用矩阵位移法的计算平面刚架的步骤如下
平面杆系结构分析程序使用说明
pmgx平面杆系结构分析程序使用说明夏健明广东水利电力职业技术学院土木工程系2009.12目录1前言 (1)2基本概念 (1)2.1整体坐标系与局部坐标系 (1)2.2结点编号与单元编号 (1)2.3结点位移 (2)2.4结点的约束特征 (2)2.5荷载的类型 (2)2.6数据输出 (3)2.7是否考虑杆件的轴向变形 (3)3平面杆系结构分析程序的使用 (3)3.1数据输入 (3)3.2查看数据 (4)3.3结构计算 (4)3.4计算结果 (4)3.5帮助 (4)3.6退出 (5)4原始输入数据说明 (5)4.1基本信息（1行） (5)4.2结点约束信息（NJ行） (6)4.3单元信息（NE行） (6)4.4结点荷载信息（NP行，NP>0时输入） (6)4.5非结点荷载信息（NF行，NF>0时输入） (6)4.6结点坐标信息(NJ行) (7)5输出格式说明 (7)5.1结点位移 (7)5.2单元内力（NE行） (7)6显示结构的弯矩图和剪力图 (8)6.1操作 (8)6.2退出 (9)7程序的文件说明 (9)8算例 (9)9其他问题 (14)1前言平面杆系结构分析程序使用Visual Basic 6.0编写，运行于Windows 95,982000,XP 操作系统，可对平面杆系结构进行矩阵位移法计算，输出结构的结点位移和单元杆端内力，可在屏幕上显示结构的弯矩图和剪力图，并可对其进行放大、缩小、移动等操作。
程序界面友好，使用方便。
2基本概念2.1整体坐标系与局部坐标系整体坐标系是结构总的参考系，以水平轴为x 轴，指向右为正；垂直轴为y 轴，指向上为正；角位移以逆时针转为正。
如图1所示。
单元的局部坐标系以杆轴线为轴，x 始端结点（i ）指向终端结点（j ）为正方向；轴逆时针转90°得轴。
局部坐标系与x y 整体坐标系的夹角为轴与x 轴的夹角α，x 逆时针转为正。
2.2结点编号与单元编号用矩阵位移法进行结构分析时，需要对结构进行结点编号。
用矩阵位移法的计算平面刚架的步骤如下
用矩阵位移法的计算平面刚架的步骤如下；1、整理原始数据，对单元和刚架进行局部编码和总体编码。
2、形成局部坐标系中的单位风度矩阵e k，3、形成整体坐标系中的单元刚度矩阵e k4、用单元集成法形成整体刚度矩阵K ，5、求局部坐标系的单元等效结点荷载e P ，转换成整体坐标系的单元等效结点荷载e P ，用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载P6、解方程P K =∆,求出结点位移∆。
7、求各杆的端内力e F二；对结构失稳的两种形式的认识？１、完善体系是分支点失稳，非完善体系的是极值点失稳２、分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。
极值点失稳的形式特征是虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。
三；对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值称为可破坏荷载，用p F +表示。
如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力状态与之平衡，且各载面的内力都不超过其极限值，则此荷载称为可接受荷载，用-P F ,表示。
极限最大弯矩s u bh M δ42= 当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩值保持不变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生有限的相对转角，这种情况与带铰的截面相似。
因此，当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面称为塑性铰。
连接各截面内力最大值的曲线称为内力包络图。
弯矩的包络图中最高的竖距称为绝对最大弯矩。
静定结构的一般性质？１、温改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力２、静定结构的局部平衡特性３、静定结构的荷载等效特性４、静定结构的构造变换特性。
计算题。
计算结构力学
