第八章 控制系统的状态空间分析
控制工程必备知识点总结

控制工程必备知识点总结一、控制系统的基本概念1. 控制系统的定义和基本组成控制系统是一个通过对系统输入信号进行调节,使得系统输出信号满足特定要求的系统。
控制系统由输入、输出、反馈和控制器等基本组成部分构成。
2. 控制系统的分类控制系统根据其控制方式可以分为开环控制系统和闭环控制系统。
开环控制系统只能通过输入信号来控制系统输出,而闭环控制系统可以通过反馈信号来对系统进行调节。
3. 控制系统的性能指标控制系统的性能指标包括稳定性、灵敏度、鲁棒性、动态性能等,这些指标反映了控制系统对信号变化的响应能力和稳定性。
二、控制系统的建模与分析1. 控制系统的数学模型控制系统的数学模型是控制工程的核心,它描述了系统的输入输出关系以及系统内部的动力学特性。
控制系统的数学模型可以用微分方程、差分方程、状态方程等形式进行描述。
2. 控制系统的传递函数传递函数是控制系统数学模型的一种常用表示形式,它描述了系统输入和输出之间的传输特性。
控制系统的传递函数可以通过系统的输入输出数据进行辨识或通过系统的数学模型进行求解。
3. 控制系统的频域分析频域分析是控制系统分析的重要方法之一,它将控制系统的动态响应从时域转换到频域,通过频域特性来分析控制系统的稳定性、干扰抑制能力等。
4. 控制系统的状态空间分析状态空间分析是控制系统分析与设计的另一种常用方法,它描述了系统的状态变量与输入输出变量之间的关系,并可以用于分析控制系统的稳定性、可控性和可观测性等。
5. 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析是控制工程中的重要内容,它用于评估控制系统的稳定性,并设计满足稳定性要求的控制器。
三、控制系统的设计与实现1. 控制系统的控制器设计控制系统的控制器设计是控制工程的核心内容之一,它通过对系统数学模型的分析和综合,设计出满足性能指标要求的控制器。
2. 控制系统的闭环控制闭环控制系统通过对系统的反馈信号进行处理,实现对系统输出的精确控制,提高系统的鲁棒性和鲁棒性。
现代控制理论控制系统的状态空间模型

方程 x:小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向,利用牛顿第二定律,得到
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设: x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式:
y Cx
内部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式:
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式:
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图:
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
控制系统的状态空间分析与设计

控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一,它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。
状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具,其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态,包括系统的状态变量和输入输出关系。
在控制系统中,状态变量是指影响系统行为的内部变量,如电压、速度、位置等。
通过状态空间模型,可以将系统行为转化为线性代数方程组,从而进行分析和设计。
1. 状态方程控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。
一般形式的状态方程可以表示为:x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中,x(t)是系统在时刻t的状态向量,A是系统的状态转移矩阵,B是控制输入矩阵,u(t)是系统的控制输入,y(t)是系统的输出,C是输出矩阵,D是直接传递矩阵。
2. 状态空间矩阵状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。
通过这些矩阵,可以准确描述系统的状态变化与输入输出之间的关系。
3. 系统的可控性和可观性在状态空间分析中,可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性能的重要指标。
可控性是指通过调节控制输入u(t),系统的状态可以在有限时间内从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。
可控性可以通过系统的状态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。
可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。
可观性可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。
二、状态空间分析方法状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性能指标分析。
1. 系统响应分析系统的响应分析可以通过状态方程进行。
主要分析包括零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指当控制输入u(t)为零时,系统的输出y(t)变化情况。
1.控制系统的状态空间模型

Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中,采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述,或者在零初始条件下,对n 阶微分方程进行Laplace 变换,得到传递函数作为对控制系统的频域描述,“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性,不能完全反映系统内部的动态特征,并且由于只考虑零初始条件,难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论,它用“状态变量”来刻画系统的内部特征,用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系,揭示了系统内部状态的运动规律,反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1(6P 例1.1.1) 如下面RLC (电路)系统。
试以电压u 为输入,以电容上的电压C u 为输出变量,列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC 电路图解:由电路理论可知,他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论:消去变量)(t i ,得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程:)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换:)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数:202202)(ωζω++=s s s G ,LC10=ω,L R 2=ζ 现代控制理论:选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量,2=n (2个储能元件);1个输入为)(t u ,1=m ;1个输出C u y =,1=r 。
控制系统的状态空间描述

