数系的扩充和复数的概念公开课
( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(共52张PPT)
A.充分不必要条件 C.充要条件
√B.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
解析 因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定 成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R. 而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立. 所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件.
(1)虚数；
解 当mm＋2－32≠m0－，15≠0，即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(2)纯虚数；
解 当m2m－＋m3－6＝0， 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. m2－2m－15≠0，
(3)实数. 解 当mm＋2－32≠m0－，15＝0， 即 m＝5 时，z 是实数.
延伸探究 本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
12345
4.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝__1__，y＝___1__. 解析 ∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝ ＝11， ， 或xy＝＝－－11，(舍).
12345
5.已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}， 则实数a＝_－__1___. 解析 由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3， ∴aa22－ －53aa－ －61＝ ＝03， ， 解得 a＝－1.
4.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 020i＝2－bi，则a2＋bi等于
A.2 020＋2i
B.2 020＋4i
C.2＋2 020i
√D.4－2 020i
解析 因为a＋2 020i＝2－bi， 所以a＝2，－b＝2 020， 即a＝2，b＝－2 020， 所以a2＋bi＝4－2 020i.
数系的扩充和复数的概念 课件
【答案】 B
(2)因为 x，y∈R，所以(x＋2y－1)，(x－3y＋4)是实数， 所以由复数相等的条件得xx＋ －23yy－ ＋14＝ ＝1－0， 5， 解得xy＝ ＝34， .
所以 x＝3，y＝4.
1．复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中 a，b，c，d∈R，则 z1＝z2⇔a＝c 且 b＝d.
【思路探究】 根据复数相等的充要条件求解．
【自主解答】 (1)命题①，②中未明确 a，b，x，y 是否 为实数，从而 a，x 不一定为复数的实部，b，y 不一定是复数 的虚部，故命题①②错；命题③中，y∈R，从而 y2－1，－(y －1)是实数，根据复数相等的条件得
y2－1＝0， －y－1＝0，
∴y＝1，故③正确．
1．解答本题的着眼点是复数的分类标准，但需注意对应 实、虚部的变量取值范围．
2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)当且仅当 a＝0，b≠0 时，z 为ห้องสมุดไป่ตู้虚数，在求解时，易忽略“b≠0”这一条件．
若将本例(1)中的“纯虚数”改为“虚数”，结论又如 何？
【解】 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是虚数，则 x2＋3x＋ 2≠0，
(1)复数的定义： 把集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b ∈R)的数叫做复数．其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝ －1 . (2)复数的代数形式： 复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表 示形式叫做复数的代数形式，a 与 b 分别叫做复数 z 的实部 与 虚部 ． (3)复数集 全体复数所构成的集合叫做复数集．记作 C ＝ {a＋bi|a，b∈R} .
实数 b＝0 ，
(a，b∈R)虚数 b≠0
纯虚数 a＝0 ， 非纯虚数 a≠0 .
数系的扩充和复数的概念汇总公开课获奖课件省赛课一等奖课件
c
di
a c b d
3.复数旳两种几何意义；
有关无理数旳发觉
古希腊旳毕达哥拉斯学派以为, 世间任何数都能够 用整数或分数表达,并将此作为他们旳一条信条.有一天,这 个学派中旳一种组员希伯斯忽然发觉边长为1旳正方形旳对 角线是个奇怪旳数,于是努力研究,终于证明出它不能用整 数或分数表达.但这打破了毕达哥拉斯学派旳信条,于是毕 达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出 去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还 是被抓住了,被扔入了大海,为科学旳发展献出了宝贵旳生 命.希伯斯发觉旳此类数,被称为无理数.无理数旳发觉,造 成了第一次数学危机,为数学旳发展做出了重大贡献.
值为___4____。
问题拓展
已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解,a为实数， 求a旳值.
解：设方程旳解为x0 代入方程化简得：(x02 2ax0 5) (x02 2x0 3)i 0
(x02 2ax0 5) 0 (x02 2x0 3) 0
解得：a 7 或a 3 3
回忆：数系旳扩充
珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米. 吐鲁番盆地大约比海平面低155米.