第七章 结构内力和反力的计算
(6)解结构刚度方程
:
骣 54.81 0 6.94 - 52.5 琪 琪0 83.88 3.47 0 琪 琪 6.94 3.47 55.6 0 -3 10 ? 琪 琪 - 52.5 0 0 54.81 琪 - 0.58 - 3.47 0 琪0 琪 琪0 3.47 13.9 6.94 桫
EI 2 = 14040 KN ?m ,
第七章 结构内力和反力的计算
禳 - 0.43 镲 镲 4.76 镲 镲 8.48 =睚 0.43 镲 镲 1.24 镲 镲 2.09 镲 铪
{F '}
(1)
= [ T ] {F }
(1)
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第七章 结构内力和反力的计算
单元②中：
{F '}
(2)
= {F }
(2)
= [ k]
(2)
{d }
[ k]
6´ 6
10- 3
1
2
3
4
0 - 0.58 - 3.47
5
0 3.47 13.9
6
0 6.94 83.88 - 3.47 - 3.47 55.6
1 2 3 -3 ´ 10 4 5 6
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第七章 结构内力和反力的计算
作图如下：
i 1 Fy = ql 2 1 2 M = ql 12 j 1 Fy = ql 2 1 2 M =ql 12
[ ]
(3)
10- 3
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第七章 结构内力和反力的计算
单元②，
a =0 ， [T ] = [ I ] ， [ k]
07结构力学 第七章 矩阵位移法(张晓萌)
0 24
0
0
0 500 0
0
500
0
24
0
32 24 0
64
24
§7.5 支承条件的引入和非结点荷载的处理
▪ 一 结构支承条件的引入 ▪ 方法：先处理法
后处理法 1.先处理法：在分析过程中，支承条件是在总刚形成之
前就考虑进去。
2.后处理法：在原始刚度矩阵形成之后，根据结构的支
承条件，对原始总刚和荷载列阵进行处理，从而得到引入了 支承条件的刚度方程。
M
PMi
(M
ij i
M
ik i
M
il i
)
0
矩阵向量形式，有
Pi Fiij Fiik Fiil
将与I相关的单元杆端力向量代入上式可得：
Pi
kiiij
iij＋kiijj
ij j
kiiik
iik＋kiikk
ik k
k iiil
iil＋k iill
il l
18
显然
ij i
ik i
Байду номын сангаас 500 0 0 512 24 0 12 24
0
24 0
32 24 24 128 0 24 32 500 0 0 512 0 24 12 0
103 24
0
0
12 24 0
512 24
0
500
0
0
24 32 24 24 128 24 0
32
12
0 24 12
23
（4）、将以上各单刚子块 对号入座即得总刚：
k1②1
K
k
② 21
0
0
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
根据MATLAB的平面刚架静力分析
基于MATLAB 的平面刚架静力分析为了进一步理解有限元方法计算的过程，本文根据矩阵位移法的基本原理应用MATLAB 编制计算程序对以平面刚架结构进行了静力分析。
本文还利用ANSYS 大型商用有限元分析软件对矩阵位移法的计算结果进行校核，发现两者计算结果相当吻合，验证了计算结果的可靠性。
一、 问题描述如图1所示的平面刚架，各杆件的材料及截面均相同，E=210GPa ，截面为0.12×0.2m 的实心矩形，现要求解荷载作用下刚架的位移和内力。
5m4m3m图1二、矩阵位移法计算程序编制为编制程序方便考虑，本文计算中采用“先处理法”。
具体的计算步骤如下。
（1） 对结构进行离散化，对结点和单元进行编号，建立结构（整体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结点位移进行编号； （2） 对结点位移分量进行编码，形成单元定位向量e λ；（3） 建立按结构整体编码顺序排列的结点位移列向量δ，计算固端力e F P 、等效结点荷载E P 及综合结点荷载列向量P ；（4） 计算个单元局部坐标系的刚度矩阵，通过坐标变换矩阵T 形成整体坐标系下的单元刚度矩阵e T e K T K T = ； （5） 利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K ； （6） 按式1=K P δ- 求解未知结点位移； （7） 计算各单元的杆端力e F 。
