大学物理规范作业(本一)30单元测试二(电学)解答
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点的电量相同，且由于球壳的外表面曲率
半径相同，电荷密度也相同，即电荷是均 Q
匀分布在球面上的。
根据静电屏蔽现象，由于导体球壳内电 Q 场强度为零。可知P点电荷及导体球壳内表 面的电荷对球壳外部的空间不会产生影响。
导体球壳外部的空间电势是由导体球壳外表面的
电荷产生的。
易求得导体球壳的电势为： U Q
dE
1
4 0
dq (a2 x2)
dE
dE
1
4
0
dx
(a2 x2)
dEx dE cos
dE
dq x dq
dx
x
xdx
4
0 (a2
x2)
(a2
1
x2)2
3
4 0 (a2 x2 ) 2
2
dEx
xdx
3
4 0 (a2 x2 ) 2
E Ex 2 0 dEx
2 )2
布有电荷+q，沿下半部均匀分布有电荷-q，求半圆中心
0处的电场强度E。
解1:
由对称性，带电荷为+q的1/4圆弧
产生的电场与带电荷为-q的1/4圆弧
产生的电场的合场强沿-y方向。
电荷元产生的场强
dEy
1
4 0
Rd
R2
cos
对上式积分且考虑到两个1/4圆弧产生的场强y分量大小
相同：
/2
Ey 2
图所示的电荷元，产生的电场分量：
dE
Rd 4 0R2
cos
d cos 4 0R
E
/4 / 4
d cos 4 0R
sin 4 0R
积分得
/4
2 / 4 4 0R
11
2
E
4 0R
方向如图。 同样算出 –q 场强
E 2 4 0R
Ey
2E cos 45
2 2 4 0R
1 2
2 0R
l
j
2 0 (R y)
P点的电势为
0 R/3
l
U p
E dl
R/3
0
dy
2 0 (R y)
l ln 2 2 0 3
8
5.一空气平行板电容器，接上电源后，两极板上的电荷
面密度分别为 0 。在保持电源接通情况下，将相对
介电常数为εr的各向同性均匀电介质充满其中，忽略
边缘效应，介质中的场强大小应为 0 。而断开电源
再充满该种介质，则介质中的场强大小又0 为 0 。 0 r
分析： 电源接通情况下电容器两端电压不变：
U电不源变断,开E情不况变下,电E容' 器E极0 板上00带电量不变：
q不变, D 不变
D D0 0 E' 0
D 0r E'
0 r
9
二、计算题
1.一细玻璃棒弯成半径为R的半圆形，沿上半部均匀分
面在300m处，场强为E1，下表面在
s
100m处，场强为E2，截面积为s。
h
由高斯定理：
E
s
dS
E1s
E2s
sh 0
单 位 体h0 积(E内2 的E电1) 子8数.8为52001n012e(15021..2611010100)1192
2.211012C / m3 1.38 107 / m3
由于所带的是正电荷，空气中缺少电子。
处P点的电势 U P
解：用补偿法
l ln 2 20 3
。
3
设想圆柱原来没有窄缝，用宽度为l,
面电荷密度为-σ的带电窄条补在窄缝处，
p点的场强由该窄条产生,该窄条的电荷线
密度大小为 l
0点的场强大小为：EO
EO
l 2 0R
j
l 2 0R
方向沿y轴正向。
7
取0点的电势为零点，
场强为：E
2 0a
E Exi 2 0a i
dE
dE
dE
dq x dq
3
2.两无限大平板A、B。A带电荷面密度为，B带电荷
面强大密小度为-2， 2则0 A外、侧A场B之强间大场小强为大小 为20
、B外测场
3 20 。
解： EA
A板左侧
2 0
,
EB
0
A
B
2
E
i
i
i
B板右侧 E
0
13
3.如图所示，三块互相平行的均匀带电大平面，面电
荷密度为σ1=1.2×10-4C/m2， σ2=2×10-5C/m2 ， σ3=1.1×10-4C/m2 。A点与平面Ⅱ相距为5.0cm，B点 与平面Ⅱ相距7.0cm。（1）计算A、B两点的电势差；
（2）设把电量q o= －1.0×10-8C的点电荷从A点移到 B点，外力克服电场力做多少功？
q
2 0
R2
E
电场强度
q
E 20R2
j
12
2.地球表面上方电场方向向下，大小可能随高度改变，
如图所示。设在地面上方100m高处场强为150N/C,300m高
