平面向量的线性运算习题课(优质)
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C
解: AB OB OA
3b 2b
B
AC 2 AB ,且有公共点Ａ
a 2b - (a b) b AC OC OA a 3b - (a b) 2b
2) b 可以是零向量吗?
三：向量共线定理
练一练: 课本P90,ex.4
例1.如图，已知任意两个向量 a、 b ，试作 OA a b, OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？ b a
重要技能训练：
用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量
例 3.如图所示，OADB 是以向量 OA a ， OB b 为边的平行四边形，
1 1 又 BM BC ， CN CD 试用 a 、 b 表示： OM 、 ON 、 MN 3 3
B b O M C a A N D
重要技能训练：
a
（2）当 0时， a的方向与 a 的方向相同； 当 0时， a的方向与 a 的方向相反。
(1 a 2 b) 1 a 2 b.
特别的，当
0 时， a 0.
重要技能训练：
用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量
（2）若将条件改为 AD BC ， AB AD ，其形状如何？加以 证明。
（3）将条件改为 AC = AB + AD ，其形状如何？加以证明.
课堂小结：
一、①λ
a 的定义及运算律
(a≠0) 向量a与b共线 b=λa
②向量共线定理
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
即2e1 ke2 e1 4 e2
2 k 8 k 4
例 4 四边形 ABCD 满足条件 AB DC ，试判断其的形状并证明。
1 变式 （1） 若将条件改为 AD = 3 BC ， 其形状如何？加以证明。
用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量
重要补充：已知：在△ABC 中,AD、BE、CF 分别是 AB、BC、CA 边上的中线 求证：(1)AD、BE、CF 相交于一点 O (2)AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1
练习：如图，在△ABC 中， AB = a , BC = b ，
AD 为边 BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量 AG
B
C
a b b
a b
A
b
a
B
O
a
A
3.向量减法三角形法则: 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
a
b
b
B
O
a
BA a b
A
4.向量数乘Hale Waihona Puke Baidu定义
a
它的长度和方向规定如下：
（1 ）
| a || || a |;
A a B M D C M
巩固点二：共线向量定理及其应用
思考： (1)若b a(a 0), 则a, b位置关系如何?
(2)若b // a(a 0), 则b a是否成立 ?
b // a
成立
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a. 思考:1) a 为什么要是非零向量?
例2
DE 3BC，试判断 AC与 AE 如图：已知 AD 3 AB，
是否共线． C
E
解： AE AD DE
3 AB 3 BC
A B
3 AB BC
3 AC
D
∴ AC 与 AE 共线．
解前思：选定两个不共线的向量，把所有向量都有这两个选定向 量表示，以达到化繁为简的目标。
A
b
O
a
故A, B, C三点共线
！！！！解后反思与小结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 AB 2e1 3e2， BC 6e1 23e2， CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
平面向量的线性运算习题课（重要）
本节训练要点：
1.向量加、减、数乘运算灵活运用，解决任一 向量用已知向量表示的问题。
2.共线向量定理的理解及应用，用向量共线定 理证明向量共线，三点共线，两直线平等等几 何问题，初见向量在几何证明中的功用。
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，连首尾
C
2.向量加法平行四边形法则: 特点:同一起点,对角线
设e1 , e2是两个不共线向量而 e1 4e2 和2e1 ke2共线， 求实数k的值
例3.
解后反思：上题中改为判断两个向量是否共线，如何处 理呢？
解： 向量e1 4e2和2e1 ke2共线
存在实数 , 使得2e1 ke2 (e1 4e2 )
例1
如图，ABCD 是梯形，AB//CD，且 AB 2CD ， M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，已知 AB a ， AD b ， 试用 a 和 b 表示 BC 和 MN
D M C
A
N
B
重要技能训练：
用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量
［例 2］如图，平行四边形 ABCD 中，点 M、N 分别为 DC，BC 的中点， 已知 AM ＝c， AN ＝d，试用 c、d 表示 AB 和 AD ．
解: AB OB OA
3b 2b
B
AC 2 AB ,且有公共点Ａ
a 2b - (a b) b AC OC OA a 3b - (a b) 2b
2) b 可以是零向量吗?
