2020北京清华附中高三三模数学试题

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北京市清华大学附属中学2024学年高三练习三(全国卷)数学试题

北京市清华大学附属中学2024学年高三练习三（全国卷）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10CD ．22．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（） A ．34-B ．34C ．43-D ．433．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 4．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（）A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e5．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>6．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（） A ．324B ．233C ．305D ．528．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（） A ． B ． C ．D ．10．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（） A ．22log log b a < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（） A ．32B ．32-C ．23D ．23-12．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第1章第2节种群数量的变化

第2节种群数量的变化一、种群数量的增长、变化曲线及其应用1．建构种群增长模型的方法(1)数学模型：是用来描述一个系统或它的性质的数学形式。

(2)构建数学模型的方法步骤：观察研究对象，提出问题→提出合理的假设→根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达，即建立数学模型→通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正。

(3)根据教材中“细菌数量增长规律”分析：若N表示细菌数量，n表示第n代，则细菌增长的方程式模型为N n＝2n；曲线模型为：2．种群的“J”形增长(1)模型假设：食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等(即理想条件)。

(2)建立模型①参数的含义：N t：t年后种群的数量；N0：种群的起始数量；t：时间(年数)；λ：该种群数量是前一年种群数量的倍数。

②数学方程式：N t＝N0λt。

③曲线图(如下)3．种群的“S”形增长(1)模型假设：自然界的资源和空间总是有限的。

(2)对曲线的分析①a 点以前是生物对环境的适应期，种群数量增长较慢的原因是个体数量少，因此增长速率很小。

②ab 段是快速增长期，种群数量快速增长，K 2时增长速率达到最大，此时食物、空间相对充裕，天敌数量少。

③bc 段，随着种群密度的增加，个体间因食物、空间和其他生活条件的争夺而导致种内竞争加剧，使种群出生率降低，死亡率升高。

④达到K 值时，种群出生率等于死亡率，种群数量保持相对稳定。

(3)K 值的含义：又称为环境容纳量，指一定的环境条件所能维持的种群最大数量。

(4)应用①野生大熊猫数量锐减的原因：栖息地遭到破坏，食物减少和活动范围缩小，K 值变小。

②应对措施：建立自然保护区，改善栖息环境，提高环境容纳量。

4．种群数量的波动(1)影响因素⎩⎪⎨⎪⎧自然因素人为因素：人类活动的影响 (2)数量变化：大多数种群的数量总是在波动中；处于波动状态的种群，在某些特定条件下可能出现种群爆发。

长久处于不利的条件下，种群数量会出现持续性的或急剧的下降。

2023-2024学年北京高三三模数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年北京市高三三模数学模拟试题一、单选题1．如图，集合A B ､均为U 的子集，()U A B ⋂ð表示的区域为（）A ．IB ．IIC ．IIID ．IV【正确答案】D【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解】由补集的概念，U A ð表示的区域如下图所示阴影区域，∴()U A B ⋂ð表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A ．()tan =f x xB ．()f x x =C ．()2xf x =D ．()2f x x=【正确答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A.()tan =f x x 的增区间为πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，在整个定义域上不单调，故错误；B.()f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；C.()2xf x =在R 上递增，故正确；D.()2f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C3．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知tan 2x =，则tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．3B ．－3C ．13D ．34-【正确答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为tan 2x =，所以πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4x x x ++⎛⎫+===- ⎪-⋅⎝⎭-⋅，故选：B5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【正确答案】D【分析】分析表中数据，得出行驶路径和耗油量，可计算结果.【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为60125=升.故选：D6．已知||1,||0OA OB OA OB =⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒.设()OC mOA nOB m n =+∈R、，则mn等于（）A ．13B ．3CD 【正确答案】B【分析】由题意可得OA OB ⊥,建立坐标系，由已知条件可得()OC m =，进而可得tan 30︒==，即可得答案.【详解】解：因为||1,||0OA OB OA OB =⋅=，所以OA OB ⊥ ,又因为点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，建立如图所示的坐标系：则(1,0)OA = ,OB =,又因为()OC mOA nOB m n =+∈R、，所以()OC m =，所以tan 303m ︒==，所以3mn=.故选：B.7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.8．已知{}n a 为无穷等差数列，则“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.【详解】“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”，不能推出“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，例如32n a n =-，则121,1a a ==-，即1,2i j ==，满足120i j a a a a +=+=，但令320k a k =-=，则*32k =∉N ，故不存在存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的不充分条件；若“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，则取11,1i k j k =-≥=+，则1120i j k k k a a a a a -++=+==，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要条件；综上所述：“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要不充分条件.故选：B.9．十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++=+ （其中γ为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计111200012000230000+++ 的值为（）A ．4ln10B ．ln6C ．ln2D ．3ln2【正确答案】D【分析】根据已知结论得两个等式相减即可得解.【详解】由题意得1111ln300002330000γ++++=+ ,1111ln200002320000γ++++=+ ，两式相减得，111300003ln 30000ln 20000ln ln 200012000230000200002+++=-== .故选：D ．10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”.已知常数0,0p q ≥≥，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个；③若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故正确.②，若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为()0,q 或(),0p 的点有且仅有2个，故正确.③若0pq ≠，则0,0p q ≠≠，“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，为123,,,M M M M ，如图，故正确.故正确的命题个数为3个.故选：D二、填空题11．若5(1a =+,a b 为有理数），则a b +=_______________．【正确答案】120【分析】利用二项式定理展开5(1并计算，再利用有理项、无理项求解作答.【详解】由二项式定理得：1234555555513C 9C 97644(1=+++++=+依题意，76a +=+,a b 为有理数，因此76,44a b ==，所以120a b +=.故12012．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次按对的概率是_________．【正确答案】14/0.25【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】记事件A ：第一次没有按对密码；事件B ：第二次按对密码；()45P A =，()411545P AB =⨯=，()()()14P AB P B A P A ∴==.故答案为.14三、双空题13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则bc=_______，cos A 的值为________．【正确答案】3214-【分析】利用正弦定理边角互化即可求得b c，利用余弦定理即可求得cos A .【详解】因为ABC 中，2sin 3sin B C =，所以由正弦定理可得23b c =，即32b c =.又因为14b c a -=，所以2a c =，所以由余弦定理可得()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯，故32；14-14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的正整数n ，都满足：11122n nn a a +-=+，若112a =，则3a =________，2023S =______________．【正确答案】11220232024【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.【详解】由11122n n n a a +-=+和112a =可得：21232311111146,612,a a a a a a -=⇒=∴-=⇒=即3a =112；由11122n n n a a +-=+可得：()112211111112,21,...,4n n n n n n a a a a a a ----=-=--=，累加得()()()124111111211n n n n a a a n n n n +--=⇒==-++，所以20231111112023 (1223202320242024)S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故112，20232024四、填空题15．已知曲线:44C x x y y -=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y ->；②曲线C 在()0,1-处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈-+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m -+=与曲线C无公共点当且仅当((),0,m ∈-∞⋃+∞．其中所有正确结论的序号是_____________．【正确答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y -=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为2244x y +=，即2214x y +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y --=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为2244x y -+=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y -=和2214y x -=有一条共同的渐近线20x y -=，综上，可作出曲线C的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y -=的下方，所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y ->，故①正确；设过点()0,1-的直线l 的方程是1y kx =-，若直线l 与椭圆2214x y +=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx -+=，2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y -=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(41)80k x kx --=，则2410k -≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =-，与曲线C 相切，故②正确；直线20x y m -+=是表示与直线20x y -=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m -+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n -+=与椭圆2214x y +=相切，则由222014x y n x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n -+-=，所以221632(4)0n n ∆=--=，解得n =±C的图象，取n =-，即直线20x y --=与曲线C 相切，所以若直线20x y m -+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象，0m ≥或m <-.故①②.方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.五、解答题16．在ABC 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在.求ABC 的面积条件①：sin 47A =；条件②：sin B =【正确答案】(1)4π；(2)【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得4sin 23B =，ABC 不存在；若选②：先判断cos 0B >，再由sin 2B =求出cos B ，由73a b =及余弦定理求得a ，再计算面积即可.【详解】（1）由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又3sin 7A =，故sin 21B =，又()0,B π∈，故22B π=，4B π=；（2）若选①：由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又sin 47A =，故4sin 23B =，此时ABC 不存在；若选②：由7cos 06a B b =>，又sin 2B =，则1cos 2B =，73a b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2276483a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得3a =或245a =-（舍去），故ABC的面积为1sin 2ac B =.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//ABCD AD AB AB DC ⊥，2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2（3．【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥，；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量A ，然后利用公式1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅ 求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅ 来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点E 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC = ，故0BE DC ⋅= ．∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=- ，设()1,,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1z =，可得()2,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量．于是有3cos ,||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉==⨯⨯ ，∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--== ，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=-- ，由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设1(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =- 为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n = ，则121212310cos ,1010n n n n n n ⋅===-⋅ ．易知，二面角F AB P --31010．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X ；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【正确答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100x +++++++++++=⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，()1212044464P X ==⨯⨯=，()3211211444444P X ==⨯⨯+⨯⨯1231444464+⨯⨯=，()3213212444444P X ==⨯⨯+⨯⨯3233044464+⨯⨯=，()32318344464P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：X 0123P 1327321532932171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%→和80%到85%看出，后继一周都有提升．本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．已知函数()ln f x ax x x =-．(1)当1a =时，求()f x 的零点；(2)讨论()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)是否存在实数a ，使得对任意0x >，都有()f x a ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)ex =(2)答案见解析(3)存在，a 的取值范围是1a =【分析】（1）利用导函数判断()f x 的单调性，进而判断零点的情况即可；（2）利用导函数判断()f x 在区间[]1,e 的单调性，进而求最值即可；（3）由题意只需()max f x a ≤即可，利用（2）中结论即1e 0a a --≤，利用导数求a 的范围即可.【详解】（1）()ln f x ax x x =-的定义域为()0,∞+，当1a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又因为当0x →时()0f x >，()11f =，()e 0f =，所以()f x 仅有一个零点，e x =.（2）()1ln f x a x =--'，令()0f x '=，解得1e a x -=，在区间()0,∞+内，x ()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减当1e 1a -≤（即1a ≤）时，在[]1,e 上()f x 单调递减，()max ()1f x f a ==，当1e e a -≥（即2a ≥）时，在[]1,e 上()f x 单调递增，()max ()e e e f x f a ==-，当11e e a -<<（即12a <<）时，在1e ,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递增，在11,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递减，()()1111max ()e e e 1e a a a a f x f a a ----==--=．综上所述，当1a ≤时，()f x 的最大值为a ，当2a ≥时，()f x 的最大值为e e a -，当12a <<时，()f x 的最大值为1e a -.（3）由（2）知在()0,∞+上，()11max ()ee a af x f --==，构造函数()()11e e a a g a f a a --=-=-，由题意应使()0g a ≤，()1e 1a g a -'=-，令()0g a '=，解得1a =．a (),1-∞1()1,+∞()g a '-0+()g a 单调递减极小值单调递增所以()min ()10g a g ==，所以使()0g a ≤的实数a 只有1a =，即a 的取值范围是1a =．20．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【正确答案】（Ⅰ（Ⅱ）1；（Ⅲ）平行，理由见解析．【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；（Ⅱ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE .当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--.令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233{(1)x y y k x +==-，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-.因为()()()()()()()11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.21．若项数为()3N N ≥的数列12:,,,N N A a a a 满足：()*11,N 2,3,,i a a i N =∈= ，且存在{}2,3,,1M N ∈- ，使得{}{}11,2,111,2,1n n n M a a M n N +⎧≤≤-⎪-∈⎨--≤≤-⎪⎩，则称数列N A 具有性质P .(1)①若3N =，写出所有具有性质P 的数列3A ；②若44,3N a ==，写出一个具有性质P 的数列4A ；(2)若2024N =，数列2024A 具有性质P ，求2024A 的最大项的最小值；(3)已知数列1212:,,,,:,,,N N N N A a a a B b b b 均具有性质P ，且对任意{},1,2,,i j N ∈ ，当i j ≠时，都有,i j i j a a b b ≠≠．记集合{}112,,,N T a a a = ，{}212,,,N T b b b = ，求12T T ⋂中元素个数的最小值.【正确答案】(1)①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P 的概念一一列举即可；（2）根据性质P 及累加法得M a M ≥和2025M a M ≥-，两式相加即可求解；（3）根据性质P 及累加法得23M a N ≤-，23M b N ≤-，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）（2）当2024N =时，{}2,3,,2023M ∈ ．由12111,1,,1M M a a a a a -=-≥-≥ ，累加得M a M ≥；又由20242023202411,1,,1M M a a a a a +≥-≥-≥ ，累加得2025M a M ≥-；相加得22025M a ≥，又*M a ∈N ，所以1013M a ≥.所以数列2024A 的最大项M a 的最小值为1013，一个满足条件的数列为()()1,2,,101320261014,1015,,2024n n n a n n ⎧=⎪=⎨-=⎪⎩ ；（3）由12111,2,,2M M a a a a a -=-≤-≤ ，累加得21M a M ≤-．又1M N ≤-，所以23M a N ≤-，同理，23M b N ≤-，所以{}()12121,2,,23,card 23T T N T T N ⋃⊆-⋃≤- ，因为()()12card card T T N ==，所以()()()()121212card card card card 3T T T T T T ⋂=+-⋃≥，所以12T T ⋂中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为()()()()()11211,2,,1222,3,,12425n n n n n N a b n n N N n N N n N ⎧=⎧-=-⎪⎪==-=-⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎩ ，此时{}121,24,25T T N N ⋂=--.思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.。

