梁的强非线性超_次谐波共振_黄建亮

最后得精确到 O(α2)的解为
Ψ2
=
9(1
ω20 -
α)[
1
+δ2 α2 +O(α3)]
(27)
x
=( 8
9ω20p
+αB1)cosτ+a cos3 τ+
αB2cos5τ+αB 3cos7 τ+αB4cos9τ+O(α2) (28)
图 3 无阻尼 Duffing 方程的超谐波响应曲线 , ε= 0 .1, p = 1
关键词 :超谐波共振 , 次谐波共振 , 增量谐波平 衡法 , 改进的 L -P 法 中图分类号 :O322
0 引 言
在结构振动和机械振动中 , 梁的振动是最常见的 工程振动 。Timoshenko 等人[ 1] 总结了梁的线性振动理 论并给出了求解各种支承的梁的响应的 方法 ;Nayfeh 等人[ 2] 总结了分析弱非线性振动的各种摄动法 并研 究了梁的基谐波 、超谐波 、次谐波和多个谐波的 联合 共振等各种弱非线性振动 ;Mook 等人[ 3, 4] 则采用多尺 度法研究梁的内部共振和组合谐波共振 ;Azrar 等人[ 5] 应用了谐 波平衡法 研究梁的 自由振 动及强 迫振动 。 然而 , 随着科学技术的飞速发展 , 高强度材料的使用 , 重大工程机械系统越来越复杂 , 精密仪器的防振要求 等等 , 都使梁的非线性振动问题 , 特别是强非线 性振 动问题日益突出 。然而 , 传统的线性振动理论和弱非 线性振动的分析方法 , 已经显得 无能为力 。 因此 , 研 究新的分析方法 , 发展适合强非线性振动的新理论就 成了非线性振动理论研究的前沿课题之一 。Cheung 、 Chen、Lau 等人[ 6] 提出了改进的 L -P 法 , 并先后把该 法成功地推广到一般强非线 性系统[ 7] 和二自由 度强 非线性系统[ 8] 。 郭文华等人[ 9] 建立了梁桥空间振 动 的有限元分析模型 , 并计算其空间振动响应 。 谢能刚 等人[ 10] 对多自由度结构受迫振动中的能量响应特性 和能量共振进行了分析 。
第 1 期 黄建亮等 :梁的强非线性超 、次谐波共振 3
-P 法就不适合于强非线性振动了 。
3 梁的超谐波响应
类似于次谐波响应的分析 , 对于方程(7), 当 Ψ ≈
ω0/ 3 系统将发生超谐波响应 。这时令
Ψ= ω20/ 9 +εω1 +ε2 ω2 + …,
EI ρA
,x
=
V r
,r
=
I A
国家自然科学基金资助项目(10272117);广东省自然科学基金资助项目(011203) 收稿日期 :2002 -12 -08 第一作者 黄建亮 男 , 博士生 , 1977 年 11 月生
2 振 动 与 冲 击 2004 年第 23 卷
∞
∑ x = αnxn n =0
(15)
把式(13)、(15)代入式(10), 比较方程等号两边 α的同
次幂项的系数 , 可得线性下列方程组
x″0 +
1 9
x0
= 9
1 ω20
P
cos
τ
x″1 +
1 9
x1
=
1 9
x0
-
1 ω1
x30
9
1ω20P
cos
τ
(16) (17)
x″2 +
1 9
x2
=
1 9
方程(8)成为
Ψ2 x″+ ω20x +εx3 = pcosτ
(10)
令
Ψ2 =9 ω20 +εω1 +ε2 ω2 + …
(11)
再引进一个新的参数
α= 9
εω1 ω20 +εω1
于是有
ε=(1
9 αω20 -α)ω1
可以得出
(12) (13)
Ψ2 =19-ω20α(1 +δ2 α2 +δ3 α3 + …)
程(5)为
d2x d t2
+ω20(x
+0 .25x3)= pcos Ψt
(7)
上式就是梁在受强迫振动下的 Duffing 方程 。
2 梁的次谐波响应
梁在受强迫振动下的微分方程已经转化为 一个
含有 三次 非 线性 项的 经典 Duffing 方程 。 Cheung 等 人[ 6] 已采用改进的 L -P 法研究了这一方程当 Ψ ≈
则方程(4)可重新表示为
d2x d t2
+ω20(x
+0 .25x3)=0
(5)
上式就是梁的自由振动的 Duffing 方程 。 下面我们考
虑梁受分布力 Q(x , t)作用下的强迫振动 。
Q(x , t)=pcos Ψt · sinπx/ L