三：向量共线定理
练一练: 课本P90,ex.4
例1.如图，已知任意两个向量 a、 b ，试作 OA a b, OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？ b a
重要技能训练：
用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量
例 3.如图所示，OADB 是以向量 OA a ， OB b 为边的平行四边形，
1 1 又 BM BC ， CN CD 试用 a 、 b 表示： OM 、 ON 、 MN 3 3
B b O M C a A N D
重要技能训练：
a
（2）当 0时， a的方向与 a 的方向相同； 当 0时， a的方向与 a 的方向相反。
(1 a 2 b) 1 a 2 b.
特别的，当
0 时， a 0.
重要技能训练：
用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量
（2）若将条件改为 AD BC ， AB AD ，其形状如何？加以 证明。
（3）将条件改为 AC = AB + AD ，其形状如何？加以证明.
课堂小结：
一、①λ
a 的定义及运算律
(a≠0) 向量a与b共线 b=λa
②向量共线定理
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
即2e1 ke2 e1 4 e2
2 k 8 k 4
例 4 四边形 ABCD 满足条件 AB DC ，试判断其的形状并证明。
1 变式 （1） 若将条件改为 AD = 3 BC ， 其形状如何？加以证明。
用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量
重要补充：已知：在△ABC 中,AD、BE、CF 分别是 AB、BC、CA 边上的中线 求证：(1)AD、BE、CF 相交于一点 O (2)AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1
练习：如图，在△ABC 中， AB = a , BC = b ，
AD 为边 BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量 AG
B
C
a b b
a b
A
b
a
B
O
a
A
3.向量减法三角形法则: 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
a
b
b
B
O
a
BA a b
A
4.向量数乘Hale Waihona Puke Baidu定义
a
它的长度和方向规定如下：
（1 ）
| a || || a |;
A a B M D C M
巩固点二：共线向量定理及其应用
思考： (1)若b a(a 0), 则a, b位置关系如何?
(2)若b // a(a 0), 则b a是否成立 ?
b // a
成立
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a. 思考:1) a 为什么要是非零向量?
例2
DE 3BC，试判断 AC与 AE 如图：已知 AD 3 AB，
是否共线． C
E
解： AE AD DE
3 AB 3 BC
A B
3 AB BC
3 AC
D
∴ AC 与 AE 共线．
解前思：选定两个不共线的向量，把所有向量都有这两个选定向 量表示，以达到化繁为简的目标。
A
b
O
a
故A, B, C三点共线
！！！！解后反思与小结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 AB 2e1 3e2， BC 6e1 23e2， CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
平面向量的线性运算习题课（重要）
本节训练要点：
1.向量加、减、数乘运算灵活运用，解决任一 向量用已知向量表示的问题。
2.共线向量定理的理解及应用，用向量共线定 理证明向量共线，三点共线，两直线平等等几 何问题，初见向量在几何证明中的功用。
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，连首尾
C
2.向量加法平行四边形法则: 特点:同一起点,对角线
设e1 , e2是两个不共线向量而 e1 4e2 和2e1 ke2共线， 求实数k的值
例3.
解后反思：上题中改为判断两个向量是否共线，如何处 理呢？
解： 向量e1 4e2和2e1 ke2共线
存在实数 , 使得2e1 ke2 (e1 4e2 )
例1
如图，ABCD 是梯形，AB//CD，且 AB 2CD ， M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，已知 AB a ， AD b ， 试用 a 和 b 表示 BC 和 MN
D M C
A
N
B
重要技能训练：
用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量
［例 2］如图，平行四边形 ABCD 中，点 M、N 分别为 DC，BC 的中点， 已知 AM ＝c， AN ＝d，试用 c、d 表示 AB 和 AD ．