2021年中考专题--翻折圆特训(含详细解析)
圆中的重要模型-圆中的翻折模型(解析版)
圆中的重要模型-圆中的翻折模型知识储备：1.翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2.圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3.等圆相交：如图，圆O 和圆G 为两个相等的圆，圆O 和圆G 相交，相交形成的弦为AB ，则弦AB 为整个图形的对称轴，圆心O 和圆心G 关于AB 对称，弧ACB 和弧ADB 为等弧，且关于AB 对称；4.弧翻折(即等圆相交)：如图，以弦BC 为对称轴，将弧BC 翻折后交弦AB 于点D ，那么弧CDB 所在的圆圆G 与圆O 是相等的圆，且两个圆关于BC 对称，故圆心O 、G 也关于BC 对称。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)如图，以圆O 的一条弦BC 为对称轴将弧BC 折叠后与弦AB 交于点D ，则CD =CA特别的，若将弧BC 折叠后过圆心，则CD =CA ，∠CAB =60°1(2022秋·浙江温州·九年级校考期中)已知点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC =30°，把劣弧BC沿着直线CB 折叠交弦AB 于点D ．若DB =7，AD =4，则BC 的长为()A.53B.9C.63D.73【答案】C 【分析】取点D 在⊙O 上的对应点E ，连接CE 、BE 、CD 、AC ，过C 点作CF ⊥AD 于F 点，根据四边形ABEC 内接于⊙O ，有∠A +∠E =180°，根据根据折叠的性质有：∠BEC =∠BDC ，可证明∠A =∠ADC ，即△ACD 是等腰三角形，则有AF =FD =12AD =2，进而有BF =BD +DF =9，再根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】取点D 在⊙O 上的对应点E ，连接CE 、BE 、CD 、AC ，过C 点作CF ⊥AD 于F 点，如图，∵四边形ABEC 内接于⊙O ，∴∠A +∠E =180°，∵点D 在⊙O 上的对应点为点E ，∴根据折叠的性质有：∠BEC =∠BDC ，∵∠BDC +∠CDA =180°，∴∠E +∠CDA =180°，∵∠A +∠E =180°，∴∠A =∠ADC ，∴△ACD 是等腰三角形，∵CF ⊥AD ，AD =4，∴AF =FD =12AD =2，∵BD =7，∴BF =BD +DF =9，∵CF ⊥AD ，∴△CFB 是直角三角形，∵∠ABC =30°，∴在Rt △CFB 中，CF =12BC ，∵在Rt △CFB 中，CF 2+BF 2=BC 2，∴12BC 2+92=BC 2，∴BC =63，(负值舍去)，故选：C ．【点睛】本题考查圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到∠A =∠ADC ，是解答本题关键．2(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，以AB 为直径的半圆沿弦BC 折叠后，AB 与CB相交于点D ．若CD =13BD ，则∠ACD =．【答案】36°【分析】如图，根据题意补出半圆，点A 的对应点为点E ，点O 的对应点为O ，连接O C ，CE ，由题意得到EC =15ECB ，进而求得∠CEB =72°，再根据圆内接四边形对角互补得到∠CDB =108°，继而求得∠DCB 的大小即可求得答案．【详解】解：如图，根据题意补出半圆，点A 的对应点为点E ，点O 的对应点为O ，连接O C ，CE ．则∠ABC =∠EBC ，∠ECB =∠ACB =90°，∴CD =CE，∵AC =CE ，∴AC =CE =CD ，∵CD =13BD ，∴EC =15ECB ，∴∠EO C =15×180°=36°，∴∠CBE =12∠CO E =18°，∴∠ACB =∠CBE =18°，∴∠CEB =90°-18°=72°，∴∠CDB =180°-∠CEB =108°，∴∠DCB =180°-∠CDB -∠CBD =54°，∴∠ACD =∠ACB -∠DCB =36°故答案为：36°【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，翻折变换等知识，正确作出辅助线、熟练运用相关知识是解题的关键．3(2023·山东济宁·九年级统考期末)如图，将AC 沿弦AC 折叠交直径AB 于圆心O ，则∠AOC =度．【答案】120【分析】过O 点作OD ⊥AC 交AC 于D ，交AC 于E ，连接OC ，BC ．根据折叠可得OD =12OE ，AD =CD ，根据三角形中位线定理可得OD =12BC ，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．【详解】解：过O 点作OD ⊥AC 交AC 于D ，交AC于E ，连接OC ，BC ．由折叠可得：OD =12OE =12OB ，AD =CD ，则OD 为△ABC 的中位线，∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，OD =12BC ，则BC =OB ，又∵OC =OB ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC =60°，∴∠AOC =180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】考查了翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，构造辅助线是是解决问题的关键．4(2023春·广西·九年级专题练习)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG :OC =3:5，AB =8，点E 为圆上一点，∠ECD =15°，将CE沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，图中阴影部分的面积=．【答案】25π3-2534【分析】如图，连接AO ，将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，可求出⊙O 的半径，由对称性可知，∠DCM =30°，S 阴影=S 弓形CBM ，连接OM ，根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：如图，连接AO ，将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB =8，∴AG =12AB =4，∵OG :OC =3:5，AB ⊥CD ，垂足为G ，∴设⊙O 的半径为5k ，则OG =3k ，∴(3k )2+42=(5k )2，解得：k =1或k =-1(舍去)，∴5k =5，即⊙O 的半径是5，连接OM ，则∠MOD =60°，∴∠MOC =120°，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，∴MN =MO ∙sin60°=5×32，∴S 阴影=S 弓形OMC -S △OMC ，即120π×25360-2534=25π3-2534，即图中阴影部分的面积是：25π3-2534．故答案为：25π3-2534．【点睛】本题主要考查直角三角形的，圆，扇形面积的计算，折叠知识的综合，理解圆的基础知识，直角三角形的勾股定理，扇形面积的计算方法，折叠的性质是解题的关键．5(2022·安徽·校联考模拟预测)如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =8，点C 是⊙O 上一点，连接AC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，将AC沿直线AC 翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点O ，则图中阴影部分的面积为()A.8π3+23B.4π3+23C.8π3+22D.4π3+22【答案】A【分析】如图，连接OC ，BC ．证明△OBC 是等边三角形，利用分割法求解即可．【详解】解：如图，连接OC ，BC ．可得OB =OC =4，∵∠CAO =∠CAB ，∴OC =BC ，∴OC =BC =OB ，∴∠COB =60°，∴∠AOC =180°-60°=120°，∵OD ⊥AC ，∴∠COD =60°，∴OD =12OC =2,CD =32OC =23，∴S 阴=S 扇形BOC +S △DOC =60π×42360+12×2×23=8π3+23，故选：A ．【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．6(2023·吉林长春·统考模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是()①AC =CD ；②AD =BD ；③AC +BD =BC ；④CD 平分∠ACBA.1B.2C.3D.4【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得AD =CD ；根据线段中点的定义可得AD =BD ；根据垂径定理可作判断③；延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断④．【详解】过D 作DD '⊥BC ，交⊙O 于D '，连接CD '、BD '，由折叠得：CD =CD '，∠ABC =∠CBD '，∴AC =CD '=CD ，故①正确；∵点D 是AB 的中点，∴AD =BD ，∵AC =CD '，故②正确；∴AC =CD ，由折叠得：BD =BD ，∴AC +BD =BC；故③正确；延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，∵OD ⊥AB ，∴∠ACE =∠BCE ，∴CD 不平分∠ACB ，故④错误；故选：A ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．7(2022秋·山东九年级课时练习)如图，将⊙O 上的BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD 沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE ．若AD =2OD ，则DE AB 的值为()A.36B.63C.33D.66【答案】D【分析】如图，连接AC ，CD ，OC ，过点C 作CH ⊥AB 于H ．设OA =3a ，则AB =6a ．首先证明AC =CD =DE ，求出AC (用a 表示)，即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC ，CD ，OC ，过点C 作CH ⊥AB 于H ．设OA =3a ，则AB =6a ．∵在同圆或等圆中，∠ABC 所对的弧有AC ，CD ，DE ，∴AC =CD =DE ，∵CH ⊥AD ，∴AH =DH ，∵AD =2OD ，∴AH =DH =OD =a ，在Rt △OCH 中，CH =OC 2-OH 2=3a 2-2a 2=5a ，在Rt △ACH 中，AC =AH 2+CH 2=a 2+5a 2=6a ，∴DE AB =AC AB=6a 6a =66．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．8(2023秋·四川南充·九年级统考期末)如图，在⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 折叠得弧AmB ，P 是弧AmB 上一动点，过点P 作弧AmB 的切线与⊙O 交于C ，D 两点，若⊙O 的半径为13，AB =24，则CD 的长度最大值为．【答案】810【分析】过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交AB 于点N ，交AmB 于点P ，此时过点P 的切线CD 最长，连接OB ，OD ，根据垂径定理得出BM =12AB =12×24=12，根据勾股定理求出OM =OB 2-BM 2=132-122=5，求出OP =3，根据勾股定理求出PD =410，即可得出答案．【详解】解：过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交AB 于点N ，交AmB 于点P ，此时过点P 的切线CD 最长，连接OB ，OD ，∵OM ⊥AB ，∴BM =12AB =12×24=12，在Rt △BOM 中，根据勾股定理可得：OM =OB 2-BM 2=132-122=5，根据折叠可知，MP =MN =ON -OM =13-5=8，∴OP =MP -OM =8-5=3，∵CD 是弧AmB 的切线，∴OP ⊥CD ，∴CP =PD ，∠OPD =90°，在Rt △OPD 中，根据勾股定理可得：PD =OD 2-OP 2=132-32=410，∴CD =2PD =2×410=810．故答案为：810．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，解题的关键是找出使CD 最大时，点P 的位置．9(2023·浙江温州·校联考一模)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，CD 是⊙O 的切线，∠CDB =90°，BD 交⊙O 于点E ．(1)求证：AC =CE．(2)若AE =12，BC =10．①求AB 的长；②如图2，将BC 沿弦BC 折叠，交AB 于点F ，则AF 的长为【答案】(1)证明见解析；(2)①252；②9.【分析】(1)连接OC 交AE 于M ，由DC 与⊙C 相切于点C 可得∠OCD =90°，又因为AB 是⊙O 的直径，所以∠CDB =90°，易得OC ⊥AE ，可证弧AC =弧CE(2)①由(1)易得四边形CMED 是矩形，所以CD =ME =AM =12AE =6，由勾股定理求出BD 的长，由cos ∠DBC =cos ∠CAM 可求出AC 的长，即可求出答案②由勾股定理可求出BE 的长，由折叠知BF =BE ，根据AF =AB -BF 即可求出答案【详解】解：(1)如图1，连接OC 交AE 于M ，∵DC 与⊙C 相切于点C ，∴OC ⊥DC ，即：∠OCD =90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°，∵∠CDB =90°，∴CD ∥AE ，∴OC ⊥AE ，∴弧AC =弧CE ；(2)①由(1)知，∠D =∠OCD =∠DEM =∠EMC =90°，∴四边形CMED 是矩形，∴CD =ME =AM =12AE =6，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD =BC 2-CD 2=8，∴cos ∠DBC =45，∵∠CAM =∠DBC ，∴cos ∠CAM =AM AC =45，∴AC =152，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AB =252；②如图2，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得，BE =AB 2-AE 2=72连接EF ，∵弧AC =弧CE ，∴∠ABC =∠DBC ，由折叠知，BF =BE ，∴AF =AB -BF =252-72=9，故答案为9．【点睛】此题主要考查圆的综合运用课后专项训练5(2023·江苏·模拟预测)将半径为5的⊙O 如图折叠，折痕AB 长为8，C 为折叠后AB的中点，则OC 长为()A.2B.3C.1D.2【答案】C【分析】延长OC 交⊙O 于点D ，交AB 于点E ，连接OA 、OB 、AC 、BC ，根据圆心角、弧、弦、的关系由AC=BC 得到AC =BC ，可以判断OC 是AB 的垂直平分线，则AE =BE =4，再利用勾股定理求出OE =3，所以DE =2，然后利用点C 和点D 关于AB 对称得出CE =2，最后计算OE -CE 即可得出答案．【详解】解：延长OC 交⊙O 于点D ，交AB 于点E ，连接OA 、OB 、AC 、BC ，如图，∵C 为折叠后AB 的中点，∴AC =BC ，∴AC =BC ，∵OA =OB ，∴OC 是AB 的垂直平分线，∴AE =BE =12AB =4，在Rt △AOE 中，OE =OA 2-AE 2=52-42=3,∴DE =OD -OE =5-3=2，∵ADB 沿AB 折叠得到ACB ，CD ⊥AB ，∴点C 和点D 关于AB 对称，∴CE =DE =2，∴OC =OE -CE =3-2=1，故选C【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．6(2022·浙江·九年级专题练习)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，将劣弧AC沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D ．若AC =6，∠C =60°，则⊙O 的半径长为()A.2213B.23C.273D.1383【答案】A【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O ′，则⊙O 与⊙O ′设等圆，∠ACD 是公共的圆周角，所以可以证得AB =AD ，过A 作AM ⊥BC 于M ，则M 为BD 的中点，在Rt △AMC 中，利用勾股定理，可以求出AM 和CM 的长度，由于D 是BC 中点，可以证明MC =3BM ，所以BM 可以求，在直角三角形ABM 中，利用勾股定理求出AB 的长度，连接OA ，OB ，由于△AOB 是顶角为120°的等腰三角形，过O 作OG ⊥AB 于G ，利用30度的特殊角和勾股定理，可以证明AB =3OA ，由此圆O 半径可求．【详解】解：如图1，设折叠后的AC所在圆的圆心为O ′，连接O ′A ，O ′D ，∴∠AO ′D =2∠ACB =120°，连接OA ，OB ，同理，∠AOB =120°，∴∠AOB =∠AO ′D ，∵⊙O 与⊙O ′是等圆，∴AB =AD ，设⊙O 的半径为R ，过O 作OG ⊥AB 于G ，∵OA =OB ，∠AOB =120°，∴∠OAB =∠OBA =30°，AB =2AG ，∴OG =12OA =12R ，∴AG =OA 2-OG 2=32R ，∴AB =2AG =3R ，如图2，过A 作AM ⊥BC 于M ，∵AB =AD ，∴可设BM =DM =x ，则BD =2x ，∵D 为BC 的中点，∴CD =BD =2x ，∴MC =DM +CD =3x ，∵AM ⊥BC ，∠ACB =60°，∴∠MAC =30°，在Rt △AMC 中，MC =12AC =3，∴3x =3，∴x =1，∴AM =AC 2-MC 2=33，BM =x =1，在Rt △ABM 中，AB =AM 2+BM 2=27，∵AB =3R ，∴R =2213，故⊙O 的半径长为2213，故选：A ．【点睛】本题是圆的一道综合题型，考查圆中的折叠变换，注意等圆中的公共角，公共弦、公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系是解决本题的关键．7(2022春·浙江·九年级专题练习)如图，在正方形纸片ABCD 中，点M ，N 在AD 上，将纸片沿BM ,CN 折叠，折叠后使点A 和点D 重合于点I ，△IBC 的外接圆分别交BM ,CN 于点P ，Q ．若AB =63，则PQ 的长度为()A.6πB.2πC.3πD.π【答案】B 【分析】首先证明△IBC 是等边三角形，得到∠ABI =∠DCI =30°，再根据折叠的性质推出∠POQ =60°，根据内心的性质得到∠OBC =30°，∠OCB =30°，过点O 作OH ⊥BC ，则OH 平分BC ，利用勾股定理求出OB ，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：∵AB =IB ，IC =DC ，AB =BC =DC ，∴IB =IC =BC ，∴△IBC 是等边三角形，∴∠BIC =∠IBC =∠ICB =60°，∴∠ABI =∠DCI =30°，由折叠知：∠ABP =∠IBP =12∠ABI =15°，∠ICQ =∠DCQ =12∠DCI =15°，∴∠IOP =2∠IBP =30°，∠IOQ =2∠ICQ =30°，∴∠POQ =60°，∵圆O 是△IBC 的外接圆，∴点O 是△IBC 的内心，∴OB 平分∠IBC ，OC 平分∠ICB ，∴∠OBC =12∠IBC =30°，∠OCB =12∠ICB =30°，过点O 作OH ⊥BC ，则OH 平分BC ．则：BH =12BC =12AB =33，在Rt △OBH 中：OH =12OB ，由勾股定理得：OB 2=OH 2+HB 2，即OB 2=12OB 2+33 2，解得：OB =6，OB =-6(舍)，∴PQ =60×6π180=2π．故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件．8(2023春·浙江·九年级专题练习)如图，在⊙O 中，AB 为直径，点C 为图上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ，如果∠BAC =18°，则∠BDC =()A.62°B.72°C.60°D.52°【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB =90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠B =72°，然后根据AC 所对的圆周角为∠B ，ABC 所对的圆周角为∠ADC ，可得∠ADC +∠B =180°，结合∠ADC +∠BDC =180°即可得出结论．【详解】解：∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∵∠BAC =18°，∴∠B =90°-∠BAC =90°-18°=72°，根据翻折的性质，AC 所对的圆周角为∠B ，ABC 所对的圆周角为∠ADC ，∴∠ADC +∠B =180°，∵∠ADC +∠BDC =180°，∴∠B =∠BDC =72°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了翻折的性质以及圆周角定理的应用，掌握圆周角定理及翻折的性质是解题的关键．9(2023秋·浙江宁波·九年级统考期末)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C ，D 分别是两条弧的中点，AC 与AB 的度数之比为3:4，则∠ADB 的度数是()A.108°B.120°C.144°D.150°【答案】A【分析】根据AC 与AB 的度数之比为3:4，点C ，D 分别是两条弧的中点，可知AB 的度数，进一步可知优弧AB 的度数，根据圆周角定理可得∠ADB 的度数．【详解】解：∵AC 与AB的度数之比为3:4，点C ，D 分别是两条弧的中点，∴AB 的度数为360°×43+3+4=144°，根据折叠，优弧AB 的度数为360°-144°=216°，∴∠ADB =216°×12=108°，故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．10(2023·浙江·九年级假期作业)如图，△ABC 内接于圆，D 是BC 上一点，将∠B 沿AD 翻折，B 点正好落在圆上的点E 处，若∠BAE =80°，则∠C =()A.40°B.50°C.55°D.65°【答案】B【分析】首先连接BE ，由折叠的性质可得：AB =AE ，结合已知∠BAE =80°，由三角形内角和定理得出∠AEB 的度数，再由同弧上圆周角相等求得∠C 的度数．【详解】连接BE ，如图所示：由折叠的性质可得：AB =AE ，∴∠ABE =∠AEB =180°-∠BAE 2=180°-80°2=50°，∵∠C =∠AEB (同弧所对的圆周角相等)∴∠C =50°．故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键，注意数形结合思想的应用．11(2023·湖北黄石·校联考模拟预测)如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，劣弧AB 沿弦AB 翻折恰好经过点O ，交AC 于点D ，连接BD ，若AD =2，CD =4，则⊙O 的半径长是()A.212B.2213C.3214D.4215【答案】B【分析】连接BC ，OA ，OB ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，求出∠AOB =120°，根据圆周角定理求出∠ACB =12∠AOB =60°，证明△CBD 为等边三角形，得出BC =CD =4，根据BE ⊥AC ，得出CE =DE =12CD =2，根据勾股定理求出BE =BC 2-CE 2=23，AB =BE 2+AE 2=23 2+42=27，根据cos ∠OAF =AF OA ，求出结果即可．【详解】解：连接BC ，OA ，OB ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，如图所示：则AF =BF =12AB ，∵劣弧AB 沿弦AB 翻折恰好经过点O ，∴OF =12OA ，∴sin ∠OAF =OF OA=12，∴∠OAF =30°，∵OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB =30°，∴∠AOB =180°-30°-30°=120°，∴∠ACB =12∠AOB =60°，∵AB �=AB �，且∠ADB 由翻折而成，∴∠ADB +∠ACB =180°∴∠ADB =∠AOB =120°，∴∠CDB =180°-120°=60°，∴∠CBD =180°-60°-60°=60°，∴∠BDC =∠BCD =∠CBD ，∴△CBD 为等边三角形，∴BC =CD =4，∵BE ⊥AC ，∴CE =DE =12CD =2，∴BE =BC 2-CE 2=23，∵AD =2，∴AE =AD +DE =4，∴AB =BE 2+AE 2=23 2+42=27，∴AF =12AB =7，∵cos ∠OAF =AF OA ，∴cos30°=7OA，解得：OA =2213，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，证明△CBD 为等边三角形．12(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为AB 的中点，D 、E 为圆上动点，且D 、E 关于AB 对称，将AD 沿AD 翻折交AE 于点F ，使点C 恰好落在直径AB 上点C 处，若⊙O 的周长为10，则AF 的长为()A.1B.1.25C.1.5D.2【答案】B 【分析】连接AC ,BC ,CC ,DE , ∠ACB =90°,∠CAB =∠CBA =45°, 再利用轴对称的性质求解∠CAD =∠BAD =22.5°, ∠DAB =∠EAB =22.5°, 设AFD的圆心为O ,则O 与O 关于AD 对称，求解∠AO F =45°, O A =5π, 从而可得答案.【详解】解：连接AC ,BC ,CC ,DE , ∵AB 为圆O 的直径，点C 为AB 的中点，∴∠ACB =90°,∠CAB =∠CBA =45°,将AD 沿AD 翻折交AE 于点F ，使点C 恰好落在直径AB 上点C 处，∴AD 是CC 的垂直平分线，∴∠CAD =∠BAD =22.5°, ∵D 、E 关于AB 对称，∴AB 垂直平分DE ,∴∠DAB =∠EAB =22.5°, 设AFD 的圆心为O ,则O 与O 关于AD 对称，∴OA =O A , 连接O F ,OO , 则O 在AC 上，O A =O F ,而∠O AF =22.5°×5=67.5°=∠O FA , ∴∠AO F =180°-2×67.5°=45°,∵⊙O 的周长为10，∴⊙O 的半径为：102π=5π, ∴O A =5π, ∴AF 的长为：45π×5π180=1.25. 故选B 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，圆的基本性质，圆周角定理，弧长的计算，熟练的运用轴对称的性质得出∠AO F =45°,O A =5π是解本题的关键.13(2023·浙江温州·九年级统考期末)如图，将⊙O 上的BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD 沿BD 翻折交BC 于点E ，连结DE ．若AB =10，OD =1，则线段DE 的长为()A.5B.25C.23D.433+1【答案】B【分析】连接CA 、CD 、OC ，作CF ⊥OA 于F ，则AD =4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到AC =CD =DE ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC =CD =DE ，则AF =DF =2，然后利用勾股定理计算出CF ，接着再计算出CD 即可．【详解】解：连接CA 、CD 、OC ，作CF ⊥OA 于F ，如图，∵AB =10,OD =1∴AD =AO -OD =12AB -OD =5-1=4∵⊙O 上的BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD 沿BD 翻折交BC 于点E ，∴AC ,CD ,DE 为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为∠ABC ，∴AC =CD =DE，∴AC =CD =DE ，∴AF =DF =2，在Rt △OCF 中，CF =52-32=4，在Rt △CDF 中，CD =42+22=25，∴DE =25．故选：B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系是解题的关键．14(2023·浙江宁波·九年级统考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，取π≈3.14，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是()A.3.2B.3.6C.3.8D.4.2【答案】C【分析】作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，连接CO ，根据折叠的性质得到OE =12OF ，根据直角三角形的性质求出∠CAB ，再得到∠COB ，再分别求出S △ACO 与S 扇形BCO 即可求解.．【详解】作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，由折叠的性质可知，EF =OE =12OF ，∴OE =12OA ，在Rt △AOE 中，OE =12OA ，∴∠CAB =30°，连接CO ，故∠BOC =60°∵AB =4∴r =2，OE =1,AC =2AE =2×22-12=23∴线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为S △ACO +S 扇形BCO=12AC ×OE +60360×π×r 2=12×23×1+16×π×22=3+23π≈3.8故选C .【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，扇形的面积求解，解题的关键是熟知折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15(2022秋·福建福州·九年级统考期中)如图，在半径为5的⊙O 中；弦AC =8，B 为AC 上一动点，将△ABC 沿弦AC 翻折至△ADC ，延长CD 交⊙O 于点E ，F 为DE 中点，连接AE ，OF ．现给出以下结论：①AE =AB ；②∠AED =∠ADE ；③∠ADC =2∠AED ；④OF 的最小值为2，其中正确的是(写出所有正确结论的序号)．【答案】①②【分析】①②根据折叠的性质得出AD =AB ，∠BCA =∠DCA ，结合圆周角定理可得出AB =AE 进而推出①②正确；③假设∠ADC =2∠AED ，推出△AED 是等边三角形，进而推出∠ABC =120°，为定值，这与∠ABC 是变角相矛盾；④作OM ⊥AC 于M ，并延长交⊙O 于G ，连接FM 、OC 、AF ，先根据垂径定理求出OM 的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出FM 长，最后根据三角形三边关系得出OF ≥FM -OM ，则可解决问题．【详解】解：∵△ABC 折叠得到△ADC ，∴AD =AB ，∠BCA =∠DCA ，又∵在⊙O 中，∠BCA 和∠DCA 所对的弦分别是AB 和AE ，∴AB =AE又∵AD =AB ，∴AB =AD =AE ，在△ADE 中，AD =AE ，∴∠ADE =∠AED ，故①②正确；由②可得∠ADE =∠AED ，假设∠ADC =2∠AED ，∵∠ADC =∠AED +∠DAE ，∴∠AED =∠DAE∴∠AED =∠DAE =∠ADE ，∴△AED 是等边三角形，∴∠ADC =180°-∠EDA =120°，∴∠ABC =∠ADC =120°，是定值，而B 是动点，A 、C 两点固定，则∠ABC 是变化的，∴两者矛盾，故③错误；④如图，作OM ⊥AC 于M ，并延长交⊙O 于G ，连接FM 、OC 、AF ，∴AM =MC =12AC =4，OM =OC 2-MC 2=52-42=3，由②得AD =AE ，F 为ED 的中点，∴AF ⊥ED ，∴FM =12AC =4，∵OF ≥FM -OM =4-3=1，当O 、F 、M 三点共线时，OF 最小，这时OF =1，故④错误；综上所述，正确的是①②．故答案为：①②．