差分方程的Z变换解
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3差分方程Z变换解读
第3 章线性离散时间系统的描述及分析3.1差分方程及其时域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解A 递推解B 古典解C Z 变换求解3.2Z 变换3.2.1Z 变换的定义3.2.2Z 变换的性质3.2.3Z 反变换A 长除法B 留数法C 部分分式法3.3离散时间系统的Z 域分析3.3.1零输入响应3.3.2零状态响应3.3.3完全响应3.4Z 传递函数及其求法3.4.1Z 传递函数的定义3.4.2离散系统的运算343由G(s)求G(z)――连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B 对离散化方法的评价C 留数法D 直接代换法E系统等效法I ——冲击响应不变法；F系统等效法II——阶跃响应不变法G 部分分式法3.4.4离散化方法小结3.5线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2稳定判据3.6线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1线性离散时间系统的频率特性3.6.2线性离散时间系统的频率特性分析法第3章线性离散系统的描述及分析3.1差分方程及其时域分析3.1.1差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u(k)与输出响应序列y(k)之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式y(k+ n) +a』(k + n-1)+||| + a_i y(k+ 1)+ a n y(k^ (2 1)二b°u(k m) Qu(k m-1) ||| b m_i u(k 1) b m u(k)有始性：k - 0初始条件：y(0) = y。
, y(1) = %，…，y(n-1) = y“-i 时间因果律：m岂n 或写成m ny(k n)二為b i u(k m - i) -' a j y(k n - j)i =0 j =1上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值(当以及此前若干个输入和输出值有关推论开来，当前的输出值是此前”全部激励和内部状态共同作用的积累效应。
差分方程的Z变换解
ห้องสมุดไป่ตู้
其中： 其中：
。
14
实验步骤与方法
用ztrans、iztrans求实验内容1和2。在命令窗口求解 ztrans、iztrans求实验内容 求实验内容1 即可。 即可。 在例3 计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 在例3中，计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z变换求解后 向差分方程的原理编写用z 向差分方程的原理编写用z变换计算前向差分方程的零 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。上机调试程 序，与理论计算结果比较。 与理论计算结果比较。 由于实验内容4有复数极点， 由于实验内容4有复数极点，用符号运算的方法就不能 计算。这需要用部分分式法和Z 计算。这需要用部分分式法和Z变换解差分方程的原理 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 。（提高实验
4
实验原理与说明
3、差分方程的Z变换解 差分方程的Z 若线性常系数差分方程描述的系统为： 若线性常系数差分方程描述的系统为：
（1）已知零输入初始值 对上式两边取 变换有： 变换有：
和
上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。
5
实验原理与说明
（2）已知系统初始值 对原方程式两边取
10
实验内容 1
求下列序列的变
(a) (b)
换，并注明收敛域。 并注明收敛域。
(c) (d)
11
实验内容 2
求下列
其中： 其中：
。
14
实验步骤与方法
用ztrans、iztrans求实验内容1和2。在命令窗口求解 ztrans、iztrans求实验内容 求实验内容1 即可。 即可。 在例3 计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 在例3中，计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z变换求解后 向差分方程的原理编写用z 向差分方程的原理编写用z变换计算前向差分方程的零 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。上机调试程 序，与理论计算结果比较。 与理论计算结果比较。 由于实验内容4有复数极点， 由于实验内容4有复数极点，用符号运算的方法就不能 计算。这需要用部分分式法和Z 计算。这需要用部分分式法和Z变换解差分方程的原理 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 。（提高实验
4
实验原理与说明
3、差分方程的Z变换解 差分方程的Z 若线性常系数差分方程描述的系统为： 若线性常系数差分方程描述的系统为：
（1）已知零输入初始值 对上式两边取 变换有： 变换有：
和
上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。
5
实验原理与说明
（2）已知系统初始值 对原方程式两边取
10
实验内容 1
求下列序列的变
(a) (b)
