大学线性代数典型例题解析
线性代数的应用案例解析
案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩苹果 橘子 梨 人员 A 5 10 3 人员 B 4 5 5第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B,而第三个矩阵为 C 。
（1） 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2） 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（1）设该矩阵为 D ，则 D=BA ，即：5 10 3 0.10 0.15D0.15 0.204 5 50.10 0.10此结果说明， 人员 A 在商店 A 购买水果的费用为 2.30 3.05 1.65 2.102.30，人员 A 在商店 B 购买水果的费用为3.50，人员 B 在商店 A 购买水果的费用为 1.65，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为 2.10。
（2）设该矩阵为E,则E=CB ，即：1000 500 5 10 3 E2000 1000 4 5 5 7000 12500 5500 14000 25000 11000此结果说明， 城镇 1苹果的购买量为 7000，城镇 1橘子的购买量为 12500，城镇 1 梨的购买 量为 5500；城镇 2 苹果的购买量为 14000，城镇 2 橘子的购买量为 25000，城镇 2 梨的购买 量为 11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单 的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1 和城镇 2）；城镇 1 中有人员 A （ 1000 人）和人员B （500人）,城镇2中有人员A （2000人）和人员B （1000人）；人员A 需苹果、橘子 和梨分别 5、10和 3，而人员 B 需苹果、橘子和梨分别 4、5和 5；现不妨假设每个城镇中 都有两个商店（商店 A 和商店B ），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
商店 A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤 0.10、 0.15 和 0.10，而商店 B 中苹果、橘子和梨的价 格分别为 0.15、 0.20、 0.10。
江苏大学线性代数习题详解(6)
习题4.4
1.解：(1T2T3T)=
故12是L(123)的一组基，L(123)的维数为2，
该向量空间与三维空间R3不相等。
2.解：①任取 x=(x1x2…… xn)TV1
y=(y1y2…… yn)TV1
则 x1+x2+……+xn=0
y1+y2+……+yn=0
x+y=(x1+y1x2+y2……xn+yn)T
令 k11+k22+……+kn-rn-r+kn-r+1η*=0
则 kn-r+1=0，
否则 η*=(-k1/kn-r+1)1+(-k2/kn-r+1)2+……+(-kn-r/kn-r+1)n-r
Aη*=A[ (-k1/kn-r+1)1+(-k2/kn-r+1)2+……+(-kn-r/kn-r+1)n-r]
= (-k1/kn-r+1)A1+(-k2/kn-r+1)A2+……+(-kn-r/kn-r+1)An-r
=0b
又12……n-r是Ax=0的基础解系
k1=k2=……=kn-r=0
故12……n-rη*线性无关；
(2) 作线性组合
k1(1+η*)+k2(2+η*)+……+kn-r(n-r+η*)+kn-r+1η*
=c1(Au1)+c2(Au2)+……+ct(Aut)
=c1b+c2b+……+ctb
线性代数第五版第一章常见试题及解答
线性代数第五版第一章常见试题及解答第一篇：线性代数第五版第一章常见试题及解答一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．二阶行列式A．k≠-1 C．k≠-1且k≠3 答案：C 2．设行列式a2A．-3 C．1 答案：D k-122k-1≠0的充分必要条件是（）B．k≠3 D．k≠-1或≠3 a1b2=1，a2b1a1c2=2，则a2B．-1 D．3c1a1b2+c2=（）b1+c1⎧3x1+kx2-x3=0⎪4x2-x3=0有非零解,则 k=（）3.如果方程组⎨⎪4x2+kx3=0⎩A.-2 C.1 答案：B a11a12a22a32a13B.-1 D.2 a115a11+2a12a13a23，则D1的值为（）a334．设行列式D=a21a31A．-15 C．6 答案：Ca23=3，D1=a215a21+2a22a33a315a31+2a32B．-6 D．15 5.设3阶方阵A=[α1,α2,α3]，其中αi（i=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[α1+3α2,α2,α3]|=（）A.-2 C.2 答案：CB.0 D.6 ⎧x+x2=06.若方程组⎨1有非零解，则k=（）kx-x=02⎩1A.-1 C.1B.0 D.2 答案：A 0-101-1中元素a21的代数余了式A21=（）7．3阶行列式aij=1-110A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：C a11a12a132a112a122a138.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23=（）a31a32a33-2a31-2a32-2a33A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案：B01-119．行列式-101-11-101第二行第一列元素的代数余子式A21=（-11-10A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：B xyz2x2y2z10.设行列式403=1,则行列式401=（）1113111A.23 B.1 C.2 D.83 答案：A 11.已知2阶行列式a1a2b2b,则b1b21b=m ,b12c1c=n 2a1+c=（1a2+c2A.m-n B.n-m C.m+nD.-（m+n）答案：B））3 0 -2 0 2.计算行列式 2 10 5 0 0 0 -2 0-2 3 -2 3=（）A.-180 B.-120 C.120 D.180二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
大学数学线性代数题库及答案解析
大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。
因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。
b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。
我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。
则得到 z = -6 + 5t。
将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。
因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。
2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。
解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。
我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。
因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。
浙江财经大学线性代数习题详解1-2
习题解答习 题1.11．试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果．解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果．（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球．（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x 表示，则有(,)x m m εε∈-+，其中m 为小包白糖的重量，ε为称量结果的误差限．易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生．2．写出下列试验的样本空间．（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 [0 ，t ] 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标．解（1）Ω={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}；（2）Ω={0，1，2，3，……}；（3）Ω={（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1), (1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x ，y ）,则x ，y 应满足条件22 1.x y +≤故此试验的样本空间为{}22(,)| 1.x y x y Ω=+≤ 3．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同” ，B =“点数之和为10” ，C =“最小点数为4” ．试分别指出事件A 、B 、C 以及A B 、ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点．解A ={(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6)} ;B ={(4,6) ，(5,5) ，(6,4)};C ={(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4)};{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}A B = ;ABC =∅AC ={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6)};C A -={(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)};{(5,5)}.BC =4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件k A（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k ” ，试用k A 间的运算表示下列事件：（1） 呼唤次数大于2 ；（2） 呼唤次数在5到10次范围内；（3） 呼唤次数与8的偏差大于2 ．解 (1) 3A ；(2) 115A A -；(3) 611A A .5．试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件：（1）A 发生而B 不发生；（2）A 不发生但B 、C 至少有一个发生；（3）A 、B 、C 中只有一个发生；（4） A 、B 、C 中至多有一个发生；（5）A 、B 、C 中至少有两个发生；（6）A 、B 、C 不同时发生．解 (1)AB ；(2)()A B C ；(3) ABC ABC A BC ； (4) AB A C BC ；(5)AB BC AC ； (6) ABC6．在某大学金融学院的学生中任选一名学生．若事件A 表示被选学生是女生，事件B 表示该生是大学二年级学生，事件C 表示该生是运动员． （１）叙述ABC 的意义．（2）在什么条件下ABC C =成立？（3）在什么条件下A B ⊂成立？解（1）该生是二年级女生，但非运动员．（2）全学院运动员都是二年级女生．（3）全系男生都在二年级7．化简下列各事件：（1） ()A B A - ；（2）()A B B - ；（3）()A B A - ；（4）()A B B -（5）()()()A B A B A A ．.解．(1) ()A B A A -= ；(2) ()A B B A B -= ；(3) ()A B A A B -=- ；(4) ()A B B -=Φ；(5) ()()()()A B A B A B A A B AB == . 习题1.21．已知事件A 、B 、A B 的概率分别为0.4，0.3，0.6．求()P AB解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 及题设条件得()0.40.30.60.1P AB =+-=又 ()()()()0.40.10.3P AB P A B P A P AB =-=-=-=2．设1()()()4P A P B P C ===，()0P AB =，1()()16P AC P BC ==，求（1）A 、B 、C 中至少有一个发生的概率；（2）A 、B 、C 都不发生的概率。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数习题 1解析【哈工大版】