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及图形的翻着的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上性质，灵活运用是解题的关键．16(2023·河南周口·统考二模)如图①，AB 为半圆O 的直径，点C 在AB 上从点A 向点B 运动，将BC沿弦BC ，翻折，翻折后BC 的中点为D ，设点A ，C 间的距离为x ，点O ，D 间的距离为y ，图②是点C 运动时y 随x 变化的关系图象，则AB 的长为．【答案】8【分析】由图②可知，当x =4时，y =0，此时，AC =4，D 点与O 点重合，由此即可解题．【详解】解：由图②可知，当x =4时，y =0，此时，AC =4，D 点与O 点重合，如图，取BC 的中点E ，连接OE 、EB ，∵OE =OB ，根据对称性，得OB =BE ，∠EBC =∠ABC ，∴OB =OE =BE ，∴△OEB 是等边三角形，∴∠ABE =60°，∴∠ABC =12∠ABE =30，∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，在△ACB 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴AB =2AC =8，∴AB 长为8．故答案为：8．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据图2得到AC =4时，D 点与O 点重合，此题难度一般．17(2022·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在扇形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知∠AOB =120°，OA =6，则EF 的度数为；折痕CD 的长为．【答案】 60°/60度46【分析】根据对称性作O 关于CD 的对称点M ，则点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．【详解】作O 关于CD 的对称点M ，则ON =MN连接MD 、ME 、MF 、MO ，MO 交CD 于N∵将CD沿弦CD 折叠∴点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心，半径为6的圆上∵将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．∴ME ⊥OA ，MF ⊥OB ∴∠MEO =∠MFO =90°∵∠AOB =120°∴四边形MEOF 中∠EMF =360°-∠AOB -∠MEO -∠MFO =60°即EF 的度数为60°；∵∠MEO =∠MFO =90°，ME =MF∴△MEO ≅△MFO (HL )∴∠EMO =∠FMO =12∠FME =30°∴OM =ME cos ∠EMO =6cos30°=43∴MN =23∵MO ⊥DC ∴DN =DM 2-MN 2=62-(23)2=26=12CD ∴CD =46故答案为：60°；46【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．18(2023·广西·统考一模)如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，点C 是半径OA 上一点，点D 是弧AB 上一点．将扇形AOB 沿CD 对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB 相切于点E ．若∠OCD =45°，OC =3+1，则扇形AOB 的半径长是．【答案】2+3【分析】作O 关于CD 的对称点F ，连接CF 、EF ，则EF 为扇形AOB 的半径，由折叠的性质得：∠FCD =∠OCD =45°，FC =OC =3+1，得出ΔOCF 是等腰直角三角形，得出∠COF =45°，OF =2OC =6+2，∠EOF =∠AOB -∠COF =75°，由切线的性质得出∠OEF =90°，得出∠OFE =15°，由三角函数即可得出结果．【详解】解：作O 关于CD 的对称点F ，连接CF 、EF ，如图1所示：则EF 为扇形AOB 的半径，由折叠的性质得：∠FCD =∠OCD =45°，FC =OC =3+1，∴∠OCF =90°，∴ΔOCF 是等腰直角三角形，∴∠COF =45°，OF =2OC =6+2，∴∠EOF =∠AOB -∠COF =75°，∵折叠后的图形恰好与半径OB 相切于点E ，∴∠OEF =90°，∴∠OFE =15°，∵cos ∠OFE =EF OF=cos15°=6+24，如图2所示：∴EF =OF ×cos15°=(6)×6+24=2+3；故答案为：2+3．【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质，证出ΔOCF 是等腰直角三角形是解题的关键．19(2023·河北·九年级校联考专题练习)已知⊙O 的直径AB =4，点C 在⊙O 上，连接AC ，沿AC 折叠劣弧AC ，记折叠后的劣弧为AmC ．(1)如图1，当AmC 经过圆心O 时，求AO的长．(2)如图2，当AmC 与AB 相切于A 时．①画出AmC 所在的圆的圆心P ．②求出阴影部分弓形AmC 的面积．【答案】(1)AO的长=2π3；(2)①P 点为所求，见解析； ②S 阴=π-2．【分析】(1)只要证明△EAO 是等边三角形即可解决问题；(2)①过A 点作AP ⊥AB ，再截取AP =2，则P 点为所求，如图2；②只要证明四边形AOCP 是正方形即可解决问题；【详解】(1)作半径OE ⊥AC 于F ，连接AE ，如图1，∵沿AC 折叠劣弧AC ，记折叠后的劣弧为AmC，∴OF =12OE =OF ，∵OE ⊥AC ，∴AE =AO ，∵OA =OE ，∴AE =AO =OE ，∴△AOE 是等边三角形，∴∠AEO =60°，∴AO 的长=60⋅π⋅2180=2π3．(2)①过A 点作AP ⊥AB ，再截取AP =2，则P 点为所求，如图2，②连接PC 、OC ，∵AP =OA =OC =PC =2，∴四边形PAOC 为菱形，而∠PAO =90°，∴四边形PAOC 为正方形，∴S 阴=90⋅π⋅22360-12×2×2=π-2．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质.20(2023·江苏徐州·九年级阶段练习)小明在研究由矩形纸片折叠等边三角形之后，经过探究，他用圆形纸片也折叠出了等边三角形，以下是他的折叠过程：第一步：将圆形纸片沿直径AM 对折，然后打开；第二步：将纸片沿折痕BC 翻折使点M 落在圆心I 处，然后打开，连接AB 、AC ．(1)在图③中BC 与IM 的位置关系是；(2)小明折叠出的△ABC 是等边三角形吗？请你说明理由．【答案】(1)互相垂直平分；(2)△ABC 为等边三角形．【详解】试题分析：(1)利用折叠的性质易得IM 垂直平分BC ，BC 垂直平分IM ，即BC 和IM 互相垂直平分；(2)连结IB 、BM 、MC ，如图，由BC 和IM 互相垂直平分可判断四边形BMCI 为菱形，易得△IBM 和△TMC 为等边三角形，则∠BIM =∠CIM =60°，然后根据圆周角定理得到∠BAC =12∠BIC =60°，加上AB =AC ，于是可判断△ABC 为等边三角形．解：(1)∵圆形纸片沿直径AM 对折，∴IM 垂直平分BC ，∵纸片沿折痕BC 翻折使点M 落在圆心I 处，∴BC 垂直平分IM ，即BC 和IM 互相垂直平分；故答案为互相垂直平分；(2)△ABC 为等边三角形．理由如下：连结IB 、BM 、MC ，如图，∵BC 和IM 互相垂直平分，∴四边形BMCI 为菱形，∴IB =BM =MC =IC ，∴IB =BM =MC =IC =IM ，∴△IBM 和△TMC 为等边三角形，∴∠BIM =∠CIM =60°，∴∠BAC =12∠BIC =60°，而AM 垂直平分BC ，∴AB =AC ，∴△ABC 为等边三角形．考点：翻折变换(折叠问题)．21(2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测)如图(1)AB 是⊙O 的直径，且AB =2，点C 是半圆AB 的中点，点P 是BC 上一动点，将AP沿直线AP 折叠交AB 于点D ，连接PD ，PB ．(1)求证：PD =PB ；(2)当点D 与点O 重合时，如图(2)，求BP的长．【答案】(1)见解析(2)π3【分析】(1)如图，作点D 关于AP 的对称点D ，连接AD ，PD ，OD ，OP ，由折叠的性质可知∠D AP =∠PAB ，PD =PD ，根据圆周角定理可知∠POD =2∠D AP ，∠POB =2∠PAB ，可得∠POD =∠POB ，继而得到PD =PB ，即PD =PB ；(2)证明△OPB 是等边三角形，可知BP 所对圆心角为60°，利用弧长公式可求BP的长．【详解】(1)证明：如图，作点D 关于AP 的对称点D ，连接AD ，PD ，OD ，OP ，由折叠的性质可知∠D AP =∠PAB ，PD =PD ，又∵∠POD =2∠D AP ，∠POB =2∠PAB ，∴∠POD =∠POB ，∴PD =PB ，∴PD =PB ．(2)解：由(1)知PD =PB ，又∵PD =BD ，∴△OPB 是等边三角形，∴∠POB =60°，∴BP所对圆心角为60°，∴BP 的长为60π×1180=π3．【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答本题的关键．22(2023·江苏·九年级专题练习)(1)在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：如图1，⊙O 1的半径为4cm ，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB 沿弦AB 折叠后恰好过圆心O 1，则AB 长为cm ；请同学们进一步研究以下问题：(2)如图2，O 2C ⊥弦AB ，垂足为点C ，劣弧AB 沿弦AB 折叠后经过O 2C 的中点D ，AB =10cm ，求⊙O 2的半径；(3)如图3，⊙O 3的半径为4cm ，劣弧AB 沿弦AB 折叠后与直径CD 相切于点E ，ED =2cm ，求弦AB 的长．【答案】(1)43cm ；(2)35cm ；(3)211cm【分析】(1)过点O 1作O 1F ⊥AB 于F ，得出O 1F =12O 1F ，再根据勾股定理，即可得出结论；(2)同(1)的方法先判断出O 2C =2r cm ，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论；(3)先求出OO 3，进而求出O 3E ，进而利用勾股定理求出AH ，即可得出结论．【详解】(1)如图1，过点O 1作O 1F ⊥AB 于F ，并延长O 1F 交虚线劣弧AB 于E ，。
中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题之欧阳治创编
一．折叠类1. （13江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2AB =，边1AD =，且AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在边DC 上，设点A '是点A 落在边DC 上的对应点．（1）当矩形ABCD 沿直线12y x b =-+图1），求点A '的坐标和b 的值；（2）当矩形ABCD 沿直线y kx b =+折叠时，①求点A '的坐标（用k 表示）；求出k 和b 之间的关系式；② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k 的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上）（——当如图1、2） （图1）k 的取值范围是； k 的取值范围是；k 的取值范围是；[解] （1）如图答5，设直线12y x b =-+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则OE = b ，OF = 2b ，设点A '的坐标为（a ，1）因为90DOA A OF ''∠+∠=︒，90OFE A OF '∠+∠=︒， 所以DOA OFE '∠=∠，所以△DOA '∽△OFE ． 所以DA DO OE OF '=，即12a bb=，所以12a =． 所以点A '的坐标为（12，1）．连结A E '，则A E OE b '==．在R t △DEA '中，根据勾股定理有222A E A D DE ''=+ ，即2221()(1)2b b =+-，解得58b =． （2）如图答6，设直线y kx b =+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则OE = b ，b OF k=-，设点A '的坐标为（a ，1）．因为90DOA A OF ''∠+∠=︒，90OFE A OF '∠+∠=︒． 所以DOA OFE '∠=∠，所以△DOA '∽△OFE ． 所以DA DO OEOF'=，即1a b bk=-，所以a k =-．所以A '点的坐标为（k -，1）．连结A E '，在Rt△DEA '中，DA k '=-，1DE b =-，A E b '=．因为222A E A D DE ''=+，所以222()(1)b k b =-+-．所以212k b +=．在图答6和图答7中求解参照给分． （3）图13﹣2中：21k -≤≤-； 图13﹣3中：1-≤k ≤2-+ 图13﹣4中：20k -≤[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。
备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)
A . 25° B . 30° C . 45° D . 60°
6、
(2020兰州.中考真卷) (2019八下·海沧期中) 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若
，
，则 为（）
A. B. C. D. 7、 (2020南岸.中考模拟) △ABC中，∠ACB=45°，D为AC上一点，AD=5 ，连接BD，将△ABD沿BD翻折至△EBD， 点A的对应点E点恰好落在边BC上.延长BC至点F，连接DF，若CF=2，tan∠ABD= ，则DF长为（ ）
14、 (2019河南.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△A B′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．
15、 (2020淮阴.中考模拟) 如图，在△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠CBD＝16° ，则∠BAC＝________°．
专题50 圆中的翻折综合问题(解析版)
专题50 圆中的翻折综合问题1、如图，将半径为12的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）A ．42B ．82C ．6D ．62【分析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB 的长【解答】解：延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，⊙CE⊙AB ，⊙E 为AB 的中点，⊙OC=6，CD=2OD ，⊙CD=4，OD=2，OB=6，⊙DE=12（2OC -CD ）=12（6×2-4）=12×8=4，⊙OE=DE -OD=4-2=2，在Rt⊙OEB 中，⊙OE 2+BE 2=OB 2， ⊙BE=22OE OB -=2246-42 ⊙AB=2BE=82．故选：B ．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．2、已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm【分析】连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，根据翻折的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出．【解答】解：连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，⊙OC′=8cm ，⊙OF′=6cm ，⊙C′F′=CF=2268 =27cm ，F ⊙CD=2CD=47cm ．故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握．3、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.2【分析】作OE⊙AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，根据折叠的性质得到OE=12OF ，求出⊙ACB 的度数即可解决问题．【解答】解：作OE⊙AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ．连接OB ，BC ．由折叠的性质可知，EF=OE=12OF ， ⊙OE=12OA ，在Rt⊙AOE 中，OE=12OA ， ⊙⊙CAB=30°，⊙AB 是直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BOC=2⊙BAC=60°，⊙AB=4，⊙BC=12AB=2，AC=3BC=23， ⊙线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为S=12•AC•BC+S 扇形OBC -S ⊙OBC =12×23×2+60π•22360-43×22=3+23π≈3.8，故选：C ．【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4、如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到⊙ADB=⊙BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，⊙ADB 所对的弧是劣弧︵ AB ，⊙CAB 所对的弧是劣弧︵ BC ，⊙CBA 所对的弧是劣弧︵ AC ，⊙⊙ADB=⊙CAB+⊙CBA ，由三角形的外角的性质可知，⊙BCD=⊙CAB+⊙CBA ，⊙⊙ADB=⊙BCD ，⊙BD=BC=5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.2【分析】作MN 关于直线AN 的对称线段M′N ，交半圆于B'，连接AM 、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN 关于直线AN 的对称线段M′N ，交半圆于B'，连接AM 、AM′，可得M 、A 、M′三点共线，MA=M′A ，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．连接AB'，⊙四边形AMNB'是圆内接四边形，⊙⊙M'AB'=⊙M'NM ，⊙⊙M'=⊙M'，⊙⊙M'AB'⊙⊙M'NM ，⊙M′A M′N ＝M′B′M′M⊙M′A•M′M=M′B′•M′N ，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A 2=20，又⊙M′A 2=M′N 2-AN 2，⊙20=100-AN 2， ⊙AN=45．故选：B ．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．6、如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm ，点P 在半径AO 上运动，点Q 在弧AB 上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O ，则OP 的最大距离为 ．【分析】作O 关于PQ 的对称点O′，O′恰好落在⊙O 上，于是得到OP=12R cos⊙POE，推出⊙OO′Q 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R ，当cos⊙POE 最小时，⊙POE 最大，当⊙QOB=0°时，⊙POE=30°于是得到结论．【解答】解：作O 关于PQ 的对称点O′，O′恰好落在⊙O 上，⊙OP=12R cos⊙POE， ⊙⊙OO′Q 为等边三角形，⊙OQ=O′Q=OO′=R ，⊙POE+⊙QOB=30°，当cos⊙POE 最小时，⊙POE 最大，当⊙QOB=0°时，⊙POE=30°，⊙OP=1cos30°=332．故答案为：332．【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．7、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切线OC的长为（）A．22B．5 C．3 D．11【分析】根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧AB所在的圆和⊙O全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：根据题意画出图形如下所示：BD=4，OB=5，点O′为翻转过后的弧AB所在圆的圆心，则有O′D=OD=2245-=3．又O′C=5，O′O=6， ⊙OC=22C ′O O ′O -=2256-=11．故选：D ．【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧AB 所在圆的圆心是解题关键．8、如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）A ．91B ．37C ．134D ．130【分析】连接CA 、CD ，根据翻折的性质可得弧CD 所对的圆周角是⊙CBD ，再根据AC 弧所得的圆周角也是⊙CBA ，然后求出AC=CD ，过点C 作CE⊙AB 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=12AD ，根据直径所对的圆周角是直角可得⊙ACB=90°，然后求出⊙ACE 和⊙CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE 2，再求出BE ，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC ．【解答】解：如图，连接CA 、CD ， 根据折叠的性质，弧CD 所对的圆周角是⊙CBD ， ⊙弧AC 所对的圆周角是⊙CBA ，⊙CBA=⊙CBD ，⊙AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等），过点C 作CE⊙AB 于E ， 则AE=ED=12AD=12×6=3， ⊙BE=BD+DE=7+3=10， ⊙AB 是直径，⊙⊙ACB=90°， ⊙CE⊙AB ，⊙⊙ACB=⊙AEC=90°，⊙⊙A+⊙ACE=⊙ACE+⊙BCE=90°，⊙⊙A=⊙BCE ，⊙⊙ACE⊙⊙CBE ，⊙AE CE = CE BE， 即CE 2=AE•BE=3×10=30， 在Rt⊙BCE 中，BC=22CE BE + =30102+= 130，故选：D ．【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．9、如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD⊙ABD ．CD 平分⊙ACB【分析】A 、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD ；B 、相等两弧相加可作判断；C 、根据垂径定理可作判断；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断．【解答】解：A 、过D 作DD'⊙BC ，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD=CD'，⊙ABC=⊙CBD'，⊙AC=CD'=CD ，故⊙正确；B 、⊙AC=CD'，⊙︵ AC ＝︵ CD′ ，由折叠得：︵ BD ＝︵ BD ′，⊙︵ AC +︵ BD =︵ BC ，故⊙正确；C 、⊙D 为AB 的中点，⊙OD⊙AB ，故⊙正确；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，⊙OD⊙AB ，⊙⊙ACE=⊙BCE ，⊙CD 不平分⊙ACB ，故⊙错误；故选：D ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．11、如图，⊙ABC 内接于⊙O ，BC=22，⊙BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵ AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则⊙MST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．8【分析】作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，根据折叠的性质得到点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则⊙MST的周长最小，连接AM′，AM″，OB，OC，根据圆周角定理得到M′M″是⊙O的直径，即可得到结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，⊙将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M，⊙点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则⊙MST的周长最小，连接AM′，AM″，OB，OC，则⊙M′AM″=2⊙BAC，⊙⊙BAC=45°，⊙⊙M′AM″=⊙BOC=90°，⊙BC=22，⊙OB=2，⊙M′M″=2OB=4，⊙⊙MST的周长的最小值为4，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．12、如图，在⊙O 中，点C 在优弧⊙ACB 上，将弧沿⊙BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为5，AB=4，则BC 的长是 ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE⊙AB 于E ，OF⊙CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD⊙AB ，则AD=BD=12AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到︵ AC =︵ CD ，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE⊙AB 于E ，OF⊙CE 于F ，如图，⊙D 为AB 的中点，⊙OD⊙AB ，⊙AD=BD=12AB=2， 在Rt⊙OBD 中，OD=22BD OB -=222)5(-=1，⊙将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．⊙︵ AC 和︵ CD 所在的圆为等圆，⊙︵ AC =︵ CD ，⊙AC=DC ，⊙AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形，⊙OF=EF=1，在Rt⊙OCF 中，CF=22OF CO -=221)5(-=2，⊙CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3， ⊙BC=32．故答案为32．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．14、如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵ AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：⊙⊙ACB=120°，⊙⊙ACD 是等边三角形，⊙EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断⊙⊙是否正确，EO 的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E 在什么轨迹上运动，便可解决问题．【解答】解：如图1，连接OA 和OB ，作OF⊙AB ．由题知：︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O⊙OF=OA=12OB ⊙⊙AOF=⊙BOF=60°⊙⊙AOB=120°⊙⊙ACB=120°（同弧所对圆周角相等）⊙D=12⊙AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半） ⊙⊙ACD=180°-⊙ACB=60°⊙⊙ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，⊙⊙正确下面研究问题EO的最小值是否是1如图2，连接AE和EF⊙⊙ACD是等边三角形，E是CD中点⊙AE⊙BD（三线合一）又⊙OF⊙AB⊙F是AB中点即，EF是⊙ABE斜边中线⊙AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动．所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小此时，AE=EF，AE⊙EF⊙⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1⊙AF=3（勾股定理）⊙OE=EF-OF=AF-OF=3-1所以，⊙不正确综上所述：⊙⊙正确，⊙不正确．故答案为⊙⊙．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．14、如图，将︵ AB 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC=BD ；（2）若AC=1，CD=4，︵ AB =120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA ，OB ，作OM⊙AB 于M ，AH⊙BC 交BC 的延长线于H ．解直角三角形求出AB ，OA 即可；【解答】（1）证明：作点C 关于AB 的对称点C′，连接AC′，BC′．由翻折不变性可知：BC=BC′，⊙CAB=⊙BAC′，⊙︵ BD =︵BC ′，⊙BD=BC′，⊙BC=BD ．（2）解：连接OA ，OB ，作OM⊙AB 于M ，AH⊙BC 交BC 的延长线于H ．⊙︵AB =120°，⊙⊙D=12×120°=60°，⊙⊙AOB=⊙ACB=2⊙D=120°，⊙BC=BD ，⊙⊙BCD 是等边三角形，⊙BC=DC=4，在Rt⊙ACH 中，⊙⊙H=90°，⊙ACH=60°，AC=1，⊙CH=12，AH=23， ⊙AB=22BH AH +=22)29()23(+=21，⊙OM⊙AB ， ⊙AM=BM=221，在Rt⊙AOM 中，⊙⊙OAM=30°，⊙AMO=90°， ⊙OA=AMcos30°=7【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．15、如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M ，将︵ CD 沿CD 翻折后，点A与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP=OA ，连接PC（1）求CD 的长；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）点G 为︵ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ．交︵ BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）连接OC ，根据翻折的性质求出OM ，CD⊙OA ，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC ，然后利用勾股定理逆定理求出⊙PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA 、AF 、GB ，根据等弧所对的圆周角相等可得⊙BAG=⊙AFG ，然后根据两组角对应相等两三角相似求出⊙AGE 和⊙FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得AG GE =FG AG，从而得到GE•GF=AG 2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】（1）解：如图，连接OC ，⊙︵CD 沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合， ⊙OM=12OA=12×2=1，CD⊙OA ，⊙OC=2， ⊙CD=2CM=222OM OC -=22212-=23；（2）证明：⊙PA=OA=2，AM=OM=1，CM=12CD=3，⊙CMP=⊙OMC=90°，⊙PC=22PM MC +=223)3(+=23， ⊙OC=2，PO=2+2=4，⊙PC 2+OC 2=（23）2+22=16=PO 2， ⊙⊙PCO=90°，⊙PC 是⊙O 的切线；21（3）解：GE•GF 是定值，证明如下，连接GO 并延长，交⊙O 于点H ，连接HF⊙点G 为︵ADB 的中点⊙⊙GOE=90°，⊙⊙HFG=90°，且⊙OGE=⊙FGH⊙⊙OGE⊙⊙FGH⊙OG GF = GE GH⊙GE•GF=OG•GH=2×4=8．【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．。
