对称矩阵

摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。Abstract..................................................................................................... 错误！未定义书签。Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。前言.............................................................................................................. 错误！未定义书签。

1.对称矩阵的基本性质..................................................................... 错误！未定义书签。

1.1对称矩阵的定义........................................................................ 错误！未定义书签。

1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误！未定义书签。

2.对称矩阵的对角化.......................................................................... 错误！未定义书签。

2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 .............................. 错误！未定义书签。

2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例................... 错误！未定义书签。

3.对称矩阵的正定性.......................................................................... 错误！未定义书签。

3.1正定矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。

3.2对称矩阵正定性的判别......................................................... 错误！未定义书签。

4.应用举例 ............................................................................................... 错误！未定义书签。总结.............................................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ................................................................................................... 错误！未定义书签。

对称矩阵的性质及应用

摘 要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对

称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等.

关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用

The Properties and Applications of Symmetry Matrix

Abstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, positive definiteness of symmetry matrices and applications in quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc.

Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application

前言

矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重

要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用.

1.对称矩阵的基本性质

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1.1 对称矩阵的定义

定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件

T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：