根据上述步骤编制了平面刚架的分析程序。
程序中单元刚度矩阵按下式计算。
3232223232220000126126006462000001261260062640EAEA ll EI EIEI EI l l l l EI EI EI EI l l l l K EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l ll l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦^.转换矩阵则按下式计算。
cos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos 001T αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦计算程序框图如图2所示，具体的程序代码见附录1。
平面刚架计算(APF)
平面刚架内力计算程序(APF)一、程序功能及编制方法平面刚架内力计算程序（APF），能够计算任意形状的平面刚架和连续梁的内力和结点位移。
能够适应任意荷载、温度变化及支座移动等复杂情况。
但不能处理刚架有内部铰结点的情况。
程序用直接刚度法集成总刚度矩阵，等带宽二维数组存储总刚度矩阵，后处理法引进支座条件，高斯消去法解刚度方程。
本程序图形显示功能只显示刚架的计算简图, 以作为判断输入数据是否正确的参考。
二、程序使用方法1．填写数据文件将要计算的题目按规定的格式用Word或Windows中的”记事本”或”写字板”编辑写成数据文件（数据文件的填写格式见后），并给数据文件一个恰当的名字后存入程序包所在的文件夹中。
2．运行按程序包提示的步骤运行。
计结果全部数据部将写在这个文件中。
计算结束后可用Windows中的“记事本“打开结果文件的内容，或用打印机打印输出文件以供使用。
三、数据文件填写格式可用Word或Windows中的“记事本”编辑器建立数据文件。
数据文件的内容为：1.总信息：NJ，NE，NZ，NB，NP，NF，E0，DS其中：NJ——结点数。
通常把杆件的交点作为结点，也可将单元上任意点当成结点；NE——单元数；NZ——支座约束数;NB——杆的类型数。
不同截面尺寸的杆就属于不同的类型；NP——结点荷载数；NF——非结点荷载数；EO——弹性模量；DS——是否显示热打印结点位移的信息。
如要求显示和打印结点位移，则DS=1否则DS＝0。
2．结点坐标数组XY(NJ，2）每个结点填一行，每行两个数分别是结点的x坐标和y坐标。
3．单元信息数组JM(NE，3）每个单元填一行，每行三个数分别是单元左右两端的结点号和单元的类型号。
4．单元截面信息数组AI(NB，2）每类单元填一行，每行两个数分别是单元横截面面积和惯性矩。
5．约束信息数组ZC(NZ，2）每个支座约束填一行，每行2个数分别为约束所在的结点号和约束方向。
约束方向规定沿X方向的约束为“1”，y方向的约束为“2”，力矩约束为“3”。
刚架矩阵位移法matlab计算程序
clc;%输入基本信息jd=input('请输入节点数量');free=input('请输入自由度');gj=input('请输入杆件数量');P=zeros(free,1);P=input('请输入外荷载矩阵（[x;y;z]）');d=zeros(free,1);member=zeros(1,6,gj);K=zeros(6,6,gj);k=zeros(6,6,gj)for i=1:1:gjangle(i)=input(sprintf('请输入第%d杆件角度（角度制）',i));E(i)=input(sprintf('请输入第%d杆件弹性模量（N/mm2）',i));A(i)=input(sprintf('请输入第%d杆件截面面积（mm2）',i));L(i)=input(sprintf('请输入第%d杆件长度（mm）',i));member(:,:,i)=input(sprintf('请输入第%d杆件定位向量([1 