换，并注明收敛域。 并注明收敛域。
(c) (d)
11
实验内容 2
求下列
信号与系统5-2差分方程的Z变换解课件
电信学院
1
前向差分方程
查公式
考虑二阶系统：
y(k 2) a1y(k 1) a0 y(k) b2 f (k 2) b1 f (k 1) b0 f (k)
初始值：yzi (0), yzi (1)
两边取Z变换有：
(z2 a1z a0 )Y (z) yzi (0)z2 yzi (1)z a1yzi (0)z (b2z2 b1z b0 )F(z)
1
(z
1)( z
2)
z
1
3
z
1
z
1
3
z
2
全响应
yzs (k )
[2 3
(1)k
1 3
(2)k
] (k)
y(k)
yzi
(k)
yzs (k )
[
2 3
6(1)k
2 3
(2)k
]
(k)
电信学院 返回
8
例 5.12 解 法 二
y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) f (k 1) 3 f (k) yzi(1)=1, yzi(2)=3
F(z)
Y (z) Yzi (z) Yzs (z) 零输入响应
零状态响应
电信学院
3
系统函数
定义
H
(z)
零状态响应的z变换 激励信号的z变换
Yzs (z) F(z)
二阶系统零状态响应
Yzs (z)
b2z2 b1z b0 z2 a1z a0
F(z)
H (z)F (z)
对n阶LTI系统的系统函数
(b2z2 b1z b0 )F(z) b2 f (0)z2 b2 f (1)z b1 f (0)z
令：M (z) [ y(0) b2 f (0)]z2 [ y(1) a1y(0) b2 f (1) b1 f (0)]z
利用z变换解差分方程
于是
Y(z) =
br z−r ∑ ak z−k ∑
k＝ 0 M r＝ 0 N
M
X(z)
令
H(z) =
∑b z
r r＝ 0 N k＝ 0
−r
ak z−k ∑
则
Y(z) = X (z)H(z)
−1
此时对应的序列为 y(n) = F [X(z)H(z)]
差分方程为 例：若描述离散系统的 1 1 y(n) + y(n −1) − y(n − 2) = x(n) 2 2 x(n) = 2n u(n) , y( 已知激励 初始状态 −1) =1, y(−2) = 0, 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r [X(z) + ∑x(m)z−m] ∑
k＝ 0 r＝ 0 m=−r N M −1
如果激励x(n)为因果序列， 如果激励x(n)为因果序列，上式可以写成 x(n)为因果序列
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r X(z) ∑
k＝ 0 r＝ 0 N M
8.5节已经给出利用 节已经给出利用z 在8.5节已经给出利用z变换解差分方程的简 单实例，本节给出一般规律。 单实例，本节给出一般规律。这种方法的原 理是基于z变换的线性和位移性， 理是基于z变换的线性和位移性，把差分方程 转化为代数方程，从而使求解过程简化。 转化为代数方程，从而使求解过程简化。
k＝ 0 l =−k r＝ 0 m=−r −1
若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态，此时 若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态， x(n)=0,即系统处于零输入状态 差分方程（ 差分方程（1）成为齐次方程∑a y(n −源自) =0k=0 kN
差分方程及其Z变换法求解
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)
y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。 例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
K2.11-差分方程的z变换解
y(2)
1
z2 3z , F(z) z
(z 1)(z 1)(z 2)
z 1
1 z 1 z 11 z , | z | 2 6 (z 1) 2 (z 1) 3 (z 2)
y(k) 1 1k 1 (1)k 11(2)k , k 0
62
i0
k 0
j0
n
n
i 1
m
[ ani z i ]Y (z) ani [ y(k i)z k ] ( bm j z j )F (z)
i0
i0
k 0
j0
2
差分方程的z变换解
Y (z)
M (z) A( z )
B(z) A( z )
F(z)
Yzi (z)
Yzs (z)
系统函数 H (z) Yzs (z) B(z) F (z) A(z)
5
差分方程的z变换解
y(k) 3y(k 1) 2 y(k 2) f (k 2)
对差分方程两边取单边z变换，得
0
1
Y (z) 3[z1Y (z) y(k 1)zk ] 2[z2Y (z) y(k 2)zk ] z2F (z)
k 0
k 0
Y
(z)
(3
2z1) y(1) 2 1 3z 1 2z 2
yzs (1) yzs (2) 0, f (k) (k)
由右移性质，对方程两边取单边z变换，得
Yzs ( z)
3z 1 yzs ( z)
2
z
Y 2 zs
(
z
)
z2F (z)
Yzs
(z)
(1
z 2 3z1
2 z 2
)
F(z)
(z
差分方程的z变换解法ppt课件
5
例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1) x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
§5-4 LTI系统Z变换分析法
利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