·1·习 题 一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列. 解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613a b b a ； (2) 32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解：(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++； (2) 111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345； (2) 010000200001000n n - .解：(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5．用行列式的定义证明：(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b c d； (2) 121102*********110----； (3) n x a a a x aD a a x=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a = ； (6) 1111111111111111n D -=--.解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7．证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证：222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解：121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ； (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a；(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827xx x 解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证：等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证：11n =时，1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ，其中x y ≠.证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ，依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩（1） 因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -===== . 15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。
长沙理工大学线性代数习题册答案详解
练习1.1一、1.6,8,6,8+1；2.n .二、1.()()24R A R A β==<,无穷多个解；2.()()3R A R A β==,有惟一解(5,0,3)；3.()2,()3R A R A β==,无解.三、1.21313212311342121338()312100101134113080006r r r r r r r r A β------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,()()R A R A β≠,无解；2.213132124142232423141245124507714()38213000041960000r r r r r r r r r r r r A β---↔----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, ()()23R A R A β==<,有无穷多个解；3.23211331323222*********()32134075951435200000r r r r r r rr r r A β↔-↔-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,()()24R A R A β==<,有无穷多个解.四、321221331581824()18240231431690011r r r r rr A β-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3R A R A β==，358824369x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，有惟一交点.五、21231321241421212()417737371034571717233219200117174111316000072130000r r r r r r r r r r r r r r r A -⨯-------⎛⎫--⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-=→→→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1342343344313171719201717x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=⎩，取34,x a x b ==，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=b x a x ba xb a x 4321172017191713173. 练习1.2一、1.≤，5，5；2.初等行变换.二、1.21313212343011*********r r r r r r r r A ++----⎛⎫⎪→→→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()2R A =；2.34242132312343421()241()33162113430011020001000000r r r r r r r r r r r r r r r r B ⨯--⨯---------⎛⎫ ⎪--⎪→→→→ ⎪ ⎪⎝⎭,()3R B =； 3.31210101000r ar C a a -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭,若a =0或a =1，()2R C =；若a ≠0且a ≠1，()3R C =. 三、1.23r r ↔；2.261r ⨯；3.)4(2131r r +. 四、1.()()()1+≤≤B R A R B R ；2.当)B ()A (R R ≠时，方程组无解；当n R R ==)B ()A (时，方程组有唯一解；n R R ＜)B ()A (=时，方程组有无穷多个解练习1.3一、1.无，无穷多个，唯一；2.)B ()A (R R <；3.n A R ＜)(，n A R =)(.二、1.32321221332731612122()3522401151109417200000r r r r r r r r A β-+-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,方程组有无穷多解；2.3242213234312343144123434322315124731270117464136001512470001r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r A ----↔--+↔----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 方程组有惟一零解.三、2131133222222311111()11011110021r r r r r r r rA λλλλβλλλλλλλλλλλλλ--↔+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭, 1.当1≠λ，且2≠λ时，()()3R A R A β==,方程组有唯一解； 2.当λ＝－2时，()2,()3R A R A β==,方程组无解； 3.当λ＝1时，()()1R A R A β==,方程组有无穷多个解. 四、13211313212(2)25112222122()254201112451(1)(10)(1)(4)0022r r r r r r r r r A λλλλβλλλλλλλλλλ↔+⨯--+-+⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪=--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭ ⎪⎝⎭1.当1≠λ且10λ≠时,()()3R A R A β==,方程组有唯一解；2.当10λ=时,()2,()3R A R A β==,方程组无解；3.当1λ=时,()()1R A R A β==，方程组有无穷多个解.1221()00000000A β-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,123122x x x =-+,令2x a =，3x b =，得122 321⎪⎩⎪⎨⎧==++-=b x a x b a x （b a ,为任意常数） 练习1.4一、1.r=k ；2.行，列，秩；3.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001. 二、1.12421321233134341243231455343111100310010441001121000r rr r r r r r r r r r r r r r r r r E O -++---⨯---⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→→→= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； 2.313144124221122342431324343453441421()2131122421112()134********11012201103100422012r r r r r c c r c c r r r r r r r r r r r r r c c r r c c r r r r r r ⨯----⨯+-+-⨯-+---+↔+---⎛⎫⎪⎪→→→→→→ ⎪⎪--⎝⎭10000010000010000010⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭()445E O ⨯；三、213123211202(1)2(1)4(1)03(1)3(1)6(1)r r r kr k A k k k k k k +---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1.当1k =时，A →431000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；2.当k ≠1时，1121120112011201(1)20020k k A k k ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, (ⅰ)2k =-，A →432000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；(ⅱ)2k ≠-，A →()4330⨯E .练习2.1一、1.1；2.1或-2.二、1.1；2.xyz z y x 3222-++；3.))()((a c c b b a ---． 三、14.练习2.2一、1.零；2.D k n n )1(-；3.111110()()0111a b c a b c b a a b bc a b a a b b a c a c aa cca b c aa c ++---+=--==--=---+--；4.103100204203100204110020411002041992003953992003954200395601330130060060130060013006004012--===-- 613100100(20)2000412-=-=-⨯-=-．