【典型题】高中必修二数学下期末第一次模拟试卷(带答案)(1)

【典型题】高中必修二数学下期末第一次模拟试卷(带答案)(1)
一、选择题
1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2
cos 3
A =
，则b= A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
2．已知向量()cos ,sin a θθ=，()
1,2b =，若a 与b 的夹角为6
π
，则a b +=（ ） A ．2
B ．7
C ．2
D ．1
3．已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则
A =R
A ．{}
12x x -<<
B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥
4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
73
B ．
8π
3
- C ．83
D ．
7π
3
- 5．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +的最小值是（） A ．6-
B ．3-
C ．4-
D ．2-
6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
7．已知集合 ，则
A ．
B ．
C ．
D ．
8．函数223()2x
x x
f x e +=的大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数21(1)()2(1)
a
x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨
⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[]1,1-
D ．(]1,1-
10．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数
{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(1,1)(3,4)-
B ．(1,3)
C ．(1,4)-
D ．(,1)
(4,)-∞-+∞
11．与直线40x y --=和圆2
2
220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()2
2
112x y +++= B ．()()2
2
114x y -++= C ．()()2
2
112x y -++=
D ．()()2
2
114x y +++=
12．若函数()(
),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪
=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
二、填空题
13．在ABC ∆中，若3
B π
=
，3AC =2AB BC +的最大值为__________．
14．已知函数()sin 03y x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A =4 5
，cos C=
5
13
，a=1，则
b=___.
16．若x，y满足约束条件
10,
{30,
30,
x y
x y
x
-+≥
+-≥
-≤
则z=x−2y的最小值为__________.
17．如图，在矩形中，为边的中点，1
AB=，2
BC=，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC（在线段AD上）.由两圆弧EB、EC及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .
18．已知函数
4
2,0
()
log,0
x x
f x
x x
⎧≤
=⎨
>
⎩
，若
1
[()]
2
f f a=-，则a的值是________. 19．若()
1,
x∈+∞，则
1
3
1
y x
x
=+
-
的最小值是_____．
20．函数()sin
f x x
ω
=（0
>
ω）的图像与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为1
A，
2
A，
3
A，⋅⋅⋅，
n
A，⋅⋅⋅，在点列{}
n
A中存在三个不同的点
k
A、
l
A、
p
A，使得
△k l p
A A A是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为
n
ω，则6
ω=________.
三、解答题
21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
组号分组频数频率
第1组[)
160,16550.050
第2组[)
165,170①0.350
第3组[)
170,17530②
第4组[)
175,180200.200
第5组[)
180,185100.100
（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率． 22．已知不等式的解集为
或
.
（1）求
；（2）解关于的不等式
23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+
⎪
⎝
⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫<≤ ⎪⎝⎭
个单位长度后得到()f x 的图象．
（1）若()f x 为偶函数，求()f
ϕ的值；
（2）若()f x 在7,6ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上是单调函数，求ϕ的取值范围．
24．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若
1
cos cos sin sin 2
B C B C -=．
（1）求角A 的大小；
（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．
25．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，
1
2
BC CD AD ==
.
（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；
（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.
26．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，
解得（
舍去），故选D.
【考点】 余弦定理 【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2．B
解析：B 【解析】
【分析】
先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质2
2()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】
因为()cos ,sin a θθ=，()
1,2b =， 所以||1a =，||3b =.
又2
2
2
2
2
2()2||2||||cos
||6
a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π
+
1372
=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.
3．B
解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为
21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】
由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，
设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+
222[(3)3]x y =+--，
所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．
，
，所以几何体的表面积为
．
考点：三视图与表面积．
7．D
解析：D 【解析】 试题分析：由
得
，所以
，因为
，所以
，故选D.
【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或
韦恩图处理.
8．B
解析：B 【解析】
由()f x 的解析式知仅有两个零点3
2
x =-
与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()223
2x
x x f x e
-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．C
解析：C 【解析】
x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，
x >1时,()()21,10a a
f x x f x x x
=+
+'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，
而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】
函数()f x 的图象如图，
直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<.
故选A. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.