2 3 4 5 6])',i)); end%计算局部坐标系下单元刚度矩阵kfor i=1:1:gjk=(:,:,i)=E(i)*I(i)/L(i)^3*[A(i)*L(i)^2/I(i) 0 0 -A(i)*L(i)^2/I(i) 0 0;0 12 6*L(i) 0 -12 6*L(i);0 6*L(i) 4*L(i)^2 0 -6*L(i) 2*L(i)^2;-A(i)*L(i)^2/I(i) 0 0 A(i)*L(i)^2/I(i) 0 0;0 -12 -6*L(i) 0 12 -6*L(i);0 6*L(i) 2*L(i)^2 0 -6*L(i) 4*L(i)^2 ];end%计算各杆件转换矩阵TT=zeros(6,6,gj);for i=1:1:gjT=(:,:,i)=[cosd(angle(i)) sind(angle(i)) 0 0 0 0;-sind(angle(i)) cosd(angle(i)) 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;0 0 0 cosd(angle(i)) sind(angle(i)) 0;0 0 0 -sind(angle(i)) cosd(angle(i)) 0;0 0 0 0 0 1];end%计算整体坐标系下单元刚度矩阵KK(:,:,i)=T(:,:,i)'*k(:,:,i)*T(:,:,i);end%形成SSs=zeros(free);S=zeros(free);for i=1:1:gjfor n=1:1:6for j=1:1:6if (member(1,n,i)<=free && member(1,j,i)<=free)Ss(member(1,n,i),member(1,j,i))=K(n,j,i);endendendS=S+Ss ;Ss=zeros(free);end%计算杆间荷载作用PfFf=[FAbcosd-FSbsind;FAbsind+FSbcosd;FMb;FAecosd-FSbsind;FAesind+FSecosd;FMe]for i=1:1:gjgjl=input('请输入杆间力数量');ppp=zeros(1,4,gjl);for j=1:1:gjlppp(:,:,i)=input(sprintf('请输入第%d杆件l1,l2,W，a ([1 2 3 4])',i));l1=ppp(1,1,i);l2=ppp(1,2,i);W=ppp(1,3,i);a=ppp(1,3,i);if a==0,l1+l2==L(i)pd=1else if a==0,l1+l2<L(i)pd=2else if a>0,l1+l2==L(i)pd=3elsepf=4endendendswitch pdcase 1Qf(:,:,gjl)=[0;W*l2^2*(3*l1+l2);W*l1*l2^2;0;W*l1^2*(l1+3*l2);-W*l1^2*l2/L(i)^2]case 2Qf(:,:,gjl)=[W*cosd(a);W*sind(a)*l2^2*(3*l1+l2);W*sind(a)*l1*l2^2;W*cosd(a);W*sin(a)*l1^2*(l1+3*l2);-W*l1^2*l2/L(i)^2]case 3Qf(:,:,gjl)=[0;W*L(i)/2*(1-l1/L(i)^4*(2*L(i)^3-2*l1^2*L(i)+l1^3)-l2^3/L(i)^4*(2*L(i)-l2));W*L(i)^2/12*(1-l1^2/L(i)^4*(6*L(i)^2-8*l1*L(i)+3*l1^2)-l2^3/L(i)^4*(4*L(i)-3*l2));W*L(i)/2*(1-l1^3/L(i)^4*(2*L(i)-l1)-l2/L(i)^4*(2*L(i)^3-2*l2^2+l2^3));0;-W*L(i)^2/12*(1-l1^3/L(i)^4*(4*L(i)-3*l1)-l2^2/L(i)^4*(6*L(i)^2-8*l2*L(i)+3*l2^2))]case 