二、1.1234102341023310234234110341011301131603412104120222004441231012301110004--====-------；2.2()2()2()02()0xyx y x y y x y x y y x y yx y x x y x y x x y x yxy x y x y x yx++++++=++=-++-- 2()2()000x y y x y x y y x y x y x y x xy++++=-+---2()2()000x y y x y x y y x y x y y x y xy++++=-----22332()()2()()()2()()2()x y x y x x y y y x y x xy y x y =+--+--=-+-+=-+；3.111111111020411102abac ae bdcd de abc de f abcdef abcdef bfcfef----=-=-=--；4.(1)(1)(1)00(1)00a b b a n b b b a n b b b b a b a n b a b a b b b a a n b b a a b +-+-+--==+-- 1[(1)]()n a n b a b -=+--．练习2.3一、1.64；2.4x ；3.－10；4.0,))((,212111b b a a b a ---；5.－2，0，2. 二、1.1)]()1([---+=n n a x a n x D ；（见练习2.2二、4.解法）2.21222242()()()()n n n n n D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ---=-=-==-=- ．三、1.2122232421031132329635304167A A A A ---++==--； 2.4142434421031111035301111A A A A -+++==-． 练习2.4一、1.2，-1；2.c b a ≠≠.二、2124133223121211111D λλλλλλλλλ----+-=-=---2332(3)(2)0121λλλλλλλλ-+-==--=--,3,2,0=λ． 三、1.1,3,2,14321-====x x x x ；2.1,4,6,44321-==-==x x x x ． 四、甲、乙、丙三种化肥各需3千克，5千克，15千克.练习3.1 一、1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛91101106,15803113；2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2536,14324101221 3.（10），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；4.E 3；5.0，a d -. 二、1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001001n ； 2.2824211100713()1125312010823101110001210f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、()()300014000.50.040.211115001300465047027000.40.060.42000800⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,总价值：4650万元；总重量：470吨；总体积：2700立方米.练习3.2 一、1.3221-⎛⎫⎪-⎝⎭；2.25112*11,9,813A A A A A A --======； 3.16；4.111111111111()()[()]()A B B BA B AA B B A A A B A B ------------+=+=+=+；5.AA . 二、1.1102214151122⎛⎫- ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭；2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121. 三、1.1011101113113623210212432432856111312X --⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.222,,()AX E A X AX X A E A E X A E +=+-=--=-,00101010141A E -==-≠,A E -可逆,121()()()()()X A E A E A E A E A E A E --=--=--+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛341030102.四、11,P AP A P P --=Λ=Λ,1010110111*********A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1010111122122212⎛⎫--+= ⎪--+⎝⎭. 五、2124,(2)4,[(2)]4A A E O A A E E A A E E -+=-=-⋅--=. A ∴可逆,11(2)4AA E -=--.练习3.3一、1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8500320000520021,9320014500000910002023，2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-010000000010000001100000121n n a a a a ； 3.1111A O A O A O C C C A B O B O B OB --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11A B A OO A B B --⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A O O A B . 二、1.34202541004322A ==-⨯=--,881610A A ==；12A O A O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,442211145005A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 22232202020222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4422222642022A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 44441442645000050000200022A O A OA ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. 2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3401230000021000001200011.三、1.11111,A O E O A O A O A O E O B O E O B OB OB -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；11111,O A E O O A OB O B E B O O E B O AO AO -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.A B E O E B A O M O C O C O E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,E O E B A O M E C A E A C O C O E O E===.练习4.1一、1.；；T T TT )4,3,2,1(,)13,4,5,17(21.2)8.1,7,2(,)1,1,1,3(------ 3.121233333(k k βααβααα=-=-+，为任意实数).二、123111111111111()3210012301230120120003αααβλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1.当3λ≠时，123123()2,()3R R ααααααβ==，β不能由123ααα线性表示；2.当3λ=时，123123()()23R R ααααααβ==<，β能由123ααα线性表示，且表示式不惟一.三、β 可由12,,,m ααα 唯一线性表示，∴方程组1122m m x x x αααβ+++= 有唯一解，则1212()()m mR R m ααααααβ== ，从而12,,,m ααα 线性无关.练习4.2一、1.线性相关，线性无关； 2.＜，＝； 3.1； 4.无关.二、1.123110110000012()12200022000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,123()23R ααα=<,123,,ααα相关； 2.123131131()223041315000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα相关.三、1.设113221323()()()0k k k αααααα++-++=,即121232133()()()0k k k k k k ααα-++++=.123,,ααα 线性无关,1223130,0,0.k k k k k k -=⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩ 1100110101-=,方程组有非零解,123,,ααα线性相关. 2. 设112123123()()0k k k αααααα+++++=,即123123233()()0k k k k k k ααα+++++=.123,,ααα 线性无关,1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩ 11101110001=≠,方程组只有零解,123,,ααα线性无关. 四、解法1:设11221233123()(2)(2)0k a k a k αααααααα++++++-=,即12311232233(2)(2)()0k k k ak k k ak k ααα++++++-=.123,,ααα 线性无关,1231232320,20,0.k k k ak k k ak k ++=⎧⎪∴++=⎨⎪-=⎩ 若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则方程组只有零解,2121121001a a a =-≠-,1±≠a . 解法2:12123123123121(22)()1201B a a a a ααααααααααα⎛⎫ ⎪=++++-= ⎪ ⎪-⎝⎭,若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则()3R B =,又121()12301R B R a a ⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪-⎝⎭,12112301R a a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭,2121121001a a a =-≠-,1±≠a .五、设1234()a bc d b a d c A c d a b d c b a αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪-- ⎪--⎝⎭, 22222222222222220000000000T a b c d a b c d AA a b c d a b c d ⎛⎫+++⎪+++⎪= ⎪+++ ⎪⎪+++⎝⎭,222224()T T a b c d AA A A A A A +++====,0,0,()4abcd A R A ≠∴≠= ,1234,,,αααα线性无关.练习4.3一、1.T 中任一个向量都可由s ααα,,,21 线性表出；2.＜，＝；3. 4，5321,,,αααα.二、123217121121121121217055055()055055055000318318055000ααα------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα线性相关.三、1234132213221322223204120231()311208540854111102310412αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭71110100132222202313110101022200700010001000500000000⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1234(,,,)3R αααα=,123,,ααα为一个最大无关组,4121122ααα=+.