+8844 -155
回忆：数系旳扩充
自然数集
整数集
正整数
整数 自然数 零 负整数
被“分”出来旳分 数
伴随生产、生活旳需要，人们发觉，仅仅能表达整数 是远远不行旳.
假如分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？
些是纯虚数.
4, 2 3i,
0,
1 4 i,
5 2i, 6i 2 3
解:实数有 4 ， 0
虚数有 2
数系的扩充和复数的概念市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
实__数__b＝0 R)虚__数__b≠0纯 非虚 纯数 虚数a_＝___a0__≠_0_
3．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，则 a＋bi＝c＋di⇔_a_＝__c_，__b_＝__d_； a＋bi＝0⇔_a_＝__b_＝__0_.
问题探究
1．复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？ 提示：不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部 ，n才是虚部． 2．复数就是虚数吗？ 提示：复数与虚数不是同一种概念，现在所见的 全部数都是复数，它涉及实数和虚数两大部分．
3．1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
学习目的 1.理解引入虚数单位i的必要性，理解数系的 扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数 集出现的某些基本概念． 3．掌握复数代数形式的体现方法及复数相等 的充要条件．
课前自主学案
温故夯基 1．方程 x2－4x－1＝0 的解为 x＝_2_±__5_. 2．方程 x2＋x＋1＝0 在实数集内解集为 _∅_，因为方程的_Δ_<_0__.
【思维总结】 数集从实数集扩充到复数集后， 某些结论不再成立． 如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．
变式训练1 下列命题： ①若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x＝±1； ②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对 应； ③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数是________．
复数z＝a＋bi(a、b∈R)，根据a，b的取值可分为 实数、虚数及纯虚数． 例2 当 实 数 m 为 何 值 时 ， 复 数 z ＝ m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为(1)实数；(2)虚数； (3)纯虚数．
【 思 路 点 拨 】 据复数的分类标准 → 列出式子 → 解出m → 结论
数系的扩充和复数的概念公开课ppt课件
下列方程在给定数集内有解吗？
x 1 0
N
2x 1
Z
x2 2
Q
x2 1 0
R
1
数
数系的每一次扩充，解决了在原有数集 中运算不能实施的矛盾，且原数集中运 算规则在新数集中得到保留.
系 的
？？
扩
无理数 实数
充
分数 有理数 开方
负整数 整数 除法
自然数 减法 2
3.1.1数系的扩充和 复数的概念
1 3i
(1 )i
1i
6
7
8 5i
9
自主学习反馈
在复数集 C a bi | a,b R任
复 取两个数 a bi与c di（a,b,c,d R) 数 a bi c di a c,b d 相 等 特别地，a bi 0 a 0,b 0
3
学习目标： 1、理解复数的基本概念 2、理解复数相等的充要条件 3、理解复数的代数表示方法
4、了解数系的扩充过程
学习重点：
复数的概念，复数的代数形式表示.
学习难点：
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
4
解方程 x2 1 0, x ？
5
平方等于-1的数用符号i来表示。
i
的 引 （1）i 2 1 入 （2）可以和实数一起进行四则
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
14
变式1:当m为何实数时，复数
Z m2 m 2 (m2 1)i
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
(1)m= 1 (2)m 1 (3)m=-2
3.1.1数系的扩充和复数的概念(公开课)
你得到什么样的数？ 把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i；把 实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加， 结果记作a+bi,等等.
