第六章 不定积分
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果我们求得
f ((t))d(t) G(t) C,
那么作逆变换t 1(x)就得到
f (x)dx G( 1(x)) C.
例8.
a2 x2 dx,
1 dx, x2 a2
1 dx. x2 a2
例9.
dx , x3x
x(2x 1)100 dx,
dx . x2 1 x2
分部积分法
cot xdx, sin3 xdx,
dx . cos x
例4.
dx , a2 x2
dx , x(1 x)
a2
dx
x2
.
例5.
讨论不定积分
x2
dx px
q
的解法。
推广：
x2
Ax B px
dx q
A
2 x2
(2x p) dx
px q
B Ap 2
x2 px
dx. q
例6.
x a 和 x2 px q ( p2 4q 0).
最简真分式只有如下四种：
A, xa
Ax B ,
x2 px q 其中p2 4q 0.
A (x a)m
(m 1),
Ax B (n 1),
(x2 px q)n
给出这四种类型的积分方法！
有理真分式的分解
Q(x) (x a)k (x b)t (x2 px q)l (x2 rx s)h ,
可以证明有理真分式可以作如下分解：
P(x) A1 A2 Ak
Q(x) x a (x a)2
(x a)k
B1 B2 Bt
x b (x b)2
(x b)t
C1x D1 C2 x D2 Cl x Dl
x2 px q (x2 px q)2
dx,
1 dx, 1 x2
cosh xdx,
sinh xdx,
dx . x2 a2
不定积分的线性性质
设函数f (x)和g(x)的原函数存在，则
k1 f (x) k2g(x)dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx,
其中k1, k2为任意常数。
例1.求不定积分。（拆项）
tan2 xdx,
I
dx
1 x3
,
J
xdx
1 x3 .
Hint:考虑I J与I J.
例7.
I
a
sin xdx cos x bsin
, x
J
cos xdx a cos x bsin
. x
第二换元法
计算 f (x)dx时，作适当的变换x (t),
其中 (t )是区间I上的严格单调的连续函数， 在此区间内部可导，且 '(t) 0,
(a bx) p xqdx, ( p, q和p q都是非整数)
R(x, ax3 bx2 cx d )dx, (R是有理函数)。
第三节 其他类型函数的 不定积分
有理函数 三角有理函数 无理函数
有理函数
R(x) P(x) Q(x)
其中P( x), Q( x)为互素多项式，可以 证明它的不定积分一定能够表示为 初等函数。
F(x) C 也是f 的原函数，且f 的任何原函数都可以表示为 这种形式。
不定积分
一个函数f (x)的原函数的全体称为这个
函数的不定积分,记为 f (x)dx, 其中 f (x)称为被积函数， 为不定积分的符号。
注：( f (x)dx) ' f (x)， F '(x)dx F(x) C.
x2 a2 dx,
x2 a2 dx,
sec3 xdx.
例12.
In sinn xdx.
例13.
In
(x2
dx a2 )n
.
例14.初等函数的原函数未必都是 初等函数。
ex2 dx,
sin x
x
dx,
cos x
xdx,
1 ln x
dx,
sin x2dx,
cos x2dx,
(x2 px q)l
E1x F1 x2 rx s
E2 x F2 (x2 rx s)2
Eh x Fh (x2 rx s)h
真分式：分子次数小于分母次数的 有理函数。 假分式：分子次数大于或等于于分 母次数的有理函数。 通过多项式除法，任何一个假分式 都可以写成一个多项式与一个真分 式之和。因此只需要讨论真分式的 不定积分。
任何真分式都可以写成最简真分 式之和。最简真分式是指分母为 素多项式或素多项式之幂的真分 式。对于系数为实数的多项式来 说，素多项式只有两种：
例1.
e3xdx,
1
sin2
dx, ax
1
sin
2
2
dx, x
cos(ax b)dx.
例2.
xex2 dx,
x dx, 1 x4
x2dx . cos2 (x3 )
例3.
lnk x
xdx,
sin2 xdx,
tan xdx,
cos3 xdx,
ex dx,
1 e2x
cos2 xdx,
d[u(x)v(x)] v(x)du(x) u(x)dv(x)
u(x)v '(x)dx u(x)v(x) v(x)u '(x)dx
例10.
xexdx, x cos xdx, x3 ln xdx, arctan xdx, x2 sin xdx, ex sin xdx.
例11.
1 sin 2
2
dx, x
1
1
(x )(x ) dx, x2 a2 dx,
x
x2 2
wk.baidu.comdx, 1
x
1 4
dx, 1
x3
x2 x 1 2x2 x
dx. 2
第二节 求不定积分的方法
换元积分法 分部积分法
第一换元法
如果我们求得
g(u)du G(u) C,
那么
f (x)dx g(u(x))du(x) G(u(x)) C.
第六章 不定积分
第一节 不定积分的概念
原函数 不定积分 不定积分的线性性质
原函数
定义：设函数f (x)在区间I上有定义。
o
如果函数F在I上连续，在 I 可导，且
o
F '(x) f (x), x I , 则称F是函数f 的一个原函数。
定理 : 设函数f 在区间I上有定义。如果函数F (x) 是f 的一个原函数，那么对任意的实数C，函数
在允许相差一个常数的意义下，求不定积分 这一运算恰好是求导的逆运算。
求不定积分的基本公式
0dx, 1dx, x dx ( 1), x1dx,
dx xa
,
exdx, axdx (a 0, a 1),
1
1
cos xdx,
sin xdx,
cos2
dx, x
sin 2
dx, x
1
1 x2
f ((t))d(t) G(t) C,
那么作逆变换t 1(x)就得到
f (x)dx G( 1(x)) C.