03
方法二、根据传递函数求解
状态方程的标准形式
状态方程的定义 状态方程 所谓状态方程,就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组。
3.2.2 状态空间表达式
向量矩阵形式为
状态向量
输入向量
维的函数向量
3、线性定常系统的状态方程
向量矩阵形式为
维的系数矩阵
维的系数矩阵
输出方程
输出方程的标准形式
解:列写回路的电压方程和节点的电流方程
选取 为状态变量,输出 ,得系统的状态空间表达式为
消去 并整理得
设初始条件为零,对上式两端进行拉普拉斯变换,得
写成向量矩阵形式为
其中
输入变量的Laplace变换象函数
2)数目最小的含义:是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。
二、状态向量
若一个系统有n个状态变量: ,用这n个状态变量作为分量所构成的向量 ,就称为该系统的状态向量,用 表示。
例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。
01
考虑标量的一阶微分方程
02
用拉氏变换解有:
3.2.2 状态微分方程的解
定义矩阵指数函数为:
上式也经常写做状态转移矩阵的形式
系统的零输入响应为:
1.3 传递函数矩阵
例:系统如下图所示,输入为 和 ,输出为 。
较之传递函数,状态空间描述的优点有:
3、状态空间分析是一种时域分析方法,可用计算机直接在时域中进行数值计算。
2、由前面的分析可以看出,对于不同维数的系统,可以采用同一表达方式来进行描述,由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统,只是计算复杂一些而已。
第八章 控制系统的状态空间表达式

x&1 x2
自 动 控 制 理 论
Lx&2 x3
x&n1
xn
x&n an x1 an1x2 L a2 xn1 a1xn u
x&1 0 1 0 L 0 x1 0
首页
x&2
0
0
1L
0
x2
0
上页 下页 末页 结束
L M M
x&n1
0
0
MO 0L
M L M u
电气信息学院
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y1
自 动 控 制 理 论
Y
y2
M
ym
m维输 出向量
输出矩阵 m×r维
c11 K c1n
C
M
O
M
cm1 L cmn
直接传递
首页
矩阵
上页 下页 末页 结束
d11 K
D
M
O
d1r M
m×r维
dm1 L dmr
电气信息学院
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8
第八章 控制系统的状态空间表达式
自
动 控
8.1 状态空间描述的概念
制 理
8.2 状态空间表达式的建立
论
8.3 状态向量的线性变换
8.4 从状态空间表达式求传递函数阵
本章小结
首页 上页 下页 末页 结束
电气信息学院
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1
8.1 状态空间描述的概念
一、基本定义
自 先看一个RLC电路的例子
动 图中, u-输入变量
uK
T
电气信息学院
x
x
y
1 T
2020/4/9
北京理工大学自动控制原理考研知识点

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因为专一所以专业,理硕教育助您圆北理之梦。
详情请查阅理硕教育官网北京理工大学自动控制原理考研考点第二章 控制系统的数学模型一 主要知识点传递函数会求各类传递函数:开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数。
针对典型系统结构图来记:图结构图化简。
把握住等效原则即可。
等效原则,即化简前后回路上传递函数的乘积不变、且前向通道上传递函数的乘积不变。
信号流图熟练运用Mason 公式:(关键是每一个量代表的含义)二 需要记忆的:常见的拉氏变换、拉式反变换(掌握留数法)三 备考策略本章内容较简单且单独出题的可能性不大,注意与其他章节的结合,尤其是非线性那章中结构图的化简。
第三章一 主要知识点1 二阶系统的时域分析数学模型单位阶跃响应取不同值时对应的单位阶跃响应曲线:不同情况下系统的根。
欠尼阻二阶系统的动态过程分析动态性能指标公式,要记住并理解各公式的由来。
2 稳定性分析)s s 1i ()(∑∆∆=i i P P 2n n 22n s 2s )()(s ωζωω++==ΦS R S C )(ζ理解稳定的充要条件劳斯判断:列劳斯表(两种特殊情况的处理);稳定性判断及稳定范围的确定。
3 稳态误差(首先想到以稳定性为前提)稳态误差的计算:终值定理、由稳态误差系数确定。
扰动作用下的稳态误差:主要取决于扰动作用点前的传递函数。
降低稳态误差的方法:增大系统开环总增益,以降低给定输入作用下的稳态误差;增大扰动作用点前系统前向通路的增益,以降低扰动作用所引起的稳态误差第四章根轨迹法一 主要知识点理解根轨迹的含义、根轨迹增益与开环增益的区别、两个基本条件根轨迹的绘制根轨迹图的分析二 需要记忆的:根轨迹绘制规则三 备考策略本章内容是每年单独出题的章节,是比较重要的章节。
自动控制原理胡寿松著科学出版社课后答案