设差分方程为： ak y(n k)
X(z)
z z1
4
1 z2 Y(z) 2
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y (z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
11
z
3 1
例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1) x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
§5-4 LTI系统Z变换分析法
利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
设差分方程为： ak y(n k)
X(z)
z z1
4
1 z2 Y(z) 2
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y (z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
11
z
3 1
6.5 用Z变换解差分方程
上述结论可由s平面与z平面的关系以及H(s)极点 分布与h(t)形状的关系直接得来
（五）由H(z)判定离散系统的稳定性
稳定系统： H z 的全部极点落在单位圆之内。
临界稳定系统：单位圆上有一阶极点，其余极点均位 于单位圆内。
不稳定系统：单位圆外有极点或单位圆上有高阶极点。
第六章 z变换、 离散系统的z域分析 小结
解：
零状态响应，初值为0
(1) Y z 3z 1Y z 2z 2Y z X z 1 z 1
Y z 1 z 1 z ( 2) H z 1 2 X z 1 3z 2z z2
综合
例：书：87页，例8-19
§6.5
用 z 变 换 解 差 分 方 程
§6利用Z变换解差分方程的一般规律； 方法的原理： 基于Z变换的线性和位移性 将差分方程转化为代数方程 使求解过程简化
线性时不变离散系统的差分方程一般形式：
a
k 0
N
k
y( n k ) br x ( n r )
N N A z n 1 k hn ZT Ak zk un k 0 z zk k 0
H z 的极点 zk ，可以是不同的实数或共轭复数， 决定了 hn 的特性。
zk在单位圆内，h(n)为衰减序列
zk在单位圆外， h(n)为发散序列 zk在单位圆上且为一阶： h(n)不衰减也不发散 zk在单位圆上且为高阶： h(n)为发散序列
2） A1 2 ，B1 2,
3) Y z 2
B2 2
z z z 2 2 2 z 1 z2 z 2
n n n
4) yn 2 1 2 2 2n 2 un
利用z变换解差分方程 ppt课件
利用z变换解差分方程
6
于是 令 则
M
br z r
Y(z)
r＝0 N
X (z)
ak zk
k＝0
M
br z r
H (z)
r＝0 N
ak zk
k＝0
Y(z)X(z)H (z)
此时对应的序列为 F y(n) 1[X(z)H (z)]
利用z变换解差分方程
7
例： 已知系统的差分方达程式表为
y(n)0.9y(n1) 0.05u(n) 若边界条y件(1) 1,求系统的完全响应。
5
若系统的起始状态y(l)=0(-N≤l≤-1),即系统处于 零起始状态，此时式(2)变成
N
M
1
a kz k[Y (z)b rz r[X (z) x (m )z m ]
k ＝ 0
r＝ 0
m r
如果激励x(n)为因X(z)
k＝ 0
r＝ 0
利用z变换解差分方程
3
线性常系数差分一方般程形的式为
N
M
ak y(nk) brx(nr)
k0
r0
（1）
将 等 式 两 边 取 换单 ，边 利z用变z 变性换得位 移 特
N
1
M
1
akzk[Y(z) y(l)zl] brzr[X(z) x(m)zm] （2）
k＝0
lk
r＝0
mr
利用z变换解差分方程
§7.7 利用z变换解差分方程
• 主要内容
•z变换解差分方程的一般步骤 •举例说明
• 重点：利用z变换解差分方程的一般步骤
利用z变换解差分方程
1
解差分方程的方法： （1）时域经典法 （2）卷积和解法 （3）Z变换解法
8.07 用z变换解差分方程
x n
1 E
3
1 E 1 E
y n
2
yn xn xn 1 3 yn 1 2 yn 2
（2）用z变换求解需要 y 1 , y 2 , 用 y 1 , y 0 由方 程迭代出 1 5 y 1 , y 2 2 4
§8.7 用z 变换解差分方程
序言
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解 差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法——第七章中介绍，烦琐 •z变换方法 •差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的 条件）。
yn 3 yn 1 2 yn 2 xn xn 1
（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质
Y z 3 z 1Y z y 1 2 z 2Y z z 1 y 1 y 2 z z 1 x 1 0 1 z z2 z2
z z Y z 0.5 0.45 z 1 z 0.9
A1 A2 Y z z z 1 z 0.9
yn 0.5 0.45 0.9
n
n 0
例8-7-2
已知系统框图
列出系统的差分方程。 2n n 0 , y 0 y 1 0, x n 0 n0 求系统的响应 y(n)。 解： （1） 列差分方程，从加法器入手
Yzi z 1 3z 1 2z 2 2z 1 y 1 3 y 1 2 y 2
z z 1 3z 2z Yzi z z 2z 1 z 2 z 1 零输入响应为
