2020年高考一轮复习《函数模型及其应用》

(2)(人 A 必修 1·P59A 组 T6 改编)某公司为激励创新，
计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2017 年全年投入
研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比
上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超
过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈
2018·浙江卷，T11 2018·天津卷，T14 2017·全国卷Ⅲ，T3 2016·全国卷Ⅲ，T4
1.数学建模 2.直观想象 3.数学运算
1．指数、对数、幂函数模型性质比较
函数性质 y＝ax(a＞1) 在(0，＋ ∞)上的 单调_递__增__ 增减性
y＝logax(a＞1) 单调_递_增___
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指 数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆 炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象 和性质是解题的关键．
3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确 定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理 性．
1．概念思辨 判 断 下 列 说 法 的 正 误 ( 正 确 的 打 “ √ ”， 错 误 的 打 “×”)． (1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出 售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.
() (2)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( ) (3)不存在 x0，使 ax0<xn0<logax0.( ) (4)在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长
2．图形、表格直观地刻画出变量间的依存关系，考 查学生的直观想象等数学核心素养．
考点 2 已知函数模型求解实际问题(讲练互动) 【例】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要 建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘 米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消 耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关 系：C(x)＝3xk＋5(0≤x≤10，k 为常数)，若不建隔热层， 每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最 大值，所以当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值 等于 42.
故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品 所获得的利润最大．
考点 3 构造函数模型求实际问题(多维探究) 角度 构建二次函数、分段函数模型 【例 1】 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、 经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某 种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位： 千克/年)是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数．当 x 不 超过 4 尾/立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4<x≤20 时， v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等 原因，v 的值为 0 千克/年．
二次函数模型
与指数函数相关 模型
与对数函数相关 模型
与幂函数相关模 型
函数解析式
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数， a≠0)
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数， a>0且a≠1，b≠0)
C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件 下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：根据图象知消耗 1 L 汽油，乙车最多行驶里程 大于 5 km，故选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油 效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽 油最少，故选项 B 错；甲车以 80 km/h 的速度行驶时燃 油效率为 10 km/L，行驶 1 h，里程为 80 km，消耗 8 L
增长速度 越来越快
越来越慢
y＝xn(n＞0) 单调递增 相对平稳
随 x 的增大 图象的变
逐渐表现为 化
与_y_轴__平行
随 x 的增大逐渐 表现为与__x轴____ 平行
随 n 值变化而 各有不同
值的比较 存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
2.几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型
(1)当 0<x≤20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式； (2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千 克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
解：(1)由题意得，当 0<x≤4 时，v＝2， 当 4<x≤20 时，设 v＝ax＋b， 显然 v＝ax＋b 在(4，20]内是减函数， 由已知得240aa＋＋bb＝＝20，，解得ab＝ ＝－52，18，
汽油，故选项 C 错；最高限速 80 km/h，丙车的燃油效率 比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省 油，选项 D 正确．
答案：D
1．当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问 题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势， 验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符 合实际情况的答案．
解：(1)当 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10（x－6）2＝2＋10(x－3)(x－6)2，3 ＜x＜6. f′(x)＝30(x－4)(x－6)， 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
2020年高考一轮复习
函数模型及其应用
2019年9月9日星期一
最新考纲
考情索引
核心素养
1.了解指数函数、对数函数以及幂函 数的增长特征，知道直线上升、指 数增长、对数增长等不同函数类型 增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数 函数、幂函数、分段函数等普遍使 用的函数模型)在社会生活的广泛应 用.
解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得， 曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应 一直是下凸的，故选 B.
答案：B
【例 3】 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升 汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同 速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 ( )
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗 汽油量最多
2．教材衍化 (1)(人 A 必修 1·P107A 组 T1 改编)在某个物理实验 中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
x
0.50
y
－0.99
0.99
2.01
3.98
0.01
0.98
2.00
则对 x，y 最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
令 3x＋5＝t，t∈[5，35]， 则 y＝2t＋80t 0－10，所以 y′＝2－8t020， 当 5≤t＜20 时，y′＜0，y＝2t＋80t 0－10 为减函数； 当 20＜t≤35 时，y′＞0，y＝2t＋80t 0－10 为增函数． 所以函数 y＝2t＋80t 0－10 在 t＝20 时取得最小值，此 时 x＝5，因此 f(x)的最小值为 f(x)min＝6×5＋3×8050＋5＝70. 所以隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，
解析：由故事内容知乌龟先到达终点，兔子醒来乌 龟未到达终点，且兔子后来的速度更快，故选项 C 正确．
答案：C
【例 2】 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价， 我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方 案．据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预 测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函 数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间 的运输量)逐步提高的是( )
130(1＋12%)n>200.
两边取对数，得 n·lg 1.12>lg 2－lg 1.3，
所以
lg n>
l2g－1l.1g21.3≈0.300－.050.11＝159，所以
wenku.baidu.com
n≥4，
所以从 2021 年开始，该公司投入的研发资金开始超
过 200 万元．
答案：(1)D (2)B
3．典题体验
(1)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，
速度会超过并远远大于 y＝xa(a>0)的增长速度．( )
解析：(1)9 折出售的售价为 100(1＋10%)×190＝99 元，所以每件赔 1 元，(1)错．
(2)中，当 x＝2 时，2x＝x2＝4，(2)错． 根据幂、指、对函数模型变化规律知(3)错，(4)正确． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)
＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取最
大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 ( )
A．36 万件
B．18 万件
C．22 万件
D．9 万件
(2)(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨， 每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最 小值． 解：(1)当 x＝0 时，C＝8，所以 k＝40， 所以 C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， 所以 f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋38x0＋05(0≤x≤10)． (2)由(1)得 f(x)＝2(3x＋5)＋38x0＋05－10.
0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2020 年
B．2021 年
C．2022 年
D．2023 年
解析：(1)根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以
排除 A；根据 x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除 B，
C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满足题意．
(2)设经过 n 年资金开始超过 200 万元，
最小值为 70 万元．
1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点． (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系 数． 2．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解 实际问题，并进行检验．
[变式训练] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销 售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关 系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数．已 知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数， a≠0)
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关 系，初步选择数学模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言 转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
考点 1 利用函数图象刻画实际问题(自主演练) 【例 1】 (2019·长春检测)“乌龟赛跑”是一则经典 故事：兔子与乌鱼在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先 太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先 了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点， 请根据故事选出符合的路程—时间图象( )
解析：(1)利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142， 当 x＝18 万件时，L(x)有最大值．
(2)设总费用为 y 万元，则 y＝60x0×6＋4x＝4x＋90x0 ≥240.
当且仅当 x＝90x0，即 x＝30 时，等号成立． 所以当 x＝30 时，一年的总运费与总存储费用之和最 小． 答案：(1)B (2)30