2012年天津市高考数学试卷(理科)

2012年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x 的值为（）A．﹣1B．1C．3D．94．（3分）（2012•天津）函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．35．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10B．﹣10C．40D．﹣406．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝（）A．B．C．D．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB＝2．设点P，Q满足，，λ∈R．若＝﹣，则λ＝（）A．B．C．D．8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校．10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（3分）（2012•天津）已知集合A＝{x∈R||x+2|＜3}，集合B＝{x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B＝（﹣1，n），则m＝，n＝．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝．13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为．14．（5分）（2012•天津）已知函数y＝的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）＝sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4+b4＝27，S4﹣b4＝10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n＝a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12＝﹣2a n+10b n（n∈N*）．19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．20．（2012•天津）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项【解答】解：故选：B．【点评】本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题，解题的关键熟练掌握分母实数化的化简规则2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接把φ＝0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．【解答】解：因为φ＝0时，f（x）＝cos（x+φ）＝cos x是偶函数，成立；但f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z，推不出φ＝0．故“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x 的值为（）A．﹣1B．1C．3D．9【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x＝﹣25时，|x|＞1，执行循环，x＝﹣1＝4；|x|＝4＞1，执行循环，x＝﹣1＝1，|x|＝1，退出循环，输出的结果为x＝2×1+1＝3．故选：C．【点评】本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．4．（3分）（2012•天津）函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选：B．【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．5．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10B．﹣10C．40D．﹣40【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项T r+1＝＝，再令10﹣3r＝1，得r＝3即可得出x项的系数【解答】解：（2x2﹣）5的二项展开式的通项为T r+1＝＝令10﹣3r＝1，得r＝3故x项的系数为＝﹣40故选：D．【点评】本题考查二项式的通项公式，熟练记忆公式是解题的关键，求指定项的系数是二项式考查的一个重要题型，是高考的热点，要熟练掌握6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B，cos B，然后利用平方关系式求出cos C的值即可．【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin2B＝10sin B cos B，所以cos B＝，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．所以sin B＝＝．所以sin C＝sin2B＝2×＝，cos C＝＝．故选：A．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB＝2．设点P，Q满足，，λ∈R．若＝﹣，则λ＝（）A．B．C．D．【分析】根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据＝﹣即可求出λ．【解答】解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB＝2∴＝+λ+（1﹣λ）＝2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°＝2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，＝﹣2λ2+2λ﹣2∵＝﹣∴4λ2﹣4λ+1＝0∴（2λ﹣1）2＝0∴故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难．解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出然后再结合数量积的定义和条件△ABC为等边三角形，AB＝2，＝﹣即可求解！8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n＝x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，整理得：m+n+1＝mn≤，设m+n＝x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校．【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．【解答】解：某城地区有学校150+75+25＝250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是＝，∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150＝18所，选取中学×75＝9所．故答案为：18，9．【点评】本题主要考查分层抽样，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题．10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9πm3．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1＝18．下部为两个半径均为的球体，体积2ו（）3＝9π故所求体积等于18+9π故答案为：18+9π【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键11．（3分）（2012•天津）已知集合A＝{x∈R||x+2|＜3}，集合B＝{x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B＝（﹣1，n），则m＝﹣1，n＝1．【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B＝（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．【解答】解：A＝{x∈R||x+2|＜3}＝{x∈R|﹣5＜x＜1}，又集合B＝{x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B＝（﹣1，n）．如图由图知m＝﹣1，n＝1，故答案为﹣1，1．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式的解集的形式，本题一定的探究性，考查分析判断推理的能力12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝2．【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝2px，则由抛物线的定义可得及|EF|＝|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m），则点E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得p＝．再由|EF|＝|ME|，解方程可得p的值．【解答】解：抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x＝2p，化简可得y2＝2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，故焦点F（，0），准线l的方程为x＝﹣．则由抛物线的定义可得|ME|＝|MF|，再由|EF|＝|MF|，可得△MEF为等边三角形．设点M的坐标为（3，m），则点E（﹣，m）．把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2＝2×p×3，即p＝．再由|EF|＝|ME|，可得p2+m2＝，即p2+6p＝9++3p，解得p＝2，或p＝﹣6（舍去），故答案为2．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，把参数方程化为普通方程的方法，属于中档题．13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为．【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC＝x，则AD＝4x，再由切割线定理，BD2＝CD•AD求解．【解答】解：由相交弦定理得到AF•FB＝EF•FC，即3×1＝×FC，FC＝2，在△ABD 中AF：AB＝FC：BD，即3：4＝2：BD，BD＝，设DC＝x，则AD＝4x，再由切割线定理，BD2＝CD•AD，即x•4x＝（）2，x＝故答案为：【点评】本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．14．