测量平差练习题及参考答案
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计算题
1、如图，图中已知A 、B 两点坐标，C 、D 、E 为待定点，观测了所有内角，试用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。
解：观测值个数 n =12，待定点个数t =3，多余观测个数r =n -2t =6
① 图形条件4个：
)180(0
)180(0
)180(0
)180(0
121110121110987987654654321321-++-==-++-++-==-++-++-==-++-++-==-++L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v d d c c b b a a ② 圆周条件1个：
)360(0963963-++-==-++L L L w w v v v e e ③ 极条件1个：
ρ''--==----++)sin sin sin sin sin sin 1(0cot cot cot cot cot cot 8
52741774411885522L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L f f
3、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。
用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；
C
3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4； 选D 、E 平差值高程为未知参数2
1ˆˆX X 、 则平差值方程为：
1
615142322211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆX H h H X h H X h H X h H X h X X h A A
B A B -=-=-=-=-=-=
则改正数方程式为：
6165154143232221211ˆˆˆˆˆˆˆl x
v l x
v l x
v l x v l x
v l x x
v --=-=-=-=-=--= 取参数近似值 255.24907.2220221011=+==++=h H X h h H X B B 、
令C=1，则观测值的权阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10111101P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010*********B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7551000)()()()()()()(016
015014023022020110654321X H h H X h H X h H X h H X h X X h d BX h l l l l l l l C A B A B
组法方程0ˆ=-W x
N ，并解法方程： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==3114PB B N T
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==107Pl B W T ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-311074113111ˆ1W N x 求D 、E 平差值：
m x X X H m x X X H D C 258.24ˆˆˆ906.22ˆˆˆ2
0221011=+===+== 2）求改正数：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-=664734ˆl x B v 则单位权中误差为：
mm r pv v T 36.64
162ˆ0±=±=±=σ 则平差后D 、E 高程的协因数阵为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-41131111ˆˆN Q X X
根据协因数与方差的关系，则平差后D 、E 高程的中误差为：
mm mm Q mm mm Q E D 84.311
229ˆˆ32.322669ˆˆ220110±=±==±=±==σσ
σσ
4、如图，在三角形ABC 中，同精度观测了三个内角：4000601'''︒=L ，5000702'''︒=L ，7000503''''︒=L ，按间接平差法列出误差方程式。
解：必要观测数t =2，选取1L 、2L 的平差值为未知数1ˆX 、2ˆX ，并令101L X =、20
2L X =，则
2
22022111011ˆˆx L x X X x L x X X δδδδ+=+=+=+= 16ˆˆ180ˆˆˆˆ180ˆˆ213213222211112133222111---=+--==-==-=--=+=+=+x x L X X v x L X v x L X v X X v L X v L X v L δδδδ
5、如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。
解：观测值个数n =8，待定点个数t =2，多余观测个数42=-=t n r
3个图形条件，1个极条件。 ρ'
'--==--+-+-+--+++-==-+++-+++-==-+++-+++-==-+++)sin sin sin sin sin sin sin sin 1(0cot cot cot cot cot cot cot cot )180(0)
180(0
)180(0
7
53186428877665544332211876587656543654343214321L L L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L v L v L L L L L w w v v v v L L L L w w v v v v L L L L w w v v v v d d c c b b a a
6、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。
1）试在误差曲线上作出平差后PA 边的中误差，并说明；
2）试在误差椭圆上作出平差后PA 方位角的中误差，并说明；
3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且︒=52F ϕ,试计算方位角为102º的PB 边的中误差。
解：1）在误差曲线上作出平差后PA 边的中误差；
连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 长度为平差后PA 边的中误差 Pa PA =σˆ
2）在误差椭圆上作出平差后PA 方位角的中误差；
作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 方向的垂线cb ，且与误差椭圆相切，垂足为c 点，则Pc 长度为平差后PA 边的横向误差PA u σˆ
则平差后PA 方位角的中误差：