用单边Z变换解差分方程
n
h( n)
15
可以稳定
x ( n)
h( n)
k
y(n) x(n) * h(n)
h(k ) x(n k )
x(n) M
y ( n)
k
h ( k ) x ( n k ) M h( k )
k
k x ( k ) z
1 m k k z x ( k ) z x ( k ) z k m k 0 1 m k z X ( z ) x(k ) z k m
4
（4）对于因果序列x(n)
k m k x ( k ) z 0 1
1 2 2
10 z Y ( z ) 0.1z [Y ( z ) zy (1)] 0.02 z [Y ( z ) z y (2) zy (1)] z 1 10 z (1 0.1z 1 0.02 z 2 )Y ( z ) 0.08 z 1 0.28 z 1
2 1
yss (n) B sin[n 2 ( )]
28
Y (e ) H (e ) j X (e )
j
j
H (e ) H (e ) e B H (e ) A
j
j
j
j ( )
B j[ 2 ( ) 1 ( )] e A
( ) 2 ( ) 1 ( )
§8.7 用单边Z变换解差分方程
解差分方程的方法： （1）时域经典法 （2）卷积和解法 （3）Z变换解法
1
（一）复习Z变换的位移特性
若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、 双边右移序列时，它们的双边和单边Z变 换是不同的： （1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)
z变换求解差分方程例题
z变换求解差分方程例题
当我们求解差分方程时，可以使用Z 变换。
下面以一个简单的例子来说明如何使用Z 变
换求解差分方程。
假设我们有一个差分方程：y[n] - y[n-1] = x[n]
其中，y[n] 表示输出序列，x[n] 表示输入序列，n 表示时间索引。
现在，我们将以上方程进行Z 变换：Y(z) - z^(-1)Y(z) = X(z)
其中，Y(z) 和X(z) 分别表示Z 变换后的输出和输入序列。
将Y(z) 和X(z) 汇总，得到：Y(z) = X(z) / (1 - z^(-1))
现在，我们可以通过对Y(z) 进行逆Z 变换来求解差分方程。
首先，我们将Y(z) 展开为分式形式：Y(z) = X(z) / (1 - z^(-1)) = X(z) / (1 - 1/z) 然后，我们可以使用部分分式分解来简化表达式：Y(z) = X(z) / (1 - 1/z) = X(z) * z / (z - 1)
接下来，我们需要将Y(z) 逆变换为时间域的序列。
这可以通过查找Z 变换表格或使用Z 变换的逆变换公式来完成。
在这个例子中，逆变换公式告诉我们：y[n] = (z^n * X(z) * z / (z - 1))的逆变换
最后，我们需要将逆变换公式转化为时间域的表达式。
这可以通过查找逆变换表格或使用逆变换的公式来完成。
总结起来，如果要使用Z 变换求解差分方程，可以按照以下步骤进行操作：
.将差分方程进行Z 变换。
.将Z 变换后的表达式简化。
.使用逆变换公式将Z 变换的表达式转化为时间域的表达式。
.最后，得到差分方程的解析解。
差分方程_z_变换___概述说明以及解释
差分方程z 变换概述说明以及解释1. 引言1.1 概述差分方程是描述离散时间系统行为的重要数学工具。
在现实生活中，许多系统的变化是按照离散时间步骤进行的，例如数字信号处理、数字滤波、通信系统等。
而差分方程则可以描述这些系统在每个时间步骤上的状态和演变。
与此同时，z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散信号和离散系统。
它将差分方程从时域（自变量是时间）转换到z域（自变量是复平面上的复数z），并且能够提供更加简洁和便于分析的表达形式。
本文将概述差分方程z变换的基本概念以及其在离散系统分析和设计中的应用。
我们将解释差分方程z变换过程，并讨论其优势和局限性。
最后，我们将总结主要观点和结论，并对未来发展提出展望和建议。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、差分方程z变换概述、解释差分方程z变换过程、差分方程z变换的优势与局限性以及结论和总结。
1.3 目的本文的目的是介绍差分方程z变换的基本概念和原理，并探讨其在离散系统分析和设计中的应用。
通过阐述z变换与时域之间的关系，传递函数和频率响应描述以及求解差分方程的步骤与方法，读者将能够理解并运用这一重要数学工具。
同时，我们还将提供对差分方程z变换优势与局限性的考察，以及对未来发展的展望和建议。
2. 差分方程z 变换概述:2.1 差分方程基础知识:差分方程是离散时间系统建模和分析中的重要工具，它可以描述离散时间的动态过程。
差分方程以递推关系式的形式表示系统的行为，其中当前时刻输出值与过去一段时间内输入值和输出值之间存在着数学上的关系。
2.2 z 变换介绍:z 变换是一种用于将差分方程从时域转换到复平面上的方法。
在信号处理领域中，z 变换常被用于对离散系统进行频域分析和设计数字滤波器。
z 变换将离散时间信号表示成复变量z 的函数，使得我们可以通过对复平面上的频率响应进行分析来理解系统的特性。
2.3 z 变换的应用领域:z 变换在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统工程领域，z 变换可用于建立数字控制器模型、设计数字滤波器以及实现各种控制算法。
用单边Z变换解差分方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件
若因果信号 此项为零
6
第6页
y(n) by(n 1) x(n)
例：
x(n) anu(n) y(1) 2 y(n) ?