自动控制原理 (胡寿松著) 科学出版社课后答案《自动控制原理》是胡寿松编著的一本关于自动控制原理的教材。
本书系统地介绍了自动控制的基本原理、方法和技术,适用于自动化、电气、机械等相关专业的本科生和研究生学习使用。
本书一共分为十一章,包括控制系统基础、传递函数与系统的时域特性、系统的频域特性、稳定性分析、根轨迹法、频率响应法、校正器设计、状态空间法、观测器设计、控制系统设计以及非线性系统控制等内容。
每一章都有相应的习题,用于检测学生对所学知识的掌握情况。
第一章:控制系统基础1. 控制系统的定义和分类。
控制系统是指通过对被控对象进行测量和判断,从而对被控对象进行控制的一种系统。
根据被控对象的特性和控制方式的不同,控制系统可以分为连续控制系统和离散控制系统。
2. 控制系统的基本组成。
控制系统由被控对象、测量元件、判断元件、执行元件和反馈元件组成。
3. 控制系统的基本特性。
控制系统的基本特性包括稳定性、灵敏度、精度和动态性能等。
第二章:传递函数与系统的时域特性1. 传递函数的定义和性质。
传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的函数。
传递函数具有线性性、时不变性和因果性等性质。
2. 系统的时域特性。
系统的时域特性包括阶跃响应、冲击响应和频率响应等。
第三章:系统的频域特性1. 频域特性的概念。
频域特性是指系统对不同频率的输入信号的响应情况。
2. 振荡特性的判据。
系统振荡的判据是极点的实部为零和虚部不为零。
第四章:稳定性分析1. 稳定性的定义。
稳定性是指系统在无穷远时间内对于有限输入的响应趋于有限。
2. 稳定性的判据。
稳定性的判据包括判别函数法、根轨迹法和Nyquist稳定判据等。
第五章:根轨迹法1. 根轨迹的概念和性质。
根轨迹是描述传递函数极点随参数变化而运动轨迹的图形。
2. 根轨迹的绘制方法。
根轨迹的绘制方法包括定性法和定量法。
第六章:频率响应法1. 频率响应的概念和性质。
频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应情况。
2012能源管理师培训课件(电气-下) 第08章——自动控制理论

§8.3
现代控制理论
现代控制理论主要研究线性系统状态的运动规律和改变这 种运动规律的可能性与方法,建立和揭示系统结构、参数、 种运动规律的可能性与方法,建立和揭示系统结构、参数、行 为及性能兼得关系。通常可以分解为三个稳态, 为及性能兼得关系。通常可以分解为三个稳态,即系统数学模 型的建立、 型的建立、系统运动规律的分析和致力于改变运动规律的系统 设计。这一节内容主要侧重于前两个问题。 设计。这一节内容主要侧重于前两个问题。 一、控制系统的状态空间描述 (一)动力学系统 具有记忆、能够存储输入信息的系统成为动力学系统。 具有记忆、能够存储输入信息的系统成为动力学系统。动 力学系统在t时刻的输出信息 不仅依赖于时间[t 内所施加 时刻的输出信息, 力学系统在 时刻的输出信息,不仅依赖于时间 0,t]内所施加 的输入信息u(t),而且还依赖于初始时刻 0以前的输入信息。 而且还依赖于初始时刻t 的输入信息 而且还依赖于初始时刻 以前的输入信息。 (二)状态与状态向量 状态是指系统的时域行为,即系统的运动规律。 状态是指系统的时域行为,即系统的运动规律。状态变 量时足以完全表征系统运动状态而且个数最少的一组独立变量。 量时足以完全表征系统运动状态而且个数最少的一组独立变量。
五、线性系统的校正方法 (一)校正 校正就是在系统中加入一些参数可以根据需要而改变的结构 或装置,使系统整体特性发生变化, 或装置,使系统整体特性发生变化,从而满足给定的各项性能指 标。 (二)校正方式 按照校正装置在系统中的连接方式,分为串联校正、 按照校正装置在系统中的连接方式,分为串联校正、反馈校 正和复合校正。 正和复合校正。
二、控制理论的应用 自动控制是现代工业生产中一种及其重要的技术手段,为 自动控制是现代工业生产中一种及其重要的技术手段, 达到质量和效益的双提高、成本和污染双降低的目的, 达到质量和效益的双提高、成本和污染双降低的目的,技术装 机器设备和生产过程就必须按照预定的要求运行。 备、机器设备和生产过程就必须按照预定的要求运行。 除了在生产领域的应用外, 除了在生产领域的应用外,控制理论已经渗透到其他的科 学领域。 学领域。 总之,控制理论是一门迅猛发展的工程学科,其广泛的应 总之,控制理论是一门迅猛发展的工程学科, 用领域和良好的应用前景已吸引了越来越多的研究者。 用领域和良好的应用前景已吸引了越来越多的研究者。
状态空间分析与控制系统设计

