2-平板波导的电磁理论

E e j (ω t − β z ) ( x, y , z , t ) = ( x, y )e h H
e ( x, y ) h ( x, y ) β 式中 为相移常数，也称为传播常数； 和 都是复矢量，有
幅度、相位和方向，表示了 E
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作业： 1、从Maxwell方程推导无源波动方程（Helmholtz方程）。 2、用波动理论推导TM模的特征方程和TM模携带的功率。 3、模式特征方程的物理意义？ 4、麦克斯韦方程描述电磁场的哪两条基本规律? 5、在两种介质交界面处电磁场的边界条件? 6、根据波导传输条件，试求TE模和TM模的截止频率和截止波长。
1. 非对称平板波导结构及折射率分布：
波沿z方向传播，y方向均匀无界，波导厚度h。
n3 0 < x < +∞ = n( x ) n1 − h < x < 0 n − ∞ < x < 0 2
∂ 且有： n( x) = 0 ∂y
图3
2. 平板波导Maxwell方程解的形式(与y无关)：
E ( x, z , t ) = E ( x) exp[i ( β z - ωt )] H ( x, z , t ) = H ( x) exp[i ( β z - ωt )]
2 3 2 2
NTE
1 2 2 n2 n3 (Vc arctan 2 2 ) n n 1 2 int
N total NTE NTM
小结：波动光学方法
• 波动理论是一种比几何光学方法更为严 格的分析方法,其严格性在于:(1)从光波的 本质特性──电磁波出发,通过求解电磁波 所遵从的麦克斯韦方程,导出电磁场的场 分布,具有理论上的严谨性;(2) 未作任何 前提近似,因此适用于各种折射率分布的 单模光和多模光波导。
n n ωµ H = 2κ β (n κ + n p )heff
2 4 1 2 0 4 2 4 2 2 1

1/2
TM模波导有效厚度P28
六、波导的归一化参量
波导的有效折射率 N 波导的归一化频率 V TE模的归一化波导折射率 bTE TE模的非对称参量 aTE TM模的归一化波导折射率 bTM TM模的非对称参量定义 aTM 截止波长
对于对称平面波导：
Vc m 2h 2 2 c n1 n2 m
根据模式截止条件，可以分别计算平面光波导中TE和TM模存在的导模个数： TE模：
n n n n Vc arctan m NTE arctan n n n n
2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1
β =k0 n2
2 1/2 V k0 h(n12 n2 )
Vc =(κ h)c
又：
β =k0 n2
所以：
n n Vc ( h)c arctan m n n
2 2 2 1 2 3 2 2
k0 =2π / λc
c
2 2 h n12 n2 2 2 n2 n3 arctan 2 2 m n1 n2
3. 模式的定性分析：
图4 波动方程的解
四、TE导模
1. TE模的场分布和模式本征方程：
图5

TE模的本征方程
2a=h
图6 TE0模场分布
(2) m=1, TE1模
图7 TE1模场分布 (a)
(2) m=2, TE2模
(b)
图8 TE2模场分布
2. TE模携带的功率：
Ey 0
Hx
式中，d [1 (
n2 2 n ) ][1 ( 2 ) 2 ] n1 n1
2 1/2 V k0 h(n12 n2 )
图10 平板波导TE和TM模的色散曲线
图9 平板波导TE模的色散曲线
aTE
2 2 n2 n3 2 2 n1 n2
aTM
2 2 n3 n1 4 n2 ( ) ( 2 2) n3 n1 n2
∂ n( x ) = 0 ∂y
TM波(H y , E x , Ez )
即磁场垂直于波传播方向的模式。
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ε =ε = k0 ω = ε 0 µ0 2π / λ 0n ，
2
j = 1, 2,3
TM波的波动方程：
三、模式的概念和定性分析
1. 模式的概念：
不同类型的光波导相应于求解不同类型的微分方程。对于正规光波导， 它表现出明显的导光性质，而由正规光波导引出的模式的概念，则是光 波导理论中最基本的概念。 正规光波导是指折射率分布沿纵向不变，数学描述为：n( x, y, z ) = n( x, y ) 光场可表示为分离的形式：
1. 波导的有效折射率 N
定义： 由于： 所以：
N / k0 k0 n2 k0 n1
n2 N n1
k0 n2
N n2
波导中导模截止条件： 指数衰减场
2. 波导的归一化频率V
2 1/2 V k0 h(n12 n2 )
V ( , h, n)的物理意义？
6. TM模的非对称参量 aTM: 描述了波导的非对称性。 2 2 n3 n1 4 n2 aTM ( ) ( 2 2 ) 0 aTE n3 n1 n2
TM模归一化色散方程：
V [ ξ2 (
n1 bTM b aTM (1 bTM d ) arctan TM )] 1 bTM mπ arctan n2 1 bTM 1 bTM
√ √ √ √
电荷守恒（连续电流）方程 非导电介质中 ρ=0
2. 物质方程：
3. 场论基础知识：
。。。
4. 电磁场边界条件：
n
电位移法向分量满足条件
磁感应强度法向分量在界面上连续
磁场的切向分量满足条件 电场切向分量在界面上连续
图2 两种介质分界面
标量形式边界条件
n：电磁场在分界面上的法向分量 t：电磁场在分界面上的切向分量。
图12 TE0模的归一化波导折射率b与 归一化频率V的关系
图11 各种不同对称度的归一化波导 折射率b与归一化频率V的关系
V ( , h , n )
2