4Qf(:,:,gjl)=[W*cosd(a)*(L(i)-l1-l2);W*sind(a)*L(i)/2*(1-l1/L(i)^4*(2*L(i)^3-2*l1^2*L(i)+l1^3)-l2^3/L(i)^4*(2*L(i)-l2));W*sind(a)*L(i)^2/12*(1-l1^2/L(i)^4*(6*L(i)^2-8*l1*L(i)+3*l1^2)-l2^3/L(i)^4*(4*L(i)-3*l2));W*sind(a)*L(i)/2*(1-l1^3/L(i)^4*(2*L(i)-l1)-l2/L(i)^4*(2*L(i)^3-2*l2^2+l2^3));W*sind(a)*cosd(a)*(L(i)-l1-l2);-W*sind(a)*L(i)^2/12*(1-l1^3/L(i)^4*(4*L(i)-3*l1)-l2^2/L(i)^4*(6*L(i)^2-8*l2*L(i)+3*l2^2)) ]endendFf(:,:,i)=T(:,:,i)'*Qf(:,:,i);endPf=zeros(free,1);for i=1:1:gjpfp=zeros(free,1);for j=1:1:6if member(1,j,i)<=freePfp(member(1,j,i),1)=Pf(j,1,i);endendPf=Pf+Pfp;end%P-Pf=S*dd=S\(P-Pf);%计算位移和内力v=zeros(6,1,gj);u=zeros(6,1,gj)Q=zeros(6,1,gj);F=zeros(6,1,gj);for i=1:1:gjc=1;for j=1:1:6if(member(1,j,i)<free+1)v(j,1,i)=d(c,1);c=c+1;endendendfor i=1:1:gju(:,:,i)=T(:,:,i)*v(:,:,i);endfor i=1:1:gjQ(:,:,i)=k(:,:,i)*u(:,:,i)endfor i=1:1:gjF(:,:,i)=T(:,:,i)'*Q(:,:,i);endzfl=jd*2;r=zeros(zfl,1);for i=1:1:gjfor j=1:1:4r(member(1,j,i),1)=F(j,1,i);endend%计算支座反力zfl=zfl-free;R=r(free+1:end)。
矩阵位移法例题
3→4 0° 1
1
4×105
0.12×105
§10-7 矩阵位移法的计算步骤和示例
(3) 列出单元刚度矩阵 整体坐标表示的单元刚度矩阵公式
BC
2 x
12i l2
C
2 y
K (e)
B
12i l2
C
xC
y
BC
2 y
12i l2
Cx2
对称
6i l Cy 6i l Cx
4i
BC
2 x
12i l2
1 EA
49.64
0 49.64
kN
0
结果的正确性很容易从结 点2的平衡条件判断出来。
§10-7 矩阵位移法的计算步骤和示例
例 2： 平面刚架如图所示，各杆截面相同。A=0.24 m2,
E=1×107 kN/m2, I=0.0072 m4，试求各杆端力，并画出内
力图。
11
20kN/m
3 34
Δ 0 0 85.98 309 0 0T 1
EA (5) 求杆端力
F (e) K (e)T (e) Δ(e)
1 30℃
2
F2 F1
2
§10-7 矩阵位移法的计算步骤和示例
单元①的单元结点位移向量为
Δ(1) 0 0 85.98 309T 1
EA
单元①的杆端力为 F (1) K δ (1) (1) K T Δ (1) (1) (1)
3
1 30℃
2
F2 F1
2
原始总刚度矩阵为：
1
[K
]
K K
(1) ii
(1) ji
0
2
3
K (1) ij
矩阵位移法-3 矩阵位移法解平面刚架
0
12i / l2
6i / l
练习: 试求单刚第
k
e
0 EA/ l
6i / l 0
4i 0 6i / l 2i
0 EA/l 0
0
三列元素.
0 12EI / l 6i / l 0 12i / l2 6i / l
0 6i / l 2i 0 6i / l 4i
二.单元分析
单刚的性质:
0 0 0 0
y
y F2e
F1e F3e 1
e
F1e
FF2e 3e
2
T
e
0 0
x
0
0
0 1 0 0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
0 1
单元 e 的坐标转换矩阵
3.整体坐标系下的单元刚度矩阵
Fe TeT Fe
Fe k e e
TeT k e e
e Tee
1
2
（1,2,3） （4,5,6）
X
曲杆结构:以直代曲.