2020届北京市清华附中高三第二学期第三次统练数学试题(含解析)

清华附中2020届高三第二学期第三次统练数学试题一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B. C. D.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（） A. 2B. 3C. 4D. 56.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3B.2 C. 33 D. 228.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位 9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（）A . a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n nf x f x f xg x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g xg x f x -=++++L ，则n 的最大值是（）A. 8B. 11C. 14D. 18二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断： ①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地 ABCDE批发价格 150160140155170市场份额15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望. （3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ；（2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 6.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤. 故选：D .【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 8.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（） A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】【分析】先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为()21x mf x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =，所以()21xf x =-.当0x ≥时，()21xf x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，因为302132m -<<=<，故()()()3232mf f f -<<，所以()2a b f <<.又()()22f f -=，故a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题. 10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（）A. 8B. 11C. 14D. 18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值. 【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+L .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤-L ，因为()5314n h x ≤≤ 故5314n -≤，故max 14n =. 故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.【答案】12【解析】【分析】根据向量共线的坐标形式可求x 的值.【详解】因为//a b r r，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==r r，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥r r，则12120x x y y +=.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为33y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．【答案】223144x y -=【解析】由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.【答案】30- 【解析】【分析】令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ，故()1111n a a n a na =+-⨯=.因为26a =-，故13a =-，故1030a =-. 故答案为：30-【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值. 【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】【分析】利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =2116322a a =+-⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅=u u u r u u u r，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=，所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解，即满足12BC BA ⋅=u u u r u u u r的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+，整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故答案为：③.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】①②均能得到6S 最大.【解析】【分析】根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项. 若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-，故()()111n n n S nS n n --=--. 当2n ≥时，111n n S S n n -=--即111n n S Sn n --=--，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-⨯-=+-，所以()11n S a n n =+-，故11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，也即是122n a a n =+-故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列. 若选①，因为120S >，130S <，故11112a <<，故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.若选②，则2526a a a =，故()()()21118210a a a -=--，解得111a =，故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题. 17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，BC DC ==MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）277. 【解析】【分析】（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE . 因为ABD ∆是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥. 因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥. 因为2,2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ，因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()(1313110,0,0,3,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，13,0,22AN ⎛=- ⎝⎭u u u r ，()1,0,0MN =u u u ur .设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =u r，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 即300y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取3y =1z =，所以()3,1m =u r.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =r，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即3030v w u w ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，取1w =，则3,3u v == 故()3,3,1n =r，所以27cos ,47m n m n m n⋅==⨯u r ru r r u r r因为二面角A NP M --的平面角为锐角，故二面角A NP M --的余弦值为77.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地 ABCDE批发价格 150160140155170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望. （3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）【答案】（1）0.6；（2）①5， ②分布列见解析，65EX =；（3）21M M >.【解析】【分析】（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.（3）算出12,M M 后可得12M M <.【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=. （2）①200.255n =⨯=.②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()1232353210C C P X C ===，所以X 的分布列为：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=. （3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，而2215031602140515541706160311016020202020202020a aa a a a a a M aM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+++++=+++++++，其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比，则21 4.5020M aM a-=>+，故21M M >.【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题.19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值. 【答案】（1）1111y x a a =-++；（2）2a e -=. 【解析】【分析】（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ϕ=++，利用导数和零点存在定理可得()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值. 【详解】（1）()10f =，又()()()()()221ln ln ln x x a x x x a a xf x x a x a ++-++'==++，故()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1111y x a a =-++.（2）令()ln x x a a x ϕ=++，则()10ax xϕ'=+>，所以()x ϕ为()0,∞+上的增函数. 取{}2min ,M a e-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ϕ<+<-<，又()110a ϕ=+>，由零点存在定理有()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点. 设该零点为0x ，则当()00,x x ∈，()0x ϕ<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数；当()0,x x ∈+∞，()0x ϕ>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数，所以()()000min 0ln 1x x f x f x x a===-+，又00ln 0x a a x ++=，所以00ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.【详解】（1）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a =所以椭圆方程为：22184x y +=.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+，由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为 ()()()211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=，所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+，故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈； ②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ；（2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -. 【解析】【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值. 【详解】（1）因为()41T A =，故1234,,,x x x x 只有一个逆序对，则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况：①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<<L L ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个. ②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<<L L L .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=. 综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --. （3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --. 考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -. 【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.。