四、设1212(),,,,n n B αααααα= 线性无关,(),0R B n B ∴=≠.1212()n n A A A A AB A B αααααα=== ,1212()00()n n R A n A A A A R A A A n αααααα=⇔≠⇔≠⇔=12,,,n A A A ααα⇔ 线性无关.自测题（第一、二、三、四章）一、填空题1.-3；2.4m -；3.0；4.2,1-≠≠λλ；5. 任一n 维向量都是0Ax =的解，则n 个n 维单位坐标向量12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T T T n εεε=== 是0Ax =的解，则1212()()(000)n n A AE A A A A O εεεεεε===== ，从而()0R A =.6.3,0-≠k ；7.2；8.-4；9.20,0,20,2,1,2A E A E A E +=-=-=∴- 为A 的特征值,2124A =-⋅⋅=-, 31*2(4)16A A-==-=.10.1110111101P AP D A PDPA PDP PDP PDP PD P ------=⇒=⇒==101010111111102122211202112221-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、21322217204292-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.三、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=313223X .四、160.五、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-6493244361A .六、因为1121111111022110221131824000001302000000----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以，第一列与第二列是一个最大无关组.七、()1111111122(2)3010323000A a b ab a a b a b β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, 当0a b ==时，()1,()2R A R A β==；当0,0a b =≠时,()2,()3R A R A β==,无解；当b a a ≠≠，0时，()()3R A R A β==,有惟一解:Taa x )0,1,11(-=， 当b a a =≠,0时,()()2R A R A β==有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 八、()123411111011212324335185a b a ααααβ⎛⎫⎪-⎪= ⎪++ ⎪+⎝⎭11111102100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1.当0,1≠-=b a 时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合；2.当1-≠a 时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示:32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b练习5.1一、1.A 0=；2.≠A 0；3.无关；4.2；5.0,1；二、111111111100111100220011112200330000A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,121234340,,0..x x x x x x x x -==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ 令2142x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则通解为 11213224,,,x c x c x c x c =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或121212341010,(,)0101x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 三、112111211022211103310103221201030038A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101003010380013⎛⎫- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，14243410,33,8.3x x x x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩取43x =，得方程组的一个基础解系为10983ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭.练习5.2一、1.b AX =；2.1；3.04321=+++a a a a ；4.≠A 0.二、1111021*********22()422120001000010211110002000000A β⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭, 1234111,2220,x x x x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩即1234111,2220,x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩令2132x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得 11221324111,222,,0,x c c x c x c x ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩即12121234111222010,(,)001000x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、见练习1.3第三题.四、充分性:若0A ≠,则A 可逆,对任一0β≠,方程组Ax β=唯一解1x A β-=.必要性:若对任一0β≠,Ax β=有解,则当β分别为12100010,,,001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时,方程组有解,即存在12,,,n ηηη ,使得1122,,,n n A A A ηεηεηε=== , 则121212()()()n n n A A A A E ηηηηηηεεε=== ,A ∴可逆,0A ≠.练习5.3一、1.零，非零；2.是，0；3.是，3.二、123123512351235()111003450345032703270022αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123512081208100203450309010301030011001100110011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123123()3,,,R αααααα=∴ 线性无关,从而是3R 的一个基.12323βααα=+-,β在基123ααα下的坐标为(2,3,1)-.三、11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,21221112301[,]2111[,]331113αββαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 31323312112220301[,][,]111101[,][,]3232111123αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111e ββ==1(1,1,1)3T ,222e ββ==1(2,1,1)6T -,333e ββ==1(0,1,1)2T -. 练习6.1一、1.0, <, 非零；2.0；3.1，3121，，6，11，18；4.1，2，3.二、1.233256356356911022020121121121r r c c A E λλλλλλλλλλλ+--------=--=--=-----2359(2)(2)(44)(2)11λλλλλλλ--=-=--+=----,令0A E λ-=，得===321λλλ 2.对于2λ=解方程组()0A E x λ-=,得基础解系12(2,1,0),(1,0,1)T Tξξ=-=,则A 的对应于===321λλλ2的全部特征向量为12(2,1,0)(1,0,1)T T k k -+(12,k k 不同时为零)； 2.121321133133133353153020664464464c c c c r r A E λλλλλλλλλλλλλ++--------=--=---=----------21313(2)(2)(4)(2)(4)4411λλλλλλλλλ--=--=-+-=+---,令0A E λ-=,得221-==λλ,=3λ 4.对应于221-==λλ的全部特征向量为T T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(12,k k 不同时为零)；对应于=3λ4的全部特征向量为3(1,1,2)T k (03≠k ).三、已知A ξλξ=,要证k k A ξλξ=,用数学归纳法.因为当1k =时等式成立,假设当k m =时等式成立,即m m A ξλξ=,则11m m m m m m A AA A A ξξλξλξλλξλξ++=====,即1k m =+时等式也成立,所以对一切正整数k 等式成立. 四、用反证法.假设12αα+是A 的对应于特征值λ的特征向量,即1212()()A ααλαα+=+由已知111222,A A αλααλα==,12121122()A A A ααααλαλα+=+=+,则有121122()λααλαλα+=+,从而有1122()()0λλαλλα-+-=.1212,,λλαα≠∴ 线性无关,则12120,0λλλλλλλ-=-=⇒==,与12λλ≠矛盾,所以12αα+不是A 的特征向量.练习6.2一、1.n ；2.B AP P =-1；3.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123λλλ；4.设1212(),,P αααα= 线性无关，12()2,0,R P P αα∴=≠可逆.121212120202()()(02)()0101AP A A A P αααααααα⎛⎫⎛⎫===+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10201P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭,A 与0201⎛⎫ ⎪⎝⎭相似,特征值相同,0201⎛⎫⎪⎝⎭的特征值为0和1,所以A 的非零特征值为1. 二、1.1211(1)0,0,10A E λλλλλλλ--==--===-，12λλ≠，A 能对角化；2.22122125335375121A E λλλλλλλλ------=--=--------223111211(1)(1)034375344λλλλλλλλλλ----=-==+=-+=+-----+--， 1231λλλ===-，,()0A E O R A E +≠+≠，A 不能对角化.三、202312520111A E xx x x -=-=-+-=-,2=x 或21=x . 2=x 时,12312344440421121121111211212r r r A E λλλλλλλλλλλλλ++-------=--=--=------ 4411(1)(1)(4)(1)(4)(1)01212λλλλλλλλλλ--=--=-+-=-+--=--,1231,4,1A λλλ=-==，能与对角阵相似；21=x 时,3112312312311111222122224221210221112r r A E λλλλλλλλλλλ-----=--=--=---+---3121252111220(52)(22)(1)04410c c λλλλλλλ+--=-=---+=+,1235,1,12A λλλ===-，能与对角阵相似.四、1.已知112212,,11,,A A αααααα=-=-≠∴ 线性无关.设1122330k k k ααα++=,则331122331122k k k k A k A k A αααααα=--⇒=--32311223311232()()()k k k k k k k ααααααα⇒+=---⇒=-+ 1122112321132()20k k k k k k k αααααα⇒--=-+⇒-= 13220,00k k k α⇒==⇒=,而,则123,,ααα线性无关.2.1231231223123100()()()()011001AP A A A A ααααααααααααα-⎛⎫ ⎪===-+= ⎪ ⎪⎝⎭,100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.