变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆
二.单元分析
FF12ee
F
e
F3e F4e
e 1 e 2
e
e 3
e 4
单元杆 端力
FF56ee
单元杆 端位移
e 5
e 6
y
e 2
F3e
e 3
1
F1e F2e
e 1
l, A, EI e
0 6i / l 4i
0 6i / l
2i
EA/l 0 0
EA/ l 0 0
0 12i / l 2 6i / l
0 12i / l 2 6i / l
9矩阵桁架例题
x M2 v2 Fx2
v1
Fx1 u1 Fy1
θ2
u2
Fy1
（１）、轴向位移与轴向力 Fex1 1 2 2’ 1’
EA
e l
u1e
e = EA/l k 11 1 1’
u2e
F ex2
e = -EA/l k 2 21
1
e = - EA/l k 12 1
EA l
2
EA l
e = EA/l k 2’ 22
二、需讨论的问题：
• 1、单元分析，在矩阵位移法中取何 种单元，并找出各单元的杆端位移和杆 端力之间的关系。 • 2、整体分析，如何由单元分析直接 集成整体分析。 • 3、建立结构的刚度方程，求解并找 出各杆端内力。
§10-2、单元刚度矩阵（局部坐标系）
• 单元分析的主要任务：研究单元杆端 位移与杆端力之间的关系。 • 推导方法：根据变形与力之间的物理 关系，采用矩阵形式。
eT
用{Δ}e代表单元 e 的杆端位移列向量:
{} (1) (2) (3) (4) (5) (6)
e 1
u
eT
v1 1 u 2 v 2 2
eT
( 10-1）
3、局部坐标中等截面直杆单元的单元刚度方程
• •
•
推导过程如位移法，注意几点：
①、重新规定正负号；②、采用矩阵形式。
e
u1 v1 1 u 2 v2 2
e
（ 10-4 ）
式（12-4）可简写为 :
{ F }e = [ k ] e { Δ } e ( 10-5)
EA EA 0 0 0 0 l l 令： 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 0 0 3 3 2 2 l l l l 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI 0 0 2 2 e l l l l [k ] EA EA 0 0 0 0 l l 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 0 3 2 0 2 3 l l l l 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI 0 2 0 2 l l l l
矩阵位移法基本流程
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在运用矩阵位移法进行分析之前，首先要对结构进行离散化处理。
第八章-矩阵位移法(一)
结论：选择位移法
2013-2-22
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
矩阵位移法与有限元法（FEM）的关系
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、 壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分 析方法。 矩阵位移法可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。
结构系轴沿逆时针转至单元系轴所转过的角度记为cossinsincoscossinsincos表示为矩阵形式2013120同济大学土木工程学院结构力学yjxjyixiyjxjyixicossinsincoscossinsincos坐标变换矩阵t简写为同理是正交矩阵orthogonalmatrix2013120同济大学土木工程学院结构力学scscscsc结构系单刚矩阵其中sincos2013120同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法刚架单元的刚度矩阵梁单元的刚度矩阵无结间荷载梁单元的转角位移方程为考虑到杆端力和杆端位移正负号规定的差异有所以无结间荷载梁单元的转角位移方程可改写为yjbayiab同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法2013120同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法梁单元刚度矩阵2013120同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法刚架单元刚度矩阵刚架单元的刚度矩阵刚架单元考虑轴向变形有xjxiyjxjyixi2013120同济大学土木工程学院结构力学矩阵位移法轴向变形与弯剪变形非耦合即轴向变形与弯剪变形非耦合即轴力不影响弯剪弯剪不影响轴力不影响弯剪弯剪不影响所以其它单刚元素为零