2024年北京市清华大学附属中学中考三模数学试题

2024年北京市清华大学附属中学中考三模数学试题一、单选题1．根据数据显示，2023年北京市GDP 总量为4.38万亿元，排在全国第13位．将4380000000000用科学记数法表示应为（）A ．130.43810⨯B ．124.3810⨯C ．134.3810⨯D ．1143.810⨯2．下列标志的图形中，是轴对称图形的但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．如图，12∠=∠，50D ∠=︒，则B ∠的度数为（）A ．50︒B ．40︒C ．100︒D ．130︒4．数轴上的两点所表示的数分别为a ，b ，且满足·0,0a b a b >+<，下列结论正确的是（） A ．0,0a b >> B ．0,0a b << C ．0,0a b >< D ．0,0a b <>5．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．4k ≥B ．4k >C ．4k <且0k ≠D ．4k <6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为( ) A ．4B ．5C ．6D ．77．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．348．某函数的图象如图所示，当0x a ≤≤时，在该函数图象上可找到n 个不同的点()11,x y ，()22,x y ，……，(),nnx y ，使得1212n ny y y xx x ===L ，则n 的取值不可能为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题9x 的取值范围是． 10．点()11,A x y ，()22,B x y 是反比例函数2y x=的图象上的两点，如果120x x <<，那么1y 2y （填“>”，“=”，“<”）11．分解因式：2242mn mn m -+=． 12．方程323x x =-的解为． 13．某地区青少年、成年人和老年人的人数比约为3∶5∶2，现从中抽取一个样本容量为1000的样本，调查了解他们对新闻、体育、动画三类节目的喜爱情况．老年人应抽取人． 14．如图，在平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，FG ED ∥，:2:34DE EA EF ==，，求线段CG =．15．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠BOC ＝50°，AD ∥OC ，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，CD ，那么∠ACD ＝．16．某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要分钟．三、解答题17．计算：011(2024)()2cos 452π--+︒． 18．解不等式组：221352xx x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19．先化简：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，再从3-，1，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．20．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 为BC 中点，过点,A C 分别作,BC AD 的平行线，相交于点E ．(1)求证：四边形ADCE 为矩形；(2)连接,BE DE ，若4tan ,33CBE CD ∠==，求AB 的长．21．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A 、B 两条不同的粽子生产线，原计划A 生产线每小时加工粽子400个，B 生产线每小时加工粽子500个．（1）若生产线A ，B 一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B 生产线至少加工多少小时？（2）原计划A ，B 生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A 生产线每小时比原计划少生产100a 个（a>0），B 生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A 生产线每天比原计划多工作2a 小时，B 生产线每天比原计划多工作a 小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a 的值．22．在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象平行于直线2y x =-，且经过点()1，2A ．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当1x <时，对于x 的每一个值，一次函数()0y kx b k =+≠的值都大于一次函数1y mx =+的值，直接写出m 的取值范围．23．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息：.30a 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如图：.30b 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4050x ≤<，5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）：.c 测试成绩在7080x ≤<这一组的是：7073747475757778．.d 小明的冬奥知识测试成绩为85分．根据以上信息，回答下列问题：(1)小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第______； (2)抽取的30名同学的成绩的中位数为______；(3)序号为110-的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记21s ；序号为1120-的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为22s ，序号为2130-的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为23s ，则21s ，22s ，23s 的大小关系是______；(4)成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人．24．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 为边AC 上的点，以AD 为直径作O e 交AB 于点F ，连接BD 并延长交O e 于点E ，连接CE ，CE BC =．e的切线；(1)求证：CE是O(2)若2BC=，求AF的长．CD=，425．如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米，为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T，设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y干米，以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小，则物流基地T 应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：__________．②如右图，有四个城镇M 、N 、P 、Q 分别位于国道A C D E B ----两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S ，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小，则物流基地T 应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：__________．26．在平面直角坐标系xOy 中，()()1122,,,M x y N x y 为抛物线2()2(0)y a x t a =-+≠上任意两点，其中12x x <．(1)若1t =且12y y =，求12x x +的值．(2)已知1a =且0t >，若对于122t x x t <<<，都有212y y <，求t 的取值范围．27．如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，90A ∠=︒，45C ∠=︒，作135CDE ∠=︒，使得点E 和点A 在直线CD 异侧，连接AC ，将射线AC 绕点A 逆时针旋转90°交射线DE 于点F ．(1)①依题意，补全图形； ②证明：DF BC =．(2)连接BD ，若G 为线段BD 的中点，连接CG ，请用等式表示线段CG 与AF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:≡+l y kx b ，给出如下定义：若直线l 与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l 关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，O e 的半径为1，当1,1k b ==时，直接写出直线l 关于O e 的“圆截距”； (2)点M 的坐标为(1,0)，①如图2，若M e 的半径为1，当1b =时，直线l 关于M e 的“圆截距”k 的取值范围；②如图3，若M e 的半径为2，当k 的取值在实数范围内变化时，直线l 关于M e 的“圆截距”的最小值为2，直接写出b 的值．。

北京市清华附中高考数学三模试卷(文科)

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故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：i=1，S＞1000 否，i=2，S=2+1=3， i=2，S＞1000 否，i=3，S=6+1=7， i=3，S＞1000 否，i=4，S=14+1=15， i=4，S＞1000 否，i=5，S=30+1=31， i=5，S＞1000 否，i=6，S=62+1=63， i=6，S＞1000 否，i=7，S=126+1=127， i=7，S＞1000 否，i=8，S=254+1=255， i=8，S＞1000 否，i=9，S=510+1=511， i=9，S＞1000 否，i=10，S=1022+1=1023， i=10，S＞1000 是，输出 i=10，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
11. 设 θ 为第二象限角，若 tan（θ+ ）= ，则 sinθ+cosθ=______．
12. 已知，为单位向量且夹角为，设
，
，则在方向上的投影为
________． 13. 《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛
每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种．（用数字作答）．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， ∴2c=a

2020年3月北京市高三质量检测数学试卷(word版)含参考答案

2020年3月北京市高三质量检测数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （） A ．(2,1)- B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞2．已知复数3i1iz -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 4．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（） A ．28B ．21C ．14D ．75．设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（）AB ．C ．D ．2+6．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A ．23B ．43C ．2D ．47．若点5π5π(cos,sin )66M 在角α的终边上，则tan2α=（） A 3B ．3C 3D ．38．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列函数中，同时满足：①图像关于y 轴对称；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-的是（） A ．()1f x x -=B ．()2log f x x =C ．()cos f x x =D ．()12x f x +=10．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.92 1.96 1.78 1.76 1.74 1.72 1.80 1.82 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63a75 60 63 72 701a -b 65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()()1,3,2,1==m n ，则向量m 与n 的夹角为．12．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为． 13．在ABC △中，2,33A a c π∠==，则bc = ．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点()()()11,1,2,,2,1,4,22⎛⎫⎪⎝⎭中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥．其中，所有正确结论的序号是．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）求二面角E AD B --的大小；在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列，，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．已知函数()ln f x x a x =-(0)a >．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数；（3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值．21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．2020年3月北京市质量检测数学试卷参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{}{}{}2102A B x x x x x x =-<<>=>-U U ，故选D ． 2．【答案】D【解析】由题意，复数()()()()313241211i i i ii i i 2i 1z ----====-++-，∴复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限，故选D ． 3．【答案】B【解析】∵双曲线C 方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，∴双曲线的渐近线方程为b y x a =±，又∵双曲线离心率为2，2c a ∴=，可得b ==，因此，双曲线的渐近线方程为y =，故选B ． 4．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=，则74714S a ==，故选C ． 5．【答案】C【解析】∵22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =10x y --=的距离为22112(1)1221(1)d -⨯+⨯--==+-，∴点P 到直线10x y --=距离的最大值为32d r +=，故选C ．6．【答案】A【解析】如图所示，借助正方体得直观图为三棱锥P ABC -，∴三棱锥P ABC -的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=△，故选A ．7．【答案】D【解析】5π5π(cos ,sin )66M 即为312M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2333tan tan 231313αα=-∴==-D ． 8．【答案】C【解析】由已知1012112+>S S S ，12111110S S S S ∴->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >，故选C ． 9．【答案】B【解析】由题知：①图像关于y 轴对称，则()f x 为偶函数； ②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-，()f x 在(0,)+∞为增函数．A 选项：()1f x x -=，()f x 为奇函数，故A 错误；B 选项：()2log f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数，故B 正确；C 选项：()cos f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞有增有减，故C 错误；D 选项：()12x f x +=，()f x 为非奇非偶函数，故D 错误．综上选B ．10．【答案】B【解析】首先立定跳远的是前8位同学进入决赛，若59a≤，则2号、8号不进入决赛，1、3、4、5、6、7号同学进入跳绳决赛，正好6人，因此2号不一定进入跳绳决赛；5号如果不进入跳绳决赛，则1、4、5号都不进入跳绳决赛，与立定跳远同进入决赛的只有5人，不合题意，5号一定进入跳绳决赛；8号进入决赛，则2号也进入决赛，这时1、4、5号都不进入跳绳决赛，不合题意；9号成绩不知是多少，不清楚是否进入决赛；只有5号可肯定进入跳绳决赛，故选B．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．【答案】4π【解析】由两个向量夹角公式得cos2θ⋅===⋅nnmm，因为[]0,,4θθπ∈π=Q．12．【答案】24【解析】由二项式412xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rrT C x C xx---+==，令420r-=，解得2r=，即展开式中的常数项为422443242421C-⨯=⨯=⨯，故答案为24．13．【答案】1【解析】由正弦定理知2sisinsin12sin,,,, 1.2n3666A aCbC B ccC bcπππππ∴==∴=π--=∴=∴=∴===,14．【答案】28x y=或2y x=【解析】分两种情形：①若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的标准方程为：2x my=，不难验证两点()12,,4,22⎛⎫⎪⎝⎭适合，故28x y=；②若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的标准方程为：2y nx=，不难验证()()1,1,4,2适合，故2y x=．故答案为：28x y=或2y x=．15．【答案】①②③【解析】在曲线C上任取一点(),P x y，则44221x y mx y++=，将点()1,P x y--代入曲线C的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确；当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，∴22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，∴2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾．∴假设不成立，∴1x ≥或1y ≥，命题③正确．故答案为：①②③．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）求二面角E AD B --的大小；【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】试题分析：（1）先根据条件证BC ⊥平面PCD ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴可以证得平面PBC ⊥平面PCD ；（2）根据条件得,,DA DC DP 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，求出平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r ，设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r，求出法向量(0,1,1)n =-r ，根据公式求出两个法向量的余弦值，即可得出二面角E AD B --的大小；（3）依题意可证AD ⊥平面PCD ，则平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =u u u r ，又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，则AE u u u r 与DA u u ur 不垂直，证得AE 与平面PCD不平行．试题解析：（1）证明：∵ABCD 是正方形BC CD ∴⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥． ∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，∴,PD AD PD CD ⊥⊥．又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥，∴,,DA DC DP 两两垂直，∴以D 为原点如图建系，设1PD AB ==，∴0,0,0D （），(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r．设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r ，则DA n ⊥u u u r r ，DE n ⊥u u u r r ，∴0,1110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u r ru u u r r ，令1z =，得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =-r ，∴2cos ,2||||12DP n DP n DP n ⋅<>===⋅⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，∴二面角E AD B --的大小为45︒．17．（本小题14分）在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列，，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】试题分析：先由已知条件结合所选条件求出数列{}n b 与数列{}n a 的通项公式，再结合题设要求求解即可得解．试题解析：方案①，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，4427a b ==，∴5428d a a =-=-，1273(28)111a ∴=-⨯-=，∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k kS S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<．方案②，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，25252,283a b a b +=∴=-=，∴522852a a d -==--，1273(28)111a ∴=-⨯-=， ∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<．方案③，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，624S =-，即1141,656242a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1111,28a d =⎧⎨=-⎩，∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，()45E X =；（3）2212S S > 【解析】试题分析：（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案；（2）X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案；（3）根据数据的波动性得到答案．试题解析：（1）根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故62155p == ．（2）X 的可能取值为0,1,2，则()33905525P ξ==⨯=；()12321215525P C ξ==⨯=；()22425525P ξ==⨯=．分布列为：()012252525255E X =⨯+⨯+⨯==．（3）根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故2212S S >．19．（本小题15分）已知函数()ln f x x a x =-(0)a >．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数；（3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集．【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a ；（2）()g x 在(0,)+∞上只有一个零点（3）证明见解析；（3）空集．【解析】试题分析：（1）求导得到()1a x af x x x-'=-=，计算得到答案．（2）求导得到()(1)()x a x g x x--'=，分类讨论1a >，1a =和01a <<三种情况得到答案．（3）原题等价于1()ln 10h x x x x =+-->恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值1)02h >得到证明．试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．()1a x af x x x-'=-=．令()0f x '=，得x a =．当x a >时，有()0f x '>，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增．当0x a <<时，有()0f x '<，∴()f x 在(0,)a 上单调递减．综上所述：()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a（2）函数21()ln 2g x x ax x a x =--+，()(1)()x a x g x x --'=．令()(1)()0x a x g x x --'==，解得12,1x a x ==， 1(1)--02g a =<，,()x g x →+∞→+∞，当1a >时，()g x 在(1,)a 上递减，有(1)()g g a >．∴()0g a <，∴()g x 有一个零点；当1a =时，()g x 在(0,)+∞上递增，∴()g x 有一个零点；当01a <<时，()g x 在(0,)a 上递增，在(,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增．此时21()ln 02g a a a a a =--+<，∴()g x 有一个零点．综上所述：()g x 在(0,)+∞上只有一个零点．（3）当1a =时，不等式1()x f x x -≤解集为空集，等价于1()x f x x->在定义域内恒成立，即1()0x f x x-->在定义域内恒成立．令11()()ln 1x h x f x x x x x-=-=+--． 222111()1x x h x x x x --'=--=，令()0h x '=，得x = 列表得11()1ln 22h =-∵12e <，∴1ln 12<．11 >，∴0h>，∴1()()0xh x f xx-=->恒成立．∴不等式1()xf xx-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y-=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS 分别交直线4x=于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值．【答案】（Ⅰ）22143x y+=；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出,,a b c后可得椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，计算可得A B，两点的纵坐标之积为9-．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x≠,,,,，则212121212()142()4A Bx x x xy y kx x x x-++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理化简A By y后可得定值．试题解析：（Ⅰ）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切，∴半径b等于原点到直线的距离d，b d==b=由离心率12e=，可知12ca=，且222a b c=+，得2a=，故椭圆C的方程为22143x y+=．（Ⅱ）由椭圆C的方程可知(20)S,．若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x=，∴331122P Q⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,．则直线PS的方程为3260x y+-=，直线QS的方程为3260x y--=．令4x=，得(43)A,-，(43)B,，∴,A B两点的纵坐标之积为9-．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，由22(1)34120y k xx y=-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k+-+-=，依题意0∆≥恒成立．设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,．设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点共线可知11422A y yx =--， ∴点A 的纵坐标为1122A y y x =-．同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-．∴12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k-=⨯9=- 综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值． 21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =．5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．试题解析：（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1．（Ⅱ）=i j i j m m x x --．理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论：当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时，根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L ， ∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --．当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --．综上有：=i j i j m m x x --．（Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，∴()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L ．下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++．证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥， ∴()()()221n k p kq n p q +-+≥++．因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L ．当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意，∴121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +．。