状态空间分析与控制系统设计状态空间分析和控制系统设计是现代控制理论中重要的基础概念和方法。
通过对系统的状态和状态方程进行建模和分析,可以实现对系统行为的全面理解和控制。
本文将介绍状态空间分析和控制系统设计的基本原理,并分析其在实际应用中的重要性和价值。
一、状态空间分析状态空间分析是一种将系统的动态行为表示为一组线性常微分方程或差分方程的方法。
在状态空间模型中,系统的行为被描述为一系列状态变量的演化过程,而不是传统的输入-输出模型。
通过状态空间模型,我们可以更加全面地了解系统的内部结构和动态性能。
在状态空间分析中,系统的行为由一组一阶微分方程或差分方程表示:x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中,x(t)是系统的状态向量,表示系统的内部状态,u(t)是输入控制向量,y(t)是输出向量,A、B、C和D是系统的系数矩阵。
通过对状态空间方程进行求解和分析,可以得到系统的模态特性、状态转移矩阵、特征值和特征向量等重要信息。
这些信息能够帮助我们了解系统的稳定性、可控性和可观测性等特性,从而为系统的控制设计提供重要依据。
二、控制系统设计基于状态空间分析的控制系统设计是将系统的状态空间模型与控制算法相结合,实现对系统动态行为的控制和调节。
通过对状态空间方程的设计和调整,可以实现对系统的稳定性、响应速度、精度和鲁棒性等方面的要求。
常用的状态空间控制方法包括状态反馈控制、输出反馈控制和观测器设计等。
状态反馈控制是通过测量系统状态并构造一个状态反馈控制器来实现对系统的控制。
输出反馈控制是通过测量系统输出并构造一个输出反馈控制器来实现控制目标。
观测器设计是通过测量系统输出并估计系统状态来实现对系统的控制。
在控制系统设计过程中,我们需要考虑系统的稳定性、响应时间、鲁棒性和控制精度等方面的要求。
通过合理选择控制算法和调节参数,可以使系统在各种工作条件下保持良好的动态性能和稳定性,提高系统的控制质量和效率。
控制系统的状态空间分析

第八章 控制系统的状态空间分析一、状态空间的基本概念1. 状态 反应系统运行状况,并可用一个确定系统未来行为的信息集合。
2. 状态变量 确定系统状态的一组独立(数目最少的)变量,如果给定了0t t =时刻这组变量的值())()()(00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ,则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。
3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量,即[])()()()(21t x t x t x t x n =。
4. 状态空间 以状态变量())()()(21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。
系统在某时刻的状态,可用状态空间上的点来表示。
5. 状态方程 描述状态变量,输入变量之间关系的一阶微分方程组。
6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。
二、状态空间描述(状态空间表达式)1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式,线性定常系统状态空间描述一般用矩阵形式表示,对于线性定常连续系统有⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x (8-1)对于线性定常离散系统有⎩⎨⎧+=+=+)()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x (8-2)2. 状态空间描述的建立:系统的状态空间描述可以由系统的微分方程,结构图(方框图),状态变量图、传递函数或脉冲传递函数(Z 传递函数)等其它形式的数学模型导出。
3. 状态空间描述的线性变换及规范化(标准型)系统状态变量的选择不是唯一的,状态变量选择不同,状态空间描述也不一样。
利用线性变换可将系统的矩阵A (见式8-1)规范化为四种标准型:能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
三、传递函数矩阵及其实现1. 传递矩阵)(s G :多输入多输出系统的输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系,称为传递矩阵)(s G ,即)()()(s U s Y s G =(8-3) 式中:)(s U ——系统的输入向量 )(s Y ——系统的输出向量传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是:D B A I C G +-=-1)()(s s (8-4)上式中的A ,B ,C ,D 即为状态空间描述{}D C,B,A,中的矩阵A,B,C,D 。
第8章--线性系统状态空间分析与综合--练习与解答

