线方程为，其准线方程为，到焦点的距离等于A到其准线的距离，，．抛物线C的方程为．由可得点，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：，联立，得，则．设，，则，．，，，，即，得：，，即或，代入式检验均满足，直线DE的方程为：或．直线过定点定点不满足题意，故舍去．【解析】求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；由求出M的坐标，设出直线DE的方程，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．。