h n(n1 n2 )1/2
每一个波导模式都有对应的归一化截止频率Vc
7. 截止波长（补充）:以TE模为例
对于任意TE模式截止时： 则：
大作业1：一平面波导由玻璃基底(折射率为1.5)上沉淀一层1.0μm厚的ZnS薄 膜(折射率为2.3)构成，其覆盖层为空气。如果采用波长为λ=632.8nm的激光， 利用图形法数值求解（1）在此波导中可以传播模式数；（2）各传导模式分别 对应的截止厚度。（要求有图形求解过程。） 大作业2：已知一平面光波导芯层和衬底的折射率分别为n1=1.56和n2=1.2， 其覆盖层为空气，折射率为n3=1，芯层的厚度d=3μm，光波的波长为 λ=1.55μm。（1）用图形法求出芯层中所有导模的传播常数，并分别计算导模 所对应的模角θ，传播常数β，κ，p，q。（2）画出平面波导中所有TE模的电 场强度和TM的磁场强度分布。（要求有图形求解过程。）
5. 电磁场中的坡印廷矢量 (1884年 J.H. Poynting建立)：
均
物理含义：单位时间内通过单位面积的能量，表征电磁场中的能量守恒关系。 导波的传输功率：导模所携带的沿波导z方向通过波导横截面的平均功率流：
< >表示对时间的平均。
例如，TE模：
6. 波动方程：
二、平板波导的波动方程及求解
3. TE模的归一化波导折射率 bTE
N −n bTE = 2 n1 − n
2
2 2 2 2
0 < bTE < 1
4. TE模的非对称参量 aTE: 描述了波导的非对称性。
aTE
n n n n
2 2 2 1
2 3 2 2
0 aTE
TE模归一化色散方程：
V 1 bTE
bTE bTE aTE mπ arctan arctan 1 bTE 1 bTE
∂ n( x ) = 0 ∂y
只含（E y , H x , H z）
= E ( x, z , t ) E ( x) exp[i ( β z − ωt )] = H ( x, z , t ) H ( x) exp[i ( β z − ωt )]
∂ n( x ) = 0 ∂y
TE波(E y , H x , H z )
hx h h heff
某一特定TE导模的传输功率！
** 导模的传输功率被限制在有效波导之内！！
1 1 heff =h + + p q
Pz
β ∞ 2 = [ E ( x )] dx 1 y ∫ 2ωε 0 −∞
TE模的电磁场归一化系数：
ωµ0 E = 2κ 2 2 β (κ + p )heff
5. TM模的归一化波导折射率 bTM
bTM
2 N 2 n2 n ( 2 2 )( 1 ) 2 , n1 n2 n2 2
n2 2 （ ） 2 2 n1 N N 其中约化因子 2 = 2 + 2 1= (1 bTM ) bTM (n2 / n1 ) 4 n1 n2
0 < bTE < 1
1.1
1.2
2015年3月
苏州大学 2012春季
1.1平板波导的线光学模型 1.2平板波导的电磁理论
一．电磁场理论基础知识 二．平板波导的波动方程及求解 三．模式的概念和定性分析 四．TE导模 五．TM导模 六．波导的归一化参量
一、电磁场理论基础知识
1. Maxwell方程及其奠基工作：
介质中的Maxwell方程：
即电场垂直于波传播方向的模式。
ε =ε = k0 ω = ε 0 µ0 2π / λ 0n ，
2
j = 1, 2,3
TE波的波动方程：
E ( x, z , t ) E ( x) exp[i (z t )] H ( x, z , t ) H ( x) exp[i (z t )]
和 H 沿波导横截面的分布，称为模式场。
2. 模式的基本特性：
稳定性：一个模式沿纵向传输时，其场分布形式不变，即 沿z方向有稳定的分布。 有序性：模式是波动方程的一系列特征解，是离散的、可 以排序的。排序方法有两种：一种是以传播常数 β 的大 小排序， β 越大，序号越小；另一种是以两个自变量( x, y ) 排序，所以有两列序号。 叠加性：光波导中总的场分布是这些模式的线性叠加。 正交性：一个正规光波导的不同模式之间满足正交关系。
光波导技术的广阔应用领域
光波导技术
信息获取
信息传输
信息处理
其它应用
位移、振动 温度、压力 应变、应力 电流、电压 电场、磁场 流量、浓度 可 以 测 量 70 多 个物理化学量
有源无源器件 光纤通信干线 光交换接入网 AON DWDM OADM OTDM FTTC,B,O,H
光子集成 光电子集成 集成光路 光收发模块 光接入模块 光开关模块 光放大模块

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3. 波导的有效厚度：
4. 功率约束比例因子
五、TM导模
1. TM模的场分布和模式本征方程：
2. TM模携带的功率：
Ex Hy 2 0n j
1 2 [ ( )] Pz H x dx 1 y 2 2 nj 0
TM模的电磁场归一化系数：