北京市北大附中2020届高三阶段性检测(三模)数学试题(含答案)

x
y
z0 0
令 x 1，得 y 1, z 1．所以 n = (1,1,1) ．
………………………11 分
P B
A
y C
Dx
所以 cos n, BE n BE | n || BE |
1 2 1 ． ………………………13 分 3 3 3 4
所以直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值为 1 ． ………………………14 分
AB 边上的高 h a sin B 7 3 21 3 3 ………………………………14 分 14 2
解：选择② ………………………………………………………………2 分
在△ABC 中，由 c b 2 ，得 c b 2 ，………………………………3 分
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，……………………………5 分
由题意可得： B(0,1, 0) ， D(1, 0, 0) ， C(1,1, 0) ， P(0, 0,1) , E(1 , 1 , 1 )． 222
所以 DP (1,0,1) ，BD (1, 1,0) ，
………………………9 分
设平面 PBD的一个法向量 n (x, y, z) ，
z
则
即
x
解：选择① ……………………………………………………………………2 分
写法二：
在△ABC 中， sin C 21 3 72
………………………………………3 分
C （0，）或 C （2 ,） ………………………………………………5 分
3
3
因为 A ,所以 C （0，） …………………………………………6 分
19．（本小题共 14 分）
已知椭圆 C

北京市海淀区达标名校2020年高考三月数学模拟试卷含解析

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；
③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“ 与有关系”的把握程度越小，故③为假命题．
故选：．
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．
3．C
【解析】
试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．
4．A
【解析】
【分析】
根据题意得到，化简得到，得到答案.
【详解】
根据题意知：焦点到渐近线的距离为，
解：设，
则，
即为增函数，
又，，，，
即，
所以，
所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
2．C
【解析】
【分析】
根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．
【详解】
①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
11．A
【解析】
【分析】
用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．
【详解】
解：由集合，解得，
则
故选：．

