(完整版)平面向量的减法运算
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。
一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。
二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。
设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。
八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。
22.9平面向量的减法
22.9平面向量的减法一、知识归纳:1向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.彳j 呻 4减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即： a_b=a ・（_b ）. 2. 向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减 向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.3. 向量加法的平行四边形法则4 4如果a , b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点 为公共起点作两个向量与 a , b 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以 所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是 4 4a ,b 的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则.4.另外一个对角线向量，即是 a , b 的差向量，这个差向量与被减向量共终点二、练习A i.C^ -C A= _________T 2.BC —BA —AD =3. DE T T T -CE - DC + AB =T T T T5. BC - BA + DA + AD = ________ .—t —f —t6. AB - AD - DC = ______ .T T T T7. AB -CD +BD — AC = _________T T9.平行四边形 ABCD 中, CD - DA =10.平行四边形 ABCD 中, T T T AC - AD +CB =4. A B + BA - BC = 8.平行四边形ABCD 中,T T AB _ DA= ________ T TAB - AD= _________T 4 —j 4 4 4AB = a , BC —b .试用向量a 和b 表示向11.如图，多边形 ABCDEF 是正六边形，设 T —t — 量 OA , OC , OE . BA EOT T T T T T13.已知：向量a、b、c，求作：a-b-c.三、练习BTTTT —f —i —i —i1.已知：向量a、b、c、d，求作：a - b • c - d2.已知：在△ ABC中, AD是BC的中线。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
平面向量的减法运算课件
即: a b = a (b)
r
求两个向量差的运算叫做向量的减法
a
rrrrBiblioteka 2.已知向量rra,
b
,如何作出 向量
a - br?r
r b
r
3.差向量 a - b 的方向与原来两个向量 a
向有什么关系?如何用一句话来表达?
, b的方r
b
OaA rr
ab
向量减法的角形法则： 共起点,箭头指向被减向量
B
uuur r r
记作 a .
r r 注：1.零向量的相反向量仍是零向量； 0=0
2.任一ar向量(与ar其)相=反(向ar量) 的 和ar 是= 零0r 向量；
uuur uuur 重要提示 : AB = BA
1.什么叫r 做向r量的差?什么是向量r 的r减法? 向量a加r 上rb的r相反r向量，叫做 a与b的差，
b
d
a
c
d b a
c
课堂练习：
1、如图，已知a、b，求作a-b。
(1)
(2)
b a
(3)
a
a
b
b
2、填空： AB-AD= DB BA-BC= CA BC-BA= AC OD-OA= AD OA-OB= BA
(4)
a
b
(1) (ra)r= a, a (a) = (a) a = 0
(2) r 0 = 0r
rr
rr r
(3) a = b, b = a, a b = 0
ar2.向量减法的平r行四Ouu边Cur 形= ar法则br
rB b
C
b
uuur r r BA = a b
O
r aA
例题分析：
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、引言平面向量是数学中的重要概念，它在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
而平面向量的加减法是我们研究平面向量时必须掌握的基本运算。
本文将详细介绍平面向量的加减法，包括定义、运算规则以及应用实例等内容。
二、平面向量的定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的箭头，可以表示为有序数对(a, b)，其中a表示向量在x轴上的分量，b表示向量在y轴上的分量。
平面向量通常用字母加箭头表示，如AB->表示从点A指向点B的向量。
三、平面向量的加法1. 定义：平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
2. 运算规则：设向量A->的分量表示为A-> = (a1, a2)，向量B->的分量表示为B-> = (b1, b2)，则A-> + B-> = (a1 + b1, a2 + b2)。
3. 几何解释：将向量A->的起点与向量B->的终点相连，得到一个新的向量C->，C->的终点即为A-> + B->的终点。
四、平面向量的减法1. 定义：平面向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
2. 运算规则：设向量A->的分量表示为A-> = (a1, a2)，向量B->的分量表示为B-> = (b1, b2)，则A-> - B-> = (a1 - b1, a2 - b2)。
3. 几何解释：将向量B->取反，即将其方向反转180度，然后与向量A->相加，得到一个新的向量C->，C->的终点即为A-> - B->的终点。