中考数学折叠,旋转问题专题含答案
【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。
备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题),填空题专训及答案
备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题），填空题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题），填空题专训1、(2019葫芦岛.中考真卷) 如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13.点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是________.2、(2019崇川.中考模拟) 如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是________．3、(2019温州.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AF E.延长AF交边BC于点G，则CG为________.4、(2019北仑.中考模拟) 如图，在矩形纸片ABCD中，BM，DN分别平分∠ABC，∠CDA，沿BP折叠，点A恰好落在BM 上的点E处，延长PE交DN于点F沿DQ折叠，点C恰好落在DN上的点G处，延长QG交BM于点H，若四边形EFGH恰好是正方形，且边长为1，则矩形ABCD的面积为________.5、(2019江西.中考真卷) 如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则 ________°．6、(2019青海.中考模拟) 如图，等边三角形的顶点A(1，1)，B(3，1)，规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，则一次变换后顶点C的坐标为________，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为________.7、(2020云南.中考模拟) 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,将矩形ABCD折叠使点D和点B重合,折痕为EF,则DE=_______ _.8、(2020青浦.中考模拟) 已知，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是________cm．9、(2019驻马店.中考模拟) 如图，矩形中，，点是线段上一动点，连接，将沿直线折叠，点落到处，连接，，当为等腰三角形时，的长为________.10、(2020甘肃.中考模拟) 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB＇E，AB＇与CD边交于点F，则B＇F的长度为________11、(2020杭州.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，点G 为CD上一点，将△DEG沿EG折叠得到△HEG，且E、F、H三点共线，当△CGH为直角三角形时，AE的长为________12、(2020潍坊.中考真卷) 如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则 ________．13、(2020铜仁.中考真卷) 如图，在矩形中，，将向内翻析，点A落在上，记为，折痕为 .若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则 ________.14、(2020黑龙江.中考真卷) 在矩形中，，，点E在边上，且，连接，将沿折叠．若点B的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为________．15、(2020盘锦.中考真卷) 如图，在矩形中，，点和点分别为上的点，将沿翻折，使点落在上的点处，过点作交于点，过点作交于点 .若四边形与四边形的面积相等，则的长为________.16、(2020衢州.中考模拟) 如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，∠C＝80°，按如图方式沿着MN折叠，使FN ∥CD，此时量得∠FMN＝40°，则∠B的度数是________.17、(2020杭州.中考真卷) 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F 处，连接DF。
专题35 几何图形翻折与旋转【热点专题】(含答案解析)
专题35几何图形翻折与旋转【热点专题】几何图形的翻折与旋转问题是历年中考的热点问题，题型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效．同样的翻折与旋转类题目，条件不一样，用到的知识和方法也不尽相同．（1）旋转后的图形与原图形是全等；（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；题型一：点、线旋转（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）【例1】1．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．（4）或（﹣4）C ．（﹣2）或（2）D ．（2，﹣2，（2021·江苏扬州市·中考真题）【例2】2．如图，一次函数y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30︒交x 轴于点C ，则线段AC 长为（）AB ．C ．2D题型二：面的旋转（2021·辽宁大连·中考真题）【例3】3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，将ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到A B C ''△，点B 的对应点B '在边AC 上（不与点A ，C 重合），则AA B ''∠的度数为（）A ．αB ．45α-︒C ．45α︒-D ．90α︒-（2021·四川巴中·中考真题）【例4】4．如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ．若BQ ：AQ ＝3：1，则AM ＝__________．题型三：三角形翻折问题（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）【例5】5．如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE V 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（）A ．198B ．2C ．254D ．74（2021·重庆中考真题）【例6】6．如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．题型四：四边形翻折问题【例7】7．如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则ADDF的值为（）A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719（2021·四川自贡市·中考真题）【例8】8．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将BMA △沿BM 对折至BMN ，连接DN ，则DN 的长是（）A ．52B ．958C ．3D ．655（2021·湖北黄石·中考真题）9．如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A 点的坐标是()1,0-，现将ABC 绕A 点按逆时针方向旋转90︒，则旋转后点C 的坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()2,2-D ．()3,2-（2021·湖南益阳·中考真题）10．如图，Rt ABC 中，390,tan 2BAC ABC ∠=︒∠=，将ABC 绕A 点顺时针方向旋转角9(0)0αα︒<<︒得到AB C ''△，连接BB '，CC '，则CAC '△与BAB ' 的面积之比等于_______．（2021·江苏苏州·中考真题）11．如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．（2021·四川成都市·中考真题）12．如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B'，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B ¢上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．（2021·新疆·中考真题）13．如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE 按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分别交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．（2021·四川绵阳·中考真题）14．如图，点M 是ABC ∠的边BA 上的动点，6BC =，连接MC ，并将线段MC 绕点M 逆时针旋转90︒得到线段MN ．（1）如图1，作MH BC ⊥，垂足H 在线段BC 上，当CMH B ∠=∠时，判断点N 是否在直线AB 上，并说明理由；（2）如图2，若30ABC ∠=︒，//NC AB ，求以MC 、MN 为邻边的正方形的面积S ．（2021·山西·中考真题）15．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD Y 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD Y 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，如图③，点A 的对应点为'A ，使'A B CD ⊥于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD Y 的面积为20，边长5AB =，BC =部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．（2021·山东日照·中考真题）16．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF △绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将BEF △绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF △旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE V 的面积为______．（2021·辽宁阜新·中考真题）17．下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．18．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ ，若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．参考答案：1．C【分析】先求出点A 的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A ′的坐标．【详解】过点A 作AC OB ⊥于点C ．在Rt △AOC 中，222AC OA OC =-．在Rt △ABC 中，()22222AC AB CB AB OB OC =-=--．∴()2222OA OC AB OB OC -=--．∵OA ＝4，OB ＝6，AB ＝，∴2OC =．∴AC =∴点A 的坐标是(2,．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB 绕原点O 顺时针旋转90°时，点A 的对应点A ′的坐标为()2-；将△AOB 绕原点O 逆时针旋转90°时，点A 的对应点A ′′的坐标为()2-．故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a ，b ）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b ，-a ），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b ，a ）．2．A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB 的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数y x=的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y y=0，则x=，则A（，0），B（0），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC x，∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x，解得：x∴AC x）+故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．3．C【分析】由旋转的性质可得CA B CAB α''∠=∠=，90,ACA AC A C ''∠=︒=，进而可得45AA C '∠=︒，然后问题可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：CA B CAB α''∠=∠=，90,ACA AC A C ''∠=︒=，∴ACA ' 等腰直角三角形，∴45AA C '∠=︒，∴45AA B α''∠=︒-；故选C ．【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．25【分析】连接OQ ，OP ，利用HL 证明Rt △OAQ ≌Rt △ODQ ，得QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，设CP =x ，则BP =3-x ，PQ =x +34，在Rt △BPQ 中，利用勾股定理列出方程求出x =95，再利用△AQM ∽△BQP 可求解．【详解】解：连接OQ ，OP ，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，∴OA =OD ，∠OAQ =∠ODQ =90°，在Rt △OAQ 和Rt △ODQ 中，OQ OQ OA OD =⎧⎨=⎩，∴Rt △OAQ ≌Rt △ODQ （HL ），∴QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，∵BQ：AQ=3：1，AB=3，∴BQ=94，AQ=34，设CP=x，则BP=3-x，PQ=x+3 4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：(3-x)2+(94)2=(x+34)2，解得x=9 5，∴BP=6 5，∵∠AQM=∠BQP，∠BAM=∠B，∴△AQM∽△BQP，∴13 AM AQBP BQ==，∴1 63 5AM=，∴AM=2 5．故答案为：2 5．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，利用全等证明QA=DQ，CP=DP是解题的关键．5．D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE 2=BC 2+CE 2，∴x 2=62+（8-x ）2，解得x =254，∴CE =2584-=74，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．6．【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF △是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴tan 60CF AF ==︒∴AG =∴四边形ADFE 的面积为122DE AG ⋅⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．7．C【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP=OF 可得出△OEF ≌△OBP （AAS ），根据全等三角形的性质可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =．故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．8．D【分析】延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，根据折叠的正方形的性质得到NE CE =，在Rt MDE 中应用勾股定理求出DE 的长度，通过证明MDE NFE ∽，利用相似三角形的性质求出NF 和DF 的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，∵6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =，∴2AM =，4DM =，∵将BMA △沿BM 对折至BMN ，四边形ABCD 是正方形，∴90BNE C ∠=∠=︒，AB AN BC ==，∴Rt BNE Rt BCE ≌(HL)，∴NE CE =，∴2EM MN NE NE =+=+，在Rt MDE 中，设DE x =，则628ME x x =-+=-，根据勾股定理可得()22248x x +=-，解得3x =，∴3NE DE ==，5ME =，∵NF CD ⊥，90MDE ∠=︒，∴MDE NFE ∽，∴25EF NF NE DE MD ME ===，∴125NF =，95EF =，∴65DF =，∴DN =，故选：D ．【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．9．B【分析】在网格中绘制出CA 旋转后的图形，得到点C 旋转后对应点．【详解】如图，绘制出CA 绕点A 逆时针旋转90°的图形，由图可得：点C 对应点C '的坐标为(-2，3)．故选B ．【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转．10．9:4【分析】先根据正切三角函数的定义可得32AC AB =，再根据旋转的性质可得,,AB AB AC AC BAB CAC α''''==∠=∠=，从而可得1AC AB AC AB ==''，然后根据相似三角形的判定可得CAC BAB ''~ ，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解： 在Rt ABC 中，390,tan 2BAC ABC ∠=︒∠=，32AC AB ∴=，由旋转的性质得：,,AB AB AC AC BAB CAC α''''==∠=∠=，1AC AB AC AB ∴==''，在CAC '△和BAB ' 中，AC AB AC AB CAC BAB ''''⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，CAC BAB ''~∴ ，294CAC BAB AC S AB S ''⎛⎫== ⎪⎝⎭∴ ，即CAC '△与BAB ' 的面积之比等于9:4，故答案为：9:4．【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．11．245【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==3BC ===∵''B OA BOA∠=∠∴'sin ''sin 'A P BC B OA BOA A O OB ∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．12．1【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE =5，从而求得OA 及OC ；由AD ∥BC ，易得△AOE ∽△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’⊥EF ，3A E AE '==∵四边形ABCD 是矩形∴∠ADC =90°，CD =AB =4，AD ∥BC∵∠AOE =∠ADC ，∠OAE =∠DAC∴△AOE △ADC ，∴12OE CD OA AD ==，∴OA =2OE ，在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE +=，∴OE =5，∴OA在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC =，∴OC =令BF =x ，则FC =8-x ，∵AD ∥BC ，∴△AOE ∽△COF ，∴37OA AE OC FC ==，即7AE =3FC∴3(8-x )=7×3解得：1x =,∴BF 的长为1．连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN ⊥EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+-，解得：m =3，则NF ，∵EF =∴MF∴MN故答案为：1【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．13【分析】过点E 作EP ⊥BD 于P ，将∠EDM 构造在直角三角形DEP 中，设法求出EP 和DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∠A =∠BCD =∠ADC =90°，AB =BC =CD =DA =1，BD =．∵△DAE 绕点D 逆时针旋转得到△DCF ，∴CF =AE ，DF =DE ，∠EDF =∠ADC =90°．设AE =CF =2x ，DN =5x ，则BE =1-2x ，CN =1-5x ，BF=1+2x ．∵AB ∥DC ，∴~FNC FEB ∆∆．∴NC FC EB FB =．∴1521212x x x x-=-+．整理得，26510x x +-=．解得，116x =，21x =-（不合题意，舍去）．∴1221233AE x EB x ===-=，．∴DE ===过点E 作EP ⊥BD 于点P ，如图所示，设DP =y，则BP y =．∵22222EB BP EP DE DP -==-，∴)2222233y y ⎛⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．解得，y =∴3EP ===．∴在Rt △DEP中，sin 3EP EDP ED∠==sin 5EDM ∠=．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（1）点N 在直线AB 上，见解析；（2）18【分析】（1）根据CMH B ∠=∠，90CMH C ∠+∠=︒，得到90B C ∠+∠=︒，可得线段CM 逆时针旋转90︒落在直线BA 上，即可得解；（2）作CD AB ⊥于D ，得出45MCN ∠=︒，再根据平行线的性质得到45BMC ∠=︒，再根据直角三角形的性质计算即可；【详解】解：（1）结论：点N 在直线AB 上；∵CMH B ∠=∠，90CMH C ∠+∠=︒，∴90B C ∠+∠=︒，∴90BMC ∠=︒，即CM AB ⊥．∴线段CM 逆时针旋转90︒落在直线BA 上，即点N 在直线AB 上．（2）作CD AB ⊥于D ，∵MC MN =，90CMN ∠=︒，∴45MCN ∠=︒，∵//NC AB ，∴45BMC ∠=︒，∵6BC =，30B ∠=︒，∴3CD =，MC =∴218S MC ==，即以MC 、MN 为邻边的正方形面积18S =．【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．15．（1）EF BF =；见解析；（2）AG BG =，见解析；（3）223．【分析】（1）如图，分别延长AD ，BF 相交于点P ，根据平行四边形的性质可得//AD BC ，根据平行线的性质可得PDF C ∠=∠，P FBC ∠=∠，利用AAS 可证明△PDF ≌△BCF ，根据全等三角形的性质可得FP FB =，根据直角三角形斜边中线的性质可得12EF BP =，即可得EF BF =；（2）根据折叠性质可得∠CFB =∠C′FB =12∠CFC′，FC =FC′，可得FD =FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D ，根据三角形外角性质可得∠CF C′=∠FDC′+∠FC′D ，即可得出∠C′FB =∠FC′D ，可得DG//FB ，即可证明四边形DGBF 是平行四边形，可得DF =BG =12AB ，可得AG =BG ；（3）如图，过点M 作MQ ⊥A ′B 于Q ，根据平行四边形的面积可求出BH 的长，根据折叠的性质可得A ′B =AB ，∠A =∠A ′，∠ABM =∠MBH ，根据'A B CD ⊥可得A ′B ⊥AB ，即可证明△MBQ 是等腰直角三角形，可得MQ =BQ ，根据平行四边形的性质可得∠A =∠C ，即可得∠A ′=∠C ，进而可证明△A ′NH ∽△CBH ，根据相似三角形的性质可得A ′H 、N H 的长，根据NH //MQ 可得△A ′NH ∽△A ′MQ ，根据相似三角形的性质可求出MQ 的长，根据S 阴=S △A′MB-S △A′NH 即可得答案．【详解】（1）EF BF =．如图，分别延长AD ，BF 相交于点P ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴PDF C ∠=∠，P FBC ∠=∠,∵F 为CD 的中点，∴DF CF =，在△PDF 和△BCF 中，P FBC PDF C DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PDF ≌△BCF ，∴FP FB =，即F 为BP 的中点，∴12BF BP =，∵BE AD ⊥，∴90BEP ∠=︒，∴12EF BP =，∴EF BF =．（2）AG BG =．∵将ABCD Y 沿着BF 所在直线折叠，点C 的对应点为'C ，∴∠CFB =∠C′FB =12∠CFC′，'FC FC =，∵F 为CD 的中点，∴12FC FD CD ==，∴'FC FD =，∴∠FDC′=∠FC′D ，∵'CFC ∠=∠FDC′+∠FC′D ，∴'1'2FC D CFC ∠=∠，∴∠FC′D =∠C′FB ，∴//DG FB ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//DC AB ，DC =AB ，∴四边形DGBF 为平行四边形，∴BG DF =，∴12BG AB =，∴AG BG =．（3）如图，过点M 作MQ ⊥A ′B 于Q ，∵ABCD Y 的面积为20，边长5AB =，'A B CD ⊥于点H ，∴BH =50÷5=4，∴CH 2=，A ′H =A ′B -BH =1，∵将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，点A 的对应点为'A ，∴A ′B =AB ，∠A =∠A ′，∠ABM =∠MBH ，∵'A B CD ⊥于点H ，AB //CD ，∴'A B AB ⊥，∴∠MBH =45°，∴△MBQ 是等腰直角三角形，∴MQ =BQ ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，∴∠A ′=∠C ，∵∠A ′HN =∠CHB ，∴△A ′NH ∽△CBH ，∴'CH BH A H NH =，即241NH=，解得：NH =2，∵'A B CD ⊥，MQ ⊥A ′B ，∴NH //MQ ，∴△A ′NH ∽△A ′MQ ，∴''A H NH AQ MQ=，即125MQ MQ =-，解得：MQ =103，∴S 阴=S △A′MB-S △A′NH =12A ′B ·MQ -12A ′H ·NH =12×5×103-12×1×2=223．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．16．（1）2，30°；（2【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得AE BE DF BF ==BDF BAE ∠=∠，即可求解；（2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒ ，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠==如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆ 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOB AOF ∠=∠ ，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒，故答案为：2，30︒；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又 BE AB BF DB ==ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOH AOB ∠=∠ ，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，AB = 30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，BE ∴=2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒ ，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，DE ∴30DEA ∠=︒ ，12DG DE ∴==由（2）可得：AE BE DF BF ==，AE ∴=ADE ∴∆的面积1122AE DG =⨯⨯=⨯；如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1122228AE DG =⨯⨯=⨯⨯=；【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17．（1）O ，180；（2）图见解析，()0,1，90；（3）22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，2α【分析】（1）根据图形可以直接得到答案；（2）根据题意画出图形，观察图形，利用图形旋转的性质得到结论；（3）从（1）（2）问的结论中得到解题的规律，求出两个函数的交点坐标，即可得出答案．【详解】解：（1）由图象可得，图形1G 与图形2G 关于原点成中心对称，则将图形1G 绕O 点顺时针旋转180度，可以得到图形2G ；故答案为：O ，180；（2）1G ，2G 如图；由图形可得，将图形1G 绕()0,1点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形2G ，故答案为：()0,1，90；（3）∵当G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G 时，1G 与2G 关于原点（0,0）对称，即图形1G 绕O 点顺时针旋转180度，可以得到图形2G ；当G 关于y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G 时，图形1G 绕()0,1点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形2G ，点（0,1）为直线1y x =+与y 轴的交点，90度角为直线1y x =+与y 轴夹角的两倍；又∵直线1:22l y x =-+和2:l y x =的交点为22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，夹角为α，∴当直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭点（用坐标表示）顺时针旋转2α度（用α表示），可以得到图形2G ．故答案为：22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，2α．【点睛】本题主要考查了图形的对称性与旋转的性质，关键在于根据题意正确的画出图形，得出规律．18．（Ⅰ）点P 的坐标为（6）．（Ⅱ）2111m t t 666=-+（0＜t ＜11）．（Ⅲ）点P 6，6）．【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案．（Ⅱ）由△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP ，易证得△OBP ∽△PCQ ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．（Ⅲ）首先过点P 作PE ⊥OA 于E ，易证得△PC′E ∽△C′QA ，由勾股定理可求得C′Q 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666=-+，即可求得t 的值：【详解】（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6．在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ．∵OP 2=OB 2+BP 2，即（2t ）2=62+t 2，解得：t 1=t 2=－．∴点P 的坐标为（6）．（Ⅱ）∵△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，∴△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP ．∴∠OPB′=∠OPB ，∠QPC′=∠QPC ．∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°．∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP ∽△PCQ ．∴OB BP PC CQ =．由题意设BP=t ，AQ=m ，BC=11，AC=6，则PC=11－t ，CQ=6－m ．∴6t 11t 6m =--．∴2111m t t 666=-+（0＜t ＜11）．（Ⅲ）点P 6，6）．过点P 作PE ⊥OA 于E ，∴∠PEA=∠QAC′=90°．∴∠PC′E+∠EPC′=90°．∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A ．∴△PC′E ∽△C′QA ．∴''=PE PC AC C Q．∵PC′=PC=11－t ，PE=OB=6，AQ=m ，C′Q=CQ=6－m ，∴AC '==．∴．∵6116=--t t m ，即6116-=-t t m 6=t ，即．将2111m t t 666=-+代入，并化简，得2322360-+=t t ．解得：12t t ==∴点P ，6）或（113+，6）．。