北京市清华附中高考数学三模试卷(理科)解析版

高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.已知m，n∈R，i是虚数单位，若（1+mi）（1-i）=n，则|m+ni|的值为（）A. 1B.C.D.4.已知⊥，||=，||=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且=+，当t变化时，的最大值等于（）A. -2B. 0C. 2D. 45.数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2018=（）A. B. C. D.6.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A. 522B. 324C. 535D. 5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 108. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足，若函数F （x ）=f （x ）-m 有6个零点，则实数m 的取值范围是（）A. B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知直线l 1：x -y +1=0与l 2：x +ay +3=0平行，则a =______，l 1与l 2之间的距离为______ 10. 已知函数f （x ）=（x +t ）（x -t 2）是偶函数，则t =______11. 著名的“3n +1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3n +1猜想，则输出的n 为______12. 某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A ，B ，C ，D ，E 五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：A 团队说：C 第一，B 第二； B 团队说：A 第三，D 第四；C 团队说：E 第四，D 第五； D 团队说：B 第三，C 第五；E 团队说：A 第一，E 第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是______团队．13. 已知平面内两个定点M （3，0）和点N （-3，0），P 是动点，且直线PM ，PN 的斜率乘积为常数a （a ≠0），设点P 的轨迹为C ．①存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离之和为定值； ②存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值； ③不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离差的绝对值为定值．其中正确的命题是______．（填出所有正确命题的序号）14. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC =90°，∠DCA =2∠BAC ，若=x +y （x ，y ∈R ），则x -y 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求sin（2B+A）的值．16.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，，E、F分别为BC、BB1的中点，点D为线段AB上一点，（1）求证：AC1∥平面DEF；（2）若AC1⊥EF，求二面角F-DE-B的余弦值．17.某工厂生产A、B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm的为正品，小于80cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95] A零件8 12 40 30 10B零件9 16 40 28 7（Ⅰ）试分别估计A、B两种零件为正品的概率；（Ⅱ）生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（Ⅰ）的条件下：（i）设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；（ii）求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．18.已知函数f（x）=ln x-，a∈R．（Ⅰ）当a=1，函数y=f（x）图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数．19.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．20.对于给定的奇数m，（m≥3），设A是由m×m个数组成的m行m列的数表，数表中第i行，第j列的数a ij∈{0，1}，记c（i）为A的第i行所有数之和，r（j）为A的第j列所有数之和，其中i，j∈{1，2，…，m}．对于i，j∈{1，2，…，m}，若且同时成立，则称数对（i，j）为数表A的一个“好位置”（Ⅰ）直接写出所给的3×3数表A的所有的“好位置”；（Ⅱ）当m=5时，若对任意的1≤i≤5都有c（i）≥3成立，求数表A中的“好位置”个数的最小值；（Ⅲ）求证：数表A中的“好位置”个数的最小值为2m-2．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合相等、指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．根据指数函数与对数函数的性质，解出两集合，列方程求出a的值．解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件，列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线x2-ty2=3t的标准方程为：，∴a2=3t，b2=3，∴c2=3t+3=9，解得t=2，所以双曲线的离心率为：e===．故选：B．3.【答案】D【解析】解：由（1+mi）（1-i）=（1+m）+（m-1）i=n，得，即m=1，n=2．∴|m+ni|=|1+2i|=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得m，n的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，∵⊥，||=，||=t，∴B（，0），C（0，t），∵P点是△ABC所在平面内一点，且=+，∴=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），∴=（，-1），=（-1，t-1），∴=-+1-t+1=2-（），∵=2，∴的最大值等于0，当且仅当t=，即t=1时，取等号．故选：B．以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，推导出B（，0），C（0，t），P（1，1），从而=（，-1），=（-1，t-1），由此能求出的最大值．本题考查向量的数量积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．5.【答案】A【解析】解：∵a n+1=，a1=∈[，1），∴a2=2a1-1=∈[0，），∴a3=2a2=2×=∈[0，），∴a4=2a3=∈[，1），∴a5=2a4-1==a1，∴数列{a n}是以4为周期的数列，又2018=504×4+2，∴a2018=a2=．故选：A．由a n+1=，a1=∈[，1），可依次求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律，继而可得a2018的值．本题考查数列的递推式，由数列{a n}满足的关系式a n+1=，a1=可求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律是解决问题的关键，考查推理与运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D．根据随机抽样的定义进行判断即可．本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，设这堆货物总价是S n=1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n-1，①，由①×可得S n=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②，由①-②可得S n=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n=-n•（）n=10-（10+n）•（）n，∴S n=100-10（10+n）•（）n，∵这堆货物总价是万元，∴n=10，故选：D．由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，根据错位相减法求和即可求出．本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x＞0时，函数F（x）=f （x）-m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）=f（x）-m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，且0不是函数F（x）=f（x）-m的零点，即当x＞0时，f（x）=m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）=x2-=（x-）2-，当x≥1时，f（x）=，则f′（x）==当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x=2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）=，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y=m与y=f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选C．9.【答案】-1【解析】解：直线l1：x-y+1=0与l2：x+ay+3=0平行，则1•a-（-1）•1=0，解得a=-1，直线l2：x-y+3=0；则l1与l2之间的距离为d==．故答案为：-1，．根据直线l1与l2平行求得a的值，再计算两平行直线l1与l2之间的距离．本题考查了平行线的定义与距离的计算问题，是基础题．10.【答案】0或1【解析】解：根据题意，函数f（x）=（x+t）（x-t2）=x2+（t-t2）x-t3，为二次函数，其对称轴为x=，若函数f（x）=（x+t）（x-t2）是偶函数，则=0，解可得t=0或1；故答案为：0或1．根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2+（t-t2）x-t3，分析其对称轴，结合二次函数的性质可得=0，解可得t的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．11.【答案】6【解析】解：a=10是偶数，a=5，n=1，a＞1否，a=5，a=5是奇数，a=16，n=2，a＞1．a=16是偶数，a=8，n=3，a=8是偶数，a=4，n=4，a＞1，a=4是偶数，a=2，n=5，a＞1，a=2是偶数，a=1，n=6，a＞1不成立，输出n=6，故答案为：6．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．12.【答案】D【解析】解：由实际上每个名次都有人猜对，①若A第一，则D第四，与E第四矛盾，故此情况不符题意，②若B第一，则C第五，E第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，③若C第一，则B第三，D第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，故答案为：D．按照①若A第一；②若B第一；③若C第一，三种情况进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．13.【答案】②④【解析】解：设P（x，y）由=a，得y2=a（x2-9），若a=-1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；若-1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除A B点）-9a＜9，c==4，∴a=，不符合；a＜-1，-9a＞9，c==4，∴a=-，符合，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；若a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．c==4，a=，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2-9），再分类讨论，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】-1【解析】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设∠BAC=α，则∠ACD=2α，∠ACB=90°-α，∴∠DCM=180°-2α-（90°-α）=90°-α．∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴，∵=x+y，∴x==k，y===k+1，∴x-y=-1．故答案为：-1．过D作DM⊥BC，则Rt△ABC∽Rt△DMC，利用相似比表示出x，y即可得出结论．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，．化简得，b2+c2-a2=bc．由余弦定理得，．又0＜A＜π，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又a=3，，∴sin B==．又b＜a，,∴cos B==．∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=1-2sin2B=-，∴sin（2B+A）=sin（2B+）=sin2B cos+cos2B sin=．【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理cos A的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sin B，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．16.【答案】（1）证明：取AB的中点O，A1B1的中点M，连接OC，OM，∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴OC⊥AB，OM⊥平面ABC，以O为原点，以OA，OC，OM为坐标轴建立空间坐标系如图所示，∵，∴D是OB的中点，又E是BC的中点，∴DE∥OC，DE=OC．设等边三角形ABC的边长为a，则D（-，0，0），E（-，a，0），F（-，0，），A（，0，0），C1（0，，2），取EF的中点N，则N（-，a，），∴=（-，a，），=（-，a，2）．∴=4，∴∥，∴AC1∥DN，又AC1⊄平面DEF，DN⊂平面DEF，∴AC1∥平面DEF．（2）解：=（-，-a，），∵AC1⊥EF，∴=0，即-+4=0，解得a=4，∴BD=1．∵OC∥DE，OC⊥平面AA1B1B，∴DE⊥平面AA1B1B，∴DE⊥DB，DE⊥DF，∴∠BDF为二面角F-DE-B的平面角，∵BD=1，BF=，∴DF=，∴cos∠BDF==，即二面角F-DE-B的余弦值为．【解析】（1）建立坐标系，取EF的中点N，利用向量证明DN∥AC1得出结论；（2）根据AC1⊥EF得出底面边长，证明DE⊥平面AA1B1B得出∠BDF为二面角F-DE-B 的平面角，在Rt△BDF中计算cos∠BDF．本题考查线面平行的判定，二面角的计算，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为=0.8，元件B为正品的概率约为=0.75；（Ⅱ）（ⅰ）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次；∴随机变量X的所有取值为110，50，35，-25；∵P（X=110）=0.8×0.75=0.6，P（X=50）=（1-0.8）×0.75=0.15，P（X=35）=0.8×（1-0.75）=0.2，P（X=-25）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05；计算数学期望为0.05=78.25；（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．依题意得60n-15（5-n）≥160，解得n≥3，所以取n=4或n=5；设“生产5件元件B所获得的利润不少于160元”为事件A，则P（A）=•0.754•0.25+•0.755=0.638125≈0.64．【解析】（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率公式计算即可；（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率公式及数学期望的定义计算即可；（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于160元的正品数，再利用二项分布列公式计算即可．本题考查了古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式问题，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，f′（x）===≥0．∴当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）由f（x）=ln x-，得f′（x）==，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（x）=ln x-=ln x-2+，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当a＞0时，f′（x）=．令g（x）=x2+（2a2-4a）x+a4．当a≥1时，△=16a2（1-a）≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当0＜a＜1时，由g（x）的对称轴方程为x=2a-a2＞0，由g（x）=0，解得＞0，＞0．可知g（x）在（0，）∪（，+∞）上大于0，在（，）上小于0，∴f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上单调递减，∴，而=＜0，∴存在，，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．故函数y=f（x）的零点个数为3．综上，当a≤0或a≥1时函数y=f（x）的零点个数为1个，当0＜a＜1时，有3个．【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，求其导函数，由f′（x）≥0，可知当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）求出原函数的导函数然后对a分类分析原函数的单调性，结合函数零点的判定定理得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.【答案】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x 的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．y1+y2=8m，y1y2=-16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m（x-2）联立得（1+4m2）x2-16m2x+16m2-4=0，x C+2=，⇒x C=．∴|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．【解析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．|AB|=，同理得|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）“好位置”有：（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）．（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．5×5此数表的“好位置”的个数恰好为9，综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9．（Ⅲ）证明：当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，则数表A可以分成如下四个子表：其中A1是p行q列，A3是p行m-q列，A2是m-p行q列，A4是m-p行m-q列，设A1，A2，A3，A4中1的个数分别为x1，x2，x3，x4，则A1，A2，A3，A4中0的个数分别为pq-x1，q（m-p）-x2，p（m-q）-x3，（m-p）（m-q）-x4，则数表A中好位置的个数为x1+（m-p）（m-q）-x4个，而，x3+x4，所以，所以x1+（m-p）（m-q）-x4，而（m-p）（m-q）+p×==p×=（p-）（q-）-=（p-）（q-），显然当（p-）（q-）取得最小值时，上式取得最小值，因为0≤p，q≤m，所以（p-）（q-），（p-）（q-）+，当p=m时，数表A中至少含有个1，而，所以q至少为2，此时（p-）（q-）=2m-1．当p=m-1时，数表A中至少含有（m-1）×个1，而（m-1）×，所以q至少为1，此时（p-）（q-）≥[（m-1）-]（1-）=2m-2，下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为2m-2．【解析】（Ⅰ）按定义直接写出即可；（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．继而列表得解；（Ⅲ）当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c （i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，继而再分成子列表讨论得解．本题考查数列的递推公式，涉及的知识比较多，属于选做题，难度大．。

北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)

2
温约为______________ C, ______________
.
【答案】 (1). 5 【解析】
π
(2).
6
由题意，得当 x 5 11 8 时， sin( π 8 ) 1 ，又因为 0 π ，所以
2
6
2
π 4π 11π ，即 4π 3π ， π ，即 y a b sin( π x π ) ，则
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯
A. 1 盏
B. 3 盏
C. 5 盏
D. 9 盏
【答案】B
【解析】
【详解】设塔顶的 a1 盏灯，由题意{an}是公比为 2 的等比数列，
3
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∴S7= a1 1 27 =381，
1 2
解得 a1=3．
故选：B．
7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其
求出结果。
3.已知函数 y xa , y logb x 的图像如图所示,则
1
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A. b 1 a
B. b a 1
C. a 1 b
D.
a b 1
【答案】A
【解析】
由图象，得 y logb x 在 (0, ) 上单调递增，即 b 1， y xa 在 [0, ) 上单调递增，且增加得越来越慢，即 0 a 1，则 b 1 a .故选 A.
5 分，此时成立．综上 C 正确．
对于 D，由于 7 大于 6，故人数不是最少．所以 D 不正确．
故选 C．
点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要