由于加法和乘法的运算律仍然成立，从而这些运
算的结果都可以写成 a bia,b R 的形式，
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是
一、教材第106页，A组1、2
x 0 b 3 x x 0,b 3
x 0, y 3i
数系的扩充
复数
z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
复数的相等
a+bi=c+di
a=c
(a, b,c,dR) b=d
2020/2/15
2020/2/15
问题解决:
新知
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di
思考 (a, b, c, d R)
a c b d
若a
bi
0(a、b
R)
ba
0 0
2020/2/15
口答
1.若2-3i=a-3i，求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi，求实数b的值；
（3）当m 1 0 ，且 m 1 0，m即m1 m1010时0，复
数 z 是纯虚数．
2020/2/15
变式1：实数m取什么值时，复数 m2 5m 6 m2 3m i是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零
高中数学数系的扩充与,复数的概念(公开课)(共12张ppt)
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
数系的扩充与复数的引入公开课课件
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
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THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
公开课教案教学设计课件数系的扩充与复数的概念
3.1.1数系的扩充与复数的概念课前预习学案课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定3)对复数的初步认识及复数概念的理解（3）提出疑惑：通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法学习过程一、自主学习问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、探究以下问题1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-12、虚数单位i有怎样的性质3、复数的代数形式4、复数集C和实数集R之间有什么关系?5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?三、精讲点拨、有效训练见教案反思总结1、你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？2、对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类3、复数相等的概念的理解及应用当堂检测1. m ∈R ，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i ，则z 为纯虚数的充要条件是m 的值为 ( )A.2或5B.5C.2或-5D.-52、设a ∈R.复数a 2-a-6+(a 2-3a-10)i 是纯虚数,则a 的取值为 ( )(A)5或-2 (B)3或-2 (C)-2 (D)33、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x ，y ∈R)则x+y 的值是（ ）A 18BC 3D 9． ． ． ．12-4、x y R (3x +2y)+(x y)i =i [ ]A 5B 5CD ，，且，则的值是 ． ． ． ．∈-+---x yx y 15153.1.1数系的扩充与复数的概念【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【教学重难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】一、创设情景、提出问题问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、学生活动1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,5 i +8, 3-9 i(2)、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数三、归纳总结、提升拓展例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：归纳总结：确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．四、反馈训练、巩固落实1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i求x与y.2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
高中数学《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》公开课课件(精品、与教材同步)
从数学发展的角度来看
自然数集 N
整数集 Z
有理数集 Q
引入 新数
实数集 ？
R
（1）在自然集中求方程x+1=0的解；无解 有解
（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；
无解
有解
（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；
无解 有解
（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．
无解 有解
数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．
七、目标检测
1.a=0是复数a+bi （a,b∈ R）为纯虚数的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分条件也非必要条件
2.当实数m取什么值时，复数
是下列数？（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.
3.求适合下列方程的实数x与y的值:
（1）(x y) (x 2y)i (2x 5) (3x y)i ；
三、依据规则，引入复数概念
问题4 类比从自然数集到实数集的扩充过程，特别是从有理数 集到实数集的扩充过程，你能设想一种方法，使方程x2+1=0有 解吗？
我们可以引入一个数“i”，使i2=-1， 这样x=i就是方程x2+1=0的解．
历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的， 他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.
解方程 x3 15x 4.
方法1：用三次方程求根公式（卡丹公式）．
16世纪 数学家的困惑
解得 x 2 3， x 3 2 121 3 2 121．
方法2：用因式分解 (x 4)(x2 4x 1) 0．
解得 x 2 3， x 4 ．
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 (超好用的优秀公开课获奖课件)高一下学期数学(人教A版2019
(1) i 2 1 ；
(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四则运算时,
原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立.
注：数单位i是瑞士数学家欧拉最早引用的，它取自 imaginary(想象的，假想的)一词的词头.
实数 a+bi
实际应用
由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论， 航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具.
分 配 、 测 量 中 的产 等生 分了
分 数
为了解决度量正方形对角线长的问题产生了 ——无理数(无限不循环小数).
一个学生画了一个边长为1的正方形.
设对角线长为x.
x 2 12 12 根2据勾股定理
可见对角线的长度是 存在的，可它是多少
其实，这就是后来人 们发现的“无理数”
2.数学内部发展的需要
2+3i与1+2i不能比较大小.
[例2]已知(3x 2 y) (5x y)i 17 2i,求实数x, y的值.
解
: 由复数相等得53xx
2 y
y 17 ,
2
解得xy
1 .
7
[变式]x是实数, y是纯虚数,(2x 1) (3 y)i y i,求x, y的值.
解 : 设y bi(b R), 2x 1 (3 bi)i (2x 1 b) 3i (b 1)i.
正方形对角 线的度量
解决x2
2
0
引入无理数(根号)
实数集R
算协调一致.