2021年中考真题精选5——翻折、旋转
2021年中考真题精选5 ——翻折、旋转1.（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．42.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．3.（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+4.（2021•河南）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（2+1，0）D．（2+1，0）5.（2021•衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③6.（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°7.（2021•广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为（）A．B．C．D．8.（2021•台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．（36）cm2B．（36）cm2C．24cm2D．36cm29.（2021•丽水）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（）A．B．C．D．10.（2021•通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（）A．B．C．或D．或11.（2021•自贡）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）A．B．C．3D．12.（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）A．πB．πC．πD．π13.（2021•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2B．C．D．314.（2021•南充）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C﹣B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为9．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个15.（2021•鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为（）A．B．C．D．16.（2021•阜新）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0，2）．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（）A．2020πB．1010π+2020C．2021πD．1011π+2020 17.（2021•桂林）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是．18.（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．19.（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是．20.（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．21.（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝__________时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．22.（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．23.（2021•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为．24.（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A 落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D′处，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为．25.（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝度．26.（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．27.（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为．28.（2021•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为；第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为．29.（2021•凉山州）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为．30.（2021•威海）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若∠AEF＝α，纸片宽AB＝2cm，则HE＝cm．31.（2021•泰安）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE 上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为．32.（2021•海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为，DD′的长为．33.（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（填序号即可）．34.（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．35.（2021•乐山）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE ＝；（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．36.（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？37.（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H 处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．38.（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．39.（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．40.（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．41.（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．42.（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．43.（2021•鄂尔多斯）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM ＝cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC 于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．44.（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．（1）求证：①△PDF的面积S＝PD2；②EA＝FD；（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．45.（2021•毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．。
2021届新中考数学必考精点考点专题 专题33 中考几何折叠翻折类问题 原卷版
2021届新中考数学必考精点考点专题专题33 中考几何折叠翻折类问题1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【对点练习】（2019重庆）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC 于点E，AE=1，连接DE，将△AED沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（）A.8B.C.D..【例题2】（2020贵州黔西南）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________．【对点练习】（2019四川内江）如图，在菱形ABCD中，simB＝，点E，F分别在边AD、BC 上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时，的值是．【例题3】（2020衢州模拟）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．（1）求证：EG=CH；（2）已知AF=，求AD和AB的长．【对点练习】（2019徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．一、选择题1.（2020•青岛）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．42．（2020•枣庄）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（）A．3B．4 C．5 D．63．（2020•广东）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A．1 B．C．D．24．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B 与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A． B． C．3 D．5．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（）A． 65° B． 50° C． 60° D． 57.5°6．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A．（4，8） B．（5，8） C．（，） D．（，）7．（2019海南）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E 处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）A．12 B．15 C．18 D．218．（2019桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题9．（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF，则矩形ABCD 的面积为．10．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cos A，则．11．（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：（1）∠PAQ的大小为°；（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为．12．（2019山东滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N点处，同时得到折痕BM，BM与EF交与点H，连接线段BN，则EH与HN的比值是．13．〔2020上海模拟〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为________.14．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．15．（2019辽宁抚顺）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD 上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．16．如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为．17.（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为_______．18．（2019江苏淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．三、解答题19．（2020•金华）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．20．（2020湘潭模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．21.（2020牡丹江）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．。
2021重庆中考数学复习翻折变换专题训练二
中考翻折变换专题训练二一、典型例题分析例1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）16.5A 18.5B 24.5C 36.5D例2、如图，已知在△ABC 中，∠BAC>90°，13AB =，BC=10，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上,将△CDE 沿着DE 翻折,使得点C 恰好落在BA 延长线上的点F 处，连接AD, 52EDFs =，则AD 的长度为（ ） 52A 、 2B 、2 73C 、 413D 、例3、如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝12，点E 是CD 的中点，连结AE ，将△ADE 沿指向AE 折叠，是使点E 落在点F 处，则线段CF 的长度是（ ） A ．4B ．C ．D ．例4、如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝30°，且BC ＝CA ，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，AB ′交CD 于点E ，连接B ′D ．若AB ＝3，则B ′D 的长度为( ).5A .6B 13.2C 15.2D例5、如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点G 处，若045,32,2,B AB BE AE ∠===则GF 的长为（ ）.274A - .272B - .272C + .274D +例6、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（ ） A ．B ．C ．4D ．4例7、如图,正方形纸片ABCD的边长为4,B是边AD的中点,连接BE,折叠该纸片,点A落在A′处,连接A′C,则A′C的长为( )410 .A310.B210.C710.D例8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．二、作业巩固练习1．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（）A．B．C． D．2、如图，在平行四边形纸片ABCD 中、AB ＝AD ＝4，∠A ＝60°，将该纸片翻折使点A 落在CD 边的中点E 处，折为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE 的长为（ ） A ．2B ．2﹣1C ．2.8D ．2.2E ABCDB3、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E为AD 的中点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠，点A 的对应点为F ．连接CF ，则CF 的长为（ ） A ．B ．C ．D ．一、典型例题分析例1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）16.5A 18.5B 24.5C 36.5D解：连接BF ，∵BC ＝12，点E 为BC 的中点，∴BE ＝6，又∵AB ＝8， ∴AE ＝＝＝10，由折叠知，BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH ＝＝，则BF ＝，∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°， ∴CF ＝＝＝，故选：D ．例2、如图，已知在△ABC中，∠BAC>90°，13AB=，BC=10，点D为BC的中点，点E在AC上,将△CDE沿着DE翻折,使得点C恰好落在BA延长线上的点F处，连接AD,52EDFs=，则AD的长度为（）52A、2B、273C、413D、MN解：过点A作AM⊥CB于M,，连接CF，延长DE 交CF 于点N,如图所示，则有N为CF中点，∵D为CB中点，∴ND ∥AB，∴E为CA中点, ∵52EDFs=，∴5ACDs=，∴2AM=，∵13AB=，3,2,DB DM==∴2 2.AD=例3、如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝12，点E是CD的中点，连结AE，将△ADE 沿指向AE折叠，是使点E落在点F处，则线段CF的长度是（）A．4 B．C．D．解：过点E作EM⊥CF于点M，如图所示．在Rt△ADE中，AD＝12，DE＝AB＝5，∴AE＝＝13．根据折叠的性质可知：ED＝EF，∠AED＝∠AEF．∵点E是CD的中点，∴CE＝DE＝FE＝5，∴∠FEM＝∠CEM，CM＝FM．∵∠DEA+∠AEF+∠FEM+∠MEC＝180°，∴∠AEF+∠FEM＝×180°＝90°．又∵∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠FEM．∵∠AFE＝∠EMF＝90°，∴△AFE∽△EMF，∴＝，即＝，∴MF＝，CF＝2MF＝．故选：B．例4、如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为( B).5A.6B13.2C15.2D解：作CM ⊥AB 于M ，由折叠的性质得：B 'C ＝BC ＝AC ，∠AB 'C ＝∠B ＝∠CAB '＝30°，AB '＝AB ＝CD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝30°，∠BAD ＝∠BCD ＝180°﹣∠B ＝150°， ∴∠B 'AD ＝150°﹣30°﹣30°＝90°， ∵BC ＝AC ，∴AM ＝BM ＝AB ＝，∠BAC ＝∠B ＝30°，∴CM ＝，∴AD ＝BC ＝2CM ＝3，在Rt △AB 'D 中，由勾股定理得：B 'D ＝＝＝6；故答案为：6．例5、如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点G 处，若045,32,2,B AB BE AE ∠===则GF 的长为（ ）.274A - .272B - .272C + .274D +例6、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（ ） A ．B ．C ．4D ．4解：作EM⊥AD于M，如图所示,∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝4，∵ME⊥AD，∠DMC＝60°，∴∠MED＝30°，且ME⊥AD，∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折叠的性质得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得：EG＝，故选：A．例7、如图,正方形纸片ABCD的边长为4,B是边AD的中点,连接BE,折叠该纸片,点A落在A′处,连接A′C,则A′C的长为( )410 .A310.B210.C710.D解：如图，过点A′作A′M⊥BC于M交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB＝AD＝BC＝4，AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，由翻折可知，AE＝EA′，∠A＝∠EA′B＝90°，AB＝BA′＝4，∵AE＝ED＝2，∴EA′＝AE＝2，∴∠BA′E＝∠ENA′＝∠A′MB＝90°，∴∠BA′M+∠EA′N＝90°，∠EA′N+∠A′EN＝90°，∴∠BA′M＝∠A′EN，∴△A′NE∽△BMA′，∴＝＝＝，设EN＝x，则A′M＝2x，A′N＝4﹣2x．BM＝8﹣4x，∵BM＝AN，∴8﹣4x＝2+x，∴x＝，∴BM＝，A′M＝，CM＝4﹣BM＝，在Rt△A′CM中，CA′＝＝＝，例8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．解：过点D作DE⊥A′C于E，过A'作A'F⊥CD于F，如图所示：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠ADC+∠BCD＝180°，∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝6，AD＝AB＝3，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，∴CD＝tan∠DBC•BD＝tan30°×6＝×6＝2，由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝3，∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∵A'F⊥CD，∴∠DA'F＝30°，∴DF＝A'D＝，A'F＝DF＝，∴CF＝CD﹣DF＝2﹣＝，∴A'C＝＝＝，∵△A'CD的面积＝A'C×DE＝CD×A'F，∴DE＝＝＝，即D到直线A′C的距离为；故选：C．二、作业巩固练习1．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD 的长为（）A．B．C．D．解：∵把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，∴AB＝AE＝5，BD＝DE，AD⊥EF，∴EF＝＝＝3，∵DG＝EG，△AEG的面积为，∴S△ADE＝2×S△AEG＝9＝×EF×AD，∴AD＝6，∴DF＝2，∴BD＝DE＝＝＝，故选：A．2、如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB＝AD＝4，∠A＝60°，将该纸片翻折使点A落在CD边的中点E处，折为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（）A．2B．2﹣1 C．2.8 D．2.2解：过点E作EH⊥AD于H，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝CD＝AB＝4，∴∠A＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝CD＝2，在Rt△DHE中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH ＝DE＝1，HE ＝DH ＝，由折叠的性质得：AG＝GE，在Rt△HGE中，GH＝AD﹣AG+DH＝4﹣GE+1＝5﹣GE，由勾股定理得：GE2＝GH2+HE2∴GE2＝（5﹣GE）2+3，解得：GE＝2.8；故选：C．BE答案A4、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．解法一：如图，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB，∵AB∥CD，MN⊥AB ∴MN⊥CD，∵AB＝2＝AD，点E是AD中点∴AE＝1，∴EB＝＝∵S△ABE＝×AB×AE＝×BE×AO∴2×1＝AO∴AO＝∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F∴AO＝OH＝，AB＝BF＝2，∴AF＝∵AF2﹣AN2＝FN2，BF2﹣BN2＝FN2，∴AF2﹣AN2＝BF2﹣BN2，∴﹣（2﹣BN）2＝4﹣BN2，∴BN＝∴FN＝∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠DCB＝90°∴四边形MNBC是矩形∴BN＝MC＝，BC＝MN＝2∴MF＝∴CF＝＝故选：D．解法二：M N。
2021年中考数学 专题训练：与圆有关的计算(培优)
个动点，连接 BP，线段 BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称，连接 PQ．当
点 P 从点 A 运动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫过的面积为
．
AP
D
Q
B
C
三、解答题 16. （2020·河北）如图13，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使
OC=OD，以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P 为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连 接AE，CP.
（1）如图 1，若 =60°，①直接写出 DF 的值为_________； DC
②当⊙O 的半径为 2 时，直接写出图中阴影部分的面积为_________；
.（2）如图 2，若 ＜60°，且 DF = 2 ，DE=4，求 BE 的长. DC 3
20. （2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相
B． 9
C． 8
D． 6
6. (2020·南充）如图，AB 是 O 的直径，CD 是弦，点 C, D 在直径 AB 的两侧．若
AOC : AOD : DOB 2 : 7 :11， CD 4，则 CD 的长为（ ）
CA
D O
B
A． 2
B． 4
C． 2 2
D． 2
7. （2020·株洲）如图所示，点 A、B、C 对应的刻度分别为 0、2、4、将线段 CA 绕点 C 按顺时针方向旋转，当点 A 首次落在矩形 BCDE 的边 BE 上时，记为点 A1 ， 则此时线段 CA 扫过的图形的面积为（ ）
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10. 【答案】C 【解析】∵四边形 ABCD是菱形， D 80 ，∴
专题50圆中的翻折综合问题(解析版)
专题50圆中的翻折综合问题为（）D. 6J21、如图，将半径为12的二O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,则折痕AB长【分析】延长CO交AB于E点，连接OB,构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长C/ \D \代--方一予5J-/【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB,ZCEZAB,二E为AB的中点，二OC=6, CD=2OD,二CD=4, OD=2, OB=6.二DE=1 (2OC-CD) =4(6x2-4)=38=4,ZOE=DE-OD=4-2=2,在 Rt 二 OEB 中，二 OE 2+BE 2=OB 2, ZBE= y/0B 2-0E 2 = A /62-42441 ZAB=2BE=8V2 .故选:B.【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求 解是解答此题的关键.2、已知如图：匚0的半径为8cm,把弧AmB 沿AB 折叠使弧AniB 经过圆心0,再把弧AOB 沿CD 折叠, 使弧COD 经过AB 的中点E,则折线CD 的长为（ ）A. 8cmB. 8-73 cmC. 2A /7 cmD. 4<7 cm二0F'=6cm,十:尸♦/辛【解答】解：连接0E 并延长交CD 于点F,交CD 于点F,二 0C'=8ciii,交弧AmB 于点G, 【分析】连接OE 并延长交CD 于点F,交CD 于点F,交弧AmB 于点G,根据翻折的性质得出OF=6, 再由勾股定理得出.ZCT'=CF= A/S2-62=2 yH cnu FZCD=2CD=4^7 cm.故选：D.【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握.3、如图，AB是二0的直径，且AB=4, C是n0上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点0,仙314,、5=L41, 73=1.73,那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A. 3.2B. 3.6C. 3.8D. 4.2【分析】作0E二AC交二。
备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题),单选题专训及答案
题），单选题专训及答案
备 考 2021中 考 数 学 复 习 专 题 ： 图 形 的 变 换 _轴 对 称 变 换 _翻 折 变 换 （ 折 叠 问 题 ） ， 单 选 题 专 训
1、 (2019辽阳.中考真卷) 如图，直线 在线段 与 的交点 处，
，E是 的中点，将
沿直线 翻折，
A. B.
C. D.
29、 (2020湖州.中考模拟) 如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（ ）
A . ∠1+∠2＝2∠A B . ∠2﹣∠A＝2∠1 C . ∠2﹣∠1＝2∠A D . ∠1+∠A＝ ∠2
30、 (2020滨海新.中考模拟) 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1 ，则边BC的长（ ）
A. B.6C.4D.5
3、 (2019本溪.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现 将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表 示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C.8D.