（5分）（2012•天津）已知函数y＝的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．【分析】作出函数图象，根据图象交点个数得出k的范围．【解答】解：y＝＝，作出函数y＝与y＝kx﹣2的图象如图所示：∵函数y＝的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，∴0＜k＜1或1＜k＜4．故答案为：（0，1）∪（1，4）．【点评】本题考查了函数的图象变换，属于中档题．三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）＝sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）＝sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）＝sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x ＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）＝﹣1，f（）＝，f（）＝1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）＝sin（2x+）是关键，属于中档题．16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i＝0，1，2，3，4），故P（A i）＝（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B＝A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i＝0，1，2，3，4），∴P（A i）＝（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）＝；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B＝A3∪A4，∴P（B）＝P（A3）+P（A4）＝（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ＝0）＝P（A2）＝P（ξ＝2）＝P（A1）+P（A3）＝，P（ξ＝4）＝P（A0）+P（A4）＝∴ξ的分布列是ξ024P数学期望Eξ＝【点评】本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•＝0，证出PC ⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞＝cos30°＝，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH 中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF＝30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）证明：易得＝（0，1，﹣2），＝（2，0，0），于是•＝0，所以PC⊥AD．（2）解：＝（0，1，﹣2），＝（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为＝（x，y，z），则即取z＝1，则以＝（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为＝（1，0，0），于是cos＜＞＝＝，sin＜＞＝所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得＝（，﹣，h）．由＝（2，﹣1，0），故cos＜＞＝＝＝所以＝cos30°＝，解得h＝，即AE＝．解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC＝A，故AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA＝2，AC＝1，所以AH＝，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH＝＝，因此sin∠AHD＝＝．所以二面角A﹣PC﹣D 的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB＝∠ADC，在RT△DAC中，CD＝，sin∠ADC＝，故sin ∠AFB＝．在△AFB中，由，AB＝，sin∠FAB＝sin135°＝，可得BF＝，由余弦定理，BF2＝AB2+AF2﹣2ABAF cos∠FAB，得出AF＝，设AE＝h，在RT△EAF中，EF＝＝，在RT△BAE中，BE＝＝，在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF＝30°，由余弦定理得到，cos30°＝，解得h＝，即AE＝．【点评】本题考查线面关系，直线与直线所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4+b4＝27，S4﹣b4＝10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n＝a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12＝﹣2a n+10b n（n∈N*）．【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出T n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1＝b1＝2，得a4＝2+3d，b4＝2q3，s4＝8+6d，由条件a4+b4＝27，s4﹣b4＝10，得方程组，解得，故a n＝3n﹣1，b n＝2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n＝2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n＝22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n＝﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2＝+2n+2﹣6n+2＝10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12＝﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12＝10×2n﹣6n﹣10；故T n+12＝﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n＝1时，T1+12＝a1b1+12＝16，﹣2a1+10b1＝16，故等式成立，④假设当n＝k时等式成立，即T k+12＝﹣2a k+10b k，则当n＝k+1时有，T k+1＝a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1＝a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）＝a k+1b1+qT k＝a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）＝2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24＝﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12＝﹣2a k+1+10b k+1，因此n＝k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12＝﹣2a n+10b n成立．【点评】本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．【分析】（1）设P（x0，y0），则，利用直线AP与BP的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP的方程为y＝kx，设P（x0，kx0），则，进一步可得，利用AP|＝|OA|，A（﹣a，0），可求得，从而可求直线OP的斜率的范围．【解答】（1）解：设P（x0，y0），∴①∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）∴，∵直线AP与BP的斜率之积为，∴代入①并整理得∵y0≠0，∴a2＝2b2∴∴∴椭圆的离心率为；（2）证明：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设P（x0，kx0），∴∵a＞b＞0，kx0≠0，∴∴②∵|AP|＝|OA|，A（﹣a，0），∴∴∴代入②得∴k2＞3∴直线OP的斜率k满足|k|＞．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（2012•天津）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g （x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）＝0，可得x1＝0，，分类讨论：①当k≥时，，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，由此可确定k的最小值；（3）当n＝1时，不等式左边＝2﹣ln3＜2＝右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k＝，得f（x）≤x2，从而可得，由此可证结论．【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）＝0，可得x＝1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x＝1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）＝1﹣a﹣0，解得a＝1（2）解：当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）＝g′（x）＝0，可得x1＝0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）＝0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）＝0，即有f（x0）≤kx02不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n＝1时，不等式左边＝2﹣ln3＜2＝右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k＝，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．∴＝f（2）+＜2﹣ln3+＝2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n∈N*）．【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行．。