2020北京清华附中高三(下)第三次统练数学含答案

2020北京清华附中高三（下）第三次统练数学一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T Ç=（）A.∅B.1{|}2x x <- C.5{|}3x x > D.15{|}23x x -<<3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B. C. D.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（）A.2B.3C.4D.56.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.1,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦B.(],0-∞ C.10,3⎛⎤⎥⎝⎦ D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为()A. B.C. D.8.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A.向左平移12π个单位 B.向右平移4π个单位C.向左平移4π个单位 D.向右平移34π个单位9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（）A.a b c<< B.a c b << C.c a b << D.c b a<<10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+ ，()2,3b x =- ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，BC DC ==MN 是ABD ∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地ABCDE批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F 是边长为的正方形，过()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件：①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ；（2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.2020北京清华附中高三（下）第三次统练数学参考答案一、选择题（共10小题；共40分）1.【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.2.【答案】D 【解析】【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3.【答案】A 【解析】【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.4.【答案】C 【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.6.【答案】D 【解析】【分析】就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a >⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7.【答案】C 【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知故选C．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．8.【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9.【答案】A 【解析】【分析】先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系.【详解】因为()21x mf x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =，所以()21xf x =-.当0x ≥时，()21xf x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，因为302132m -<<=<，故()()()3232mf f f -<<，所以()2a b f <<.又()()22f f -=，故a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题.10.【答案】C【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、填空题（共5小题；共25分）11.【答案】12【解析】【分析】根据向量共线的坐标形式可求x 的值.【详解】因为//a b r r，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =.故答案为：12.【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.12.【答案】223144x y -=【解析】由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.13.【答案】30-【解析】【分析】令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ，故()1111n a a n a na =+-⨯=.因为26a =-，故13a =-，故1030a =-.故答案为：30-【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题.14.【答案】(1).130.(2).15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元.所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15.【答案】③【解析】【分析】利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =，由余弦定理得2116322a a =+-⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅=，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=，所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解，即满足12BC BA ⋅=的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+，整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故答案为：③.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.三、解答题（共6小题；共85分）16.【答案】①②均能得到6S 最大.【解析】【分析】根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-，故()()111n n n S nS n n --=--.当2n ≥时，111n n S S n n -=--即111n n S S n n --=--，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-⨯-=+-，所以()11n S a n n =+-，故11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，也即是122n a a n=+-故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列.若选①，因为120S >，130S <，故11112a <<，故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.若选②，则2526a a a =，故()()()21118210a a a -=--，解得111a =，故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题.17.【答案】（1）见解析；（2）7.【解析】【分析】（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE .因为ABD ∆是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥.因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥.因为2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ，因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()(1313110,0,0,,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，13,0,22AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()1,0,0MN = .设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取y =，则1z =，所以()m =.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00v u ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，取1w =，则u v ==故)n =，所以27cos ,7m n m n m n⋅==，因为二面角A NP M --的平面角为锐角，故二面角A NP M --的余弦值为277.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.18.【答案】（1）0.6；（2）①5，②分布列见解析，65EX =；（3）21M M >.【解析】【分析】（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.（3）算出12,M M 后可得12M M <.【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=.（2）①200.255n =⨯=.②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()1232353210C C P X C ===，所以X 的分布列为：X12P110353101336012105105EX =⨯+⨯+⨯=.（3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，而2215031602140515541706160311016020202020202020a aa a a a a a M aM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+++++=+++++++，其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比，则21 4.5020M aM a-=>+，故21M M >.【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题.19.【答案】（1）1111y x a a =-++；（2）2a e -=.【解析】【分析】（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ϕ=++，利用导数和零点存在定理可得()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值.【详解】（1）()10f =，又()()()()()221ln ln ln x x a x x x a a xf x x a x a ++-++'==++，故()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1111y x a a =-++.（2）令()ln x x a a x ϕ=++，则()10ax xϕ'=+>，所以()x ϕ为()0,∞+上的增函数.取{}2min ,M a e-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ϕ<+<-<，又()110a ϕ=+>，由零点存在定理有()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点.设该零点为0x ，则当()00,x x ∈，()0x ϕ<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数；当()0,x x ∈+∞，()0x ϕ>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数，所以()()000min 0ln 1x x f x f x x a===-+，又00ln 0x a a x ++=，所以00ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.20.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.【详解】（1）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a =所以椭圆方程为：22184x y +=.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+，由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=，所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+，故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E两点的位置无关.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.21.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -.【解析】【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值.【详解】（1）因为()41T A =，故1234,,,x x x x 只有一个逆序对，则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况：①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<< ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个.②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<< .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=.综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --.21/21（3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --.考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -.【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.点我，下载更多2020三模word 试卷。

2024北京清华附中高三(上)统练三数学

统练3一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{11}A x x =−<<，{02}B x x =≤≤，则A B =（A ）{12}x x −<<（C ）{01}x x <≤ （D ）{02}x x ≤≤（2）若复数z 满足(1i)2z −⋅=，则z =（A ）1i −−（B ）1i −+ （C ）1i − （D ）1i + （3）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（A ）||a b > （B ）||a b >（C ）2a ab > （D ）2ab b > （4）已知13212112log log 33a b c −===，，，则( ) （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>（5）已知函数22()log 21f x x x x =−+−，则不等式()0f x >的解集为(A) (1,4)(B) (0,1)(4,)+∞ (C) (1,2) (D) (0,1)(2,)+∞（6）若P 是△ABC 内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（B ）12 （C ）1 （D ）2（7）无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则“n S 有最大值”是“0d <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象.若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（A ）π12（C ）π4 （D ）π3（9）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈）（A ）9（B ）10 （C ）11 （D ）12（10）若函数()0,0,22>≤⎩⎨⎧−=x x x ax xe x f x 的值域为1[,)e−+∞，则实数a 的取值范围是（）（A ）(0, e) （B ）(e, )+∞ （C ）(0, e] （D ）[e, )+∞二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.（11 ）已知tan()24θπ−=，则tan θ= ______−3（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x = 对称，若3sin 5α=, 则cos β=_______．35（13）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()+⋅=a b c ___0____；⋅=a b ___3____． 1第次操作2第次操作3第次操作（14）若函数()sin(+)(0)6f x x ωωπ=>和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____2_____；()6g π=_____±1_______．（15）已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和是n S ，1a a =，且1n n n S a a +=（1,2,n =）. 给出如下结论： ①21a =；②{}n a 为递增数列；③若*n ∀∈N ，1n n a a +>，则a 的取值范围是(0,1)；④*m ∃∈N ，使得当k m >时，总有102211e k k a a −−<+. 其中，所有正确结论的序号是．①③④三、解答题共6道小题，共85分。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上第三次联考数学试卷理科