10、 (2019福田.中考模拟) 如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F 处，再将其打开、展平，得折痕DE．连接CF、BF、EF，延长BF交AD于点G．则下列结论：①BG＝DE；②CF⊥BG； ③sin∠DFG＝ ；④S△DFG＝ ，其中正确的有（ ）
A. B. C. D.
中考数学总复习--几何变换之翻折探究专题(含答案).doc
最新中考数学总复习“几何变换之翻折探究专题思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系.许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征J而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形"很多的情况也是同样具有“变换勺孩式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有肓接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对称关系，或成平移关系, 或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的儿何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征J对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形），有着极为重耍的启发和引导的作用.图形的翻折问题本质上是轴对称问题，满足轴对称的性质，即:1.折叠图形关于折痕对称2.对应边.角相等3・对应点的连线被折痕垂直平分我们解决翻折问题一般也是从以上性质出发解决的.先讲翻折题的三种常见方法【题目】（16年秋锡山区期屮）如图，在平面直角坐标系屮，矩形ABCO的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3）,将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E,那么点D的坐标为_________________________ ・法一：求定点关于定真线的对称点（万能方法）如答图1,连BD,处AC 于G,贝UABC^AAGB^ABFD,.•.BD = 2BG = AB -«2=3x- x2= , DF=BD- 1x . E \/To io io ioBF=3DF=-,5 95・・・D （-L匕5 5法二：由直角翻折主动寻求K型相似（特殊技巧）• •••••••• • •••如答图1, l±l ZADC=90°=>A ADN^ADCF,相似比为3： 1,设ON=CF=x,则DN=3x, DF=3-3x,由AN = 3DF 得x+l=3 (3-3x),解得x=4,_.・.D (—°,_以2_5 5 5法三:电翻折主动寻求等腰二角形（特殊技巧）如答图2,延长CD交x轴于H,可得CH=AH,设DH = y,则AH = y,在RtAADH +用勾股定理耳［得y=4易得DM=-, AD-）5 5 5法四：出翻折主勿寻求等腰三角形（特殊技巧）如答图2,设CE=AE=a,则OE=3—a,在RtAAOE 中用勾股定理可得a=-,由比例关系可得OM=-, /.D （-1，55 5 5【例题剖析】题型一：利用对应边相等，对应角相等例1一1、（2015 年无锡）10・如图，RtAABC 中，ZACB = 90°, AC= 3, BC=4,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,贝U线段BF的长为（）人3 4 2 3A. 一B. -C. - r> —【解答】选BK点评》本题的关键点在于发现并证明ZBTB是直角，由翻折可知ZA=ZADC=ZBQF,又ZB=ZB f=—< ZBTB是肓角=>AB f DF是“345"的三角形乂由翻折可知B，C = BC=4, CD = AC = 3,例1一2、（18年4月锡山区二模）17.如图，在“ABC 中，ZACB=90°，点、D, E 分别在 AC, BC±,且ZCDE=ZB,将ZkCDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处.若AC=8, AB=\O ，则CD 的长为 ___________ ・母子三角形K 点评』本题的关键点在于发现并证明F 是AB 的中点，如答图，由翻折=CF 丄DE===== < Z1 = Z2-= < Z2= ZB=>CF=BF 二=========<F 是AB 中点 木题也可以根据90度翻折构造K 型相似来解决，如答图2K 针对练习》1、（18年4刀宜兴一模）16・如图，在矩形ABCD 中，AB=4, BC=6, E 是BC 的中点, 连结AE,将ZkABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连结CF,则sinZEFC= ________________ .【解答】CD=；【解答】；§型二：利用（或构造）等腰三角形例2—1、（18年4月宜兴一模）10. —张矩形纸片ABCD,其中AD = 8cm, AB=6cm,先沿对角线BD对折，点C落在点C的位置，BC交AD于点G （图1）；再折叠一次，使点D与点A 重合，得折痕EN, EN交AD于点M （图2）,则EM的长为（7 —A. 2B.丄C・ 0 D.【解答】选DK点评》木题的关键点在于发现并利用ADEN是等腰三角形，由翻折=>ZCDB = ZEDB, 作高EHEN 是折痕=>EN〃CDnZEND=ZBDC=>ZEND=ZEDN=>EN=ED== v^DEN 是“556”的三角形例2—2、(12年南长区一模)已知正方形ABCD 的边长为6cm,点E 是射线BC 上的一个动【解答】当E 点在BC 边上时，sinZDAB r =5,当E 点在BC 的延长线上时，sinZDAB r 13_3 —, 5K 点评》本题三种方法都可以，方运一：如答图1,构造箏腰三角形AGF,再由勾股定理得到方程x 2+62= (9-x) 2解得 x=,所以sinZDAB r ='2 13 方法二 如答圏2, A ABE^AAHB^AB Z GB,三边之比都为2： 3： 甄 ABH=2B E= 2<4= u_=>BB f =2BH=_=>BG= lBB z =-=>AG=-=>sinZ yrr /TJ /TJ yi3 y/H 13 13 DAB ，=L 13方法三：如答图3，构造相似三角形厶ABT S /XEEG ,且相似比为3： 2,可得方程组[3x+2y=6 ,解得卜=勺 所以sinZDAB z =-l(3x)2 + 0y M6 [y=*另一种情况类似，参考答图4 ' 答图4点，连接AE 交射线DC 于点F,将ZkABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B 处.(1) cm ； 求sinZDAB r 的值；D^-=1 时，CF=DC答图3 答图1 答图2例2—3、（17 年滨湖二模）18・如图，在RtAABC 中，ZC=90°, AC=3cm, BC=4cm,点 E 从C 点出发向终点B 运动，速度为lcm/秒，运动时间为t 秒，作EF 〃AB,点P 是点C 关K 点评为本题的关键点在于CP 与折痕EF 垂直，也即与AB 垂直，在ZAPE=90°Bj,可得 等腰三角形ABE 。
2021中考数学折叠专项训练试题(含答案)(精华版)
附参考答案中考数学折叠专项训练试题一．选择题（共9 小题）1．（2013?贵港）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，∠ EBC 的平分线交CD 于点F，将△ DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长个结论：①DF=CF ；②BF⊥EN ；③△BEN 是等边三角形；BC 、EF 交于点N ．有下列四④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A ．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得易求得∠BFE= ∠BFN ，则可得BF⊥EN ；CF=FM=DF ；易证得易求得△BEN 是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；BM=2EM=2DE ，即可得EB=3EM ，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF ，由折叠的性质可得：∠EMF= ∠D=90°，即FM ⊥BE ，CF ⊥BC，∵BF 平分∠EBC ，∴CF=MF ，∴DF=CF ；故①正确；∵∠∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠BFM=90 °﹣∠EBF，∠BFC=90 °﹣∠CBF ，BFM= ∠BFC，MFE= ∠DFE= ∠CFN ，BFE= ∠BFN ，BFE+ ∠BFN=180°，BFE=90 °，即BF⊥EN ，故②正确；∵在△DEF 和△CNF 中，，∴△DEF≌△CNF （ASA ），∴EF=FN ，∴BE=BN ，但无法求得△ BEN 各角的度数，∴△∵∠BEN 不一定是等边三角形；故③错误；BFM= ∠BFC，BM ⊥FM ，BC ⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM∴BE=3EM ，，∴S△BEF=3S△EMF =3S△DEF；故④正确．故选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD 的一个角翻折，使得点 D 恰好落在BC 边上的点G 处，折痕为EF，若①④EB 为∠AEG 的平分线，EF 和BC 的延长线交于点H ．下列结论中：∠BEF=90 °；②DE=CH；③BE=EF ；△BEG 和△HEG 的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（）A ．2 个B．3 个C．4 个D．5 个考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：①②③④根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知无法证明BE=EF ；DE≠CH；根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG 和△HEG 的面积相等；⑤ 过 E 点作EK ⊥B C，垂足为K ．在RT △EKG 中利用勾股定理可即可作出判断．解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB 为∠AEG 的平分线，∴∠AEB= ∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90 °，故正确；②③④可证△EDF ∽△HCF，DF ＞CF，故DE≠CH，故错误；只可证△EDF ∽△BAE ，无法证明BE=EF ，故错误；可证△GEB ，△GEH 是等腰三角形，则G 是BH 边的中线，∴△BEG 和△HEG的面积相等，故正确；22⑤过E 点作EK ⊥BC，垂足为K ．设BK=x ，AB=y ，则有y +（2y ﹣2x）=（2y﹣x）2，解得x1=y（不合题意舍去），x2= y．则，故正确．故正确的有故选B．3 个．点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．（2012?遵义）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于 F 点，若CF=1 ，FD=2 ，则BC 的长为（）A ．3B．2C．2D．2考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点 E 作EM⊥BC 于M ，交BF 于N，易证得△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得△ENG ≌△BNM （AAS ），MN是GN=MN ，由折叠的性质，可得BG=3 ，继而求得BF 的值，又由勾股定理，即可求得的长．BC解答：解：过点∵四边形E 作EM⊥ BC 于M ，交BF 于N，ABCD 是矩形，∴∠∵∠A= ∠ABC=90°，AD=BC ，EMB=90 °，∴四边形ABME 是矩形，∴AE=BM ，由折叠的性质得：AE=GE ，∠EGN= ∠A=90°，∴EG=BM ，∵∠ENG= ∠BNM ，∴△ENG≌△BNM （AAS ），∴NG=NM ，∴CM=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=ED=BM=CM∵EM ∥CD，，∴BN ：NF=BM ：CM ，∴BN=NF ，∴NM= ，CF=∴NG= ，∵BG=AB=CD=CF+DF=3 ，∴BN=BG ﹣NG=3 ﹣，=∴BF=2BN=5 ，∴BC= ．= =2故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD 和AEFG 共顶点 A ，连BE，DG ，CF，AE ，BG ，K ，M 分别为且DG 和CF 的中点，KA 的延长线交BE 于H，MN ⊥BE 于N．则下列结论：①BG=DE BG⊥DE ；②△ADG 和△ABE 的面积相等；③ BN=EN ，④ 四边形AKMN 为平行四边形．其中正确的是（）A ．③④B．①②③C．①②④D．①②③④考点：正方形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：充分利用三角形的全等，即可．正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误解答：解：由两个正方形的性质易证∴BG=DE ，∠ADE= ∠ABG ，△AED ≌△AGB ，∴可得BG 与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE ．① 正确；如图，延长AK ，使AK=KQ ，连接DQ 、QG，∴四边形ADQG 是平行四边形；作CW ⊥BE 于点W，FJ⊥BE 于点J，∴四边形CWJF 是直角梯形；∵AB=DA ，AE=DQ ，∠BAE= ∠ADQ ，∴△∴∠∴∠∴△ABE ≌△DAQ ，ABE= ∠DAQ ，ABE+ ∠BAH= ∠DAQ+ ∠BAH=90°．ABH 是直角三角形．易证：△CWB ≌△BHA ，△EJF≌△AHE ；∴WB=AH ，AH=EJ ，∴WB=EJ ，又WN=NJ ，∴WN ﹣WB=NJ ﹣EJ，∴BN=NE ，③正确；∵ MN 是梯形WGFC 的中位线，WB=BE=BH+HE ，∴MN= （CW+FJ ）= WC= （BH+HE ）= BE ；易证：△ABE ≌△DAQ （SAS），∴AK= AQ= BE ，∴MN ∥AK 且四边形AKMN MN=AK ；为平行四边形，④正确．正确．S△ABE =S△ADQ =S△ADG=S?ADQG ，②所以，①②③④故选D．都正确；点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．（2012?资阳）如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN翻折后，顶点 C 恰好落在AB 边上的点D处，已知MN∥AB ，MC=6，NC=，则四边形的面积是（）MABNA ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）专题：压轴题．分析：首先连接CD ，交MN 上的点 D 处，即可得．于E，由将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点 C 恰好落在AB 边MN ⊥CD ，且CE=DE ，又由MN ∥AB ，易得△CMN ∽△CAB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6 ，NC= ，即可求得四边形MABN 的面积．解答：解：连接CD ，交MN 于E，∵将△ ABC 沿直线MN 翻折后，顶点∴MN ⊥CD，且CE=DE ，∴CD=2CE ，∵MN ∥AB ，∴CD⊥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，C 恰好落在AB 边上的点D 处，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN =CM?CN=×6×2=6 ，∴S△CAB =4S△CMN=4×6，=24∴S 四边形MABN =S△CAB﹣S△CMN =24 故选C．﹣6 ．=18点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D 是△ABC 的AC 边上一点，AB=AC ，BD=BC ，将△BCD 沿折叠，顶点BD C 恰好落在AB 边的C′处，则∠A ′的大小是（）A ．40°B．36°C．32°D．30°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：连接C'D，根据AB=AC ，BD=BC ，可得∠ ABC= ∠ACB= ∠BDC ，然后根据折叠的性质可得∠BCD= ∠BC'D ，继而得出∠ABC= ∠BCD= ∠BDC= ∠BDC'= ∠BC'D ，根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠解答：解：连接C'D ，∵AB=AC ，BD=BC ，A 的大小．∴∠∵△∴∠∴∠ABC= ∠ACB= ∠BDC ，BCD 沿BD 折叠，顶点BCD= ∠BC'D ，C 恰好落在AB 边的C′处，ABC= ∠BCD= ∠BDC= ∠BDC'= ∠BC'D ，∵四边形BCDC' 的内角和为360°，∴∠ABC= ∠BCD= ∠BDC= ∠BDC'= ∠BC'D= =72°，∴∠故选A=180°﹣∠ABC ﹣∠ACB=36°．B．点评：本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC= ∠BCD= ∠BDC= ∠BDC'= ∠BC'D ，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．（2012?舟山）如图，已知△ABC 中，∠CAB= ∠B=30 °，AB=2，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折使AB 与AC重合，得△AB ′D，则△ABC 与△AB ′D重叠部分的面积为（）A ．B．C．3﹣D．考点：翻折变换（折叠问题）专题：压轴题．．分析：首先过点D作DE⊥AB ′于点E，过点C作CF⊥AB ，由△ABC 中，∠CAB= ∠B=30°，，利用等腰三角形的性质，即可求得AC 的长，又由折叠的性质，易得AB=2∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB ′﹣AC=2得高DE 的长，继而求得答案．﹣2，继而求得CD 与B ′D的长，然后求解答：解：过点∵△ABC D作DE⊥AB ′于点E，过点C作中，∠CAB= ∠B=30 °，AB=2CF⊥AB ，，∴AC=BC ，∴AF= ，AB=∴AC= =2，=由折叠的性质得：AB ′=AB=2 ，∠B ′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+ ∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB ′﹣AC=2﹣2，∴CD= B′C=﹣1，B′D=B ′C?cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，∴DE= ，= =∴S 阴影= ×2×．AC ?DE= =故选 A ．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．（2013?定海区模拟）如图，已知△ABC 中，∠CAB= ∠B=30 °，AB=，点 D 在BC）边上，把△ABC 沿AD 翻折，使AB 与AC 重合，得△AED ，则BD 的长度为（A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：作CF⊥ AB 于点F，利用三线合一定理即可求得BF 的长，然后证明△CDE 是直角三角形，BD=x ，则CD=DE=2 ﹣x，利用三角函数即可得到关于求解．解答：解：作CF⊥AB 于点F．∵∠CAB= ∠B∴AC=BC ，x 的方程，解方程即可∴BF= ，AB=在直角△BCF 中，BC= =2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+ ∠B=60°，DE=BD ，∴∠CDE=90°，设BD=x ，则CD=DE=2 ﹣x，在直角△CDE 中，t anE= =tan30°= ，=解得：x=3 ﹣故选B．．点评：本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．（2013?绥化）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC= ，BC=1 ，D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，点 A 落在点 E 处，如果AD ⊥ED ，那么△ABE 的面积是（）A ．1B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）专题：压轴题．分析：先根据勾股定理计算出．AB=2 ，根据含30 度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2 ，∠BED= ∠BAD=30 °，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF= ∠BED=30°，在Rt△BCF 中可计算出，CF=，则EF=2 ﹣，在Rt△DEF 中计算出FD=1 ﹣，ED= ﹣1，然BF=2CF=后利用计算即可．S△ABE=S△ABD +S△BED+S△ADE=2S△ABD +S△ADE解答：解：∵∠C=90°，AC= ，BC=1 ，∴AB= =2，∴∠∵△BAC=30°，ADB 沿直线BD 翻折后，点 A 落在点E 处，∴BE=BA=2 ，∠BED= ∠BAD=30∵AD ⊥ED ，∴BC∥DE ，∴∠CBF= ∠BED=30°，°，DA=DE，在Rt△BCF 中，CF= ，BF=2CF= ，=∴EF=2﹣，在Rt△DEF 中，FD= EF=1﹣，ED= ﹣1，FD=∴S△ABE =S△ABD +S△BED+S△ADE=2S△ABD +S△ADE=2 ×BC ?AD+ AD ?ED=2 ××1×（﹣1）+ ×（﹣1）（﹣1）=1 ．故选 A ．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30 度的直角三角形三边的关系．。
2021年中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题(教师版含解析)
专题33 中考几何折叠翻折类问题1.轴对称(折痕)的性质：(1)成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
(3)对应点到对称轴的距离相等。
(4)对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题(1)求角度大小；(2)求线段长度；(3)求面积；(4)其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法(1)折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
(2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
(3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
(4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
(5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
(6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
【例题1】(2020•哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
2021年中考专题--翻折圆特训(含详细解析)