五、平面向量加减法的性质1. 交换律：A-> + B-> = B-> + A->，A-> - B-> ≠ B-> - A->2. 结合律：(A-> + B->) + C-> = A-> + (B-> + C->)，(A-> - B->) - C-> ≠ A-> - (B-> - C->)3. 零向量：对于任意向量A->，有A-> + 0-> = A->，A-> - 0-> = A->4. 相反向量：对于任意向量A->，存在一个向量-B->，使得A-> + (-B->) = 0->，这个向量-B->称为A->的相反向量。
平面向量的减法公式
平面向量的减法公式平面向量的减法是线性代数中的重要概念之一，它在解决平面几何问题、力学问题以及计算机图形学等领域中起着至关重要的作用。
本文将介绍平面向量的减法公式，帮助读者全面理解和应用这一概念。
首先，我们来定义平面向量。
平面向量是由大小和方向构成的有序数对，通常表示为箭头形状。
在平面上，每个向量都有起点和终点，可以表示为从起点指向终点的箭头。
向量的大小通常用向量的模表示，记作|AB|，其中A和B分别是向量的起点和终点。
那么，平面向量的减法是什么意思呢？简单来说，就是从一个向量中减去另一个向量，得到一个新的向量。
我们用符号表示为C = A - B，其中A和B是两个向量，C是它们的差向量。
接下来，让我们看看平面向量的减法公式是如何推导出来的。
设A 的起点为O，终点为P，B的起点为O，终点为Q，C的起点为O，终点为R。
那么向量C的减法可以表示为R = P - Q。
根据向量的定义，向量OP可以表示为向量OA加上向量AP，向量OQ可以表示为向量OA加上向量AQ。
将这两个式子相加，我们可以得到向量AP + AQ = OP + OQ。
再将这个式子改写为向量AP = OP + OQ- AQ。
根据三角形法则，我们知道三角形的两边之和大于第三边，即|OP + OQ| > |AQ|。
因此，向量AP的大小大于向量AQ的大小，即|AP| >|AQ|。
根据向量的定义，向量AR可以表示为向量AO加上向量OR，向量AQ可以表示为向量AP加上向量PR。
将这两个式子相加，我们可以得到向量AR + AQ = AO + AP + PR。
再将这个式子改写为向量AR = AO+ AP + PR - AQ。
根据向量的定义，向量AP可以表示为向量AB加上向量BP，向量PR可以表示为向量PQ加上向量QR。
将这两个式子代入前一个式子中，我们可以得到向量AR = AO + AB + BP + PQ + QR - AQ。
通过观察我们可以发现，向量AB + BP + PQ + QR可以表示为向量BQ，因此可以将式子改写为向量AR = AO + BQ - AQ。
平面向量的基本运算总结
平面向量的基本运算总结平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。
在数学和物理学中，平面向量的运算是十分重要的。
本文将对平面向量的基本运算进行总结，包括向量的加法、减法、数乘以及数量积等。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足以下几个性质：- 交换律：A + B = B + A- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)- 零向量：对于任意向量 A，有 A + 0 = A2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即 A - B = A + (-B)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
向量的数乘满足以下性质：- 结合律：k(A + B) = kA + kB- 分配律：(k + l)A = kA + lA- 分配律：k(lA) = (kl)A- 数乘零向量：0A = 04. 数量积数量积（也称为点积或内积）是向量的一种运算，结果为一个实数。
数量积可以通过向量的坐标表示为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模，θ 表示两个向量之间的夹角。
数量积满足以下性质：- 交换律：A·B = B·A- 分配律：A·(B + C) = A·B + A·C- 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)5. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
向量的模记作 |A|。
单位向量是指模为 1 的向量。
可以通过将向量除以其模来得到单位向量，即 u = A/|A|。
6. 运算实例以下是一些平面向量运算的实例：- 已知向量 A = (3, 4)，B = (-2, 1)，求 A + B。
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
平面向量的减法PPT课件
如图所示，在平行四边形ABCD中，设 ABa，ADb，试用 a，b表示向量 AC 、
BD 、DB 。
D
C
b
A
a B
2020/5/18
.
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13
1、向量减法的定义及其几何意义 2、正确熟练地掌握向量减法法则：
共起点、连终点、指向被减
2020/5/18
.
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14
习题7.1A组3 课课达标P63解答题1
.
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8
例1 已知如图所示向量 a、b，请画出向量 aba b源自a O Ab ab
B
2020/5/18
.
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9
例2 化简：
⑴ ODOA ⑵ AB AC BD DC
解：⑴ ODOA AD
⑵ AB AC BD DC
CBBDDC
CDDC CC 0
2020/5/18
与向量 b的差，即
a b a b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
2020/5/18
.
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4
1、向量减法法则：已知向量 a，b不共线，求作
向量 c，使 cab
b
作O O法AA：Oa在，B平O 面O B内b任 A ，取 则O 一点B O，作bbbObabaaaBaaAb
慈溪市周巷职业高级中学 王亚萍
热身运动：拔河
2020/5/18
.