第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b a aa a a E dtdi L i R U ++=+dtd K E m bb θ=a m mi C M=dtd f dtd J Mm mm mmθθ+=22)()([)()(2m b m a a m m a m a ma m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ⑴设状态变量m m x θ=1,m x θ =2,θ =3x 及输出量my θ=,试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 m y θ=,试建立其动态方程。
解:(1)由题意可知: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======123121x y x x x x x m m m m θθθθ ,由已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===++=m m m m ma m mmb ba a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ可推导出 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+-===12333221x yU J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x xama m ma mb m a ma am a m由上式,可列动态方程如下=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x xx⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-m a a m m a ma mb m a J L R J f L J L C K f R 010010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a m J L C 00a U y =[]001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x(2)由题意可知:,1a i x =m m m y x x θθθ===,,32可推导出 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-====+--=+--==23133231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a aa b a a a a m a b a a a a θθθθθ可列动态方程如下[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32101x x x y由 ⎪⎩⎪⎨⎧===mmmx x x θθθ 321和 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm a x x i x θθ 321得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-======3133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ10110010220330R K ab x L L L x aa a x x U a C f x x m m J J mm ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由上式可得变换矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=mm mm J f J C T 01000108-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++ 。
控制系统的状态空间分析方法

控制系统的状态空间分析方法控制系统是指将输入信号进行处理,通过执行特定的控制算法,使系统输出信号满足特定要求的系统。
控制系统有多种形式,例如电子系统、机械系统、化学系统、热系统等等。
控制系统的设计和分析是一个复杂的过程,需要考虑多个因素,包括系统动态响应、稳定性、鲁棒性、控制器的性能指标等等。
控制系统的状态空间表示是一种广泛应用的分析方法。
状态空间表示是将系统的状态和状态方程用矩阵和向量的形式表示出来。
状态方程是一组描述系统动态响应的微分方程或差分方程。
状态空间表示可以描述线性系统和非线性系统。
对于线性系统,状态空间表示为:dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中,x是状态向量,表示系统的内部状态,u是输入向量,表示外部输入,y是输出向量,表示系统响应,A、B、C、D是矩阵,分别表示状态方程中的系数。
状态空间表示的优点在于它可以提供系统的完整信息,包括系统的结构和动态特性。
通过状态空间表示可以计算系统的传递函数、频率响应、控制器设计等等。
状态空间表示的另一个优点在于它可以用于多变量控制和非线性控制。
在多变量控制中,状态空间表示可以直接描述多变量系统的动态特性和相互关系。
在非线性控制中,状态空间表示可以近似描述非线性系统的动态行为,从而进行控制器设计。
状态空间分析方法是指基于状态空间表示进行系统分析的方法。
常见的状态空间分析方法包括状态转移矩阵法、观测矩阵法、极点配置法、模型匹配法等等。
状态转移矩阵法是指根据系统的状态方程,计算系统状态随时间的演变。
状态转移矩阵可以用于计算系统的传递函数、频率响应等等。
观测矩阵法是指根据系统的状态方程和输出方程,计算系统的状态和输出之间的关系。
观测矩阵可以用于设计状态反馈控制器和观测器。
极点配置法是指根据系统的状态方程和性能指标,设计状态反馈控制器,使系统的极点满足指定的要求。
极点配置法可以用于设计稳定控制器和提高系统的性能指标。
模型匹配法是指通过拟合实验数据或理论模型,确定系统的状态方程和性能指标。
自动控制原理控制系统分析与设计-状态空间方法2——综合与设计

状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为
系统状态完全可观测
23
例: 设系统的状态空间表达式为
1 1 0 1 x 1 1 0 x 0u
0 1 3 0
y 0 0 1x
状态方程同前 面极点配置例
求状态观测器,使其特征值为 1 2 3 3
解:
C 0 0 1
Qo
CA
0
1
3
CA2 1 2 9
7
二、状态反馈与闭环极点配置
极点配置条件:
对于 x Ax Bu
y Cx
通过状态反馈 u r Kx
全部闭环极点的充要条件为:
系统状态完全可控
可任意配置
即状态可控的前提下,反馈系统特征方程
det[sI A BK ] ( s 1 )( s 2 ) ( s n )
的根可以任意设置。
8
例: 设系统的状态方程为
41
基于观测器的状态反馈系统结构图 (有输出端扰动)
74 1 B 29 0
12 0
x( t ) xˆ ( t )
程序:ac8no542
状态变量的收敛性1
状态变量的 误差不→0
x1 xˆ 1
43
状态变量的收敛性2
状态变量的 误差不→0
x2 xˆ 2
44
状态变量的收敛性3
状态变量的 误差不→0
f * ( s ) ( s 3 )3 s3 9s2 27 s 27
令 f * ( s ) f ( s ) 得 h1 74 , h2 29 , h3 12
观测器的反馈系数阵为 H 74 29 12T
25
观测器的状态方程为 xˆ ( A HC )xˆ Bu Hy 1 1 74 1 74 1 1 29 xˆ 0u 29 y 0 1 9 0 12
状态空间_1简介 自动控制原理 浙江大学考研资料