处场强为100N/C 。试由高斯定律求在这两个高度之间的
平均体电荷密度,以多余的或缺少的电子数密度表示。
解：在空气中取一柱形高斯面，上表
4 0R2
5
中心O点的电势是p点的电荷、内表面R1和外表面 R2的电荷共同贡献的。
由电势的叠加原理：
Q
U
dq
Q
dq
Q
0 40R1 0 40R2 40r
Q
Q
Q
Q
Q
40R2 40R1 40r
6
4.一均匀带电细而长的圆柱面，面电荷密度为 ，在这
柱面上有一平行于轴线的窄缝，窄缝的宽度 l远小于圆
柱若面将半O点径的。电则势轴取线为中零心，O那点么处在的轴场线强与E0窄缝之2间l离0 R轴j线；R
0
1
4 0
Rd
R2
cos
2 1 /2 cosd 4 0 R 0
10
Ey
2 1
4 0
/2
R0
cosd
2 1
4 0
R
把λ= q/(πR/2)代入上式得：
E
Ey j
2
1
4 0
2q /R
R
j
q
2 0
R
2
j
dE
解2：先计算1/4圆弧的场强，由对称性可知场强的方向
在从圆心到圆弧中点连线上，电荷线密度λ同上。取如
解：取x轴如图。设平面Ⅰ、Ⅱ间的场强EA, 平面Ⅱ、Ⅲ的场强EB。由叠加原理：
EA
1
2 2 0
3
,
EB
1
2 3 2 0
设A 、Ⅱ距离为d1， B、Ⅱ距离为d2。
U AB
UA
2 0
i
2 0
i
i
o
两极板间 0
2 0
2 0
EA
A
E
i
i
3
i
EB
0 20 2 0
x
B
E A
EB
EA
EB
4
3.导体球壳的内外半径分别为R1和R2，若在距球心O为r 的P点放置一点电荷Q，如图所示，则导体球壳的电 势 Q ；中心O点的电势 Q Q Q 。
解4：静0R电2 平衡时球壳的外表面4带0电R2量与4p0R1 40r
大学单物元理测规试范一作业 （总热（学30））
单元测试二（电学）
1
一、填空题
1.如图所示，一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带
电时直，线则，ox电y坐荷标线平密面度上分点别(为O，+λa)（的Ex场<0强）和=-λi（x>0）。
解: 根据对称性可知，Ey 0
2 0a
电荷元dq在(0,a)点产生的电场强度的大小为：
半径相同，电荷密度也相同，即电荷是均 Q
匀分布在球面上的。
根据静电屏蔽现象，由于导体球壳内电 Q 场强度为零。可知P点电荷及导体球壳内表 面的电荷对球壳外部的空间不会产生影响。
导体球壳外部的空间电势是由导体球壳外表面的
电荷产生的。
易求得导体球壳的电势为： U Q
dE
1
4 0
dq (a2 x2)
dE
dE
1
4
0
dx
(a2 x2)
dEx dE cos
dE
dq x dq
dx
x
xdx
4
0 (a2
x2)
(a2
1
x2)2
3
4 0 (a2 x2 ) 2
2
dEx
xdx
3
4 0 (a2 x2 ) 2
E Ex 2 0 dEx
2 )2
布有电荷+q，沿下半部均匀分布有电荷-q，求半圆中心
0处的电场强度E。
解1:
由对称性，带电荷为+q的1/4圆弧
产生的电场与带电荷为-q的1/4圆弧
产生的电场的合场强沿-y方向。
电荷元产生的场强
dEy
1
4 0
Rd
R2
cos
对上式积分且考虑到两个1/4圆弧产生的场强y分量大小
相同：
/2
Ey 2
图所示的电荷元，产生的电场分量：
dE
Rd 4 0R2
cos
d cos 4 0R
E
/4 / 4
d cos 4 0R
sin 4 0R
积分得
/4
2 / 4 4 0R
11
2
E
4 0R
方向如图。 同样算出 –q 场强
E 2 4 0R
Ey
2E cos 45
2 2 4 0R
1 2
2 0R
l
j
2 0 (R y)
P点的电势为
0 R/3
l
U p
E dl
R/3
0
dy
2 0 (R y)
l ln 2 2 0 3
8
5.一空气平行板电容器，接上电源后，两极板上的电荷
面密度分别为 0 。在保持电源接通情况下，将相对
介电常数为εr的各向同性均匀电介质充满其中，忽略
边缘效应，介质中的场强大小应为 0 。而断开电源
再充满该种介质，则介质中的场强大小又0 为 0 。 0 r
分析： 电源接通情况下电容器两端电压不变：