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷（上）第三次联考数学试卷理科创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卷的相应位置．1．集合M={y|y=lg（x2+1）}，N={x|4x＜4}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．[0，1）C．（1，+∞） D．（0，1]2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为，则tanθ的值为（）A．B．±1 C．D．4．若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]5．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式为（）A．B．C．D．6．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则=（）A．27 B．3 C．﹣1或3 D．1或277．在△ABC中，“ =0”是“△ABC是直角三角形”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}各项都是正数，且a1=b1，a11=b11那么一定有（）A．a6≥b6B．a6≤b6C．a12≥b12D．a12≤b129．定义在区间[a，b]（b＞a）上的函数的值域是，则b﹣a 的最大值M和最小值m分别是（）A．B．C．D．10．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．11．如图，，，，，若m=，那么n=（）A．B．C．D．12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D 内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤B．≤k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷的相应位置．13．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a的值为．14．已知函数则=．15．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为．16．函数f（x）=a x﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题，本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos （A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．19．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜）．（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．20．设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．21．设函数f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．（1）求a的值；（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1＜x＜2时，试比较与大小．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．选修4-4：坐标系与参数方程．23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．选修4-5；不等式选讲．24．函数．（1）a=5，函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩C R A）时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卷的相应位置．1．集合M={y|y=lg（x2+1）}，N={x|4x＜4}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．[0，1）C．（1，+∞） D．（0，1]【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中函数的值域确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：∵x2+1≥1，∴y=lg（x2+1）≥0，即M=[0，+∞），由N中的不等式变形得：4x＜41，即x＜1，∴N=（﹣∞，1），则M∩N=[0，1）．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为，则tanθ的值为（）A．B．±1 C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．【解答】解：角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为x=，则它的纵坐标为y=±，故tanθ==±，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时z min=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．【点评】本题主要考查线性规划以及向量数量积的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．5．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】由已知中函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，我们根据倍角公式及辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法则，结合已知中将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，即可求出函数y=g（x）的解析式．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，∴f（x）=sin2x+cos2x=将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，可以得到y=的图象再将所得图象向右平移个单位，得到函数y==故函数y=g（x）的解析式为故选D【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握y=Asin（ωx+φ）的图象变换中振幅变换、平移变换及周期变换的法则及方法是解答本题的关键．6．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则=（）A．27 B．3 C．﹣1或3 D．1或27【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得公比q的方程，解得方程可得q，可得=q3，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得a3=3a1+2a2，∴a1q2=3a1+2a1q，即q2=3+2q解得q=3，或q=﹣1（舍去），∴==q3=27故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，属基础题．7．在△ABC中，“ =0”是“△ABC是直角三角形”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；规律型；转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】通过数量积判断三角形的形状，利用三角形的形状说明数量积是否为0，即可得到充要条件的判断．【解答】解：在△ABC中，“ =0”可知B为直角，则“△ABC是直角三角形”．三角形是直角三角形，不一定B=90°，所以在△ABC中，“ =0”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状与数量积的关系，充要条件的判断，是基础题．8．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}各项都是正数，且a1=b1，a11=b11那么一定有（）A．a6≥b6B．a6≤b6C．a12≥b12D．a12≤b12【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知得a1+a11=b1+b11=2a6，由此利用均值定理能比较a6和b6的大小．【解答】解：∵等差数列{a n}和等比数列{b n}各项都是正数，且a1=b1，a11=b11，∴a1+a11=b1+b11=2a6，则a6==≥=b6，当等号成立时有b1=b11，此时q=1，∴a6≥b6．故选：A．【点评】本题考查等差数列{a n}和等比数列{b n}中两项大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．9．定义在区间[a，b]（b＞a）上的函数的值域是，则b﹣a 的最大值M和最小值m分别是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】利用两角差的正弦化简得，f（x）=sin（），由函数f（x）在上的值域为，不妨设，可得b﹣∈[]，由此可得b﹣a的最大值M和最小值m的值．【解答】解： =sin（），∵x∈[a，b]（b＞a），∴，由函数f（x）在上的值域为，不妨设，则b﹣∈[]，∴b﹣a的最大值M=；最小值m=．故选：D．【点评】本题考查两角差的正弦，考查了三角函数的值是基础题．10．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．11．如图，，，，，若m=，那么n=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知可得， =，根据三点共线的充要条件，可得=1，将m=代入，可得n值．【解答】解：∵，故C为线段AB的中点，故==2，∴=，由，，∴，，∴=，∵M，P，N三点共线，故=1，当m=时，n=，故选：C【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中熟练掌握三点共线的充要条件，是解答的关键．12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D 内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤B．≤k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜1【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；压轴题．【分析】首先应根据条件将问题转化成：在上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x﹣k在上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．【解答】解：方法一：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．∴问题可化为和y=x﹣k在上有两个不同交点．对于临界直线m，应有﹣k≥，即k≤．对于临界直线n，，令=1，得切点P横坐标为0，∴P（0，﹣k），∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴﹣k＜1，即k＞﹣1．综上，﹣1＜k≤．方法二：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．化简方程，得x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0．令g（x）=x2﹣（2k+2）x+k2﹣1，则由根的分布可得，即，解得k＞﹣1．又，∴x≥k，∴k≤．综上，﹣1＜k≤，故选A．【点评】本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷的相应位置．13．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意，可求得g（x）=，依题意，g（﹣1）=g（1）即可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣ax=，∵g（x）=为偶函数，∴g（﹣1）=g（1），即a﹣1=1﹣a﹣1=﹣a，∴2a=1，∴a=．故答案为：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，求得g（x）的解析式后，利用特值法g（﹣1）=g（1）是解决问题的关键，属于中档题．14．已知函数则=．【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出dx=．【解答】解： =，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，∴=．又dx==e2﹣e．∴==好．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．15．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k 的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．【解答】解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．16．函数f（x）=a x﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是1＜a＜．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】x＜0时，必有一个交点，x＞0时，由a x﹣x2=0，可得lna=，构造函数，确定函数的单调性，求出1＜a＜时有两个交点，即可得出结论．【解答】解：x＞0时，由a x﹣x2=0，可得a x=x2，∴xlna=2lnx，∴lna=，令h（x）=，则h′（x）==0，可得x=e，∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减，∴h（x）max=h（e）=，∴lna＜，∴1＜a＜时有两个交点；又x＜0时，必有一个交点，∴1＜a＜时，函数f（x）=a x﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，故答案为：1＜a＜．【点评】本题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题，本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos （A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【考点】余弦定理的应用．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可．（2）由余弦定理以及基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．【点评】本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF 内两相交直线垂直，而AB⊥BF．根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．又PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．由此得AB⊥平面BEF．（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，则=（﹣1，2，0），=（0，1）设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，则∴，取y=1，可得设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═化简得，则．【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．19．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜）．（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】（1）借助三角函数求出△PAE与△PFB的面积，利用基本不等式性质，求出E，F的位置；（2）借助三角函数求出PE+PF，利用导数求出当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．【解答】（1）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，AP=8，则AE=8tanα．所以S△APE=PA×AE=32tanα．…同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，PB=1，则BF=所以S△PBF=PB×BF=．…故△PAE与△PFB的面积之和为32tanα+…32tanα+≥2=8当且仅当32tanα=，即tanα=时取等号，故当AE=1km，BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．…（2）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，则PE=同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，则PF=令f（α）=PE+PF=+，0＜α＜…则f′（α）==f′（α）=0得tanα=所以tanα=，f（α）取得最小值，…此时AE=AP•tanα=8×=4，BF=当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．…【点评】本题考查了学生解三角形的能力，基本不等式的性质和导数的应用，本题对学生的综合应用知识的能力有较高的要求．20．设f k （n ）为关于n 的k （k ∈N ）次多项式．数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和为S n ．对于任意的正整数n ，a n +S n =f k （n ）都成立．（I ）若k=0，求证：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【考点】数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）若k=0，不妨设f 0（n ）=c （c 为常数）．即a n +S n =c ，结合数列中a n 与 S n 关系求出数列{a n }的通项公式后再证明．（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知a n +S n =f k （n ）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．【解答】（Ⅰ）证明：若k=0，则f k （n ）即f 0（n ）为常数，不妨设f 0（n ）=c （c 为常数）．因为a n +S n =f k （n ）恒成立，所以a 1+S 1=c ，c=2a 1=2．而且当n ≥2时，a n +S n =2，①a n ﹣1+S n ﹣1=2，②①﹣②得 2a n ﹣a n ﹣1=0（n ∈N ，n ≥2）．若a n =0，则a n ﹣1=0，…，a 1=0，与已知矛盾，所以a n ≠0（n ∈N *）．故数列{a n }是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．（2）若k=1，设f 1（n ）=bn+c （b ，c 为常数），当n ≥2时，a n +S n =bn+c ，③a n ﹣1+S n ﹣1=b （n ﹣1）+c ，④③﹣④得 2a n ﹣a n ﹣1=b （n ∈N ，n ≥2）．要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有a n =b ﹣d （常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1（n ∈N *），故当k=1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1（n ∈N *），此时f 1（n ）=n+1．（3）若k=2，设f 2（n ）=pn 2+qn+t （a ≠0，a ，b ，c 是常数），当n ≥2时，a n +S n =pn 2+qn+t ，⑤a n ﹣1+S n ﹣1=p （n ﹣1）2+q （n ﹣1）+t ，⑥⑤﹣⑥得 2a n ﹣a n ﹣1=2pn+q ﹣p （n ∈N ，n ≥2），要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有a n =2pn+q ﹣p ﹣d ，且d=2p ，考虑到a 1=1，所以a n =1+（n ﹣1）•2p=2pn ﹣2p+1（n ∈N *）．故当k=2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =2pn ﹣2p+1（n ∈N *），此时f 2（n ）=an 2+（a+1）n+1﹣2a （a 为非零常数）．（4）当k ≥3时，若数列{a n }能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn 是关于n 的二次型函数，则a n +S n 的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a n }能成等差数列．【点评】本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力． 21．设函数f （x ）=（x+1）lnx ﹣a （x ﹣1）在x=e 处的切线与y 轴相交于点（0，2﹣e ）．（1）求a 的值；（2）函数f （x ）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1＜x ＜2时，试比较与大小．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；（2）函数f （x ）不能在x=1处取得极值．求出导数，讨论x ＞1，0＜x ＜1函数的单调性，即可得到结论；（3）当1＜x＜2时，＞﹣．运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，依题设得=f′（e），即e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e，解得a=2；（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值．因为f′（x）=lnx+﹣1，记g（x）=ln x+﹣1，则g′（x）=．①当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；②当0＜x＜1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是减函数，所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函数，所以x=1不是函数f （x）极值点．（3）当1＜x＜2时，＞﹣．证明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）为增函数，所以当x＞1时，f（x）＞f （1）=0．即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以＜．①因为1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，＞1，所以＜=，即﹣＜．②①+②得﹣＜+=．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，同时考查不等式的大小比较，注意运用单调性和不等式的性质是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．【点评】本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．选修4-4：坐标系与参数方程．23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=，故当sin（θ+）=1时，即θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即+=1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d==，故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C2上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．选修4-5；不等式选讲．24．函数．（1）a=5，函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩C R A）时，证明：．【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求出，（2）先两边平方，再利用做差法进行比较即可．【解答】解：（1）由|x+1|+|x+2|﹣5≥0，|x+1|+|x+2|≥5得到得A={x|x≤﹣4或x≥1}，（2）由A={x|x≤﹣4或x≥1}，∴C R A=（﹣4，1），∵B={x|﹣1＜x＜2}，∴B∩C R A=（﹣1，1），又而4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=a2（4﹣b2）+4（b2﹣4）=（b2﹣4）（4﹣a2），∵a，b∈（﹣1，1），∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|∴，【点评】本题考查二绝对值的几何意义，集合的基本运算，以及不等式的证明，属于中档题．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。

2023-1北京海淀清华附中高三3模数学试卷

2023年北京市清华附中高三三模数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}(1)(2)0A x x x =+−>，则C A =R A.(,1)(2,)−∞−+∞B.(,1][2,)−∞−+∞C.(1,2)−D.[1,2]−2. 在复平面内，复数1z 的对应点为(1,1)，复数2z 的对应点与复数1z 的对应点关于y 轴对称，则12z z = A.2B.2−C.2iD.2i −3. 若(2)n x −的展开式中常数项为32，则含3x 项的系数为 A.40−B.10−C.10D.404. 已知函数41()2x x f x +=，则对于任意的x ∈R ，总有A.()()0f x f x −+=B.()()2f x f x −+=C.()()0f x f x −−=D.()()2f x f x −−=5. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和记为n S ，若40S =，242a a +=，则10S = A.80 B.70 C.60 D.506. 向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示. 若λμ=+c a b ，则λμ=A.3−B.4−C.3D.47. 已知双曲线C 的焦点12,F F 在x 轴上，且12||F F =P 是C 上一点，且 12||||||2PF PF −=，则C 的标准方程为A.2217y x −= B.22115y x −= C.22144x y −= D.221412x y −=8. “sin2sin αα=”是“存在k ∈Z ，πk α=”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积. 正方体的棱长均为2r ，r 为球的半径，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π. 后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即318V r V =−牟方盖差，从而计算出34π3V r =球. 记所有棱长都为1的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2的正方体的方盖差为V 方盖差，则V V =方盖差正A.1210. 已知M 为圆222210x y x y +−−+=上一点，N 为圆222210x y x y ++++=上一点，则 ||OM ON +的最大值为A. B.2D.1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