例8.
a2 x2 dx,
1 dx, x2 a2
1 dx. x2 a2
例9.
dx , x3x
x(2x 1)100 dx,
dx . x2 1 x2
分部积分法
cot xdx, sin3 xdx,
dx . cos x
例4.
dx , a2 x2
dx , x(1 x)
a2
dx
x2
.
例5.
讨论不定积分
x2
dx px
q
的解法。
推广：
x2
Ax B px
dx q
A
2 x2
(2x p) dx
px q
B Ap 2
x2 px
dx. q
例6.
x a 和 x2 px q ( p2 4q 0).
最简真分式只有如下四种：
A, xa
Ax B ,
x2 px q 其中p2 4q 0.
A (x a)m
(m 1),
Ax B (n 1),
(x2 px q)n
给出这四种类型的积分方法！
有理真分式的分解
Q(x) (x a)k (x b)t (x2 px q)l (x2 rx s)h ,
可以证明有理真分式可以作如下分解：
P(x) A1 A2 Ak
Q(x) x a (x a)2
(x a)k
B1 B2 Bt
x b (x b)2
(x b)t
C1x D1 C2 x D2 Cl x Dl
x2 px q (x2 px q)2
dx,
1 dx, 1 x2
cosh xdx,
sinh xdx,
dx . x2 a2
不定积分的线性性质
设函数f (x)和g(x)的原函数存在，则
k1 f (x) k2g(x)dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx,
其中k1, k2为任意常数。
例1.求不定积分。（拆项）
tan2 xdx,
I
dx
1 x3
,
J
xdx
1 x3 .
Hint:考虑I J与I J.
例7.
I
a
sin xdx cos x bsin
, x
J
cos xdx a cos x bsin
. x
第二换元法
计算 f (x)dx时，作适当的变换x (t),
其中 (t )是区间I上的严格单调的连续函数， 在此区间内部可导，且 '(t) 0,
(a bx) p xqdx, ( p, q和p q都是非整数)
R(x, ax3 bx2 cx d )dx, (R是有理函数)。
第三节 其他类型函数的 不定积分
有理函数 三角有理函数 无理函数
有理函数
R(x) P(x) Q(x)
其中P( x), Q( x)为互素多项式，可以 证明它的不定积分一定能够表示为 初等函数。
F(x) C 也是f 的原函数，且f 的任何原函数都可以表示为 这种形式。
不定积分
一个函数f (x)的原函数的全体称为这个
函数的不定积分,记为 f (x)dx, 其中 f (x)称为被积函数， 为不定积分的符号。
注：( f (x)dx) ' f (x)， F '(x)dx F(x) C.
x2 a2 dx,
x2 a2 dx,
sec3 xdx.
例12.
In sinn xdx.
例13.
In
(x2
dx a2 )n
.
例14.初等函数的原函数未必都是 初等函数。
ex2 dx,
sin x
x
dx,
cos x
xdx,
1 ln x
dx,
sin x2dx,
cos x2dx,
(x2 px q)l
E1x F1 x2 rx s
E2 x F2 (x2 rx s)2
Eh x Fh (x2 rx s)h
真分式：分子次数小于分母次数的 有理函数。 假分式：分子次数大于或等于于分 母次数的有理函数。 通过多项式除法，任何一个假分式 都可以写成一个多项式与一个真分 式之和。因此只需要讨论真分式的 不定积分。
任何真分式都可以写成最简真分 式之和。最简真分式是指分母为 素多项式或素多项式之幂的真分 式。对于系数为实数的多项式来 说，素多项式只有两种：
例1.
e3xdx,
1
sin2
dx, ax
1
sin
2
2
dx, x
cos(ax b)dx.
例2.
xex2 dx,
x dx, 1 x4
x2dx . cos2 (x3 )
例3.
lnk x
xdx,
sin2 xdx,
tan xdx,
cos3 xdx,
ex dx,
1 e2x
cos2 xdx,
d[u(x)v(x)] v(x)du(x) u(x)dv(x)
u(x)v '(x)dx u(x)v(x) v(x)u '(x)dx
例10.
xexdx, x cos xdx, x3 ln xdx, arctan xdx, x2 sin xdx, ex sin xdx.
例11.
1 sin 2
2
dx, x
1
1
(x )(x ) dx, x2 a2 dx,
x
x2 2
wk.baidu.comdx, 1
x
1 4
dx, 1
x3
x2 x 1 2x2 x
dx. 2
第二节 求不定积分的方法
换元积分法 分部积分法
第一换元法
如果我们求得
g(u)du G(u) C,
那么
f (x)dx g(u(x))du(x) G(u(x)) C.
第六章 不定积分
第一节 不定积分的概念
原函数 不定积分 不定积分的线性性质
原函数
定义：设函数f (x)在区间I上有定义。
o
如果函数F在I上连续，在 I 可导，且
o
F '(x) f (x), x I , 则称F是函数f 的一个原函数。
定理 : 设函数f 在区间I上有定义。如果函数F (x) 是f 的一个原函数，那么对任意的实数C，函数
在允许相差一个常数的意义下，求不定积分 这一运算恰好是求导的逆运算。
求不定积分的基本公式
0dx, 1dx, x dx ( 1), x1dx,
dx xa
,
exdx, axdx (a 0, a 1),
1
1
cos xdx,
sin xdx,
cos2
dx, x
sin 2
dx, x
1
1 x2