vC
id
0
t
e
1 x
和
1 x2 C
di d dt
又
v L v R vC e
2 x
vL L
1 1 R x2 u x1 L L L
11
浙江大学控制科学与工程学系
回顾与简介
2. 系统的状态空间模型:
1 x2 C 1 R 1 x x x u 2 1 2 Ex.2: R-L-C Circuit L L L 1 x
ห้องสมุดไป่ตู้
回顾与简介——内容
回顾
状态空间基本概念 状态空间模型
简介
可控性和可观性 状态反馈基本概念 问题
浙江大学控制科学与工程学系
3
回顾与简介
1. 状态空间基本概念
Input(输入):由外部施加到系统上的全部激励. Output(输出):能从外部量测到的来自系统的信息。 State(状态):所谓状态,是指系统过去、现在和将来的状况.可以认 为是信息的集合。 State variable(状态变量): 状态变量是指能确定系统运动状态的最 少数目的一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统就有n个独立的变 量 当这n个独立变量的时间响应都可以获得时,系统的行为也就完全 量,当这 个独立变量的时间响应都可以获得时 系统的行为也就完全 确定了。因此,由n阶微分方程描述的系统就有n个状态变量。状态变 量具有非唯 性,因为不同的状态变量也能表达同 个系统的行为。 量具有非唯一性,因为不同的状态变量也能表达同一个系统的行为。 要注意的是,状态变量不一定是物理上可观察的量,可以是一个纯数 学量。
), x 2 ( t ) ), , x n ( t ) State space(状态空间):以状态变量 以状态变量 x1 ( t ) 构成 的 n 维空间,称为状态空间。系统在任意时刻的状态向量 x(t) 是状 态空间中的一个点。系统随时间的变化过程,使 态空间中的 个点。系统随时间的变化过程,使 x(t) 在状态空间中描
自动控制原理第8章

第八章 非线性控制系统分析 y0=[0.5 1]′ c=v\y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=[-0.8 -1]′ c=v\y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=[1 1 1] n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=[0 0]′ c=v\y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系
自动控制原理 杨平 ac8x

8.1 线性系统的状态空间描述
一、问题的提出
1.控制系统的两种基本描述方法: 输入—输出描述法——经典控制理论 状态空间描述法——现代控制理论
2.经典控制理论的特点: (1) 优点:对单入—单出系统的分析和综合特别有效。 (2) 缺点:内部的信息无法描述,仅适于单入—单出系统。 3. 现代控制理论 (1) 适应控制工程的高性能发展需要,于60年代提出。 (2) 可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。 (3) 应用方面的理论分支:最优控制、系统辩识、自适应控
yt
a0 x1
b0
t
x1 t
a1x2
t
b1x2 t b2 x2 x2 t ut
t
x2 t a0x1t a1x2 t ut
yt b0x1t b1x2 t b2x2 t b0 b2a0 x1t b1 b2a1 x2 t b2ut
标准形:符合标准化规定的状态空间描述形式,标准 形便于分析和处理,便于转换成方框图和传递函数, 因为标准形的ABC中元素与系统特征参数直接相关。
四种标准形:
– 能控标准形 – 能观标准形
由传递函数直接确定; 与能控标准形对偶;
– 对角标准形 是完全解耦的系统;
– 约当标准形 有重极点的系数。
则yt b0 x1 b1x2 bn xn a0 x1 a1x2 an1xn xn ut
后式解出xn代入前式
yt b0 bna0 x1 b1 bna1 x2 bn1 bnan1 xn bnu
x1 (t )
uc
(t);dx2 (t) dt
x2 (t)
工学自动控制原理8状态空间分析法