(6)
这时 , 在方程(3)右端加上 Q(x , t)一项 , 则相应于方
x1
-
δ2 x″0
-3
x20 x1 ω1
逐一求解上面方程 , 可以得到
(18)
ω1
=
27 a 4
2
-27 32
pa ω20
+12278pω240
δ2
=
27 a ω1
A1
a2 4
-8aωp20
+
A2
p2 256 ω40
-16apω20
+25p62ω40 A3
(19) (20)
其中 :
A1
=649ω20 p
超谐波 cos3τ的频率 -振幅(Ψ-a)响应曲线如 图3 所示。
图 3 所示为无阻尼 Duffing 方程的超谐波响应曲 线 , 参数为 ε=0 .1 , p =1 。从图中所示 , 我们也可以看
到 , 当振幅 a 越大时 , 经典的 L -P 方法与 IHB 法所得 的结果也就相差越大(a >0 .5 )。然而 , 用 MLP 法所 得出的 结果与 IHB 法所 得出的结 果基本 是一 致的 。 这说明 ,MLP 法是一个适合于求解强非线性超谐波响 应的方法 。
摘 要 本文采用改进的 L -P 法 研究梁的强非线性振动 , 分析 了超谐 波共振 和次谐 波共振 两种情况 。 首先建 立
了梁振动的 Duffing 方程 , 然后采用改进的 L -P 法分别求解超谐波 响应和次谐 波响应 , 最后给出 两个典型 算例 , 其计算 结 果与增量谐波平衡法和经典的 L -P 法进行比较 。 算例表明 , 改进的 L -P 法得出的计算值与增量 谐波平衡法 所得出的 结 果非常吻合 , 但是经典的 L -P 法就失效了 。
ω0 时的主谐波强非线性共振的情形 , 下面我们采用改
进的 L -P 法来研究次谐波响应 。
对于方程(7), 当 Ψ ≈ 3ω0 时 , 系统将发生次谐 波响
应 。记 ε=0 .25 ω20 , 则方程(7)可写为
¨x + ω20x +εx3 = pcos(Ψt )
(8)
引进变换 τ= Ψt
(9)
本文采用改进的 L -P 法 , 研究梁受强迫力 作用 下的强非线性超谐波响应和次谐波响应 , 这两种响应 是非线性振动的特性之一 , 在线性振动中是不会出现 的。
1 梁的非线性振动微分方程的建立
考虑图 1 所示的两端简支的弹性弯曲梁 。其中 ,
L 是梁的跨度 , A 是横截面积 , ρ是质量密度 , I 是横截 面积的惯性矩 , EI 是抗弯刚度 , r = I/ A 是回转半 径 , Q(X , t)表示梁的垂直动载荷 。当细长度 L/ r 比较 大时 , 轴向惯性对横向振动的影响可以忽略不计从而 把轴向力沿着 x 轴视为常数 。
(25) (26)
其中 :
B1 =6481ω20 p -12287ωa202ω1 p -2024873ωa40 ω1 p2 -
2187 16384 ω60 ω1
p3
8
9 ω20
p
B2 =51227ωa202ω1p +4092673ωa40 ω1 p2
B3
=
27 1280
aω202 ω1p
,
B4
=
a3 288 ω1
(23)
引入的参数变换是
α=
ω20/
εω1 9+
εω1
(24)
求解过程与求解次谐波响应 相似 , 这里就不再累赘 。
可以得到
ω1
=
a2 12
+38941ω40
+ 81 2048a
ω60 p
3
δ2
= 16
3 ω20
ω1 (2 B 1
+B2
+B
3)+
768
91 a ω40
ω1p
2(B
1
+B2)+12aω1 B4
4 结 论
研究梁的非线性强迫振动时 , 除了要关注强迫力 频率 Ψ接近于梁固有频率 ω0(Ψ≈ ω0)的主谐波共振 以外 , 还应关注强迫力频率 Ψ接近于 3 倍梁固有频率 ω0(Ψ≈3 ω0)的次谐波共振和强迫力频率 Ψ接近于 三分之一梁固有频率 ω0 Ψ≈ ω0/ 3 的超谐波共振 。改进 的 L -P 法是分析强非线性超谐波共振和次谐波共振 的有效方法 , 该法的计算结果与增量谐波平衡法(IHB 法)所得出的结果非常吻合 , 而经典的 L -P 法在分析 大参数的非线性系统中就失效了 。
(14)
从式(12)我们可以看出 α总是保持一个比 较小
的数 , 不论 εω1 是多大还是多小 。因为当 εω1 ※0 时 α