练习6.3一、1. 正交的；2.线性无关的；3.实数；4.若0A =，则A 有特征值10λ=.设A 还有两个特征值为23,λλ.A 的特征值互不相同,230,0λλ∴≠≠,且A 能对角化,即存在可逆矩阵P ,使得1230P AP λλ-⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. 11()()(),()()(),()()2R R P AP R A R A R P P R R A R --Λ=≤=Λ≤Λ∴=Λ= .二、1.A 与012⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,A ∴的特征值为0,1,2. 2111()011A ααβαββ==--=,010201A E ααβαββ-===⇒0==βα；2.对于10λ=,解方程组0Ax =,得1(1,0,1)T ξ=-. 对于21λ=,解方程组()0A E x -=,得2(0,1,0)T ξ=. 对于32λ=解方程组(2)0A E x -=得3(1,0,1)T ξ=.123,,λλλ 互不相同,123,,ξξξ∴两两正交,将123,,ξξξ单位化: 3121231231111(,0,),(0,1,0),(,0,)2222T T Tp p p ξξξξξξ==-====, =P 12311022()01011022p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦为正交矩阵,使1P AP B -=. 三、设A 的与特征值6对应的特征向量为3123(,,)Tx x x α=,363,α≠∴ 与1α，2α都正交,3132[,]0,[,]0αααα==,131230,20,x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩解得基础解系3(1,1,1)Tα=,A 的与特征值6对应的全部特征向量为333(0)k k α≠.121[,]0,ααα=∴ 与2α正交,故123,,ααα两两正交,将它们单位化:31212311121111(,0,),(,,),(,,)22666333T T Tαααααα=-=-=, 得正交矩阵11126321063111263P ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,使1336P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1333366TA P P P P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111102632234112112103141636666114111111263333⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、()2,R A A =∴ 的特征值有且只有一个是0.设λ为A 的特征值,则2()2f λλλ=+为2()2f A A A =+的特征值,而()f A O =的特征值必为0,220,0λλλ∴+==或2-.A 的全部特征值为2,0321-===λλλ.练习7.1一、1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡310122021；2.323121x x x x x x f ++=；二、1.1222212122311112222nn n n n ii i i i f x x x x x x x x x xx x --+===+++----=-∑∑ ，()()R f R A n ==.2.23()32(23)(32)(745)745x y z f x y z x y z x x y z y x y z z x y z x y z ++⎛⎫ ⎪=++=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭2222152352106()133535x x y z xy xz yz x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,215133()()3535A R f R A ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，.三、1.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323112220112200012212012()010001020001004TT y y y y y y y y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=----=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212324y y y =-+.2.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232311111122010022011212011()010*********022TTy y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=----=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222123y y y =-+.四、1.220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,32368(1)(2)(4)A E λλλλλλλ-=-++-=--+-,令0A E λ-=，得1231,2,4λλλ==-=.对于11λ=,解方程组()0A E x -=,得基础解系1(2,1,2)T ξ=-； 对于11λ=-,解方程组(2)0A E x +=,得基础解系2(1,2,2)T ξ=； 对于34λ=,解方程组(4)0A E x -=,得基础解系3(2,2,1)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123212333122()333221333P ξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1124T P AP P AP -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()24T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====-+.2.222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 22220220225421421424521549A E λλλλλλλλλλλ-------=--=--=----------2222(1)(1)(1110)(1)(10)49λλλλλλλλ--=-=--+=-----,令0A E λ-=，得1231,10λλλ===.对于121λλ==,解方程组()0A E x -=,得基础解系12(2,1,0),(2,4,5)TTξξ=-=； 对于310λ=,解方程组(10)0A E x -=,得基础解系3(1,2,2)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :3121232213535142()3535520335P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使11110TP AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()10T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====++.五、1111111A a a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,A 的特征值为2,2,b ,则221113b ++=++=,1b =-. 又2111211(1)0,111A E a a a a ----=--=+=∴=---. 111111111A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.对于122λλ==,解方程组(2)0A E x -=,得基础解系12(1,1,0),(1,1,2)T T ξξ=-=-；对于31λ=-,解方程组()0A E x +=,得基础解系3(1,1,1)T ξ=.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123111263111()26321063P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1221TP AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()22T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====+-. 且22()()()T T T T T T xx x Py Py y P P y y Ey y y y ======,2222222212312322222222236T f y y y y y y yx x x =+-≤++====⋅=,∴f 在3=X X T 下的最大值为6.(上式在30y =时等号成立,即取得最大值)练习7.2 练习7.3一、1.22231213232444f x x x x x x x x =-+--22222123121323132(222)23x x x x x x x x x x x =+++---- 222123132()23x x x x x =+---,令11123233x y x x x y x y=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩，则22212322f y y y =-+-. 所作的可逆变换为11212333x y x y y y x y =⎧⎪=-++⎨⎪=⎩，即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,则2222221212231133223322442(2)2(2)f y y y y y y y y y y y y y y =-++=++--+2213232()2()y y y y =+--,令13123233y y z y y z y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,即11322333y z z y z z y z=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,则221222f z z =-. 所作的可逆变换为1122123332x z z x z z z x z =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩,即112233*********x z x z x z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、1.不是,2210a bA a b b a==--=-<- ；2.是正, 是负.三、1140102t A t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若A 为正定,则2211140,404204102t t t t t t =->=->,⇒22<<-t .四、1112125t A t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,若A 为负定,则 2211110,125401125t t t tt t t---=->-=-<---,⇒540<<t .五、设λ是A 的特征值,则2()56f λλλ=-+是2()56f A A A E O =-+=的特征值,25602λλλ∴-+=⇒=或3λ=.A 的特征值全为正,则A 是正定矩阵.六、设λ是A 的特征值,A 为正定,0λ∴>.()T T T T A E A E A E A E λλλλ-=-=-=- ,T A ∴与A 有相同的特征值,从而TA 的特征值全大于0,则TA 也为正定.1A - 的特征值为1λ,1A -∴的特征值全大于0,则1A -也为正定.*A 的特征值为Aλ,而0A >*A ∴的特征值全大于0,则*A 也为正定.七、B 为正定,B ∴为对称矩阵,有TB B =,且0,B B >可逆. 0x ∀≠,则0Bx ≠(否则11()00x B Bx B --==⋅=).从而有()()()0TTTTf x BAB x x B ABx Bx A Bx ===>(A 为正定), 故BAB 为正定.