反例在数学分析教学中的作用

目录中文摘要 (1)ABSTRACT (1)一引言 (1)二反例在数学分析概念课中的作用 (2)1 反例帮助对概念的深入理解 (2)2 反例揭示概念的内涵 (3)3 运用反例可以准确把握概念间的关系 (5)三反例在数学分析命题课中的作用 (6)1 反例有助于正确掌握基本定理 (6)2 反例揭示定理的条件和结论的正确性 (8)3 彻底理解定理条件的充分性及必要性 (8)四反例在数学分析习题课中的作用 (9)1 注重用反例阐明数学方法的局限性 (9)2 运用反例可以培养学生的逆向思维能力 (10)五构造反例的途径 (10)1 利用特例来构造反例 (11)2 利用性质来构造反例 (11)3 利用类比的方法来构造反例 (12)参考文献 (14)致谢 (14)反例在数学分析教学中的作用摘要：学习过程中重视和恰当地使用反例，对于研究分析数学问题可以起到一般证明过程所无法比拟的重要作用。

本文论述了反例在数学研究中的重要作用；通过具体实例来说明反例在数学分析中的作用。

关键词：反例；思维；内涵；数学分析；数学研究Counter-examples in mathematical analysis of the role of teachingAbstract:The learning process attention and proper use of the counterexample, to study math problems can rise to general proof process could comprehend. This paper discusses the important role in math study counter-example the important role; Through the concrete examples to illustrate counterexample in the mathematical analysis in the role.Keywords: counterexample; thinking; content; mathematical analysis; Mathematics一引言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。

用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。

它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。

当一个数学问题被提出来后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题。

后者即为通常所说的反例。

可以说，数学是在归纳、发现、推广中发展的。

反例在数学的发展中功不可没。

反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，作为后人，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。

因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。

举反例是一种重要的反证手段。

重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。

学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。

反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。

至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。

数学中的反例，是指某数学命题不成立的例子。

它是相对于数学命题而言的具体实例，是反驳与纠正错误的一种方法。

《数学分析》是数学专业的一门重要基础课程，该课程的内容包含一套抽象而且形式化的严谨的理论体系，这使刚跨入高等学校数学专业的学生一开始就遇到了学习上的困难，具体表现在学生不能准确理解概念的本质，无法正确运用数学分析中的有关定理解决问题。

因此，在数学分析的教学中恰当地使用反例来帮助学生修正理解知识时的错误，走出误区，不仅是一种有效的方法，也是一种必要的手段。

二 反例在数学分析概念课中的作用 1反例帮助对概念的深入理解数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真由此及彼、由表及里的改造、制作、深化过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。

通过列举或构造反 例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，从而严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质，从而达到准确把握某一概念的效果。

命题1 若{}εε<->>∃>∀A x x N n N n n 中有无穷多项满足时，，当0,0，是否A x n n =∞→lim ?该命题是错误的． 我们可设()εε<=->∀-+=-000,1121k n n x x ，有对，但因为0lim ,2lim 212==∞→+∞→k k k k x x ，该数列显然无极限．用这个小小的反例就可以简洁的驳斥这种错误的认识，因为虽有无穷多项满足ε<-A x n ，但也有无穷多项不满足ε<-A x n ，而极限的定义要求当n>N 时，所有的n x 都满足ε<-A x n ，即不满足ε<-A x n 的项至多有N x x x ,,,21 有限项.通过这一反例的判断和分析，我们自然对N -ε定义的本质有了进一步的认识，对定义的要求也有了更明确的理解。

简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。

若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。

若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,,n a a a，简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。

2反例揭示概念的内涵数学分析中许多重要的概念都是用抽象的数学语言给予形式化的描述，学生难以凭直观去思考、理解其含义，在学习过程中死记硬背，致使学生在应用概念时含糊不清，错引滥用．如在研究函数性质时，函数的定义域及值域有时用区间表示，时又用集合表示，此时学生易产生这样一种错误的理解，即数集的区间表示与集合表示是等同的．其实不然，时可构造下面的反例予以澄清．设Z k k k B Z k k x k x A k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<=,22,2,,222|ππππππ，对函数A .49s i n 3s i n 49,3s i n ,s i n 究其原因是由于集合时，函数。