翻折圆专题一．选择题1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）A ．25 B ．223 C ．5 D ．72．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB ⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）A ．11B ．22C ．5D ．33．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）A ．3B ．34 C ．2+3 D ．1+24．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）A ．54B ．34C ．24D ．45．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．32B ．23C ．235 D ．265 二．填空题6．如图，等腰⌒ABC 中，AC ＝BC ＝32．⌒ACB ＝120°，以AB 为直径在⌒ABC 另一侧作半圆，圆心为O ，点D 为半圆上的动点，将半圆沿AD 所在直线翻叠，翻折后的弧AD 与直径AB 交点为F ，当弧AD 与BC 边相切时，AF 的长为 ．7．如图，AB是⌒O的弦，点C在AB⌒上，点D是AB的中点．将AC⌒沿AC折叠后恰好经2，AB＝8．则AC的长是．过点D，若⌒O的半径为58．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为．⌒上一点，连接AD，交AB⌒于点C，9．如图，将⌒O的劣弧AB⌒沿AB翻折，D为优弧ADB连接BC、BD；若BC＝5，则BD＝．10．如图，将BC⌒沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝8，则BC的长是．11．已知：如图，在半径为8的⌒O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将AC⌒折叠后与AB 相交于点D ，如果AD ＝3DB ，那么AC 的长为 ．12．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆沿弦BC 折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D ，再将弧BD 沿AB 对折后交弦BC 于E ，若E 恰好是BC 的中点，则BC ：AB ＝ ．13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O 的半径为 ．14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B ＝21，且AD ＝4，则AB ＝ ．15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF 的长 ．16．如图，扇形OAB的半径为4，⌒AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．（1）当P是OB中点，且PQ⌒OA时（如图1），弧AQ的长为；（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP＝3，则O到折痕PQ的距离为．三．解答题17．如图，将弧AB⌒沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．（1）求证：BC＝BD；⌒＝120°，求弦AB的长和圆的半径．（2）若AC＝1，CD＝4，弧AB18．如图1和图2，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将BC⌒沿弦BC翻折，交AB于点D．（1）若点D与圆心O重合，直接写出⌒B的度数；（2）设CD交⌒O于点E，若CE平分⌒ACB，⌒求证：⌒BDE是等腰三角形；⌒求⌒BDE的面积；⌒沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的BD⌒的中点，（3）将图1中的BD直接写出⌒B的度数．19．如图1，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB 于点D，连接CD并延长，交⌒O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设⌒ABC＝a，则a的取值范围是．（3）当⌒ABC＝15°时，点D和点O的距离是．⌒所在圆的圆心是O′，当BE与⌒O′相切时，求BE的长．（4）如图2，设BDC20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB⌒，P是⌒上的一动点，连接PQ．半径OB上一动点，Q是AB（1）当⌒POQ＝度时，PQ有最大值，最大值为．⌒的长；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⌒OB于点P，求BQ（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．21．如图，AB为⌒O的直径，点C为⌒O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作⌒MPB＝⌒ADC．（1）判断PM与⌒O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝3，求四边形OCDB的面积．22．如图，AB为⌒O的直径，点C是⌒O上一点，CD是⌒O的切线，⌒CDB＝90°，BD交⌒O于点E．⌒＝CE⌒．（1）求证：AC（2）若AE＝12，BC＝10．⌒求AB的长；⌒如图2，将BC⌒沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为23．已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，求折痕EF的长；（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．24．如图，⌒O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．（1）如图⌒，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图⌒）⌒O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，求CD的长度的变化范围．25．如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y，（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝2时，⌒求BF的长；⌒如图2，若将弧AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．翻折圆小专题 参考答案与试题解析一．选择题1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）A ．25 B ．223 C ．5 D ．7【分析】求出⌒CDB 为等边三角形，求出BE 和DE 的长，求出AE ，再根据勾股定理求出AB 即可．【解答】解：过点O 作OF ⌒AB 于F ，过点B 作BE ⌒AC 于E ，连接OA 、OB 、BD 、BC ， ⌒OF ＝21OA ， ⌒⌒AOF ＝⌒BOF ＝60°， ⌒⌒ADB ＝⌒AOB ＝120°，⌒ACB ＝21⌒AOB ＝60°， ⌒⌒CDB ＝⌒ACB ＝60°， ⌒⌒CDB 为等边三角形，⌒CD ＝2，⌒DE ＝1，BE ＝3，⌒AB ＝22BE AE +＝()()22311++＝7， 故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．2．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）A ．11B ．22C ．5D ．3【分析】首先作出ACB⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接，O ′C ，OB ，由垂径定理，可求得OE 的长，即可求得OO ′的长，由切线的性质，利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：作出ACB⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接O ′C ，OB ， ⌒OC 是⌒O ′的切线， ⌒O ′C ⌒OC ，⌒BE ＝21AB ＝21×8＝4， ⌒OE ＝22BE OB -＝3，⌒OO ′＝2OE ＝6，⌒OC ＝22C O O O '+'＝115622=-．故选：A ．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）A ．3B ．34C ．2+3D ．1+2【分析】作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．首先证明CH 是⌒O 的直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形，再证明⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5即可解决问题；【解答】解：作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．⌒所在圆的圆心在直线AH上，根据对称性可知，ADB⌒所在的圆于点A，⌒AC切ADB⌒AC⌒AH，⌒⌒CAH＝90°，⌒CH是⌒O的直径，⌒⌒CBH＝90°，⌒⌒ABD＝⌒ABH＝45°，⌒⌒AHC＝⌒ABC＝45°，⌒⌒ACH＝⌒AHC＝45°，⌒AC＝AH，⌒OC＝OH，⌒AD垂直平分线段CH，⌒DC＝DH，⌒⌒DCH＝⌒DHC，⌒BD＝BH，⌒⌒BDH＝⌒BHD＝45°，⌒⌒BDH＝⌒DCH+⌒DHC，⌒⌒DCH ＝22.5°，⌒⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5°，设BD ＝BH ＝a ，则CD ＝DH ＝2a ，⌒tan⌒ACB ＝tan⌒CHB ＝212+=+=aa a BH BC 故选：D ．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CH 是直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形．4．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）A ．54B ．34C ．24D ．4【分析】作AB 关于直线CB 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，若32=DB AD ，且AB ＝10， ⌒AD ＝4，BD ＝6，作AB 关于直线BC 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，可得A 、C 、A ′三点共线，⌒线段A ′B 与线段AB 关于直线BC 对称，⌒AB ＝A ′B ，⌒AC ＝A ′C ，AD ＝A ′D ′＝4，A ′B ＝AB ＝10．而A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，即A ′C •2A ′C ＝4×10＝40．则A ′C 2＝20，又⌒A ′C 2＝A ′B 2﹣CB 2，⌒20＝100﹣CB 2，⌒CB ＝45．故选：A ．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．5．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．32B ．23C ．235D ．265 【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⌒AB ，则AD ＝BD ＝21AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC⌒ ＝CD ⌒ ，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点，⌒OD ⌒AB ，⌒AD ＝BD ＝21AB ＝2， 在Rt⌒OBD 中，OD ＝()2225-＝1，⌒将弧BC⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ，⌒AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形，⌒OF ＝EF ＝1，在Rt⌒OCF 中，CF ＝()2225-＝2，⌒CE ＝CF +EF ＝2+1＝3，而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3，⌒BC ＝32．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．二．填空题2．⌒ACB＝120°，以AB为直径在⌒ABC另一侧作6．如图，等腰⌒ABC中，AC＝BC＝3半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为【分析】作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，延长BC交⌒O于点E，设⌒O′与BC 相切于点G，证明四边形O′AEG为平行四边形，得AO′⌒BE，即⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M，在Rt⌒O′AM中，O′A＝3，⌒O′AB＝30°，可求得AM的长，进而得出AF的长．【解答】解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，⌒AC＝BC＝23．⌒ACB＝120°，⌒AB＝6，⌒O′A＝OA＝3，延长BC交⌒O于点E，⌒AB是⌒O的直径，⌒⌒E＝90°，设⌒O′与BC相切于点G，则⌒O′GB＝90°，⌒⌒E＝⌒O′GB，⌒AE⌒O′G，⌒⌒ABC＝30°，AB＝6，⌒AE＝O′G＝3，⌒四边形O′AEG为平行四边形，⌒AO′⌒BE，⌒⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M⌒O′A＝3，⌒O′AB＝30°，⌒AM＝MF＝233，⌒AF＝2AM＝33．故答案为：33．【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．7．如图，AB 是⌒O 的弦，点C 在AB⌒ 上，点D 是AB 的中点．将AC ⌒ 沿AC 折叠后恰好经过点D ，若⌒O 的半径为52，AB ＝8．则AC【分析】如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．首先证明⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，推出⌒BOC ＝90°，推出BC ＝210，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，在Rt⌒BCH 中，根据CH 2+BH 2＝BC 2，构建方程求出x 即可解决问题；【解答】解：如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．⌒AD ＝DB ，⌒OD ⌒AB ， ⌒⌒ADO ＝90°，⌒OA ＝25，AD ＝DB ＝4，⌒OD ＝22AD OA ＝2，⌒BE 是直径，⌒⌒BAE ＝90°，⌒AD ＝DB ，EO ＝OB ， ⌒OD ⌒AE ，AE ＝2OD ＝4，⌒AE ＝AD ，⌒AD⌒ ＝AE ⌒ ， ⌒EC⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，⌒⌒BOC ＝2⌒CAB ＝90°，⌒BC ＝2OC ＝210，⌒CH ⌒AB ，⌒⌒CAH ＝⌒ACH ＝45°，⌒AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ， 在Rt⌒BCH 中，⌒CH 2+BH 2＝BC 2， ⌒x 2+（8﹣x ）2＝（210）2，⌒x ＝6或2（舍弃），在Rt⌒ACH 中，⌒AC ＝22CH AH ， ⌒AC ＝62．故答案为62．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．属于中考填空题中的压轴题．8．一张半径为R 的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O 为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2【分析】如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，则点O ′为弧ADB 所在圆的圆心，连结O ′D ，则O ′D ⌒EF ，O ′D ＝R ，先利用ED ：DF ＝3：2计算出DF ＝52•2R ＝54R ，则OD ＝51R ，再在Rt⌒O ′OD 中利用勾股定理计算出O ′＝526R ，则OC ＝21O ′O ＝1026R ，然后在Rt⌒AOC 中根据勾股定理可计算出AC ＝1074R ，再利用垂径定理可得AB ＝2AC ＝574R ． 【解答】解：如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，则点O ′为弧ADB 所在圆的圆心， 连结O ′D ，则O ′D ⌒EF ，O ′D ＝R ，⌒ED ：DF ＝3：2， ⌒DF ＝52•2R ＝54R ， ⌒OD ＝51R ， 在Rt⌒O ′OD 中，OO ′＝2251R R +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝526R ，⌒OC ＝21O ′O ＝1026R ， 在Rt⌒AOC ，AC ＝22526⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ＝1074R ， ⌒OC ⌒AB ，⌒AC ＝BC ，⌒AB ＝2AC ＝574R ． 即折痕长为574R ． 故答案为574R ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．9．如图，将⌒O 的劣弧AB⌒ 沿AB 翻折，D 为优弧ADB ⌒ 上一点，连接AD ，交AB ⌒ 于点C ，连接BC 、BD ；若BC ＝5，则BD ＝ 5 ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到⌒ADB ＝⌒BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，⌒ADB 所对的弧是劣弧AB⌒ ， ⌒CAB 所对的弧是劣弧BC⌒ ，⌒CBA 所对的弧是劣弧AC ⌒ ， ⌒⌒ADB ＝⌒CAB +⌒CBA ，由三角形的外角的性质可知，⌒BCD ＝⌒CAB +⌒CBA ，⌒⌒ADB ＝⌒BCD ，⌒BD ＝BC ＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10．如图，将BC⌒ 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝8，则BC 的长是【分析】根据折叠的性质可得BC⌒ ＝BDC ⌒ ，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得⌒BAC ＝⌒BCD +⌒CBD ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得⌒ADC ＝⌒BCD +⌒CBD ，从而得到⌒BAC ＝⌒ADC ，根据等角对等边可得AC ＝CD ，过点C 作CE ⌒AD 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE ＝DE ＝21AD ，然后利用⌒ACE 和⌒CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE ，在Rt⌒BCE 中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：⌒弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，⌒BC⌒ ＝BDC ⌒ ， ⌒⌒BAC ＝⌒BCD +⌒CBD ，在⌒BCD 中，⌒ADC ＝⌒BCD +⌒CBD ，⌒⌒BAC ＝⌒ADC ，⌒AC ＝CD ，过点C 作CE ⌒AD 于E ，则AE ＝DE ＝21AD ＝21×4＝2， ⌒BE ＝BD +DE ＝8+2＝10，⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒BCE ＝⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒CAE ＝180°﹣90°＝90°，⌒⌒CAE ＝⌒BCE ，又⌒⌒AEC ＝⌒BEC ＝90°，⌒⌒ACE ⌒⌒CBE ， ⌒BECE CE AE ，⌒CE ＝52102=⨯=•BE AE在Rt⌒BCE 中，BC ＝()30210522222=+=+BE CE 故答案为：2302．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于求出AC ＝CD ．11．已知：如图，在半径为8的⌒O 中，AB 为直径，以弦AC （非直径）为对称轴将AC⌒ 折叠后与AB 相交于点D ，如果AD ＝3DB ，那么AC【分析】根据翻折变换的性质和圆周角定理可得⌒ABC ＝⌒ACD +⌒CAD ，根据三角形的外角的性质可得⌒BDC ＝⌒ACD +⌒CAD ，从而得到⌒ABC ＝⌒BDC ，根据等角对等边可得BC ＝CD ，过点C 作CE ⌒BD 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE ＝DE ＝21BD ，然后利用⌒ACE 和⌒CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE ，在Rt⌒BCE 中，利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：连接CD 、CB ，作CE ⌒AB 于E ，⌒弧AC 沿弦AC 折叠交直径AB 于点D ，⌒⌒ABC ＝⌒ACD +⌒CAD ，在⌒BCD 中，⌒BDC ＝⌒ACD +⌒CAD ，⌒⌒ABC ＝⌒BDC ，⌒BC ＝CD ，又CE ⌒AB ，⌒BE ＝DE ＝21BD ，⌒AD ＝3DB ，AD +BD ＝16，⌒BD ＝4，AD ＝12，⌒AE ＝AD +DE ＝12+2＝14，⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒CAD ＝⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒BCE ＝90°，⌒⌒CAD ＝⌒BCE ，又⌒⌒AEC ＝⌒BEC ＝90°，⌒⌒ACE ⌒⌒CBE ， ⌒BE CECE AE =⌒CE ＝27，⌒AC ＝14422=+CE AE 故答案为：144．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．12．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆沿弦BC 折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D ，再将弧BD 沿AB 对折后交弦BC 于E ，若E 恰好是BC 的中点，则BC ：AB ．【分析】过D 点作BC 的垂线，垂足为M ，延长DM 交AB⌒ 于D ′，连接CD 、DE 、BD ′，过点C 作CF ⌒AB 于点F ，由圆周角定理得出AC ⌒ =CD'⌒ =CD ⌒ =DE ⌒ ，得出AC ＝CD ＝DE ，证出CM ＝EM ，延长CM ＝41BC ，证出DM ⌒AC ，⌒AD ＝41AB ，设⌒ABC ＝α，则⌒ACF ＝α，得出AD ＝2AF ，由三角函数得出AD ＝2AB •sin 2α，因此41AB ＝2AB •sin 2α，求出sinα＝42，由勾股定理和三角函数得出cosα＝AB BC ＝414，即可得出结果． 【解答】解：过D 点作BC 的垂线，垂足为M ，延长DM 交于D ′，连接CD 、DE 、BD ′，过点C 作CF ⌒AB 于点F ，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：AC⌒ =CD'⌒ =CD ⌒ =DE ⌒ ， ⌒AC ＝CD ＝DE ，⌒CM ＝EM ，⌒E 是BC 的中点，⌒CM ＝41BC ， ⌒AB 是半圆O 的直径，⌒AC ⌒BC ，⌒DM ⌒BC ，⌒DM ⌒AC ，⌒AD ＝41AB ， 设⌒ABC ＝α，则⌒ACF ＝α，⌒AC ＝CD ，⌒AD ＝2AF ，⌒AF ＝AC •sinα，AC ＝AB •sinα，⌒AD ＝2AB •sin 2α， ⌒41AB ＝2AB •sin 2α， ⌒sinα＝42，即AB AC ＝42， ⌒AB ＝22AC ，BC ＝22AC AB ＝7AC ，⌒cosα＝AB BC ＝414， ⌒BC ：AB ＝414；故答案为：414．【点评】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理，求出cosα是解决问题的关键．13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，首先证明AC ＝CD ，推出AE ＝DE ＝1，再证明四边形OFED 是正方形即可解决问题．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点，⌒OD ⌒AB ，⌒AD ＝BD ＝21AB ＝2， 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，⌒AC⌒ =CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ，⌒AE ＝DE ＝1，⌒BE ＝3，EC ＝22BE BC -＝3，⌒EC ＝EB ，⌒⌒ECB ＝⌒EBC ＝45°，⌒OC ＝OB ，⌒⌒OCB ＝⌒OBC ，⌒⌒OCE ＝⌒OBD ，⌒⌒OFC ＝⌒ODB ＝90°，OC ＝OB ，⌒⌒OCF ⌒⌒OBD （AAS ），⌒OF ＝OD ，可得四边形ODEF 为正方形，⌒OF ＝EF ＝1，在Rt⌒OBD 中，OB ＝22BD OD +=5【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B＝21，且AD ＝4，则AB ＝ 10 ．【分析】作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，交⌒O 于D ′，连接AC 、CA ′，设AC ＝a ，BC ＝2a ，则AB ＝5a ，由A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，列出方程解决．【解答】解：作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，交⌒O 于D ′，连接AC 、CA ′． ⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝⌒BCA ′＝90°，⌒A 、C 、A ′共线，根据对称性可知：AD ＝A ′D ＝4，⌒tan⌒ABC ＝21=BC AC ，设AC ＝a ，BC ＝2a ，则AB ＝5a ，由A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，⌒a •2a ＝45a ，⌒a ＝25．AB ＝525•＝10．故答案为10．【点评】本题考查翻折变换、相交弦定理，解题的关键是作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，转化为相交弦定理解决问题．15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF【分析】设折叠后的圆弧所对圆心为O ′，连接O ′O 、O ′D 、OE ，O ′O 与EF 交于点M ，根据相交圆的性质就可以得出O ′O 与EF 互相垂直平分，由勾股定理就可以求出OO ′和EM 的值，从而得出结论．【解答】解：设折叠后的圆弧所对圆心为O ′，连接O ′O 、O ′D 、OE ，O ′O 与EF 交于点M ， ⌒O ′O 与EF 互相垂直平分．⌒OM ＝21OO ′，EF ＝2EM ． ⌒AB ＝4，⌒OA ＝OB ＝OE ＝2．⌒AD ：DB ＝3：1，⌒DB ＝41AB ＝1， ⌒OD ＝1⌒O ′O ＝522='+D O OD ⌒OM ＝25 ⌒EM ＝21122=-OM OE ⌒EF ＝2EM ＝11，即折痕EF 的长为11． 故答案为：11．【点评】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的运用，勾股定理的运用，垂直平分线的性质的运用，解答时求出根据相交圆的性质求解是关键．16．如图，扇形OAB 的半径为4，⌒AOB ＝90°，P 是半径OB 上一动点，Q 是弧AB 上的一动点．（1）当P 是OB 中点，且PQ ⌒OA 时（如图1），弧AQ 的长为 π3； （2）将扇形OAB 沿PQ 对折，使折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点（如图2）．若OP ＝3，则O 到折痕PQ ．【分析】（1）要想求弧长，就得求AQ⌒ 所对的圆心角的度数，所以要连接OQ ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出⌒1＝30°，再利用平行线截得内错角相等得出⌒2的度数，代入弧长公式计算即可．（2）先找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，证明四边形OCO ′B 是矩形，由勾股定理求O ′B ，从而求出OO ′的长，则OM ＝21OO ′＝6． 【解答】解：（1）如图1，连接OQ ，⌒扇形OAB 的半径为4且P 是OB 中点，⌒OP ＝2，OQ ＝4，⌒PQ ⌒OA ，⌒⌒BPQ ＝⌒AOB ＝90°，⌒⌒1＝30°，⌒⌒2＝⌒1＝30°，由弧AQ 的长＝180430⨯⨯π＝π32， 故答案为：π32； （2）如图2，找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，ON ，则OM ＝O ′M ，OO ′⌒PQ ，O ′P ＝OP ＝3，点O ′是B'Q⌒ 所在圆的圆心， ⌒O ′C ＝OB ＝4，⌒折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点，⌒O ′C ⌒AO ，⌒O ′C ⌒OB ，⌒⌒POO '＝⌒CO 'M ＝⌒PO 'M ，⌒⌒PMO '＝⌒QMO '＝90°，⌒⌒O 'PM ＝⌒MNO '，⌒O 'P ＝O 'N ＝OP ＝3，⌒四边形OPO 'N 是平行四边形，⌒O 'P ＝ON ，⌒O 与O '对称，⌒ON ＝O 'N ＝3，⌒BP ＝CN ＝4﹣3＝1，⌒PN ⌒OO '，⌒⌒MNO '＝⌒MNO ，⌒⌒BPO '＝⌒CNO ，⌒⌒O 'BP ⌒⌒OCN （SAS ），⌒⌒O 'BP ＝⌒OCN ＝90°，⌒四边形OCO ′B 是矩形，在Rt⌒O ′BP 中，O ′B ＝2213-＝22，在Rt⌒OBO ′中，OO ′＝()22224-＝26， ⌒OM ＝21OO ′＝21×26＝6， 即O 到折痕PQ 的距离为6，故答案为：6．【点评】本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l ＝180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．三．解答题17．如图，将弧AB⌒ 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC ＝BD ；（2）若AC ＝1，CD ＝4，弧AB⌒ ＝120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C ′，连接AC ′，BC ′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA ，OB ，作OM ⌒AB 于M ，AH ⌒BC 交BC 的延长线于H ．解直角三角形求出AB ，OA 即可；【解答】（1）证明：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接AC ′，BC ′．