※0 ;而当 εω1 ※ ∞时 εω1 ※1 。所以选择小参数 α比
选择 ε更好 , 在强非线系统中大的 ε参数就可以转化
成小参数 α。现在我们把 x 展开成新参数 α的幂级数
DO I :10.13465/j .cnki .jvs .2004.01.001
第 23 卷第 1 期
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK
Vol .23 No .1 2004
梁的强非线性超 、次谐波共振
黄建亮 黄惠仪 陈 恒 陈树辉
(中山大学应用力学与工程系 , 广州 510275)
∫ ρA
2v t2
+EI
4v x4
-
EA 2L
L 0
v x
2
dx
2v x2
=0
(3)
当采用一个模态时 ,
v(x , t )= V(t )sin
πx L
, 于是方程
(3)成为
2V t2
+Lπ44EρAIV(t )+4πL44EρAAV3(t)=0
(4)
为方便起见 , 引用如下的无量纲量 ,
Байду номын сангаасω0
=
π2 L2
图 1 梁受垂直动载荷下的结构图
受轴向拉力 S 作用下梁的自由振动方程为 :
ρA
2v t2
-S
·
d2v dx2
+EI
4v x4
=0
其中 , 方程左边第一项为惯性力 , S 为轴向力
(1)
S(x , t)=EA
u x
+
1 2
v2 x
(2)
∫L
如果端点不动 , 没有应变 , 即
0
u x
dx
=0 ,可得
参 考 文 献
1 Timoshenko S, Young D H , Weaver Jr W .Vibration Problems in Engineering , New York, John Wily &Sons Interscience , 1974
2 Nayfeh A H , Mook D T .Nonlinear Oscillations, New York, John Wily &Sons Interscience , 1979
图 2 所示为几种不同方法求得的无阻尼 Duffing 方程的次谐波响应曲线 , 参数 ε=0 .7 , p =1 。实线表 示的是改进的 L -P 法(MLP 法)的结果 , 虚线表示的 是经典的 L -P 法的结果 , “ +”号表示的是增量谐波 平衡法(IHB 法)的结果 。IHB 法是一个适合于求解强 非线性振动 的半解析半数值的方法[ 9] 。 从图中我们 可以看出 ,MLP 法所得出的结果与 IHB 法所得出的结 果在整个区域内都是一致的 。 但是 , 当次谐波的振幅 a 越大时 , 经典的 L -P 方法就与 IHB 法所得出的结 果也就相差越大(a >1 .5 )。 这说明 , MLP 法是一个 适合于求解强非线性次谐波响应的方法 , 而经典的 L
3 Mook D T , Plaut R H, Haquang N .The influence of an internal resonance on non_linear structural vibrations under subharmonic resonance conditions .Journal of Sound and Vibration, 1985 , 102: 437 — 492
+δ2 α2 +O(α3)
(21)
x
= acos
τ 3
+(αA1
-81ω20 p)cosτ+αA2cos
5 3
τ+
αA3cos
7 3
τ+ αA4 cos3 τ+O(α2)
(22)
次谐波 cos 3τ的频率 -振幅(Ψ-a)响应曲线如图 2
所示 。
图 2 无阻尼 Duffing 方程的次谐波响应曲线 , ε= 0.7 , p = 1
+
1 ω1
9 a3 32
-12278aω220 p
- 27 1638
ω60 p
3
,
A2
=
1 ω1
612474aω40p2 -72678aω220 p
, A3
= 27 12288
a ω40
ω1 p
2
,
A4
=- 9 163840
ω60
ω1
p3
最后可以得精确到 O(α2)的解为
Ψ2
=
9 ω20 1 -α
1