里面已含有 初始条件
完全解
Y (z) bz1[Y (z) zy(1)] X (z)
[1 bz1]Y (z) X (z) by(1)
Y (z)
X (z) by(1) 1 bz 1
yss (n) B sin[n 2 ( )]
h(n)
2 1
x(n) Asin[n 1()]
yss (n) B sin[n 2 ( )]
28
第28页
H (e j )
Y (e j ) X (e j )
H (e j ) H (e j ) e j ( ) B e j[2 ( )1( )] A
H (e j ) B A
（2）当z e j旋转某个极点 pi 附近时，
比 则如在同在二该分点之应一该径出上现时一B，个i B峰i 值较，短，Hp越i(e j )
短， 附近越尖pi锐。若 落在单位
圆B上i ，0则 pi
，则 处峰值趋于无穷大。
（3）对于零点则其作用与极点作用恰好相 反。
34
第34页
低通
e j
高通
p1
e j
连续信号和离散序列傅立叶变换比较
• 连续
X ( j )) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
• 离散
X (e j ) x(n)e j n n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
25
第25页
定义一：系统频率响应即系统单位样 值函数傅立叶变换
17
用单边Z变换解差分方程
35
全通
p1
r r
p2
H (e j )
1
r z1
e j
1
r z2
e j
0
2
T
靠近单位圆周的 H(e j ) 极点附近有尖峰
2
36 T
例：（8-34）
y(n)
x(n)
z 1
z 1
z 1
cos
(
2 N
)
2
cos
(
2 N
)
1
(1)h(n) ? (2)H (z) ? (3) pk ? zr ? (4)H (e j ) ?
n 22
序列的傅立叶反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz
2 j z 1
序列 的傅立叶 逆变换
1 X (e j )e jn e j d (e j )
2j z 1
x(n) 1 X (e j )e jn d
2
23
连续信号和离散序列的傅立叶变换的 比较
• 连续
• 离散
X ( j)) x(t)e jtdt
（一）复习Z变换的位移特性
若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、 双边右移序列时，它们的双边和单边Z变 换是不同的：
（1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)
ZT [x(n)] X (z) x(n)zn n
ZT [x(n m)] zm X (z)
ZT [x(n m)] zm X (z)
1
（2）双边左移序列的单边Z变换 X (z) x(n)u(n)zn n0 ZT[x(n m)u(n)] x(n m)zn n0
zm x(n m)z(nm) zm x(k)zk
n0
k m
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3
实验原理与说明
2、求反Z变换的部分分式法 、求反Z
若 为有理式，则可表达为
MATLAB提供了一个对
进行部分分式展开的函数
residue()，其调用形式为 [r,p,k]=residue(N,D) 式中，N和D分别为 的分子多项式和分母多项式的 系数向量，r为部分分式的系数向量，p为极点向量，k 为多项式的系数向量。
实验24 差分方程的Z变换解
1
实验目的
学习使用Matlab的符号运算 变换和反Z 学习使用Matlab的符号运算Z变换和反Z变换 的符号运算Z 方法。以及反Z变换中的部分分式展开法。 方法。以及反Z变换中的部分分式展开法。加 深对Z变换的理解。 深对Z变换的理解。 学习用Matlab计算差分方程的方法。 学习用Matlab计算差分方程的方法。加深对 计算差分方程的方法 离散系统Z变换分析的理解，对零输入响应、 离散系统Z变换分析的理解，对零输入响应、 零状态响应的理解。 零状态响应的理解。
16
15
实验报告要求