由翻折不变性可知：BC ＝BC ′，⌒CAB ＝⌒BAC ′，⌒BD⌒ ＝BC'⌒ ， ⌒BD ＝BC ′，⌒BC ＝BD ．（2）解：连接OA ，OB ，作OM ⌒AB 于M ，AH ⌒BC 交BC 的延长线于H ．⌒弧AB⌒ ＝120°， ⌒⌒D ＝21×120°＝60°， ⌒⌒AOB ＝⌒ACB ＝2⌒D ＝120°，⌒BC ＝BD ，⌒⌒BCD 是等边三角形，⌒BC ＝DC ＝4，在Rt⌒ACH 中，⌒⌒H ＝90°，⌒ACH ＝60°，AC ＝1，⌒CH ＝21，AH ＝23， ⌒AB ＝2129232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+BH AH⌒OM ⌒AB ，⌒AM ＝BM ＝221， 在Rt⌒AOM 中，⌒⌒OAM ＝30°，⌒AMO ＝90°，⌒OA ＝30cos AM ＝7 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．如图1和图2，AB 是⌒O 的直径，AB ＝10，C 是⌒O 上的一点，将BC⌒ 沿弦BC 翻折，交AB 于点D ．（1）若点D 与圆心O 重合，直接写出⌒B 的度数；（2）设CD 交⌒O 于点E ，若CE 平分⌒ACB ，⌒求证：⌒BDE 是等腰三角形；⌒求⌒BDE 的面积；（3）将图1中的BD⌒ 沿直径AB 翻折，得到图2，若点F 恰好是翻折后的BD ⌒ 的中点，直接写出⌒B 的度数．【分析】（1）如图所示：将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，然后证明AC⌒ ＝CD⌒ ＝BD ⌒ ，则可得到AC ⌒ 的弧度，从而可求得⌒B 的度数； （2）⌒将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，在⌒O ′上取点E ′，连接CE ′，BE ′．由等弧所对的圆周角相等可得到⌒CEB ＝⌒E ′，依据圆内接四边形的性质可得到E ′＝⌒BDE ，故此可证明⌒CEB ＝⌒BDE ；⌒连接OE ．先证明⌒BOE 为直角，依据勾股定理可求得BE 的长，从而得到BD 的长，最后依据⌒DBE 的面积＝21BD •OE 求解即可； （3）将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，将⌒O ′沿BD 翻折得到⌒O ″，则⌒O 、⌒O ′、⌒O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC⌒ ＝CD ⌒ ＝DF ⌒ ＝FB ⌒ ，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⌒B 的度数．【解答】解：（1）如图所示：将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆．⌒AC⌒ 与CD ⌒ 所对的角均为⌒CBA ，⌒O 与⌒O ′为等圆， ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ． 又⌒CD ＝BC ，⌒CD⌒ ＝BD ⌒ ． 又⌒CDB⌒ ＝CO'B ⌒ ， ⌒AC ⌒ ＝31ACB ⌒ ， ⌒⌒ADC ＝31×180°＝60°．⌒⌒B ＝30°．（2）⌒将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，在⌒O ′上取点E ′，连接CE ′，BE ′．由翻折的性质可知：CFB ⌒ ＝CDB ⌒ ，⌒⌒CEB ＝⌒E ′．⌒四边形CDBE ′是圆内接四边形，⌒⌒E ′＝⌒BDE ．⌒⌒CEB ＝⌒BDE ．⌒BE ＝BD ．⌒⌒BDE 为等腰三角形．⌒如图2所示：连接OE ．⌒AB 是⌒O 的直径，⌒⌒ACB ＝90°．⌒CE 是⌒ACB 的角平分线，⌒⌒BCE ＝45°．⌒⌒BOE ＝90°．在Rt⌒OBE 中，BE ＝2522=+OB OE ．⌒BD ＝52．⌒⌒DBE 的面积＝21BD •OE ＝21×52×5＝2225．（3）将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，将⌒O ′沿BD 翻折得到⌒O ″，则⌒O 、⌒O ′、⌒O ″为等圆．⌒⌒O 与⌒O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⌒ABC ， ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ． 同理：DF⌒ ＝CD ⌒ ． 又⌒F 是劣弧BD 的中点， ⌒DF⌒ ＝BF ⌒ ． ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ＝DF ⌒ ＝FB ⌒ ． ⌒弧AC 的度数＝180°÷4＝45°． ⌒⌒B ＝21×45°＝22.5°． 【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．19．如图1，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB 于点D，连接CD并延长，交⌒O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是8．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设⌒ABC＝a，则a的取值范围是0＜a≤30°．（3）当⌒ABC＝15°时，点D和点O（4）如图2，设BCD⌒所在圆的圆心是O′，当BE与⌒O′相切时，求BE的长．【分析】（1）由折叠的性质以及圆周角定理的推理可知AC⌒＝CD⌒，从而可知AC＝DC，根据等腰三角形的性质可知：⌒CAD＝⌒CDA，然后再证明⌒BDE＝⌒BED，可推出BE＝BD，最后根据BE＝AB﹣AD求解即可；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，⌒ABC＝a＝0°；当点D与点O重合时，可证得⌒AOC为等边三角形，从而可知⌒ABC＝30°，进而可确定出a的取值范围；（3）如图2所示：过点C作CF⌒AB，垂足为F，连接OC，先征得⌒COF＝30°，在Rt⌒CFO中，根据特殊锐角三角函数值，可求得OF＝235，然后根据等腰三角形三线合一可知AF＝DF，从而可求得AD的长，最后根据DO＝OA﹣AD求解即可．（4）如图3，作⌒O'的直径BF，连接FD、OE．由切线的性质可知⌒FBD+⌒DBE＝90°，根据直径所对的圆周角等于90度可知：⌒FDB＝90°，从而可证得⌒DBE＝⌒DFB，根据同弧所对的圆周角相等可知：⌒DFB＝⌒DCB，⌒DBE＝⌒ACE，从而可得到⌒DBE＝⌒DFB ＝⌒DCB＝⌒ACE＝45°，进而可证明⌒OBE为等腰直角三角形，然后可求得BE的长．【解答】解：（1）⌒⌒ABC＝⌒DBC，⌒AC⌒＝CD⌒．⌒AC＝DC．⌒⌒CAD＝⌒CDA⌒⌒CAD＝⌒DEB，⌒CDA＝⌒BDE，⌒⌒BDE＝⌒BED．⌒BE＝BD．⌒BE＝AB﹣AD＝10﹣2＝8；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，⌒ABC＝a＝0°，如图1，当点D与点O重合时．则DC＝DA．由（1）可知：AC＝DC，又⌒DC＝AD，⌒AC＝DC＝AD．⌒⌒ADC＝60°．⌒⌒ABC＝30°．⌒0°＜α≤30°（3）如图2所示：过点C 作CF ⌒AB ，垂足为F ，连接OC ．⌒⌒ABC ＝15°， ⌒⌒COF ＝30°．在Rt⌒CFO 中，cos⌒COF ＝23OC OF ⌒OF ＝235． ⌒AC ＝DC ，CF ⌒AD ， ⌒AF ＝DF ．⌒AD ＝2AF ＝2（OA ﹣OF ）＝2（5﹣235）＝10﹣53． ⌒OD ＝OA ﹣AD ＝5﹣（10﹣53）＝53﹣5； （4）如图3，作⌒O '的直径BF ，连接FD 、OE ．⌒BE 与⌒O '相切， ⌒BE ⌒BF ．⌒⌒FBD +DBE ＝90°． ⌒BF 是⌒O '的直径， ⌒⌒FDB ＝90°． ⌒⌒FBD +⌒DFB ＝90°． ⌒⌒DBE ＝⌒DFB ．⌒⌒DFB ＝⌒DCB ，⌒DBE ＝⌒ACE ， ⌒⌒DBE ＝⌒DFB ＝⌒DCB ＝⌒ACE ． ⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒DBE ＝⌒DFB ＝⌒DCB ＝⌒ACE ＝45°． ⌒OB ＝OE ，⌒ABE ＝45°， ⌒⌒OEB ＝45°． ⌒⌒BOE ＝90°．在Rt⌒OBE 中，BE ＝22OB OE ＝52．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理以及圆周角定理的推理、等腰三角形的性质和判断、特殊锐角三角函数，以及等边三角形的性质和判定，证得⌒ACD为等腰三角形和⌒OBE为等腰直角三角形是解答本题的关键．20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB⌒，P是⌒上的一动点，连接PQ．半径OB上一动点，Q是AB（1）当⌒POQ＝90 度时，PQ⌒的长；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⌒OB于点P，求BQ（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．【分析】（1）先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；（2）先判断出⌒POQ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt⌒B'OP中，OP2+（102﹣10）2＝（10﹣OP）2，解得OP＝102﹣10，最后用面积的和差即可得出结论．（4）先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B 是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，进而得出OP．【解答】解：（1）⌒P 是半径OB 上一动点，Q 是AB ⌒ 上的一动点， ⌒当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，⌒POQ ＝90°，PQ ＝22OB OA +=102，故答案为：90，102；（2）如图2，连接OQ ， ⌒点P 是OB 的中点， ⌒OP ＝21OB ＝21OQ ． ⌒QP ⌒OB ， ⌒⌒OPQ ＝90°在Rt⌒OPQ 中，cos⌒QOP ＝21=OQ OP ， ⌒⌒QOP ＝60°，⌒l BQ ⌒ =ππ3101801060=⨯ ；（3）由折叠的性质可得，BP ＝B 'P ，AB '＝AB ＝102，在Rt⌒B 'OP 中，OP 2+（102﹣10）2＝（10﹣OP ）2解得OP ＝102，S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S ⌒AOP ＝()100210025102101021210360902+-=-⨯⨯-⨯ππ． （4）找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，如图4， 则OP ＝O ′P ，OO ′⌒PQ ，O ′P ＝OP ＝6，点O ′是B'Q ⌒ 所在圆的圆心， ⌒O ′C ＝OB ＝10，⌒折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点， ⌒O ′C ⌒AO ， ⌒O ′C ⌒OB ，⌒四边形OCO ′B 是矩形，在Rt⌒O ′BP 中，O ′B ＝524622=-，在Rt⌒OBO ′，OO ′＝()302521022=+，⌒OP ＝21OO ′＝21×230＝30， 即O 到折痕PQ 的距离为30，【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．21．如图，AB 为⌒O 的直径，点C 为⌒O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC ，CD ，BD ，过点C 的切线与线段BA 的延长线交于点P ，连接AD ，在PB 的另一侧作⌒MPB ＝⌒ADC ． （1）判断PM 与⌒O 的位置关系，并说明理由；（2）若PC ＝3，求四边形OCDB 的面积．。
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翻折圆专题一．选择题1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）A ．25 B ．223 C ．5 D ．72．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB ⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）A ．11B ．22C ．5D ．33．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）A ．3B ．34 C ．2+3 D ．1+24．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）A ．54B ．34C ．24D ．45．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．32B ．23C ．235 D ．265 二．填空题6．如图，等腰⌒ABC 中，AC ＝BC ＝32．⌒ACB ＝120°，以AB 为直径在⌒ABC 另一侧作半圆，圆心为O ，点D 为半圆上的动点，将半圆沿AD 所在直线翻叠，翻折后的弧AD 与直径AB 交点为F ，当弧AD 与BC 边相切时，AF 的长为 ．7．如图，AB是⌒O的弦，点C在AB⌒上，点D是AB的中点．将AC⌒沿AC折叠后恰好经2，AB＝8．则AC的长是．过点D，若⌒O的半径为58．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为．⌒上一点，连接AD，交AB⌒于点C，9．如图，将⌒O的劣弧AB⌒沿AB翻折，D为优弧ADB连接BC、BD；若BC＝5，则BD＝．10．如图，将BC⌒沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝8，则BC的长是．11．已知：如图，在半径为8的⌒O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将AC⌒折叠后与AB 相交于点D ，如果AD ＝3DB ，那么AC 的长为 ．12．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆沿弦BC 折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D ，再将弧BD 沿AB 对折后交弦BC 于E ，若E 恰好是BC 的中点，则BC ：AB ＝ ．13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O 的半径为 ．14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B ＝21，且AD ＝4，则AB ＝ ．15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF 的长 ．16．如图，扇形OAB的半径为4，⌒AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．（1）当P是OB中点，且PQ⌒OA时（如图1），弧AQ的长为；（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP＝3，则O到折痕PQ的距离为．三．解答题17．如图，将弧AB⌒沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．（1）求证：BC＝BD；⌒＝120°，求弦AB的长和圆的半径．（2）若AC＝1，CD＝4，弧AB18．如图1和图2，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将BC⌒沿弦BC翻折，交AB于点D．（1）若点D与圆心O重合，直接写出⌒B的度数；（2）设CD交⌒O于点E，若CE平分⌒ACB，⌒求证：⌒BDE是等腰三角形；⌒求⌒BDE的面积；⌒沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的BD⌒的中点，（3）将图1中的BD直接写出⌒B的度数．19．如图1，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB 于点D，连接CD并延长，交⌒O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设⌒ABC＝a，则a的取值范围是．（3）当⌒ABC＝15°时，点D和点O的距离是．⌒所在圆的圆心是O′，当BE与⌒O′相切时，求BE的长．（4）如图2，设BDC20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB⌒，P是⌒上的一动点，连接PQ．半径OB上一动点，Q是AB（1）当⌒POQ＝度时，PQ有最大值，最大值为．⌒的长；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⌒OB于点P，求BQ（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．21．如图，AB为⌒O的直径，点C为⌒O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作⌒MPB＝⌒ADC．（1）判断PM与⌒O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝3，求四边形OCDB的面积．22．如图，AB为⌒O的直径，点C是⌒O上一点，CD是⌒O的切线，⌒CDB＝90°，BD交⌒O于点E．⌒＝CE⌒．（1）求证：AC（2）若AE＝12，BC＝10．⌒求AB的长；⌒如图2，将BC⌒沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为23．已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，求折痕EF的长；（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．24．如图，⌒O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．（1）如图⌒，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图⌒）⌒O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，求CD的长度的变化范围．25．如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y，（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝2时，⌒求BF的长；⌒如图2，若将弧AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．翻折圆小专题 参考答案与试题解析一．选择题1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）A ．25 B ．223 C ．5 D ．7【分析】求出⌒CDB 为等边三角形，求出BE 和DE 的长，求出AE ，再根据勾股定理求出AB 即可．【解答】解：过点O 作OF ⌒AB 于F ，过点B 作BE ⌒AC 于E ，连接OA 、OB 、BD 、BC ， ⌒OF ＝21OA ， ⌒⌒AOF ＝⌒BOF ＝60°， ⌒⌒ADB ＝⌒AOB ＝120°，⌒ACB ＝21⌒AOB ＝60°， ⌒⌒CDB ＝⌒ACB ＝60°， ⌒⌒CDB 为等边三角形，⌒CD ＝2，⌒DE ＝1，BE ＝3，⌒AB ＝22BE AE +＝()()22311++＝7， 故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．2．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）A ．11B ．22C ．5D ．3【分析】首先作出ACB⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接，O ′C ，OB ，由垂径定理，可求得OE 的长，即可求得OO ′的长，由切线的性质，利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：作出ACB⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接O ′C ，OB ， ⌒OC 是⌒O ′的切线， ⌒O ′C ⌒OC ，⌒BE ＝21AB ＝21×8＝4， ⌒OE ＝22BE OB -＝3，⌒OO ′＝2OE ＝6，⌒OC ＝22C O O O '+'＝115622=-．故选：A ．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）A ．3B ．34C ．2+3D ．1+2【分析】作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．首先证明CH 是⌒O 的直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形，再证明⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5即可解决问题；【解答】解：作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．⌒所在圆的圆心在直线AH上，根据对称性可知，ADB⌒所在的圆于点A，⌒AC切ADB⌒AC⌒AH，⌒⌒CAH＝90°，⌒CH是⌒O的直径，⌒⌒CBH＝90°，⌒⌒ABD＝⌒ABH＝45°，⌒⌒AHC＝⌒ABC＝45°，⌒⌒ACH＝⌒AHC＝45°，⌒AC＝AH，⌒OC＝OH，⌒AD垂直平分线段CH，⌒DC＝DH，⌒⌒DCH＝⌒DHC，⌒BD＝BH，⌒⌒BDH＝⌒BHD＝45°，⌒⌒BDH＝⌒DCH+⌒DHC，⌒⌒DCH ＝22.5°，⌒⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5°，设BD ＝BH ＝a ，则CD ＝DH ＝2a ，⌒tan⌒ACB ＝tan⌒CHB ＝212+=+=aa a BH BC 故选：D ．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CH 是直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形．4．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）A ．54B ．34C ．24D ．4【分析】作AB 关于直线CB 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，若32=DB AD ，且AB ＝10， ⌒AD ＝4，BD ＝6，作AB 关于直线BC 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，可得A 、C 、A ′三点共线，⌒线段A ′B 与线段AB 关于直线BC 对称，⌒AB ＝A ′B ，⌒AC ＝A ′C ，AD ＝A ′D ′＝4，A ′B ＝AB ＝10．而A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，即A ′C •2A ′C ＝4×10＝40．则A ′C 2＝20，又⌒A ′C 2＝A ′B 2﹣CB 2，⌒20＝100﹣CB 2，⌒CB ＝45．故选：A ．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．5．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．32B ．23C ．235D ．265 【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⌒AB ，则AD ＝BD ＝21AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC⌒ ＝CD ⌒ ，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点，⌒OD ⌒AB ，⌒AD ＝BD ＝21AB ＝2， 在Rt⌒OBD 中，OD ＝()2225-＝1，⌒将弧BC⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ，⌒AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形，⌒OF ＝EF ＝1，在Rt⌒OCF 中，CF ＝()2225-＝2，⌒CE ＝CF +EF ＝2+1＝3，而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3，⌒BC ＝32．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．二．填空题2．⌒ACB＝120°，以AB为直径在⌒ABC另一侧作6．如图，等腰⌒ABC中，AC＝BC＝3半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为【分析】作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，延长BC交⌒O于点E，设⌒O′与BC 相切于点G，证明四边形O′AEG为平行四边形，得AO′⌒BE，即⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M，在Rt⌒O′AM中，O′A＝3，⌒O′AB＝30°，可求得AM的长，进而得出AF的长．【解答】解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，⌒AC＝BC＝23．⌒ACB＝120°，⌒AB＝6，⌒O′A＝OA＝3，延长BC交⌒O于点E，⌒AB是⌒O的直径，⌒⌒E＝90°，设⌒O′与BC相切于点G，则⌒O′GB＝90°，⌒⌒E＝⌒O′GB，⌒AE⌒O′G，⌒⌒ABC＝30°，AB＝6，⌒AE＝O′G＝3，⌒四边形O′AEG为平行四边形，⌒AO′⌒BE，⌒⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M⌒O′A＝3，⌒O′AB＝30°，⌒AM＝MF＝233，⌒AF＝2AM＝33．故答案为：33．【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．7．如图，AB 是⌒O 的弦，点C 在AB⌒ 上，点D 是AB 的中点．将AC ⌒ 沿AC 折叠后恰好经过点D ，若⌒O 的半径为52，AB ＝8．则AC【分析】如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．首先证明⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，推出⌒BOC ＝90°，推出BC ＝210，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，在Rt⌒BCH 中，根据CH 2+BH 2＝BC 2，构建方程求出x 即可解决问题；【解答】解：如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．⌒AD ＝DB ，⌒OD ⌒AB ， ⌒⌒ADO ＝90°，⌒OA ＝25，AD ＝DB ＝4，⌒OD ＝22AD OA ＝2，⌒BE 是直径，⌒⌒BAE ＝90°，⌒AD ＝DB ，EO ＝OB ， ⌒OD ⌒AE ，AE ＝2OD ＝4，⌒AE ＝AD ，⌒AD⌒ ＝AE ⌒ ， ⌒EC⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，⌒⌒BOC ＝2⌒CAB ＝90°，⌒BC ＝2OC ＝210，⌒CH ⌒AB ，⌒⌒CAH ＝⌒ACH ＝45°，⌒AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ， 在Rt⌒BCH 中，⌒CH 2+BH 2＝BC 2， ⌒x 2+（8﹣x ）2＝（210）2，⌒x ＝6或2（舍弃），在Rt⌒ACH 中，⌒AC ＝22CH AH ， ⌒AC ＝62．