【数学】北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试试卷(文)(解析版)

北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试数学试卷（文）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合()12{|2{|log 0}＞＜=-xx x x a ，则实数a 的值为（） A.12B. 2C.23 D. 1【答案】A【解析】由3222x>=，解得32x >；由()1122log 0log 1x a -<=解得1+>a x ，因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，所以312a +=，解得21=a ．故选A ．2.已知数据n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅是宜昌市),3(*∈≥N n n n 个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变【答案】B【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是上海普通职工n （n ≥3，n ∈N *）个人的年收入，而x n +1为世界首富的年收入则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大故选B3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.12B.C.D.【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a = 所以离心率21==a c e 故选A4.已知函数f （x ）=21111log x x x x≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜，则不等式f （x ）≤1的解集为（）A. (],2-∞B. (],0(1-∞⋃，2] C. []0,2 D. ][(,01,2⎤-∞⋃⎦【答案】D【解析】当x 1≥时，()1f x ≤，即为：2log 1x ≤，解得1≤x ≤2；当1x <时，()1f x ≤，即为：111x≤-，解得x ≤0．综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⋃⎦．故选：D ．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.233π-B.133π- C.81633π- D.8833π- 【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示：则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 6.在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式为（）A. n a n =B. 1n a n =+C. 2)1(-=n n a n D. 2)1(+=n n a n 【答案】D 【解析】令m =1,得11213211,1,2,3,,n n n n n n a a n a a n a a a a a a n ++-=++∴-=+∴-=-=-=，所以(1)1234,12342n n n n a n a n +-=++++∴=+++++=. 故选：D7.若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F，P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值为 ( ) A.212B. 84C. 3D. 21【答案】D【解析】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程2212516x y +=可得：2125a =，15a =由椭圆定义可得：121210PF PF a +== (1)，由双曲线方程22145x y -=可得：224a =，21=a ，由双曲线定义可得：12224PF PF a -==…（2）联立方程（1）（2），解得：127,3PF PF ==，所以123721PF PF ⋅=⨯= 故选：D.8.如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n 片金片总共需要的次数为a n ，可推得a 1=1，a n +1=2a n +1．如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】由程序框图知，i ＝1时，S =1； i ＝2时,S ＝1×2+1＝3； i ＝3时，S ＝3×2+1＝7； i ＝4时，S ＝7×2+1＝15； i ＝5时，S ＝15×2+1＝31； i ＝6时，S ＝31×2+1＝63； i ＝7时，S ＝63×2+1＝127； i ＝8时，S ＝127×2+1＝255； i ＝9时，S ＝255×2+1＝511； i ＝10时,S ＝511×2+1＝1023；程序运行结束，输出的结果是i ＝10．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量()()()12113a b x c ===，，，，，，若()a b c +⊥，则=x ______．【答案】-10【解析】因为()()()12113a b x c ===，，，，，所以(1,3)a b x +=+；又()a b c +⊥；()190a b c x ∴+⋅=++=；10x ∴=-，故答案为10-．10.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为S c b a ,,,为ABC ∆的面积，()sin A C +=222Sb c-，且,,A B C 成等差数列，则C 的大小为______．【答案】6π【解析】在ABC ∆中， ,,A B C 成等差数列，可得2B A C B π=+=-，即3B π=，222sin(A C)S b c +=-，即为22sin sin ac BB b c =-，即有22b c ac =+，由余弦定理可得ac c a B ac c a b -+=-+=22222cos 2，即有2,ac b ==，222222cos 22a b c C ab +-===，由C 为三角形的内角，可得21≥+xx ，故答案为6π．11.设θ第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=______．【答案】5-【解析】因为θ为第二象限角，1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， tan 11tan 41tan 2πθθθ+⎛⎫∴+== ⎪-⎝⎭，1tan 3θ∴=-，而22222cos 1cos sin cos 1tan θθθθθ==++， θ为第二象限角，cos sin 1010θθ∴==-==，则sin cos 10105θθ+=-=-，故答案为. 12.已知1e ，2e 为单位向量且夹角为23π，设1232a e e =+，23b e =，则a 在b 方向上的投影为____【答案】12【解析】()12223cos 32391cos632a b a b e e e πθ⋅==+⋅=⋅⋅+=，即3cos 2a b θ=，又3b = 所以1cos 2a θ=13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】144【解析】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共14C =4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共524524A A A -⋅=72（种）排法，第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以22A =2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．14.直线y =x +1是曲线f （x ）=x +1alnx x-（a ∈R ）切线，则a 的值是______．【答案】1-【解析】设切点的横坐标为0x ，()20221111'11a x ax f x x a x x x a x --=--==⇒=-⇒-=，则有：()00000001110f x x alnx x lnx x x =+-=+⇒-+=，令()()11'101h x lnx x h x x x=-+⇒=-=⇒=，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，又因为()10h =，所以011x a =⇒=-；故答案为：1-．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15.在△ABC 中，3sinA =2sinB，tanC =（1）求cos 2C ；（2）若AC -BC =1，求△ABC 的周长．解：（1）∵tanC =1cosC 6=， ∴2117cos2C 21618⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. （2）设ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c . ∵3sinA 2sinB =，∴3a 2b =，∵AC BC b a 1-=-=，∴a 2=，b 3=.由余弦定理可得222c a b 2abcosC 13211=+-=-=，则c =ΔABC的周长为5.16.已知正项数列{a n }的前n 项和为214411n n n S S a n a ，，=+-=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }是递增数列，11n n n b a a +=⋅，T n 为数列{b n }的前n 项和，若6n m T ≤恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）2n ≥时，()221144441411n n n n n a S S a n a n --⎡⎤=-=+--+--⎣⎦，化为：()2212n n a a --=，0na >. ∴12n n a a --=，或12n n a a -+=，12n n a a --=时，数列{}n a 是等差数列，()12121n a n n =+-=-. 12n n a a -+=，∵11a =，可得1n a =．（2）{}n a 是递增数列，∴21n a n =-.()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和1111111...23352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， ∵6n m T ≤恒成立，∴126m≤，解得3m ≥.∴实数m 的取值范围是[)3,+∞. 17.如图，在平行四边形ABCD中，45,2,A AB BC BE AD ∠===⊥于点E ，将ABE ∆沿BE 折起，使90AED ∠=，连接,AC AD ，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若点P 在线段AB 上，直线PD 与平面BCD 所成角的正切值为15，求三棱锥BCD P -的体积．（1）证明：∵BE ⊥AE ，DE ⊥AE ，BE ∩DE =E ， ∴AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，以ED ，EB ，EA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A （0，0，1），B （0，1，0），C （2，1，0），D （1，0，0），设AC 的中点为M ，则M （1，12，12），∴DM=（0，12，12），=（0，1，-1），BC=（2，0，0），∴DM AB⋅=0，DM BC⋅=0，∴DM⊥AB，DM⊥BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：过P作PN⊥BE，垂足为N，连接DN，则PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN∴tan∠PDN=PNDN=15，解得x=14，即PN=14．∵BD，CD=AB，BC=2，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．∴S△BCD=12BD CD⋅⋅=1，∴三棱锥P-BCD的体积V=13⋅S△BCD•PN=11134⨯⨯=112．18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：参考公式()()()()()22n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++ 解：（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）2×2列联表如下图：22500(14012018060)200300320180K ⨯-⨯⨯⨯⨯=≈5.208＞2.706，所以有12的把握认为性别和对手机的“认可”有关． 19.已知椭圆()222210x y C a b a b +=：＞＞为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：（Ⅰ）由已知可得：222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩；所以椭圆C 的方程为：2214x y +=．（Ⅱ）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以()2,0A -，()0,1B -．设()(),0,0M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=．则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1C m x n =+；同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22D n y m =+．所以()()()2221121212212221ABCD m n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++ 22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++．即四边形ABCD 的面积为定值2．20.已知函数)ln )2()(2R a x a x a x x f ∈--+=（．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()0f x >，求的最大整数值．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()22a f x x a x =+--' ()222x a x a x+--= ()()12x x a x +-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞上单调递增，当0a >时，令()0f x '>，得2a x >，令()0f x '<，得02a x <<， ()f x ∴在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由（1）知，当0a ≤时()f x 在()0,+∞上单调递增，又()130f a =->，所以当1x ≥时，()()10f x f ≥>，满足题意. 由（1）知，当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 若012a <≤，即02a <≤，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以当1x ≥时，()()130f x f a ≥=->，满足题意. 若12a >，即2a >，()f x 1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ()()22min 2ln ln 242242a a a a a a f x f a a a a ⎛⎫∴==+-⋅-=-- ⎪⎝⎭()0f x > ()min0f x ∴>即2ln 042a a a a --> 1ln 042a a ∴--> 令()1ln ln 1ln2(2)424a a a g a a a =--=--++>， ()1104g a a∴=--<'， ()g a ∴在()2,+∞上单调递减，又()1202g =>，()133ln 042g =-<， ()g a ∴在()2,3上存在唯一零点0x ，02a x ∴<< 0(23)x <<综上所述，a 的取值范围为()0,x -∞，故a 的最大整数值为2.。

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