如：Q中的加/乘法交换律、结合律等 R中也适用
解决x2 1 0 引入？数 ？数集
探究点2 复数的概念
解决方程x2+1=0在实数集中无解的问题:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ， 把 i 叫做虚数单位，并且规定：
数系的扩充和复数的概念公开课说课稿
《数系的扩充和复数的概念》说课稿大家好！我是孟州一中的何柯柯。
今天，有幸借此平台与大家交流，希望各位专家和老师指导我的说课。
我说课的题目是《复数的有关概念》，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学过程、自我反思五个部分作具体的阐述。
一、教材分析首先是教材分析,《复数的有关概念》是北师大版新课程标准实验教科书选修系列2的模块2中第五章第一节的内容，这节课的主要内容是数系的扩充与复数的引入、以及复数的有关概念。
数系扩充的过程体现了数学的发现和创造的过程，同时也体现了数学发生发展的客观需求和背景。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.对于高中生来说，学习一些复数的基础知识是十分必要的，这可以促使学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同是还为进一步学习高等数学打下一定的基础.在实际生活中，复数在电力学、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信息分析等方面都得到了广泛的运用，是现代人才必备的基础知识之一。
二、学情分析与本节教材相关的学生情况有如下几个特征：(1）我们的学生在从小学到高中的学习中已经掌握了整数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数这些概念,也掌握了相应的运算法则和运算律;（2）同时又从政治和历史课中了解到一些与数系扩充的有关的重要历史事件；(3）但是学生们对数的分类的掌握，主要依靠的是简单记忆，当然对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解。
三、教学目标鉴于以上对教材和学情的分析,确定本节课的教学目标如下：1、知识目标:了解数系扩充的过程,理解复数的基本概念,掌握复数相等的充要条件2、能力目标:通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力；3、情感目标：提高学生学习数学的兴趣；拓展数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。
四、课堂设计为了达成以上教学目标，我将本节课设计成以下五个环节：首先是设置情境,演示数系扩充的过程；然后引入虚数，讲解复数的基本概念；接下来通过类比学习，掌握复数相等的充要条件；完成了以上新概念的学习环节之后，利用课堂小结巩固本节课主要内容.最后进行课外引申，激发学生课外学习兴趣。
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判断两个复数是否相等
自主学习反馈
练一练（口答）：
1、xyi34i 则x= ,y=
2、 x1(y2)i0则x= ,y=
自主学习反馈
练习:指出下列各数的实部和虚
部
1 3i
1i
6
7
(1)i 8 5i
自主学习反馈
复
集
数 的 分 类
复数 b 0实数集
abi
b0虚数
集
RQZ N 集
特别地，a0 纯虚数
变式1:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
(1)m= 1 (2)m 1(3)m=-2
例2: 已知 ( 2 x 1 ) i y ( 3 y ) i，
其中 x, yR, 求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
复数集C和实数集R之间有什么关系？
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
得
x 5, y 4 2
复数相等问题 转化 求方程组解的问题
小
结
复数
复 数
的
分
类
当堂检测
作业：
习题3.1A组 1、2.
谢谢！
4、了解数系的扩充过程
学习重点：
复数的概念，复数的代数形式表示.
学习难点：
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
解方程 x2 1？0,x
平方等于-1的数用符号i来表示。
i
的
引 （1）i2 1
入 （2）可以和实数一起进行四则
运算,原有的加法乘法运算律仍 成立
自主学习反馈
复 数
定义：把形如 a 的bi数叫做复数 （a,b 是实数）
数
数系的每一次扩充，解决了在原有数集 中运算不能实施的矛盾，且原数集中运 算规则在新数集中得到保留.
系 的
？？
扩
无理数 实数
充
分数 有理数 开方
负整数 整数 除法
自然数 减法
3.1.1数系的扩充和 复数的概念
学习目标： 1、理解复数的基本概念 2、理解复数相等的充要条件 3、理解复数的代数表示方法
的 概
其中i叫做虚数单位
念
复数全体组成的集合叫复数集，
记作：C
自主学习反馈
复
数
的 za b i (aR,bR)
代
实部 虚部 虚数
数
单位
形
式
自主学习反馈
练一练（口答）:指出下列各数的实部和虚部
1 3i
(1)i
1i
6
7
8
复 取两个数 a b与 ic d（ a i,b ,c,d R ) 数 abicdi ac,bd 相 等 特别地，abi0 a0,b0