数学分析第十四章课件傅里叶级数知识分享

1）上式不能写成等号
2）常数项写成 a 0
2
是为了与 a n
的表达式统一
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2020/8/9
例1 f(x ) x ,x (,),T 2，求其傅立叶级数。
解：由于f ( 为x ) 奇函数知， a n 0
b n 1 xsin n x d x20 xsin n x d x ( 1 ) n n 1 2
lim bgtsinptdt0
p a
lim bgtcosptdt0
p a
推论：
若 f t 以2 为周期。且在 , 绝对可积，则 f x
的Fourier系数 a n , b n ，当 n时趋向于0，即 nl im annl im bn0
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定理14.2
若 f x 以2 为周期，在 , 绝对可积，则f x
f(x)2
(1)n1sinnx
n1
n
看P118图
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例2
1, x0
f (x) 0,
x0 , T2，求其傅立叶级数。
1, 0x
解：看P118图由于 f (x)为奇函数知，a n 0
bn1 xsinnxdx20xsinnxdx n4 0 ,,
n为 奇 数 n为 偶 数
f(x ) 4 s in (2 n 1 )x 4 (s in x s in 3 x s in 5 x ...)
综上：Fourier级数在 x 0 是否收敛,归结为：能否取到适当的S，
使以下的极限式成立：
lim1
n
0
x0
t
sinn12t 2sin t
dt
0
2
当上式成立时，f x 的Fourier级数在 x 0
点收敛于S
将（*）分成两部分
snf;x01
1
0
后一积分的处理用下面：
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引理1 若 g t 在 a , b 绝对可积，则
的Fourier级数在 x 0 点的收敛与发散，只与函数 f x 在
x 0 附点的值有关
证明：
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0, 不妨设 0
,
由Riemam引理知
lim
n
I
2
0
所以：f x 的fourier级数在 x 0 是收敛与发散 当n时
sn f ; x0 收敛与发散 当 n时I 1 的收敛的与发散
2
0sin2snint12tdt
先看 sn f ; x是否逐2点收敛？取
2
x0,
snf;x0s ，即 snf;xs 0n
sn
f
;
x
s
1
0 f
1
0 x0
xt0sitn2 snifntx120t tdt2s5sin2snin2t12tdt
2
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其中 x 0 t fx 0 t fx 0 t 2 s
f( x )2 4 n 1 c o ( s 2 ( n 2 n 1 ) 1 2 ) x 2 4 ( c o s x c o 3 s 2 3 x c o 5 s 2 5 x ...)
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§14.2 Fourier级数的收敛性
f (x)可展开成它的Fourier级数的条件：
f(x) 4
3 n 1
n2
4
n 1
n
看P118图
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例4 f(x)x,x [ ,],T2，求其傅立叶级数。
解：看P119图由于 f (x) 为偶函数知，b n 0
2
a0
xdx
0
2
2
a n0xco sn xd xn 0sinn xd x
看P118图
4
n2
,
n 为奇数
0, n 为偶数
方法：
即上式划“等号”的条件
按函数项级数收敛的定义，考察 Fourier 级数的部分和：
给出部分的一个表达式
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设 fxa 2 0n 1ancosnxbnsinnx
记 sn fx snf;xa20kn1akcoskxbksinkx
把：ak
1
f
xcoskxdx
k1,2,
bk
n 1 2 n 1
35
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例3 f(x)x2,x (0 ,2 ),T2 ，求其傅立叶级数。
解：
a0
1
2x2dx82
0
3
a n 10 2 x 2 c o s n x d x 2 n0 2 x s in n x d x n 4 2
bn102x2sinnxdx4n
42 cosnx sinnx
第十四章 Fourier级数
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两类重要的函数项级数
幂级数 u n x n0
三角级数 a20n 1ancosnxbnsinnx
问题
三角级数 给定函数
收敛？ 表示的函数 能否用三角级数表示
研究函数
( i ) f x 满足什么条件，可以展开成三角级数
(
i
i
)
若可以展开，展开式是什么形式？
在 [ 区, 间] 上的积分为0，即：
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设 f x 在 , 绝对可积
若 f (在x ) ， 有界，则表示可积
若 f (在x ) ， 无界，则表示绝对可积
定义14.1
称 a20n 1ancosnxbnsinnx 为 f x
的傅立叶级数。
记为 fxa 2 0n 1ancosnxbnsinnx 说明：
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§14.1 三角级数与Fourier级数
一、三角函数系的正交性 1、三角函数系：
{ 1 ， c o s x , s i n x , c o s 2 x , s i n 2 x ,, c o s n x , s i n n x ,}
定理14.1 （正交系）
三角函数系中任意两个不同的函数的乘积，
f x 在 x0,x0的性质
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进一步可以证明：当n时，sn f ; x0 收敛与发散性与
积分
1
0
x0
t
sin
n
2 sin
1 2 t
t
d
t
2
1
x0
t
sin
n
t
1 2
t
d
t
的收敛情况相同：
P 叙述 1 2 5 的事实 现在给出fourier级数收敛性判别法：
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1
f
xsinkxdx
k1,2,
代入上式，得:
snf;x1
f
usin2ns in1 2uuxxdu
1
2
称为Dirichlet积分
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在上述sn积f分;x中 ，1令0t=fux–xt得fxtsin2snin t1 2tdt 4
在（1）中取 f x 1 得:
2
11
sin2snint12tdt
定理14.3 （Dini判别法）
设 f x 以2 为周期，在 , 绝对可积，
若能取到合适的S使函数 x0 t fx 0 tfx 0 t 2 S