实验内容中详细说明用Z 实验内容中详细说明用Z变换求解差分方程的 方法， 方法，根据求出的后向差分方程的数学模型 所编写出的程序。 所编写出的程序。 上机调试程序的方法。 上机调试程序的方法。 根据实验观测结果，归纳、总结差分方程用Z 根据实验观测结果，归纳、总结差分方程用Z 变换求解的方法。 变换求解的方法。 心得体会及其他。 心得体会及其他。
10
实验内容 1
求下列序列的变
(a) (b)
换，并注明收敛域。 并注明收敛域。
(c) (d)
11
实验内容 2
求下列
(a)
的逆变换
(b)
。
(c)
(d)
(e)
(f)
12
实验内容 3
用单边
(a)
变换解下列各差分方程。 变换解下列各差分方程。
，
(b) ，
，
13
实验内容 4*
用Z变换及部分分式法求差分方程
7
% 计算(e)
计算示例 2
已知 ，收敛域 ，求
。
解
部分分式展开式为
或
8
计算示例 3
描述某离散系统的差分方程为
激励信号
，若初始条件
，
试分别求其零输入响应 全响应。 全响应。
、 零状态响应
和
9
计算示例 3
程序运行后在命令窗口显示的结果： 程序运行后在命令窗口显示的结果： >> 零状态响应 n n (-(-1) + 1/3 (-2) + 2/3 零输入响应 n n ((-5 (-1) + 2 (-2) 全响应 n n ((-6 (-1) + 7/3 (-2) + 2/3
4
实验原理与说明
3、差分方程的Z变换解 差分方程的Z 若线性常系数差分方程描述的系统为： 若线性常系数差分方程描述的系统为：
（1）已知零输入初始值 对上式两边取 变换有： 变换有：
和
上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。
5
Hale Waihona Puke 验原理与说明（2）已知系统初始值 对原方程式两边取
2
实验原理与说明
1、Z变换和反Z变换的符号运算： 变换和反Z变换的符号运算：
MATLAB的符号运算工具箱中，专门提供了Z变换和反Z变换的函数。 MATLAB的符号运算工具箱中，专门提供了Z变换和反Z变换的函数。 的符号运算工具箱中 正变换的调用格式为 F=ztrans(f) 式中， 为时间函数的符号表达式， 变换式，也是符号表达式。 式中，f为时间函数的符号表达式，F为Z变换式，也是符号表达式。 反变换的调用格式为 f=iztrans(F) 式中， 变换式的符号表达式， 为时间函数，是符号形式。 式中，F为Z变换式的符号表达式，f为时间函数，是符号形式。 为了改善公式的可读性，MATLAB提供了pretty函数， 提供了pretty函数 为了改善公式的可读性，MATLAB提供了pretty函数，调用格式为 Pretty(f) 式中， 为符号表达式。 式中，f为符号表达式。
其中： 其中：
。
14
实验步骤与方法
用ztrans、iztrans求实验内容1和2。在命令窗口求解 ztrans、iztrans求实验内容 求实验内容1 即可。 即可。 在例3 计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 在例3中，计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z变换求解后 向差分方程的原理编写用z 向差分方程的原理编写用z变换计算前向差分方程的零 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。上机调试程 序，与理论计算结果比较。 与理论计算结果比较。 由于实验内容4有复数极点， 由于实验内容4有复数极点，用符号运算的方法就不能 计算。这需要用部分分式法和Z 计算。这需要用部分分式法和Z变换解差分方程的原理 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 。（提高实验
和
变换有
6
计算示例 1
试求下列序列的Z变换。 试求下列序列的Z变换。 以1例说明 例说明
(e)
Matlab计算的命令如下 计算的命令如下： 解：用Matlab计算的命令如下：
>> F=ztrans(sym('k-3')) F= z/(z-1)^2-3*z/(z-1) >> F=subs(F,z^-1) % 根据反折性质，变量代换z换成1/z F= 1/z/(1/z-1)^2-3/z/(1/z-1)