自测题(第五、六、七章)一、1.0；2.若2是A 的特征值，则12是1A -的特征值，212⎛⎫ ⎪⎝⎭是1221()()A A --=的特征值，2122⎛⎫ ⎪⎝⎭是212112()()2A A --=的特征值，211()2A -∴必有一个特征值为12.3.2,2,-2；4.10==y x ，；5.–3；6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----321222121；7.0；8.3； 9.2122121,430,1,31212A A E λλλλλλλ---⎛⎫=-==-+=== ⎪---⎝⎭,22123f y y =+ 10.1122112212()s s s s s A k k k k A k A k A k k k ηηηηηηβββ+++=+++=+++12()s k k k ββ=+++= , 12(1)0s k k k β+++-= ,12120,101s s k k k k k k β≠∴+++-=⇒+++=二、练习6.1二、1.(2)0R A E -≠,A 不相似于对角阵.三、设1112132122233132,1a a a A a a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为正交矩阵,A ∴的列向量是单位向量, 2222221323313213233132(1)1,(1)10a a a a a a a a ++-=++-=⇒====,1112212200,0001a a A a a Ax ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭的解为1111222000000011T a a x A A a aββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四、设A 的与4λ=对应的特征向量为123(,,)Tx x x ,它与2λ=-对应的特征向量1η正交,12320x x x ∴-++=,它的一个正交基础解系为23(1,1,0),(1,1,1)T T ηη==-,31212311162311162321063P ηηηηηη⎛⎫-⎪⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1244P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1223124413244220T A P P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11162311162321063x y ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.五、见自测题(第一,二,三,四章)七大题当0=a 时，无解；当b a a ≠≠,0时，有惟一解:Taa x )0,1,11(-=，当b a a =≠,0时,有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 六、1.()11231001011,00121P P AP ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,1110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； 2.10101110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 七、A 为正交正定矩阵,1121,TTA A A A A A A AA AA E ---∴==⇒=⇒=== 设λ为A的特征值,α为对应的特征向量,即22222(1)0A A E αλααλααλααλαλα=⇒=⇒=⇒=⇒-=,20,10αλ≠∴-= ,又A 为正定,1λ∴=,即A 的特征值全为1,A 与E 相似, 11,P AP E A PEP E --===.八、设20120()(0)m m f x a a x a x a x a =++++≠ ,假设0是A 的特征值,则(0)f 是()f A O =的特征值,0(0)0f a ∴==,与已知矛盾, 0∴不是A 的特征值.模拟试题一一、1.设()123B βββ=，AB O = ，即()()()123123000A A A A ββββββ==，1230,0,0A A A βββ∴===，则123,,βββ是方程组0Ax =的解向量，又()2,R A =∴ 0Ax =的基础解系含有1个解向量，即0Ax =只有一个线性无关的解，故123,,βββ最多只有一个线性无关，123()(,,)1R B R βββ=≤，又,()0,()1B O R B R B ≠>∴=.2.1230262!0032000n nA n n n==, (1,2,,)222(1)(1)2(1)2(1)2(!)2i n i r r i n nn n n n n O AA OB A A A n A OOA+↔=======-=-=-=- .3.122212123304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A α 与α线性相关,2334111a a a a a ++∴==⇒=-. 4.()101310131001111401010101011301130012αβγξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ξαβγ=++,ξ在基,,αβγ下的坐标为(1,1,2).5.()3,0R A Ax =∴= 的基础解系含有4-3=1个解向量. 123,,ηηη 是Ax β=的解,1223,ηηηη∴--是0Ax =的解,则1223123()2()32(0,1,0,0)T ξηηηηηηη=---=-+=是0Ax =的基础解系. 又*123`1()(1,2,3,4)3T ηηηη=++=-是Ax β=的解,Ax β∴=的通解为 (1,2,3,4)(0,1,0,0)()T T x c c R =-+∈.6.23*12*1*1221()()()32TT A B A A B A A B A AA B---====. 7.()2211123()4()()()44A A E O A E E A E A E E A E A E ---=⇒-=⇒--=⇒-=-.8.设A 的特征值为12,,,,1n i λλλλ= 或1(1,2,,)i n -= .A 为实对称矩阵,∴存在可逆矩阵P ,使得121n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ,则1A P P -=Λ, 21222111122111n A P P P P P P PEP E λλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.二、*29A B -=- *1*1119[(2)]9(2)9(2)9(2)A E A A AA A A E A E ----=-=-=-=+1203932019000303009001⎛⎫- ⎪-⎡⎤⎪⎢⎥ ⎪==⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎪⎣⎦- ⎪ ⎪⎝⎭.三、22222(2)2(2)A A E O A kA A kA k k E E k k E O ++=⇒++-+-+--=2()(2)()(22)A A kE k A kE k k E ⇒++-+=--+ 2[(2)]()(22)A k E A kE k k E ⇒+-+=--+,221,220,[(2)]()22k R k k A k E A kE E k k ∀∈-+>-+-+=-+,A kE ∴+可逆,[]121()(2)22A kE A k E k k -+=-+--+.四、()()121122n n n n n n B t t t βββαααααα==+++()12121000101n n t t t ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭, 当1-=n t 时,()1R B n n =-<,方程组有非零解.五、A 是正交矩阵,A ∴的列向量是两两正交的单位向量,0,1,Ti j i ji j αα≠⎧=⎨=⎩则()12121121100001000101T T T n T n T T T T n B A C ααααααβαβαβαβ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 100,T T B A B A B A C B B ====≠⇒≠ 可逆,111111111()()()()()T T T T T T B CA B B CA AC B AC C A ---------=⇒===⇒==.六、设0λ是B 的任一特征值,则0()0f λ=.()f A 可逆()f A ⇔的特征值全不为00()0f λ⇔=不是()f A 的特征值0λ⇔不是A 的特征值.七、1.设A 的特征值为12,,,n λλλ ,{}12max ,,,nk λλλ= .A 为实对称矩阵,∴存在正交矩阵P ,使得121T n P AP P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , ()112212()()T T T T n n n y y f x Ax Py A Py y P APy y y y y λλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221122n n y y y λλλ=+++ ,22222222112212T T n n n x Ax y y y ky ky ky k y k x kx xλλλ=+++≤+++=== .()22()()T T T T T T x x x Py Py y P Py y Ey y y y======2.222211111333T T T AA αααααααααααα=≤==.八、本教材无此概念.模拟试题二一、1.42342311a a a a ；2.(2 3)，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；3.()n A R =；4.3213αααk +-；5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310122021.二、1.)(233y x +-；2.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/12/511412/12/101A ；3.2=λ；4.213212),,(ααααα，，=R ；5.TT 2T 10,0,1110,1121,0,111,119c 0,1,115,111c x ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-==12/12/1p ,011p ,111p 9,1,0321321；λλλ；7.23222142y y y ++-. 三、1.∵()()()()()E AA AEA A BB A A B AB AB AB T T T T T T T=====,∴AB 也是正交矩阵. 2.设R k k k ∈321,,，使得()()0321321211=+++++ααααααk k k ,即 ()()0332211321=+++++αααk k k k k k ,∵321,,ααα线性无关,∴0000321332321===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++k k k k k k k k k , ∴321211,,αααααα+++线性无关.。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。
推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。
推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。
化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
本科线性代数真题答案解析
本科线性代数真题答案解析线性代数是数学中的一门重要学科，广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、工程学等等。
本文将对一些典型的本科线性代数真题进行解析，通过详细的步骤和思路分析帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。
1. 题目一：已知一个3x3的矩阵A满足方程A^2 - 3A + 2E = O，其中E是单位矩阵。
解析：首先，我们先了解一下方程中的符号含义。
A^2表示矩阵A自乘，即A乘以自身；3A表示矩阵A的每个元素都乘以3；E是单位矩阵，即对角线上的元素全为1，其它元素全为0；O表示零矩阵，即所有元素都为0。
根据题目中的方程，我们可以进行如下推导：A^2 - 3A + 2E = OA^2 - 3A = -2EA(A - 3E) = -2E接下来，我们需要求解矩阵A的值。