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2
1、负向量： 与非零向量 a长度相等，且方向相
反的向量叫做向量 a的负向量，记作 a。
说明： ① 规定 00
② 性质 aa
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是数学中的重要概念，用于描述平面内的位移、力、速度等物理量。
平面向量具有大小和方向两个属性，可以进行基本的运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
本文将介绍平面向量的基本运算方法和性质。
一、平面向量加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A加向量B的结果为C（Cₓ, Cᵧ），其中Cₓ = Aₓ + Bₓ，Cᵧ = Aᵧ + Bᵧ。
这意味着加法运算分别对向量的横坐标和纵坐标进行相加。
二、平面向量减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A减向量B的结果为D（Dₓ, Dᵧ），其中Dₓ = Aₓ - Bₓ，Dᵧ = Aᵧ - Bᵧ。
这意味着减法运算分别对向量的横坐标和纵坐标进行相减。
三、平面向量数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有一个平面向量A，其坐标为（Aₓ, Aᵧ），实数k。
则向量A乘以实数k的结果为E（Eₓ, Eᵧ），其中Eₓ = k * Aₓ，Eᵧ = k * Aᵧ。
这意味着数量乘法运算对向量的横坐标和纵坐标分别进行相乘。
四、平面向量点乘平面向量的点乘是指将两个向量的对应坐标分别相乘后再相加，得到一个实数。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A点乘向量B的结果为F = Aₓ * Bₓ + Aᵧ * Bᵧ。
点乘运算得到的是一个实数，而不是一个向量。
平面向量的点乘在几何意义上可以用来计算向量之间的夹角。
设有两个非零向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cosθ = (Aₓ * Bₓ + Aᵧ * Bᵧ) / (|A| * |B|)，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模。
平面向量的基本运算方法和性质为解决平面几何问题提供了有力工具。
平面向量的减法ppt课件
例1 已知如图所示向量 a、b，请画出向量 ab
a b
a O
A
b ab
B
例2 化简：
⑴ ODOA ⑵ AB AC BD DC
解：⑴ ODOA AD ⑵ AB AC BD DC CBBDDC
CDDC CC 0
1、已知 a、b，求作 ab
b
b
a
a
a
b
b
a
2、快速抢答：
ABAD_D_B____
备选题：
如图所示，在平行四边形ABCD中，设
ABa，ADb，试用 a，b表示向量 AC 、
BD 、DB 。
D
C
b
A
a B
1、向量减法的定义及其几何意义 2、正确熟练地掌握向量减法法则：
共起点、连终点、指向被减
职业中专数学组
热身运动：拔河
1、负向量： 与非零向量 a长度相等，且方向相
反的向量叫做向量 a的负向量，记作 a。
说明： ① 规定 00
② 性质 aa
a a a a 0
2、向量的减法：
向量a与向量b的负向量的和定义为向量 a 与向量 b的差，即
a b a b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
1、向量减法法则：已知向量 a，b不共线，求作
向量作O O法cAA，：O使a在，B平c O 面O B a 内b任 bA ，取 则O 一点B O，作bbbObabbaaaBaaAb
OABOBOOABA
向量减法法则
OAOBBA
O
a A
b
ab
B
归纳概括： ⑴ 将两向量移到共同起点
⑵ 连接两向量的终点,
⑶ 方向指向被减向量
同起点，连终点，指向被减
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A、 AD =0 C、ABCD是矩形
思路分析：
B、AB =0或AD =0 D、ABCD是正方形
在平行四边形ABCD中，AB+AD = AB-AD ，
即 AC = DB ，可得ABCD是特殊的平行四边形 即是矩形。?
2 如图所示，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD
的交点。若 AB =a,BC =b,OB=c,试证明：
(1) (ra)r= a, a (a) = (a) a = 0
(2) r 0 = 0r
rr
rr r
(3) a = b, b = a, a b = 0
ar2.向量减法的平r行四Ouu边Cur 形= ar法则br
rB b
C
b
uuur r r BA = a b
O
r aA
例题分析：
例１、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d。
b
d
a
c
d b a
c
课堂练习：
1、如图，已知a、b，求作a-b。
(1)
(2)
b a
(3)
a
a
b
b
2、填空： AB-AD= DB BA-BC= CA BC-BA= AC OD-OA= AD OA-OB= BA
(4)
a
b
能力训练：
1、在平行四边形ABCD中，若
C AB +AD = AB -AD 则：
记作 a .
r r 注：1.零向量的相反向量仍是零向量； 0=0
2.任一ar向量(与ar其)相=反(向ar量) 的 和ar 是= 零0r 向量；
uuur uuur 重要提示 : AB = BA
1.什么叫r 做向r量的差?什么是向量r 的r减法? 向量a加r 上rb的r相反r向量，叫做 a与b的差，
uBuAur=
a
b r
r
AB = b a
特例:
r ra b
(1)
uuur r OA = a
(1) O A B
r ar b (3)
rr
ab
(3) B
OA
uuur r OB = b
r a r b
(2)
rr ab
O B A (2)
r ra b
(4)
rr ab
A
O
(4)
B
说明：1.关于相反向量
r r r r r rr
a-( b+c)=- OD.
D
C
O cb
A
a
B
温故
1.向量加法的三角形法则: 2.平行四边形法则:
首尾相连，由首至尾
C ab b
A a B
共起点
Ba
b
a
b
C
b
O
a
A
3.向量加法的交换律
:
ar
r b
=
r b
ar .
4.向量加法的结合律
: (ar
r b)
cr
=
ar
r (b
cr )
r
r
与r向量 a长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，
即: a b = a (b)
r
求两个向量差的运算叫做向量的减法
a
rr
rr
2.已知向量
r
ra,
b
,如何作出 向量
a - br?r
r b
r
3.差向量 a - b 的方向与原来两个向量 a
向有什么关系?如何用一aA rr
ab
向量减法的角形法则： 共起点,箭头指向被减向量
B
uuur r r