先处理法 在形成单元刚度矩阵时就将实际的位移边界条件和位移关系考虑进去，即在 总刚度方程形成之前考虑支座位移边界条件。 单元为有约束单元，每个单元所受到的位移约束条件不完全相同，故，单元 不统一。 由单刚形成的总刚度方程就是结构刚度方程。
matlab矩阵位移法求解钢架
结构力学大作业一、 编程原理如图1-1，所计算结构为4层高，6跨在第3跨布置斜杆，节点为刚接的框架。
图1-1 框架结构简图（1） 位移编码以杆件为单元，将结构拆分，建立整体坐标系，并对节点位移按图1-2所示编码。
图1-2 位移编码图（2） 单元分析所有单元均为平面弯曲式自由单元如图1-3所示。
LLLLLLhhhhLLLLL图1-3 自由式单元干段位移和杆端力杆件的单元刚度矩阵322222223222000012612600646200000012612600626400EAEAllEI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l ll l K EA EAl lEI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦其中32112001260640EAlEIEIl l K EI EI l l⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22122001260620EAl EI EI l l K EI EI l l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21222001260620EA lEI EI K l l EI EI l l⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22322001260640EAl EI EI K l l EI EI l l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（3） 建立局部坐标系分别建立如图1-4所示的竖向分体系局部坐标系，水平分体系局部坐标系和斜杆分体系坐标系。
图1-4 分体系局部坐标系的建立（4） 建立分体系刚度分别建立三个分体系的105×105的刚度矩阵，引入循环变量，依次对相应位移刚度赋值。
（5） 坐标转换对竖向坐标系和斜杆体系进行转置，其坐标转换阵为1010100001T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3000001L hd d hT d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中d =。
结构力学14
有限元法的要点 ：先把整体拆 开，离散化，分解成若干个单 元。然后再将这些单元按一定 条件集合成整体。 把复杂结构的计算问题转化为 简单单元的分析和集合问题。
有限元法包含两个基本环节： 1.单元分析 2.整体分析
整体分析的主要任务: 单元分析的任务: 建立单元刚度方程，形成 单元刚度矩阵
将单元集合成整体，由单元刚 度矩阵按照刚度集成规则形成 整体刚度矩阵，建立整体结构 的位移法基本方程，从而求出 解答。
解的 性质
为不平衡力系时， 没 有解。 为平衡力系时， 有解 ，但为非唯一解（因为自由 杆件除本身变形外还可有任 意刚体位移）。 不存在。
3. 特殊单元
结构中的特殊单元：单元的某个或 某些杆端位移的值已知为零，而不 能任意指定。各种特殊单元的刚度 方程无需另行推导，只需对一般的 单元刚度方程（14－4）作一些特殊 处理便可自动得到。
其中： 为单元刚度矩阵， 矩阵，K为整体刚度矩阵
单元贡献
14
2.按照单元定位向量由
注意以下3点：
求
（a） （b）
图14－12
1)结点位移（或结点力）有两种编 码：在整体分析中，结点位移在结 构中统一进行编码，称为总码。在 单元分析中，每个单元的两个结点 位移各自编码为（1）和（2），称 为局部编码。（见下图14-12）
（14－10）
对于图14－4所示特殊单元 来说，正问题的力学模型如 图14－5a所示，每端有两个 支杆和一个控制转角的附加 约束， 和 可指定为任 意值。
图14—5
§14.3 单元刚度矩阵
（整体坐标系）
选用局部坐标系的目的是希望导 出的单元刚度矩阵具有最简单的 形式。 为了便于进行整体分析，必须选 用一个统一的公共坐标系，称为 整体坐标系。为了区别，用 表示局部坐标，用 表示整体 坐标。
矩阵位移法(整刚)
T
0 6 1 0 6 1 0 0 . 5 0 0 0 . 5 0 6 0 48 6 0 24 1 k 1 0 6 1 0 6 0 0.5 0 0 0.5 0 6 0 24 6 0 48
总刚的体积小 于单刚时的处 理
0 2i2 4i2
力学含义：
考虑单元１的贡献时，令 i２＝０
综合上述
e k
定位向量
e K
e
求和
K
单元定位向量是扩充的桥梁
矩阵元素“对号入座”
k K i j
e ij
单元集成法的实施方案
在单元分析就将各个元素累加到总刚中，采用 “边定位，边累加”的方式进行。具体步骤：