例1 某机械动力系 统如图所示
质量-弹簧-阻尼系统 的微分方程式为:
x K
F(t)
f
M
d2 x dx M dt 2 f dt Kx F (t )
d2 x f dx K
1
dt 2 M dt M x M F (t )
选择位移 x(t) = x1(t) 和速度 x&(t) = x2(t) 作为系统的
n
L2
m
43
1
0
0
0
B 0 ,
M
1
C
例 已知系统的 传递函数为:
s2 2s 3 G(s) 2s3 4s2 6s 10
求出其对应的可控标准型
1 s2 s 3
解:
G(s)
s3
2
直接写出系统的可控标准型:
2
s
2xx&&123s2500 x&3 5
1 0 3
0
1
2
x&1 0 1 0 x1 0
0
an1
x2
M
0 M
an2 M
x3 M
b0 0
u
0 1
a2
xn1
a1 xn
M
0
n
m
1
Y 0 0 0 L
状态变量,可把上述方程化为两个一阶微分方程:
d2 x dt 2
f M
dx dt
K M
x
1 M
F (t )
x(t) = x1(t)
x&(t) = x2(t)
x&1
x&
x2
x&2
K M
x1
f M
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第八章 控制系统的状态空间分析一、状态空间的基本概念1. 状态 反应系统运行状况,并可用一个确定系统未来行为的信息集合。
2. 状态变量 确定系统状态的一组独立(数目最少的)变量,如果给定了0t t =时刻这组变量的值())()()(00201t x t x t x n Λ和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ,则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n Λ的行为就可完全确定。
3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量,即[])()()()(21t x t x t x t x n Λ=。
4. 状态空间 以状态变量())()()(21t x t x t x n Λ为坐标的n 维空间。
系统在某时刻的状态,可用状态空间上的点来表示。
5. 状态方程 描述状态变量,输入变量之间关系的一阶微分方程组。
6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。
二、状态空间描述(状态空间表达式)1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式,线性定常系统状态空间描述一般用矩阵形式表示,对于线性定常连续系统有⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x& (8-1)对于线性定常离散系统有⎩⎨⎧+=+=+)()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x (8-2)2. 状态空间描述的建立:系统的状态空间描述可以由系统的微分方程,结构图(方框图),状态变量图、传递函数或脉冲传递函数(Z 传递函数)等其它形式的数学模型导出。
3. 状态空间描述的线性变换及规范化(标准型)系统状态变量的选择不是唯一的,状态变量选择不同,状态空间描述也不一样。
利用线性变换可将系统的矩阵A (见式8-1)规范化为四种标准型:能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
三、传递函数矩阵及其实现1. 传递矩阵)(s G :多输入多输出系统的输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系,称为传递矩阵)(s G ,即)()()(s U s Y s G =(8-3) 式中:)(s U ——系统的输入向量)(s Y ——系统的输出向量传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是:D B A I C G +-=-1)()(s s(8-4)上式中的A ,B ,C ,D 即为状态空间描述{}D C,B,A,中的矩阵A,B,C,D 。
2. 传递矩阵)(s G 的实现:已知系统的传递函数矩阵)(s G ,寻找一个状态空间描述{}D C,B,A,,并满足式(8-4),则称{}D C,B,A,为)(s G 的一个实现。
当系统{}D C,B,A,的阶数等于传递函数矩阵)(s G 的阶数时,称该系统{}D C,B,A,为)(s G 的最小实现。
传递函数矩阵的实现并不唯一。
实现的常用标准形式有:可控标准形实现,可观标准形实现、对角型实现和约当型实现等。
四、线性定常连续系统状态方程的求解1. 状态转移矩阵)(t φ(矩阵指数函数At e )及其性质。
2. 计算状态转移矩阵)(t φ的方法 1) 级数展开法ΛΛ+++++=n n At t A k t A At I e !1!2122(8-5)2) 拉氏变换法[]1)()(--=A sI t -1L φ(8-6)3) 凯莱-哈密尔顿法(又称待定系统法)∑-===1)()(n k k k AtA t et βφ(8-7)当矩阵A 的特征值i s 互异时,)(t k β可由下式确定:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t s t s t s n n n n n n n n e e e s s s s s s s s s t t t M ΛM ΛM M M ΛΛM 21121222211211110111)()()(βββ (8-8)当矩阵A 具有m 重特征值1s 时,待定系数)m-, ,, (i t i 13210 )(Λ=β,由下式确定(其它相异特征值按式(8-8)处理)。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----t s n t s t s ts n n n n e n t et e t e s n n s n s t t t 1111)!1(!2!11000!2)2)(1(110!1)1(101)()()(12312111110M ΛM OM M M ΛΛΛΛΛΛM βββ (8-9)4) 希尔维斯特(Sylvester )法∏∑≠==--==n ki i ik i nk t s Ats s I s A e e t k 11)(φ (8-10)式中:矩阵的特征值-=),2,1(n k s k Λ I —单位阵当系统矩阵A 的n 个特征值互异时,用希尔维斯特方法求)(t φ最为简便。