事实上，当不再是严格单调则。

但若时，是严格单调增函数来说ππππ>∈=∈==∈∈=A x A x x y A x B x x y k 表示k 取遍所有整数的符合约束条件的x 全体,而区间k B 则表示k 每取一个确定的值时的一个确定区间．因而数集的区间表示与集合表示不完全等同．例1由于周期 函数概念本身的复杂性在很长一段时间内 ，人们一直认为“ 周期函数自然有最小正周期” ．狄里克雷对上述结论给出了反例 ,他构造了著名的狄里克雷函数：)x D =⎨⎧为无理数为有理数x x ,0,1，何有理数T （T ≠0）都是此函数的周期，但没有最小的正周期。

这个反例的提 出，不仅纠正了以往关于周期函数理论中的偏差 ，也使人们对周期函数概念的内涵有了更清楚的认识．例 2 数列极限的定义是所有极限的基础 ．也是数学分析教学中的重点和难点，要真正理解数列极限定义的实质，除认真分析定义中各语句的实质意义外 ．还应从与它表面相似而实质却根本不同的反例情形来进行 区别和判断 ．从而真正掌握概念的实质．判断以下两个叙述是否与极限的定义等价 ：()()().,201εεεεεε<-<->>a a a a a N n N n n n 使，有无限多个对任意整数；时，有，当，存在，对每一个有无穷多个我们仔细分析上述两个叙述与极限a a n n =∞→lim 定义的区别：叙述( 1 )忽视了ε的最本质的属性“任意小的正数” ．例如数列{}n a ，()nn a 11-+=，尽管有无穷多个ε>0(如ε=3，4，5)，可以使=-a a n()()()()还要小。

比任意小的正数，但却不能使，，如小于每一个或这里可以是εεεa a a a nn n--+=-⋅⋅⋅=--+115431011()成立，但它忽视了对使虽然有无穷多个对任意的叙述εε<->a a a n n ,02每一个ε>0, 都必须存在某个自然数N,即数列的某一项N a ，从N a 以后的所有项都落在点a 的ε领域内),(ξξ+-a a ，例如数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，，，，，，，，，na n 11411311211，对任意的正数ε都有无穷多个(){}n n a n n a 内，但在，领域的，在只要εεεε+-⎪⎭⎫⎝⎛<=00.11中不论从哪一项开始，其后总有不含在()εε+-0,0内的项。

因此，()1和()2两个叙述都与数列的定义不等价．通过这两个反例 ，从反面进一步深刻了解数列极限定义中ε和N 在定义中所起的作用 、意义 、和要求，从而理解和掌握定义的实质．3运用反例可以准确把握概念间的关系例1：为确定连续 、可导 、连续导数三个概念间的关系，现举出以下四个问题：()1()x f 在0x x=处可导，则()x f 在0x x =是否连续?()2()x f 在0x x =处连续，则()x f 在0x x =处是否可导? ()3()x f 在0x x =处可导 ，则()x f 在0x x =处是否有连续导数? ()4()x f 在0x x=处可导， 则()x f 在0x x =的邻域是否连续?对问题()1的回答是肯定的 ，且比较容易作出证明．对于问题()2、()3()4 ，回答是否定的 ，要说明原因，只需对每一问题举 出“ 反例” 即可．对问题()2可考虑反例：()x x f =在x=0处，易验证连续但不可导．对问题()3可考虑反例：()处，，在00,00,1sin 22=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 易验证可导但导数不连续。

对问题()4可考虑反例：()⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,0,2，易验证()x f 在0=x 处处可导但在0点的任何邻域内 ，除0点外都不连续．例 2：无穷大量与无界量的关系 ：根据定义可知无穷大量必为无界量；但对无界量不一定是无穷 大量,却不好解释．为此,可举以下反例 ：()+∞→⋅=x x x x f ，当cos 时为无界量.事实上,对无论多大的G ，总存在()()()。