1、K=0 总刚的所有元素置 0 问题：当连续梁中有中间 铰时如何处理 e 2、将k 的元素按定位向量累加到K中。 此时：
1 3
k14 k 24 k34 k 44 k54 k64
0 4
k15 k 25 k35 k 45 k55 k65
2 5
3 61 k16 k 26 k36 k 46 k56 k66
----1单元定位向量
1 0 2 0 3 1 4 0 5 2 6 3 1 2 k 1 k 1 35 33 1 1 k k 53 55 1 1 k k 63 65 K
3
4( 6,7,8)
0 5 0 0
1
1(0,0,1)
5 ( 0,0,0)
结点位移向量
1 2
1
3
4
5
6
x4
F6
7
8
T
T
矩阵位移法的计算步骤及示例
1
2
3
4
K
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
k (2) 11
=⎢⎢⎢⎢−10/2 ⎢⎣ 0
3/2 0
⎥⎢ 0 ⎥ EA⎢ 3
1 −3
0
3/2
1/2
⎥ ⎥
8l
⎢ ⎢
−3
−3
3
0 −1/2 3/2⎥⎦ ⎢⎣− 3 −1 3
−1 3 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
FPl
⎪⎪ ⎨
0
⎪⎪ ⎬
EA⎪ 1.67381⎪
⎪⎩−.03849⎪⎭7
⎧− 0.6285⎫
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
0 0.6285
（3） 计算结构坐标系中的单刚 36
单元②和③ θ(2) = θ(3) = 90D
cosθ = 0 sin θ = 1
坐标转换矩阵为：
⎡0 1 0
⎤
⎢⎢−1 0 0
0
⎥ ⎥
T (2)
= T (3)
=
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
⎢
0 1 0⎥
⎢0 ⎢
−1 0 0⎥ ⎥
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
计算结构坐标系中的单刚
⎫ ⎬
⎩Δ1 ⎭
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 0 0 0 ⎤ ⎧ 0 ⎫
=
⎢⎢−1 ⎢0
⎢ ⎣
0
0 0 0
0 0 −1
0⎥⎥ EA⎢⎢0 1⎥ 8l ⎢0 0⎥⎦ ⎢⎣0
16 0 −16
0 0 0
−16⎥⎥
0⎥
16
⎥ ⎦
FPl EA
⎪⎪ 0 ⎪⎪
⎨ ⎪
1.67381
⎬ ⎪
⎪⎩− .038497⎪⎭
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用矩阵位移法的计算平面刚架的步骤如下；
1、整理原始数据，对单元和刚架进行局部编码和总体编码。
2、形成局部坐标系中的单位风度矩阵e k
，
3、形成整体坐标系中的单元刚度矩阵e k
4、用单元集成法形成整体刚度矩阵K ，
5、求局部坐标系的单元等效结点荷载e P ，转换成整体坐标系的单元等效结点
荷载e P ，用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载P
6、解方程P K =∆,求出结点位移∆。
7、求各杆的端内力e F
二；对结构失稳的两种形式的认识？
１、完善体系是分支点失稳，非完善体系的是极值点失稳
２、分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的
二重性。
极值点失稳的形式特征是虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。
三；
对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值称为可破坏荷载，用p F +表示。
如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力状态与之平衡，且各载面的内力都不超过其极限值，则此荷载称为可接受荷载，用-P F ,表示。
极限最大弯矩s u bh M δ4
2
= 当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩值保持不变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生有限的相对转角，这种情况与带铰的截面相似。
因此，当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面称为塑性铰。
连接各截面内力最大值的曲线称为内力包络图。
弯矩的包络图中最高的竖距称为绝对最大弯矩。
静定结构的一般性质？
１、温改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力
２、静定结构的局部平衡特性
３、静定结构的荷载等效特性
４、静定结构的构造变换特性。
计算题。