由于A和E互不为零，所以可以将方程两边同时乘以(A - 3E)^-1，即矩阵(A - 3E)的逆矩阵。
这样就得到了A的表达式：A = -2E(A - 3E)^-1通过求解矩阵(A - 3E)，我们可以得出(A - 3E)^-1的表达式，进而求得A的具体数值。
2. 题目二：设A、B、C分别是n阶矩阵，证明矩阵积的转置满足(A·B·C)T = CT·BT·AT。
解析：根据矩阵的转置规则，我们可以将矩阵的乘积转置为每个矩阵的转置的乘积。
根据题目中所给的等式，可以表示为：(A·B·C)T = (Ct·Bt·At)接下来，我们通过对矩阵的转置进行展开，可以得到以下等式：(A·B·C)T= CT·Bt·At再利用矩阵的转置规则，我们可以得到：(A·B·C)T = CT·BT·AT可见，矩阵积的转置等于每个矩阵的转置的乘积，证毕。
3. 题目三：设V是n维向量空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，证明任意向量v∈V可以唯一地表示为v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn，其中a1, a2, ..., an是唯一确定的。
线性代数典型习题讲解
1 2 0 5
解1 首先寻找含零个数最多的行或列。本题第3列含两个零，于是
从第三列着手，再变出一个零元素。
12 0 4
1 0 r3r2 1 2 D 3 1 1 0
（按第3列展开得）
1 2 0 5
12 4
12 4
D 1 (1)23 4 1
2
r3 r1
4 1
2 （再按第3列展开得）
1 2 5
0
0
1
2 1
1 0
11 11
【例】
利用逆矩阵求下列方程组的解
x2 2x3 1 x1 x2 4x3 0
2x1 x2
2
解 设所给方程组的系数矩阵为 A ，未知量矩阵为 X ，常数项矩阵
为 B ，即
0 1 2
x1
1
A
1
2
1 1
4
0
X
x2
x3
B
0
2
于是，线性方程组可以写成矩阵方程：AX B
012
因为 A 1 1 4 2 0
2 1 0
所以 A1存在，在上式 AX
B
两边同乘A1 ，得：X
A1B
12 12
下页继续……
又因为 所以
4 2 2
A
8
4
2
3 2 1
2 1 1
A1
1 A
A
4
3
2 1
1
1
2
2
2 1 1 1 0
则
X
A1B
4
2
1
0
2
3
1
1
2
1
2
2
2
即原方程组的解为：
线性代数习题及答案解析
1. 三阶行列式()100420563= 。
A. 6B. 1C. 2 答：A 。
2. n 阶行列式()00100200n=。
A.!nB. 2!- C. 1(1)!--n nn答：C 。
二、讨论题1. n 阶行列式怎样定义的？答：n 阶行列式是这样定义的：（1）位于不同行，不同列n 个元素的乘积；（2）共有!n 项，每一项确定：行标为自然数排列，列标为1,,n m m ，当列标为偶数排列时取正号，为奇数排列时取负号；（3）一般项为11(1),-n N m nm a a 即11(1)=-∑n N m nm D a a 。
2.从左上角到右下角，对角线称为什么？ 答：主对角线。
一、选择题1、将行列式转置，行列式值（ ）。
A. 变B. 不变C. 不确定 答：B 。
2、把行列式某一行的倍数加到另一行，行列式（ ）。
A. 不变B. 变C. 不确定 答：A 。
二、填空题1. 行列式123456789D =中12a 的代数余子式为 。
答 ： 12(1)(6)+--。
三、讨论题1、按第一列展开行列式的定理指的是什么？ 答：111111n n a A a A D ++=。
2.、按第一列展开行列式与第二列代数余子式乘积之和的定理指的是什么？答：1121120n n a A a A ++=。
一、选择题1、行列式100302540=（ ）。
A. 6B.（-8）C. 8答：B 。
2、行列式1000520067389104=（ ）。
A. 2!B. 3!C. 4!答：C 。
二、填空题1、行列式12345006D == 。
答：用上三角行列式24。
2、行列式127158169D =-=- 。
答：-8（其解题过程为：2131127715071588160816+==-+r r D r r ）。
三、讨论题1、用化零降阶法计算行列式111111a D a a=等于什么？答：213222301111011(1)(1)(2)1111---+--=-=-+--a a r ar a Da a a a a r r a。
线性代数例题讲解学习
线性代数例题[ 1]行列式例1：若1, 2, 3, 1, 2都是四维列向量，且四阶行列式「231 m,, 1 2 2 3|门，四阶行列式3 2 11 2等于多少？例2：设A是n阶方阵，且A 0，则A中()(A) 必有一列元素全为零；(B) 必有两列元素成比例；(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.例3:设A 佝»3 3，A j为a j的代数余子式，且A j a j，并且0，求 A.例4:设四阶方阵A (a j)44，f (x) E A，其中E是n阶单位矩阵，求：(1) 4的系数；(2) 3的系数；(3)常数项.例5:设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，AA T E，A 0，计算A E .例6:设A，B为n阶正交矩阵，若 A B 0，证明A B是降秩矩阵.1 0 0例1:设A 10 1，证明当n 3时，恒有A n A n 2A E .0 1 0111 例2:设(1,2,3,4), (1,—, T, T)，A,计算A .2 3 4例3:设三阶方阵A , B满足关系A 1BA 6A BA，且A求B1例4:设A是三阶方阵，|A -，求(3A) 1 2A*例5：证明：若实对称矩阵A满足条件A20,则A O例6:设A E '，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，证明：(1)A2 A的充要条件是’1 ；(2)当’1时，A是不可逆矩阵.例7:已知n阶方阵A满足2A(A E) A3，求(E A)10000100 1例8:设A*，且ABA 1BA 1 3E，求B.101003081 0 0例9:设f (x)1x2 x100 典x ，A0 0 0，求f(A), f (f (A)) 0 1 0例10:设A,B是n阶方阵，且满足AB A B，证明：AB BA例11:设A 是n 阶方阵，是否存在B E ，使得AB A ，若存在B ，指出例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第 列加到第三列得C ，则满足AQ C 的可逆矩阵为0 1 00 1 00 1 0 0 1 1(A )1 0 0（B ） 1 0 1（C ） 1 0 0 （D ） 1 0 01 0 10 0 11 10 0 1例14：设A,B 是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足A 2 AB B 2 0 ,证明A和A B 都是可逆矩阵，并求它们的逆一 1例16：求n 阶行列式例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使A m 0，又B 是n 阶可逆矩 阵，证明矩阵方程AX XB 只有零解.an a 12 a 13a 21 a 22 a 例12：设Aa 31 a 32 a33a 41 a 42 a430 0 0 1 0 1 0 0PP 20 0 1 0 1 0 0 0其中A 可逆，则 B 1（）a 14 a 14 a 13 a 12 ana 24a 24 a 23 a 22 a 21，Ba 34 a 34 a 33 a 32 a 31a 44 a 44 a 43 a 42 a 411 1(A)A PR ； (B)R A P 2 ；1 1(G P 1P 2A ； (D)P 2A R .例15：设A,C 分别是m 阶和n 阶非奇异方阵, B 是m n 矩阵，证明: （1） M A B 为可逆矩阵；（2）M0 CA 1BC 1中所有元素的代数余子式的和求B 的办法，若不存在，说明理由10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1例18:( 1)设A,B是n阶方阵，且AB 0，证明：R(A) R(B) n(2)设 A 是n 阶方阵，且A2 A 2E，证明：R(2E A) R(E A) n1 2 3例19:已知Q 2 4 t ，P为三阶非零矩阵，且PQ 0,则()3 6 9(A)t 6时，P的秩必为1；(B)t 6时，P的秩必为2；(C) t 6时，P的秩必为1；(D)t 6时，P的秩必为2.例20：设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n m，若AB E，证明B的列向量线性无关.例21：求n(n 2)阶方阵A的秩，其中a b bb a bAb b aA B例22：求设A,B,C,D是和n阶方阵，G ，且C DAC CA, AD CB，又行列式A 0，求证：n R(G) 2n.例23：设A是m n矩阵，B是n s矩阵，并且R(A) n,证明：R(AB) R(B)例24：设n维列向量组1, 2线性无关，向量组t可用s线性表示，表示矩阵为C，证明:(1) R( 1, 2, ，t) R(C)(2)当t s时，有s线性无关C是可逆矩阵.的转置.证明：（1）秩r（A） 2⑵若,线性相关，则秩r（A） 2（2008年数学一）例26：设AB均为2阶方阵，A*, B*分别为AB的伴随矩阵，若A 2,B 3, O A则分块矩阵B O的伴随矩阵为O*3B O*2B(A)"O (B)"O2A3AO*3A O2A（C）心O(D) *O2B3B（答案：B）（2009年数学一、例25:设,为三维列向量，矩阵A T,其中T分别是例1:设向量组例2:设向量组例3:设向量组3线性无关，证明向量组1 1也线性无关.关，则向量可由向量组例4：设向量佝&,m线性无关，讨论向量组1的线性相关性.m线性无关，向量组2, ，m线性表示.m?线性相,a n）'，A为n阶矩阵，如A m 1A m，则，A ,A2, ,A m1线性无关.例5:设A为n阶矩阵，证明R（A n） R（A n1）例6：设向量组m1（m 3）线性相关，向量组2，3? ，m线性无关，问（1）1能否由3? ，m 1线性表示？（2）m能否由1, 2，，m 1线性表示?例7：设向量组I线性无关，向量1可由它线性表示，向量2不能由它线性表示，证明I1个向量1, 2, ，l,k 1 2线性无关.例8：设向量组A {2, ，m}与向量组B { I}的秩相同，且向量组A可由向量组B线性表示，证明A与B等价.例9：设A为n阶矩阵, s是一组n维向量，满足A i i 1 i , i 2,3, ,S，并且 1 0，证明向量组s线性无关.例10：设3是线性无关的5维向量组, 3也是5维向量组,满足(i, j) 0,i, j 1,2,3。
大一线性代数考试题库及答案解析
大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。
2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。
将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。
二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。
答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。
4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。
答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。
三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。
答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。
6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。
答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。
但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。
四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。
大学线性代数典型例题解析
0 -10 £)=-6-1973Li-10；十1严-II—6-19 5-13 20 120 D=I-19 5-13 20 I=(-1 严20 -19I -13大学线性代数典型例题解析一•行列式计算的典型例题分析:1•利用降阶法。
计算3 5 1()2 14 5D =17 4 2-3511解邂第三列乘权-3和-5分别加到第一列、第二列■然厂按第一行展开.得再将第三列乘以6加到第一列:按第三片展开’探「I以上演算过程可知,对于任意n阶行列式D,皆町用行列贰性质变为等置的n-1阶行列式, 2•利用化三角形法计算。