U电不源变断,开E情不况变下,电E容' 器E极0 板上00带电量不变：
q不变, D 不变
D D0 0 E' 0
D 0r E'
0 r
9
二、计算题
1.一细玻璃棒弯成半径为R的半圆形，沿上半部均匀分
面在300m处，场强为E1，下表面在
s
100m处，场强为E2，截面积为s。
h
由高斯定理：
E
s
dS
E1s
E2s
sh 0
单 位 体h0 积(E内2 的E电1) 子8数.8为52001n012e(15021..2611010100)1192
2.211012C / m3 1.38 107 / m3
由于所带的是正电荷，空气中缺少电子。
处P点的电势 U P
解：用补偿法
l ln 2 20 3
。
3
设想圆柱原来没有窄缝，用宽度为l,
面电荷密度为-σ的带电窄条补在窄缝处，
p点的场强由该窄条产生,该窄条的电荷线
密度大小为 l
0点的场强大小为：EO
EO
l 2 0R
j
l 2 0R
方向沿y轴正向。
7
取0点的电势为零点，
场强为：E
2 0a
E Exi 2 0a i
dE
dE
dE
dq x dq
3
2.两无限大平板A、B。A带电荷面密度为，B带电荷
面强大密小度为-2， 2则0 A外、侧A场B之强间大场小强为大小 为20
、B外测场
3 20 。
解： EA
A板左侧
2 0
,
EB
0
A
B
2
E
i
i
i
B板右侧 E
0
13
3.如图所示，三块互相平行的均匀带电大平面，面电
荷密度为σ1=1.2×10-4C/m2， σ2=2×10-5C/m2 ， σ3=1.1×10-4C/m2 。A点与平面Ⅱ相距为5.0cm，B点 与平面Ⅱ相距7.0cm。（1）计算A、B两点的电势差；
（2）设把电量q o= －1.0×10-8C的点电荷从A点移到 B点，外力克服电场力做多少功？
q
2 0
R2
E
电场强度
q
E 20R2
j
12
2.地球表面上方电场方向向下，大小可能随高度改变，
如图所示。设在地面上方100m高处场强为150N/C,300m高
处场强为100N/C 。试由高斯定律求在这两个高度之间的
平均体电荷密度,以多余的或缺少的电子数密度表示。
解：在空气中取一柱形高斯面，上表
4 0R2
5
中心O点的电势是p点的电荷、内表面R1和外表面 R2的电荷共同贡献的。
由电势的叠加原理：
Q
U
dq
Q
dq
Q
0 40R1 0 40R2 40r
Q
Q
Q
Q
Q
40R2 40R1 40r
6
4.一均匀带电细而长的圆柱面，面电荷密度为 ，在这
柱面上有一平行于轴线的窄缝，窄缝的宽度 l远小于圆
柱若面将半O点径的。电则势轴取线为中零心，O那点么处在的轴场线强与E0窄缝之2间l离0 R轴j线；R
0
1
4 0
Rd
R2
cos
2 1 /2 cosd 4 0 R 0
10
Ey
2 1
4 0
/2
R0
cosd
2 1
4 0
R
把λ= q/(πR/2)代入上式得：
E
Ey j
2
1
4 0
2q /R
R
j
q
2 0
R
2
j
dE
解2：先计算1/4圆弧的场强，由对称性可知场强的方向
在从圆心到圆弧中点连线上，电荷线密度λ同上。取如
解：取x轴如图。设平面Ⅰ、Ⅱ间的场强EA, 平面Ⅱ、Ⅲ的场强EB。由叠加原理：
EA
1
2 2 0
3
,
EB
1
2 3 2 0
设A 、Ⅱ距离为d1， B、Ⅱ距离为d2。
U AB
UA
2 0
i
2 0
i
i
o
两极板间 0
2 0
2 0
EA
A
E
i
i
3
i
EB
0 20 2 0
x
B
E A
EB
EA
EB
4
3.导体球壳的内外半径分别为R1和R2，若在距球心O为r 的P点放置一点电荷Q，如图所示，则导体球壳的电 势 Q ；中心O点的电势 Q Q Q 。
解4：静0R电2 平衡时球壳的外表面4带0电R2量与4p0R1 40r
大学单物元理测规试范一作业 （总热（学30））
单元测试二（电学）
1
一、填空题
1.如图所示，一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带
电时直，线则，ox电y坐荷标线平密面度上分点别(为O，+λa)（的Ex场<0强）和=-λi（x>0）。
解: 根据对称性可知，Ey 0
2 0a
电荷元dq在(0,a)点产生的电场强度的大小为：