故答案为62．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．属于中考填空题中的压轴题．8．一张半径为R 的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O 为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2【分析】如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，则点O ′为弧ADB 所在圆的圆心，连结O ′D ，则O ′D ⌒EF ，O ′D ＝R ，先利用ED ：DF ＝3：2计算出DF ＝52•2R ＝54R ，则OD ＝51R ，再在Rt⌒O ′OD 中利用勾股定理计算出O ′＝526R ，则OC ＝21O ′O ＝1026R ，然后在Rt⌒AOC 中根据勾股定理可计算出AC ＝1074R ，再利用垂径定理可得AB ＝2AC ＝574R ． 【解答】解：如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，则点O ′为弧ADB 所在圆的圆心， 连结O ′D ，则O ′D ⌒EF ，O ′D ＝R ，⌒ED ：DF ＝3：2， ⌒DF ＝52•2R ＝54R ， ⌒OD ＝51R ， 在Rt⌒O ′OD 中，OO ′＝2251R R +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝526R ，⌒OC ＝21O ′O ＝1026R ， 在Rt⌒AOC ，AC ＝22526⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ＝1074R ， ⌒OC ⌒AB ，⌒AC ＝BC ，⌒AB ＝2AC ＝574R ． 即折痕长为574R ． 故答案为574R ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．9．如图，将⌒O 的劣弧AB⌒ 沿AB 翻折，D 为优弧ADB ⌒ 上一点，连接AD ，交AB ⌒ 于点C ，连接BC 、BD ；若BC ＝5，则BD ＝ 5 ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到⌒ADB ＝⌒BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，⌒ADB 所对的弧是劣弧AB⌒ ， ⌒CAB 所对的弧是劣弧BC⌒ ，⌒CBA 所对的弧是劣弧AC ⌒ ， ⌒⌒ADB ＝⌒CAB +⌒CBA ，由三角形的外角的性质可知，⌒BCD ＝⌒CAB +⌒CBA ，⌒⌒ADB ＝⌒BCD ，⌒BD ＝BC ＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10．如图，将BC⌒ 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝8，则BC 的长是【分析】根据折叠的性质可得BC⌒ ＝BDC ⌒ ，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得⌒BAC ＝⌒BCD +⌒CBD ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得⌒ADC ＝⌒BCD +⌒CBD ，从而得到⌒BAC ＝⌒ADC ，根据等角对等边可得AC ＝CD ，过点C 作CE ⌒AD 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE ＝DE ＝21AD ，然后利用⌒ACE 和⌒CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE ，在Rt⌒BCE 中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：⌒弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，⌒BC⌒ ＝BDC ⌒ ， ⌒⌒BAC ＝⌒BCD +⌒CBD ，在⌒BCD 中，⌒ADC ＝⌒BCD +⌒CBD ，⌒⌒BAC ＝⌒ADC ，⌒AC ＝CD ，过点C 作CE ⌒AD 于E ，则AE ＝DE ＝21AD ＝21×4＝2， ⌒BE ＝BD +DE ＝8+2＝10，⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒BCE ＝⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒CAE ＝180°﹣90°＝90°，⌒⌒CAE ＝⌒BCE ，又⌒⌒AEC ＝⌒BEC ＝90°，⌒⌒ACE ⌒⌒CBE ， ⌒BECE CE AE ，⌒CE ＝52102=⨯=•BE AE在Rt⌒BCE 中，BC ＝()30210522222=+=+BE CE 故答案为：2302．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于求出AC ＝CD ．11．已知：如图，在半径为8的⌒O 中，AB 为直径，以弦AC （非直径）为对称轴将AC⌒ 折叠后与AB 相交于点D ，如果AD ＝3DB ，那么AC【分析】根据翻折变换的性质和圆周角定理可得⌒ABC ＝⌒ACD +⌒CAD ，根据三角形的外角的性质可得⌒BDC ＝⌒ACD +⌒CAD ，从而得到⌒ABC ＝⌒BDC ，根据等角对等边可得BC ＝CD ，过点C 作CE ⌒BD 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE ＝DE ＝21BD ，然后利用⌒ACE 和⌒CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE ，在Rt⌒BCE 中，利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：连接CD 、CB ，作CE ⌒AB 于E ，⌒弧AC 沿弦AC 折叠交直径AB 于点D ，⌒⌒ABC ＝⌒ACD +⌒CAD ，在⌒BCD 中，⌒BDC ＝⌒ACD +⌒CAD ，⌒⌒ABC ＝⌒BDC ，⌒BC ＝CD ，又CE ⌒AB ，⌒BE ＝DE ＝21BD ，⌒AD ＝3DB ，AD +BD ＝16，⌒BD ＝4，AD ＝12，⌒AE ＝AD +DE ＝12+2＝14，⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒CAD ＝⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒BCE ＝90°，⌒⌒CAD ＝⌒BCE ，又⌒⌒AEC ＝⌒BEC ＝90°，⌒⌒ACE ⌒⌒CBE ， ⌒BE CECE AE =⌒CE ＝27，⌒AC ＝14422=+CE AE 故答案为：144．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．12．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆沿弦BC 折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D ，再将弧BD 沿AB 对折后交弦BC 于E ，若E 恰好是BC 的中点，则BC ：AB ．【分析】过D 点作BC 的垂线，垂足为M ，延长DM 交AB⌒ 于D ′，连接CD 、DE 、BD ′，过点C 作CF ⌒AB 于点F ，由圆周角定理得出AC ⌒ =CD'⌒ =CD ⌒ =DE ⌒ ，得出AC ＝CD ＝DE ，证出CM ＝EM ，延长CM ＝41BC ，证出DM ⌒AC ，⌒AD ＝41AB ，设⌒ABC ＝α，则⌒ACF ＝α，得出AD ＝2AF ，由三角函数得出AD ＝2AB •sin 2α，因此41AB ＝2AB •sin 2α，求出sinα＝42，由勾股定理和三角函数得出cosα＝AB BC ＝414，即可得出结果． 【解答】解：过D 点作BC 的垂线，垂足为M ，延长DM 交于D ′，连接CD 、DE 、BD ′，过点C 作CF ⌒AB 于点F ，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：AC⌒ =CD'⌒ =CD ⌒ =DE ⌒ ， ⌒AC ＝CD ＝DE ，⌒CM ＝EM ，⌒E 是BC 的中点，⌒CM ＝41BC ， ⌒AB 是半圆O 的直径，⌒AC ⌒BC ，⌒DM ⌒BC ，⌒DM ⌒AC ，⌒AD ＝41AB ， 设⌒ABC ＝α，则⌒ACF ＝α，⌒AC ＝CD ，⌒AD ＝2AF ，⌒AF ＝AC •sinα，AC ＝AB •sinα，⌒AD ＝2AB •sin 2α， ⌒41AB ＝2AB •sin 2α， ⌒sinα＝42，即AB AC ＝42， ⌒AB ＝22AC ，BC ＝22AC AB ＝7AC ，⌒cosα＝AB BC ＝414， ⌒BC ：AB ＝414；故答案为：414．【点评】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理，求出cosα是解决问题的关键．13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，首先证明AC ＝CD ，推出AE ＝DE ＝1，再证明四边形OFED 是正方形即可解决问题．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点，⌒OD ⌒AB ，⌒AD ＝BD ＝21AB ＝2， 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，⌒AC⌒ =CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ，⌒AE ＝DE ＝1，⌒BE ＝3，EC ＝22BE BC -＝3，⌒EC ＝EB ，⌒⌒ECB ＝⌒EBC ＝45°，⌒OC ＝OB ，⌒⌒OCB ＝⌒OBC ，⌒⌒OCE ＝⌒OBD ，⌒⌒OFC ＝⌒ODB ＝90°，OC ＝OB ，⌒⌒OCF ⌒⌒OBD （AAS ），⌒OF ＝OD ，可得四边形ODEF 为正方形，⌒OF ＝EF ＝1，在Rt⌒OBD 中，OB ＝22BD OD +=5【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B＝21，且AD ＝4，则AB ＝ 10 ．【分析】作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，交⌒O 于D ′，连接AC 、CA ′，设AC ＝a ，BC ＝2a ，则AB ＝5a ，由A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，列出方程解决．【解答】解：作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，交⌒O 于D ′，连接AC 、CA ′． ⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝⌒BCA ′＝90°，⌒A 、C 、A ′共线，根据对称性可知：AD ＝A ′D ＝4，⌒tan⌒ABC ＝21=BC AC ，设AC ＝a ，BC ＝2a ，则AB ＝5a ，由A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，⌒a •2a ＝45a ，⌒a ＝25．AB ＝525•＝10．故答案为10．【点评】本题考查翻折变换、相交弦定理，解题的关键是作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，转化为相交弦定理解决问题．15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF【分析】设折叠后的圆弧所对圆心为O ′，连接O ′O 、O ′D 、OE ，O ′O 与EF 交于点M ，根据相交圆的性质就可以得出O ′O 与EF 互相垂直平分，由勾股定理就可以求出OO ′和EM 的值，从而得出结论．【解答】解：设折叠后的圆弧所对圆心为O ′，连接O ′O 、O ′D 、OE ，O ′O 与EF 交于点M ， ⌒O ′O 与EF 互相垂直平分．⌒OM ＝21OO ′，EF ＝2EM ． ⌒AB ＝4，⌒OA ＝OB ＝OE ＝2．⌒AD ：DB ＝3：1，⌒DB ＝41AB ＝1， ⌒OD ＝1⌒O ′O ＝522='+D O OD ⌒OM ＝25 ⌒EM ＝21122=-OM OE ⌒EF ＝2EM ＝11，即折痕EF 的长为11． 故答案为：11．【点评】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的运用，勾股定理的运用，垂直平分线的性质的运用，解答时求出根据相交圆的性质求解是关键．16．如图，扇形OAB 的半径为4，⌒AOB ＝90°，P 是半径OB 上一动点，Q 是弧AB 上的一动点．（1）当P 是OB 中点，且PQ ⌒OA 时（如图1），弧AQ 的长为 π3； （2）将扇形OAB 沿PQ 对折，使折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点（如图2）．若OP ＝3，则O 到折痕PQ ．【分析】（1）要想求弧长，就得求AQ⌒ 所对的圆心角的度数，所以要连接OQ ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出⌒1＝30°，再利用平行线截得内错角相等得出⌒2的度数，代入弧长公式计算即可．（2）先找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，证明四边形OCO ′B 是矩形，由勾股定理求O ′B ，从而求出OO ′的长，则OM ＝21OO ′＝6． 【解答】解：（1）如图1，连接OQ ，⌒扇形OAB 的半径为4且P 是OB 中点，⌒OP ＝2，OQ ＝4，⌒PQ ⌒OA ，⌒⌒BPQ ＝⌒AOB ＝90°，⌒⌒1＝30°，⌒⌒2＝⌒1＝30°，由弧AQ 的长＝180430⨯⨯π＝π32， 故答案为：π32； （2）如图2，找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，ON ，则OM ＝O ′M ，OO ′⌒PQ ，O ′P ＝OP ＝3，点O ′是B'Q⌒ 所在圆的圆心， ⌒O ′C ＝OB ＝4，⌒折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点，⌒O ′C ⌒AO ，⌒O ′C ⌒OB ，⌒⌒POO '＝⌒CO 'M ＝⌒PO 'M ，⌒⌒PMO '＝⌒QMO '＝90°，⌒⌒O 'PM ＝⌒MNO '，⌒O 'P ＝O 'N ＝OP ＝3，⌒四边形OPO 'N 是平行四边形，⌒O 'P ＝ON ，⌒O 与O '对称，⌒ON ＝O 'N ＝3，⌒BP ＝CN ＝4﹣3＝1，⌒PN ⌒OO '，⌒⌒MNO '＝⌒MNO ，⌒⌒BPO '＝⌒CNO ，⌒⌒O 'BP ⌒⌒OCN （SAS ），⌒⌒O 'BP ＝⌒OCN ＝90°，⌒四边形OCO ′B 是矩形，在Rt⌒O ′BP 中，O ′B ＝2213-＝22，在Rt⌒OBO ′中，OO ′＝()22224-＝26， ⌒OM ＝21OO ′＝21×26＝6， 即O 到折痕PQ 的距离为6，故答案为：6．【点评】本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l ＝180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．三．解答题17．如图，将弧AB⌒ 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC ＝BD ；（2）若AC ＝1，CD ＝4，弧AB⌒ ＝120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C ′，连接AC ′，BC ′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA ，OB ，作OM ⌒AB 于M ，AH ⌒BC 交BC 的延长线于H ．解直角三角形求出AB ，OA 即可；【解答】（1）证明：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接AC ′，BC ′．由翻折不变性可知：BC ＝BC ′，⌒CAB ＝⌒BAC ′，⌒BD⌒ ＝BC'⌒ ， ⌒BD ＝BC ′，⌒BC ＝BD ．（2）解：连接OA ，OB ，作OM ⌒AB 于M ，AH ⌒BC 交BC 的延长线于H ．⌒弧AB⌒ ＝120°， ⌒⌒D ＝21×120°＝60°， ⌒⌒AOB ＝⌒ACB ＝2⌒D ＝120°，⌒BC ＝BD ，⌒⌒BCD 是等边三角形，⌒BC ＝DC ＝4，在Rt⌒ACH 中，⌒⌒H ＝90°，⌒ACH ＝60°，AC ＝1，⌒CH ＝21，AH ＝23， ⌒AB ＝2129232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+BH AH⌒OM ⌒AB ，⌒AM ＝BM ＝221， 在Rt⌒AOM 中，⌒⌒OAM ＝30°，⌒AMO ＝90°，⌒OA ＝30cos AM ＝7 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．如图1和图2，AB 是⌒O 的直径，AB ＝10，C 是⌒O 上的一点，将BC⌒ 沿弦BC 翻折，交AB 于点D ．（1）若点D 与圆心O 重合，直接写出⌒B 的度数；（2）设CD 交⌒O 于点E ，若CE 平分⌒ACB ，⌒求证：⌒BDE 是等腰三角形；⌒求⌒BDE 的面积；（3）将图1中的BD⌒ 沿直径AB 翻折，得到图2，若点F 恰好是翻折后的BD ⌒ 的中点，直接写出⌒B 的度数．【分析】（1）如图所示：将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，然后证明AC⌒ ＝CD⌒ ＝BD ⌒ ，则可得到AC ⌒ 的弧度，从而可求得⌒B 的度数； （2）⌒将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，在⌒O ′上取点E ′，连接CE ′，BE ′．由等弧所对的圆周角相等可得到⌒CEB ＝⌒E ′，依据圆内接四边形的性质可得到E ′＝⌒BDE ，故此可证明⌒CEB ＝⌒BDE ；⌒连接OE ．先证明⌒BOE 为直角，依据勾股定理可求得BE 的长，从而得到BD 的长，最后依据⌒DBE 的面积＝21BD •OE 求解即可； （3）将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，将⌒O ′沿BD 翻折得到⌒O ″，则⌒O 、⌒O ′、⌒O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC⌒ ＝CD ⌒ ＝DF ⌒ ＝FB ⌒ ，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⌒B 的度数．【解答】解：（1）如图所示：将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆．⌒AC⌒ 与CD ⌒ 所对的角均为⌒CBA ，⌒O 与⌒O ′为等圆， ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ． 又⌒CD ＝BC ，⌒CD⌒ ＝BD ⌒ ． 又⌒CDB⌒ ＝CO'B ⌒ ， ⌒AC ⌒ ＝31ACB ⌒ ， ⌒⌒ADC ＝31×180°＝60°．⌒⌒B ＝30°．（2）⌒将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，在⌒O ′上取点E ′，连接CE ′，BE ′．由翻折的性质可知：CFB ⌒ ＝CDB ⌒ ，⌒⌒CEB ＝⌒E ′．⌒四边形CDBE ′是圆内接四边形，⌒⌒E ′＝⌒BDE ．⌒⌒CEB ＝⌒BDE ．⌒BE ＝BD ．⌒⌒BDE 为等腰三角形．⌒如图2所示：连接OE ．⌒AB 是⌒O 的直径，⌒⌒ACB ＝90°．⌒CE 是⌒ACB 的角平分线，⌒⌒BCE ＝45°．⌒⌒BOE ＝90°．在Rt⌒OBE 中，BE ＝2522=+OB OE ．⌒BD ＝52．⌒⌒DBE 的面积＝21BD •OE ＝21×52×5＝2225．（3）将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，将⌒O ′沿BD 翻折得到⌒O ″，则⌒O 、⌒O ′、⌒O ″为等圆．⌒⌒O 与⌒O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⌒ABC ， ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ． 同理：DF⌒ ＝CD ⌒ ． 又⌒F 是劣弧BD 的中点， ⌒DF⌒ ＝BF ⌒ ． ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ＝DF ⌒ ＝FB ⌒ ． ⌒弧AC 的度数＝180°÷4＝45°． ⌒⌒B ＝21×45°＝22.5°． 【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．19．如图1，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB 于点D，连接CD并延长，交⌒O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是8．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设⌒ABC＝a，则a的取值范围是0＜a≤30°．（3）当⌒ABC＝15°时，点D和点O（4）如图2，设BCD⌒所在圆的圆心是O′，当BE与⌒O′相切时，求BE的长．【分析】（1）由折叠的性质以及圆周角定理的推理可知AC⌒＝CD⌒，从而可知AC＝DC，根据等腰三角形的性质可知：⌒CAD＝⌒CDA，然后再证明⌒BDE＝⌒BED，可推出BE＝BD，最后根据BE＝AB﹣AD求解即可；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，⌒ABC＝a＝0°；当点D与点O重合时，可证得⌒AOC为等边三角形，从而可知⌒ABC＝30°，进而可确定出a的取值范围；（3）如图2所示：过点C作CF⌒AB，垂足为F，连接OC，先征得⌒COF＝30°，在Rt⌒CFO中，根据特殊锐角三角函数值，可求得OF＝235，然后根据等腰三角形三线合一可知AF＝DF，从而可求得AD的长，最后根据DO＝OA﹣AD求解即可．（4）如图3，作⌒O'的直径BF，连接FD、OE．由切线的性质可知⌒FBD+⌒DBE＝90°，根据直径所对的圆周角等于90度可知：⌒FDB＝90°，从而可证得⌒DBE＝⌒DFB，根据同弧所对的圆周角相等可知：⌒DFB＝⌒DCB，⌒DBE＝⌒ACE，从而可得到⌒DBE＝⌒DFB ＝⌒DCB＝⌒ACE＝45°，进而可证明⌒OBE为等腰直角三角形，然后可求得BE的长．【解答】解：（1）⌒⌒ABC＝⌒DBC，⌒AC⌒＝CD⌒．⌒AC＝DC．⌒⌒CAD＝⌒CDA⌒⌒CAD＝⌒DEB，⌒CDA＝⌒BDE，⌒⌒BDE＝⌒BED．⌒BE＝BD．⌒BE＝AB﹣AD＝10﹣2＝8；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，⌒ABC＝a＝0°，如图1，当点D与点O重合时．则DC＝DA．由（1）可知：AC＝DC，又⌒DC＝AD，⌒AC＝DC＝AD．⌒⌒ADC＝60°．⌒⌒ABC＝30°．⌒0°＜α≤30°（3）如图2所示：过点C 作CF ⌒AB ，垂足为F ，连接OC ．⌒⌒ABC ＝15°， ⌒⌒COF ＝30°．在Rt⌒CFO 中，cos⌒COF ＝23OC OF ⌒OF ＝235． ⌒AC ＝DC ，CF ⌒AD ， ⌒AF ＝DF ．⌒AD ＝2AF ＝2（OA ﹣OF ）＝2（5﹣235）＝10﹣53． ⌒OD ＝OA ﹣AD ＝5﹣（10﹣53）＝53﹣5； （4）如图3，作⌒O '的直径BF ，连接FD 、OE ．⌒BE 与⌒O '相切， ⌒BE ⌒BF ．⌒⌒FBD +DBE ＝90°． ⌒BF 是⌒O '的直径， ⌒⌒FDB ＝90°． ⌒⌒FBD +⌒DFB ＝90°． ⌒⌒DBE ＝⌒DFB ．⌒⌒DFB ＝⌒DCB ，⌒DBE ＝⌒ACE ， ⌒⌒DBE ＝⌒DFB ＝⌒DCB ＝⌒ACE ． ⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒DBE ＝⌒DFB ＝⌒DCB ＝⌒ACE ＝45°． ⌒OB ＝OE ，⌒ABE ＝45°， ⌒⌒OEB ＝45°． ⌒⌒BOE ＝90°．在Rt⌒OBE 中，BE ＝22OB OE ＝52．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理以及圆周角定理的推理、等腰三角形的性质和判断、特殊锐角三角函数，以及等边三角形的性质和判定，证得⌒ACD为等腰三角形和⌒OBE为等腰直角三角形是解答本题的关键．20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB⌒，P是⌒上的一动点，连接PQ．半径OB上一动点，Q是AB（1）当⌒POQ＝90 度时，PQ⌒的长；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⌒OB于点P，求BQ（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．【分析】（1）先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；（2）先判断出⌒POQ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt⌒B'OP中，OP2+（102﹣10）2＝（10﹣OP）2，解得OP＝102﹣10，最后用面积的和差即可得出结论．（4）先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B 是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，进而得出OP．【解答】解：（1）⌒P 是半径OB 上一动点，Q 是AB ⌒ 上的一动点， ⌒当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，⌒POQ ＝90°，PQ ＝22OB OA +=102，故答案为：90，102；（2）如图2，连接OQ ， ⌒点P 是OB 的中点， ⌒OP ＝21OB ＝21OQ ． ⌒QP ⌒OB ， ⌒⌒OPQ ＝90°在Rt⌒OPQ 中，cos⌒QOP ＝21=OQ OP ， ⌒⌒QOP ＝60°，⌒l BQ ⌒ =ππ3101801060=⨯ ；（3）由折叠的性质可得，BP ＝B 'P ，AB '＝AB ＝102，在Rt⌒B 'OP 中，OP 2+（102﹣10）2＝（10﹣OP ）2解得OP ＝102，S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S ⌒AOP ＝()100210025102101021210360902+-=-⨯⨯-⨯ππ． （4）找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，如图4， 则OP ＝O ′P ，OO ′⌒PQ ，O ′P ＝OP ＝6，点O ′是B'Q ⌒ 所在圆的圆心， ⌒O ′C ＝OB ＝10，⌒折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点， ⌒O ′C ⌒AO ， ⌒O ′C ⌒OB ，⌒四边形OCO ′B 是矩形，在Rt⌒O ′BP 中，O ′B ＝524622=-，在Rt⌒OBO ′，OO ′＝()302521022=+，⌒OP ＝21OO ′＝21×230＝30， 即O 到折痕PQ 的距离为30，【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．21．如图，AB 为⌒O 的直径，点C 为⌒O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC ，CD ，BD ，过点C 的切线与线段BA 的延长线交于点P ，连接AD ，在PB 的另一侧作⌒MPB ＝⌒ADC ． （1）判断PM 与⌒O 的位置关系，并说明理由；（2）若PC ＝3，求四边形OCDB 的面积．。