a -b —c la计算D 二2b b-c-a2c 2cIff：将第二廿与弟三打都加到第一打上，帯提出公阖子(a+b+cj,得a + h + 匸口 + A + u o + /)+ cD - 2b b -c — a 2A2c 2c c-a-bI 1 I—(a h + c) 2b b^c —a 2b2c 2c c —a — Z?再将第一疔乘以(-2b)和(-2e)分别加到第二行与第三行，得1 IID = (a + fr + c)0 ^[a +b +c)= (a ^-b + c)3 =0 0 —(a + Z? + c)3.利用升阶法。
D-II=fl “y)(i+£亠n 这里设a^A(f=I 52,3,4) i±i t±］人・吗这个结论可以推广到n 阶疔列式的情兀即a,4.利用范德蒙公式。
10 0 0 011 1 1 1■4a Q \-^iZ — d ■0 0 0 -a za 2Za 2 5=0 0 -码Ja%-码0 0 A - a 3 0码zA - a 4^列代帥到第—列上條第3列急倍9.5已知1 11I0 1 1 1 0 0 1 I 0 0 0 I锂将行列式转置住知它是一个4阶范苞讓行列式-HI ：1 r i X1 11 1]4 Sx 2 -3 5 ] -3 9-27x z 49 25 1■25 125F 8-2712= (2-_r)(-3 -工)(5 -工)(-3 - 2)(5 - 2)(5 + 3) = 0(方程的解为x = 2,x = -3,x = 5)H.矩阵i vp| = i^a 用伴随矩阵法I I 1 岛】=0 I 1 = 1, Z 】2 = A 、、= A }i = 00 0 1ft m 悭方程X1 525 =00 I 0 00 =0 =0A=且|出| =#03可逆，由三儒块求逆法.宀-0鞘口2 切卑丫变耳広1 1 1 1 1 0 0 0_10 0 0 1 -1 0 厂0 1 1 1 0 1 0 0 町一牛0 1 0 0 0 1 -1 0 00 1 10 0 1 0 巾•口0 0 1 0 0 0 1 -1 _0 0 0 10 0 0 1_0 0 0 11超法(4)分块法'I I 0 Id J = - - ■-*b0 0 0 00 0 -1 0 I -I其忙0 |1 00 0_故f50 1 勺0 ©17 ;求X使XA=B F这里川二 1 -3 -2・B — 5 3 05 21\|126 0>分析；根辦矩阵乘法规则,X应为3阶方阵.若A可連，则XA-B两恻同乘T T［即可得X = BA'\箏注_:先求(5 0 I =10 0^I -3-2,10[-5 2 1 : 0 0 1>fl-3-2 ；0 1 (?| f ] -3_勺J i 0i d\0 9 2 i 1010 15i 7 5 8lo -13-9 ； 051〔0 22i 10 1/11II00 :fl -：1-2 =0 丨0、R4895110 1 5 : 7 5g010 :04lo 0-8 : -13 -100u I J西4515\848丿(I 2 3、.'.A~x- 9 10 11< —13—10—15>103(123、fl—3则x = BA~{=-530910 11—456A<26o「10-15;<7 £9Kt鯉因削執右佻因此匕別二血环是沪乩姊上狛于俯等式馳同时右乘八降二：= f可以看成-些初等矩阵Z札它储乘B,用当于对B进行碱换.Ift这輕初等斛桶A.删L即和細斷同軸列初等变礼IE A变切时出把B变为启旳=⑷(H卩1因此iii_^si4…=…/丿册"丿N10i 0円S001S24 -12317 48 4562d 71S9V 2孙 /. X = 4 5 6<7 8 9丿(51 0-3 「-2r i 9 0 - 3 0、-11{ 1 0 0 亠3 0 12-5 2 1-92ID *-3 21-80 0-8 0 8 -8 0 8-3 0_5 -35-14-3 171-2 -6 0 J1-2 -62 J1-20-6 26；( 10 0A (\0 0、胖法一；AX=2X+B. !^ij (A-21) X=B若 A-21 可迎，则X = (A~2/)-1 B. fl 0 0) f s先求(A-2I)-l .^j A _2f= 0 “ -I 为准載筲矩阵，呦只需戒匚.T ；'的逆.I 】2丿f \0 0'二（月- ■2/)-1 =0 -2 7<0 1L&：8:设卫二0 1一|10 1 4>% 「B= 1】'求X 便AX=2X-B i& 70 £ -89 （说朝：斌二阶方阵用件随陈求逆也很方熾）I I5 0(p卩'3:.X =0 -2-I1]=-411<0 11丿12 -匀13無法二：X = （A-2irB,^（A-2iy'^当于一些初等阵之积，它们右乘氐相当于对已进疗行初等变唤=丙此（A -21,8} F"苇孚臭・片人X）.f\ 0 0 3 6^<10 0 3 6、r l 0 0 30 10-410 -I -1 1 I—>0 1 1 -1 -1—>1<0122 -3；<0013 -2y<0 0 1 3:3 6> 二x = -4 1例1D设占为ri阶可逆方阵点证：①（・』尸=卜1严八②卜』厂=・犷③（屮）—卩厂鼻证：①设A = （a.t）^中®的代叢余子式为坷则卜牛卜附卜卜1）%|且・切的代数余子式为卜叮1尙于是（卜旷如~卜旷4）=卜1严屮②证法1：由定几卜川・卜沪）=（-1）小（」）才上卜1"才T 故卜川“ =-<\证法2:由公式③当A可逆时,才=|车J故（/（*）*=（|J|Z）*=|彳州•悴于=14 -p-j—tr1）-1\A\说明;这里几个等试证明中用到了以下结论：⑴片呵=昇・网(2) (k -B)-1⑶町卜『③也可有如下解法:AA^ = \A\-1设f =艮则B*B=\B\1 由AA* = \A\I t^\A\ \A•|=p|-/| = |^ v A可逆，屮|* 0. |叶|犷,即网="I j H 0而#T = A AA^ = \A\* l t：. -^A^A* = 1)HI 同冷十「冷八|旷/•向量和线性方程组附已脳产(即)角=(”1入妒®』)嘲*为Mtta［岛角職暂弱血滩牝泌泌拋联糊谓加佝脚t跆*：墟IB于翡附箭$ “+铤+竝广0抽&&只有黠脑泌曲魁无关;抑詁有丰需轨鸟卫擲I 3 2D=2 -I3◎二*于是孔] -i 日十] 1124?+8I1 -1 20盘+】011110 1-120 1 a 2占+】0 2 ・2 “5 27 j + = 0弓+ 3血=03^( + 2k2 + ak3=0 果数吁列式3 2—1 3 = -7(i? - 5)0 a-5⑴ 当D=-7(fl-5) HO时.方程#汀!有寧劣闵此当a W时.a：,他4』线性无关. ⑵ 当0=-7(<2-5>0时’方程组有非零解，因此当d =5时.4“如线性相关.设or, =k\a{+k\ a2则(3. 2, 5) = (#'3+3k\ f2k\ -k'2,3k\ ^-2k\)比+3心3B|l! ^2k\-fc'2= 2探'严2码二5a t = (1023)匚勺=(143.5)7,«3 =(l,-l,a +2>l)r t a<= (1^4,0 +8)r, 0 = (】」』+3上卩问a,b为何值时，0不能表示f&a]f a2 f a3f a4的线性组合;日，b为何虫时.0 口丁以由a n a iy a ir a4线性表示，且表示法>€—・輕：如俛6分析，上述问邇等价于0二禺％ +虬s +咫乙是否有崩即)11 1 ■\_■ 1 ■0 1-12工：1=2 3 o + 2 4d+33 5 1 a+^£5是否育第氐为供10设j1 A =11■—1 2 5 2 3 7 3 4 9 45 1110 )316=1#0,而所有包含D 的三阶子式为D* = 囲此秩A=2方法2I 12 I 23=0. I 34I I 5 2 =1 II I 7D 6 =I 2 10 1 4 16=0.兀中kr : + r 表不矩阵第i 吁乘収k 加到第j 行，因此,当b=0时丫方程组有无穷梦解，戸可以表示J&s 卫 2*的线性组合. 当廿二7上勿吋，方程魁育无穷爹隨此讨阿匕表示成色,/的线性坦今, 但表示注不唯一.天■的就 分析,一腹戒矩阵阿秩可以通过两个方法来戒’h 直接用行列式求矩埠的轶.即找出炬阵中屋高不为零子式的阶数. 2+利用初等变换來求矩阵的秩.方汇】与方注2-般根拯雄阵阶数夹定.对于做高建璋刖用初等变殃较为方怙112 5 71125 7 1 2 3 7 10 (-1) x f] +<0 11231 3 4 913i =2.3,4 0 2 246,」4 5 II 160 3 36 9I I 2I I 5I 1 7I 23=0, D 、=I 2 7 =0*Dy = 1 2 1C1 4 51 3 91 3 13聲 方法一：貞有一介二阶子式D ：D = 节＜7H-1时,0可以唯一；卫农示2b « + 6+ 10 0_1125 7(-2小5 十口 0 I 1(_3)卩 + 心0 0 0 0 0 0Alft] r(B)=2,因此 r (A) =2例5.判断务=(h 2 3), a2 =(3t2 J),勺=(kN I)是否线性相关.分析：研究向量弐％,並「…，宜般的线性相关的问題卜由定丈时知.就是考寰是否存在血个不全为零的数虬和，…，斤十便线性组劭兔&+$&+…+S出=0口/】+◎九姑因此.向量组S •’ 是否线性用关，等价于齐次线性方程组(引是否有非孚矮. 若方程红⑶有菲寧鹘.则务，线性期关.若方程经⑶只有零倒L则码j线性无关.那苗究向去间是否线性祁关同建•实质上就是硏究齐次线柱方程组⑶着没有零解问亂解法一设存在一组数昭出，灯使禺住1 +紿勺+ k i a i= 0 ■ 即^(1,2,3) +^13,23) + ^(133)= (0,0, Oh 亦即(A p. + 3& + &,2& + 2k2+ 3心,3A | + k2+ RJ = (0,0,0)・k}+3A F:+A J = 02A: +2A:+3k z= 03k -k2 +Aj =0_1 3 r系软矩忑2 2 3 =A.可以通过初等行变换求得r(A)=3. K'J此齐状线性方程鉉3 I 1■ ■只有零轉故碍住"住3统性无关.覚'r 1 h(4)如皿汕％馳表示等价刊济熾住方程姐⑷是 唯-的昶表示•若方灘（4）有无球性表示*但表乐法不唯一•若方程矩（4）无罠则 :…珂飙表示例6巳观产（MUM 厂仲厂卜加讦仏7卜1也小47卯小対1） 试務像示加i 角角和住■的唆齣含.分析:硏究某-向量雄否用向量釦角严几濾性表示糠歸有皿个救 匕岛「化使為0=&卫|祜角+"#屁虑立,N 占皿也杆叫A = Aa t J. + 偽屁 4Tor J. =h.u l孟■占"n* 皿 4眦向童滩否用向量脸崗否有麒着方脏沖）謎一亀M能妝q 穷多幣忖能用#能用©心解^P-k a也听+叭+也加即（1,2昇）詁伸山1）也（1」厂lHHMThTM—1」）£ + h + k3+£ = Iti +i, - L - k k= 2即0二一叭—a3 __g四.特征值与特征向量UJ例］.求矩阵的特征值和特征向量-1 r\ -3 4_ 4 = 2 0 1：.B =4 -7 81 -1 26 -7<-1 1(X「1 1 0\◎_2 4 -1 <2 = 0即:0 0 1X, = 0I -11 0>E 丿<< 0 0 oj <x 3©⑴fP解1 t :* A, 1 比q W)是屈F2的特证覚:ft ：4U/f-2 】-I Yx,竝于久严1；方程组好一旳X = Q 即为-2 1 -I<—1 1 —UL X 3>1刀■理=乂-31-1-】Z -*1-x-2 14-2 ZZ — = (z-2)|z- 1)1 1 01 Z 1-2 1 120 1Z — 10 1 1婆ir i -rJi 0 ©(0 -1 1 x 2 = 0 =>0 T I= 0<0 o o>\ J ><0<00 oj卫二丄的特征世为乙二久厂2,2严】*对于z ;: = 2P 方f^£(2l -AH=0, UI^J二解为1「出的持征置为2. 2. I . A的属于2的特征向量为仪I # 0),〔0丿◎I (帕RM二艺于2=1的持征向量T& 2向*切是属于-啲特征向量 I 】丿 4.1 (k 2 #0)是属于朝勺特征向董 WA 的属于1的特征向盘为& 1 (*2 *0) JJ= + "l =(A-3)(A + l)2 A 丹的特征值为右二心二一1,妇二3r■■f-23 -4\对于A, = =-l,^方程组C-I-A)X=0,^!(-Z-J)= 2 -I 0 J 7- jfo 2Ja -I <P0 -P (C0 —>10 1 lo o_2 —>0 I -2 *•!向童為=(2llj10 4一爲o y0 Ojf 2 3 -4X<2 3 -4^ 就于久严N 方程组(討「/1)X= a 3/-A =23 -40 16 -16厂6 7k 0 0 0 ；「2 o -r ((yT O 1 -1 解向量5 b 1・・/的特征值为T,-I3LO 0 0Jlb注I:求特社懐时戌难在于计算疔列式•应尽盘便中疔列式性质•理昊行(列)化成有冥 国一阴子(2的一次式人然后再计算•这样易于暹多项式区式分髀"由此化还可看出.半特花 值是重根时，不一宦有2个线性无关的特征向量.昂外，还可从解(AJ - A)X = 0中可验证 所求的特征值是否正确.(当(A1-A)X = O^有军解时，可以说明诸几不是特征值)注2：特tz 尙量是非零向量这要牢记.五.二次型L:将二次型 f = （x, J = + 2x} + 4x 占 + 2x }心 +4x 內 + 2毛屯+2兀心+2®兀表示成矩陈形式，井我该二次型的秩•勢：将二次型表示成矩阵形式X\4X H\其中A 是对帐矩阵’•且2化即为二巧阿系数（2丿）血叫即为疋的柬熱出此即得:几其秩为氛f 而该二诜A ->。