1. 性定常连续系统状态方程求解1) 齐次方程 )()(t Ax t x =& 的解)0()()(x t t x φ=(8-11)2) 非齐次方程 )()()(t Bu t Ax t x +=& 的解⎰-+=td Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ(8-12)4.线性定常连续系统的离散化对式(8-1)表示的系统进行离散化,可导出如式(8-2)所表示的离散化状态空间描述。
其中,⎰===TT t Bd H t G 0)()(ττφφ (8-13)5.离散系统状态方程求解 1) 递推法),, (k i Hu G x G k x k i i k kΛ21 )()0()(111=+=∑-=--(8-14)2) Z 变换法)()()0()()(11z HU G zI zX G zI z X ---+-=(8-15)五、线性定常连续系统的可控性与可观测性1. 线性定常连续系统的可控性判断[]n B A B A ABBrank n =-12Λ(8-16)1) 当系统Bu AX X+=&中的A 矩阵为对角阵且特征根互异时,输入矩阵B 中无全零行。
2) 当A 为约当阵且相同特征根分布在一个约当块内时,输入矩阵B 中约当块最后一行对应的行中不全为零,且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零。
3) B A sI 1)(--的行向量线性无关。
4) 单输入系统{}B A ,为可控标准型。
5) 单输入/单输出系统,当状态空间描述导出的传递函数没有零、极点对消时,系统可控,可观测。
2.输出可控型判据[]阵的行数)(C 1q D BCA CAB CB rank n =-Λ(8-17)1) 状态可控性与输出可控性是两个不同的概念,其间没有必然的联系。
单输入/单输出系统若输出不可控,则系统或不可控或不可观测。
3.线性定常连续系统的可观测型判据[]n C A C A C rank T n T TT T=-1)(Λ(8-18)1) 当系统的A 阵为对角阵且特征根互异时,输出矩阵C 无全零列。
2) 当系统的A 阵为约当阵且相同的特征值分布在一个约当块内时,输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全为零,输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零。
3)1)(--A sI C 的列向量线性无关。
4) 单输出系统{}C A ,为可观测标准型。
六、线性定常离散系统的可控性和可观测型判据1. 可控性判据[]n H G GH Hrank n =-1Λ(8-19)2. 可观测性判据[]n C G C G C rank T n T TT T=-1)(Λ(8-20)七、线性定常系统的状态反馈与状态观测器1. 状态反馈与状态反馈控制系统的极点配置 1) 状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入比较后形成控制率,作为受控系统的控制输入,即)()()(t KX t r t u -=(8-21)式中:参考输入-)(t r控制输入状态向量反馈系数向量---)()(t u t X K若受控系统的状态空间描述为)()()()()()(t Du t CX t y t Bu t AX t X +=+=& (8-22)将式(8-21)代入式(8-22)可得⎩⎨⎧+-=+-=)()()()()()()()(t Dr t X DK C t y t Br t X BK A t X & (8-23)上式的简化写法为{}D DK C B BK A ,,,--2) 状态反馈控制系统的极点配置极点配置是通过计算选择状态反馈阵K ,使得闭环控制系统{}D DK C B BK A ,,,--的极点(即{}BK A -的特征值)正好处于所希望的一组极点的位置上。
即令[]∏=-=--ni i s BK A sI 1)()(det λ(8-24)式中:),2,1(n i i Λ=λ为希望的一组闭环极点。
a) 用状态反馈实现闭环极点任意配置的充分必要条件是受控系统的状态要完全可控。
状态反馈不改变系统的零点,只改变系统的极点。
b) 在引入状态反馈后,系统的可控性不会改变,但可观测性不一定与原系统一致。
c) 对于单输入系统,只要系统可控,则必能通过状态反馈实现闭环极点的任意配置,而且不影响系统零点的分布。
2.状态观测器及其设计1) 状态观测器:应用状态反馈涉及状态反馈控制系统,除了受控系统的状态要完全可控外,还要求所有的状态变量是可以量测的。
当系统的状态变量不能全部量测到时,实现完全状态反馈就会遇到困难,因此提出了用状态观测器来重构系统的全部状态。
故状态观测器又称状态估计器。
2) 状态观测器的设计设计状态观测器的方框图如图1.8-1的虚框所示。
从图1.8-1可以求出状态观测器的状态方程和输出方程图1.8-1X C yGy Bu X GC A Bu X C y G XA Bu y y G X A Xˆˆˆ)( )ˆ(ˆ )ˆ(ˆˆ=++-=+-+=+-+=&状态观测器的反馈矩阵G 可由下式求出[]∏=-=--ni i s GC A sI 1)()(det λ(8-26)式中:),2,1(n i i Λ=λ为一组希望的,可任意配置的极点,它决定了状态误差衰减的速率。
3) 状态观测器存在的基本条件 a) 原系统{}C B A ,,完全可观测。
b) 观测器状态方程所对应的状态矩阵)(GC A -的所有特征根具有负实部。
分离定理:若原系统{}C B A ,,可控可观测,当用状态观测器估计全部状态再形成全状态反馈时,系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。
观测器的设计不影响配置好的系统极点,状态反馈也不影响观测器的收敛性。