分析力学试题与标答

分析力学

一、试推导质点系理想约束情况下的动力学普遍方程，并写出解析表达式。(10分)

二、已知均质杆A 1B 1和A 2B 2杆重为P 1和P 2，不计各处摩擦，试用虚位移原理求平衡时α、β角应满足的关系。（20分）

三、均质圆柱体半径R ，质量为M ，沿直线轨道做无滑动滚动，在圆心用铰链连接一长为l 的刚性杆OA ，不计杆的质量，杆的A 端有一质量为m 的小球，构成一单摆。试用拉格朗日方程求系统的运动微分方程，并写出其初积分。（30分）

四、具有水平轨道的管子可绕铅直轴转动，质量为m 的小球无摩擦地沿管子滑动。管子的转动惯量为J =mR 2，作用在小球上的力具有势函数V (r )。试用哈密顿正则方程建立系统的运动微分方程。（15分）

五、质量为m 的物体放在光滑水平面上，刚性系数为k 的弹簧水平放置，一端与物块相连，另一端固结在竖直墙面上，试由哈密顿原理求物体的振动微分方程。（10分）

六、图示均质杆OA 长l =3m ，质量为m =2kg ；O 为铰链，A 端连一弹簧，刚度系数为k =4N/m 。弹簧原长为l 0=1.2m ，h =3.6m 。试用势力场质点系的平衡条件求平衡时的角度θ，并讨论平衡的稳定性。（15分）

1、 解：质系n 个质点，第i 个质点质量m i ，主动力合力F i ，约束反力F Ni ，惯性力F gi =-ma i

2

1

x

A

由达朗伯原理 0=++gi Ni i F F F

（3分）

给质点系一虚位移，第i 质点的虚位移为i r

δ，

由虚位移原理 0)(=⋅++i gi Ni i r F F F

δ （3分） 对上式求和 0)(=⋅++∑i gi Ni i r F F F

δ

理想约束情况下 0=⋅∑i Ni r F

δ （2分）

于是有

0)(=⋅+∑i gi i r F F δ 或 0)(=⋅-∑i i i i r a m F

δ （1分）

解析表达式为

0)()()(=⋅-+⋅-+⋅-∑i i i i i i i i i i i i

z z

m Z y y m Y x x m X

δδδ （1分）

2、 解：以系统为研究对象，单自由度，以α为广义坐标。

αsin 2111l y C = βsin 21

22l y C =

αδαδcos 2111l y C = βδβδcos 2

1

22l y C = （4分）

由虚位移原理02211=--C C y P y P δδ （4分）

0cos 2

cos 22

2

11=--βδβαδαl P l P （2分） 而L l l =+βαcos cos 21 （4分） 两边求变分0sin sin 21=--βδβαδαl l 即 δαβ

α

δβsin sin 21l l -

= （2分）

0)sin sin cos 2cos 2(2122

11=+-δαβ

αβαl l l P l P 0≠∀δα 0sin sin cos 2cos 2212211=+-βα

βαl l l P l P （2分） βαtan tan 2

1

P P =

（2分） 3、 解：系统有两个自由度，以x 、φ为广义坐标

ϕsin l x x A += ϕcos l y A -=

ϕϕcos l x x

A += ϕϕsin l y A = （4分） )cos 2(2

1

)(212122222ϕϕϕ x l l x m r x J x

M T O ++++=

（2分）

以x 轴为零势能位置，ϕcos mgl V -= （2分）

ϕϕϕϕcos )cos 2(2

1

432222mgl x l l x m x

M V T L ++++=

-= （2分） ϕϕcos )2

3( ml x m M x L ++=∂∂ 0=∂∂x L

（4分）

ϕϕϕ

cos 2x ml ml L +=∂∂ ϕϕϕϕsin sin mgl x

ml L

--=∂∂ 带入拉格朗日方程

0)(=∂∂-∂∂k

k q L

q L dt d 有 （2分） 0sin cos )2

3

(2=-++ϕϕϕϕ ml ml x

m M （2分） 0sin cos =++ϕϕϕg x

l （2分） 定常约束，保守系统，有能量积分 （5分）

E mgl x l l x m x

M V T =-+++=

+ϕϕϕϕcos )cos 2(2

1

432222 x 为可遗坐标，有循环积分 （5分）

C ml x

m M '=++ϕϕcos )2

3

( 4、解：系统有两个自由度，以管子转角φ、r 为广义坐标 （2分）

22222222)(2121)(2121ϕϕϕ r R m r m r r m J T ++=++=

（3分） ϕϕ

ϕ )(22r R m T

p +=∂∂=

)(22r R m p +=ϕϕ （4分）

r m r T p r =∂∂=

m

p

r r = )()(21)()(21212

22

2

222202r V R r p p m r V r R m r m V T T H r +++=+++=+-=ϕϕ （2分）

由哈密顿正则方程有

)

(2

2R r m p p H

+=∂∂=ϕϕϕ

0=∂∂-=ϕϕH p m p p H r r r =∂∂= dr

dV

R r m rp r H p r -+=∂∂-=2

222

)(ϕ （4分） 5、解：单自由系统，以弹簧伸长为广义坐标，原长为零势能位置

2

22

121kx x m V T L -=-= （2分） 则哈密顿作用量为⎰

=

2

1

t t Ldt S （2分）