11．C
解析：C 【解析】
圆2
2
220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线
40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直
线40x y --=
=，设所求圆的圆心为
()
,a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得
1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为
()()
2
2
112x y -++=.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，
当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23
a >， 且在1x =处，有：()1
2311a a -⨯+≥，解得：34
a ≤
， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 本题选择C 选项. 【点睛】
对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式
解析：【解析】 【分析】 【详解】
设
22sin sin 3AB BC A θ
θπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin
,3AB πθ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
2sin BC θ=()222sin 4sin 3
AB BC πθθθϕ⎛⎫
∴+=-
+=+ ⎪⎝⎭
，最大值为考点：解三角形与三角函数化简
点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()sin cos a b θθθϕ+=
+的形式
14．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值 解析：3
π
【解析】 【分析】
先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出
m 的表达式，即可求出m 的最小值．
【详解】 由2T π
πω=
=得2ω=，所以sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到
sin[2()]sin(22)33
y x m x m ππ
=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函
数，有2,3
m k k Z π
π+=∈，则6
2
k m π
π=-
+
，故m 的最小值为3π
．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2
k π
ϕπ=
+；
cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2
k π
ϕπ=
+；为偶函数，则k ϕπ=．
15．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113
【解析】 试题分析：因为45cos ,cos 513
A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513
A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65
B A
C A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13
a B
b A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
16．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC 的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直 解析：5-
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩
，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得30
x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．
【考点】
简单的线性规划
【名师点睛】
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
（1）在平面直角坐标系内作出可行域；
（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
17．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体
解析：
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为
.
考点：旋转体的组合体.
18．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题
解析：-1或2
【解析】
【分析】 根据函数值的正负，由1[()]02f f a =-
<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨论，代入解析式，即可求解.
【详解】
当0x ≤时，()0,f x >1[()]02
f f a =-<， 411[()]lo
g (()),()22
f f a f a f a ∴==-∴=， 当410,()lo
g ,22a f a a a >==
∴=， 当10,()2,12
a a f a a ≤==
∴=-， 所以1a =-或2a =.
故答案为:1-或2.
【点睛】
本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题. 19．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题
解析：3+【解析】
【分析】 由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+
=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】
解：x 1>，()11y 3x 3x 13x 1x 1
∴=+=-++--
33≥=，（当且仅当13
x =+取等号）
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．
20．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……
解析：112
π 【解析】
【分析】 由2x k π
ωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分
析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果.
【详解】
由2
x k π
ωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈ 1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω
⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：2π
ω=，即12π
ω=
同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅= 232
πω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110
A A A A ⋅= 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-=
6112πω∴= 故答案为：
112
π 【点睛】 本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.
三、解答题
21．（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）
35
. 【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．
（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．
（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率．
【详解】
（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，
②第3组的频率为300.300100
=， 频率分布直方图如图所示，
（2）因为第3,4,5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：
306360⨯=人， 第4组：
人， 第5组：106160
⨯=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，
则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），
12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），
31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），
其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：
11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），
31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），
∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93155
=． 【点睛】 本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．
22．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅．
【解析】
【分析】
（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值；
（2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集．
【详解】
（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }，
所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；
由根与系数的关系，得
，
解得a ＝1，b ＝2； （2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，
即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；
①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；
②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；
③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．
【点睛】
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．
23．（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦． 【解析】
【分析】
（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()f ϕ的值.
（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛
⎫=+
+- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是单调函数，以及
正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围.
【详解】
（1）()()314sin cos sin 3sin 21cos 222g x x x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭
2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭， ()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭
， 又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤，6
πϕ∴=． ()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭
． （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++ ⎪⎝⎭
， 02π
ϕ<≤，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦
， ()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤． ,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.
24．（1）23A π=
；（2）3. 【解析】
【分析】
（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积.
【详解】
(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝， ∴cos(B ＋C )＝.
∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝.∴cos A ＝－.
又∵0<A <π，∴A ＝.
(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A .
则(2)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos .
∴12＝16－2bc －2bc ·
(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc ·
sin A ＝×4×＝.
【点睛】
本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
25．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ；
（Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；
（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.
【详解】
（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
所以CD ⊥P A .
因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，
所以CD ⊥平面P AD .
因为PD ⊂平面P AD ，
所以CD ⊥PD .
(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以BD ⊥P A .
在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==
， 由题意可得2AB BD BC ==
， 所以222AD AB BD =+， 所以BD AB ⊥.
因为PA AB A =，
所以BD ⊥平面P AB .
（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.
证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，
因为M是PD的中点，所以
1
2
MN AD.
因为
1
2
BC AD，所以MN BC.
所以MNBC是平行四边形，
所以CM∥BN.
因为CM⊄平面P AB, BN⊂平面P AB.
所以//
CM平面P AB.
【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
26．（1）a n=2n–9，（2）S n=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得n S的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．
（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.。