高等几何3.3—3.4节

注 上述定义、定理表明线束的交比与点列的交比 具有完全相同的形式.
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3.3 线束的交比
二、线束交比的几何意义
1. 斜率表示 如图, 在以S(x0,y0)为束心的线束 中，取定二直线x=x0, y=y0. 则直线的 (负)斜率k可以作为参数来表示线束. 由定理3. 8，可得
对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有
定理3.9的证明（留作练习）
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3.4 一维射影对应
二、一维射影几何基本定理：
定理3.10 设两个一维基本图形成射影对应， 则对应四元素的交比相等。
证明思路分析：由于四元素的交比等于对应 参数的交比，因此，若设两个一维几何图 形的对应参数分别为：
1、2、3、4， 1、2、3、4， 则证明：（12，3 4）=（12，3 4）.
上式也可写为： x1 ' a11 a12 x1 , x2 ' a21 a22 x2 或
X ' AX ,
| A | 0.
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3.4 一维射影对应
例1. 求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1)依次 对应于l'上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1). 解. 设所求对应式为
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3.4 一维射影对应
二、一维射影几何基本定理：
定理3.11 若两个一维基本图形对应四元素的 交比相等，则必成射影对应。 （证明见教材P.34-35）
定理3.10和定理3.11 说明：两个一维基本图 形成射影的充要条件是：对应元素的交比 相等。同时，这两个定理说明了：交比是 射影不变量。
' '
（a、b、c、d表常数）或
（1 ） , 0
'
则称这两点列成射影对应.
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3.4 一维射影对应
一、一维射影对应：
2.概念 设有两线束，动点坐标分别为p+q,p+ q, 若对应点的参数与 满足（1）或（1 ）
则称这两线束成射影对应. 设有一点列，动点坐标分别为p+q,又有一线束， 动直线坐标为p+ q,若对应点的参数
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3.3 线束的交比
一、线束中四直线的交比
1.线束的参数表示 设a, b为线束O(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈O(p), R 其坐标可表示为 a b 称a, b为线束的基线, λ为参数. 这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. 注1 参数λ的几何意义？不易说清楚！下面给出一种具有明确 几何意义的特定参数λ. 容易看出： λ=0 → a; λ=1 → a+b; λ=∞ → b 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形 注2 式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比.
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3.4 一维射影对应
二、一维射影几何基本定理：
从定理3.11的证明过程可以推出一维射 影几何基本定理：
定理3.12（ Von staudt ）如果两个一维图 形中任意给定的三对（各不相重的）对应 元素，那么就可以唯一决定对应射影。
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3.4 一维射影对应
三、一维射影对应的代数表达式：
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3.3 线束的交比
三、线束交比的计算
例2 (蝴蝶定理)过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF, 连结EF, CD交AB于G, H. 求证：GO=OH. 证明: 因为A, F, C, B为圆上四点, 易 知
E ( AF, CB) D( AF, CB). 以直线AB截这两个线束, 得 ( AG, OB) ( AO, HB). 利用交比的初等几何表示(3.3)式, 有 AO GB AH OB GB AH . GO AB OH AB GO OH GO OB AO OH OB AO 所以 GO OH . GO OH GO OH 注：同理可证，G'O=OH'.
定理3.7 四直线a,b,c=a+λ 1b,d=a+λ 2b 的交比为
（ab,cd）=λ 1／λ
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定理3.8 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则
(1 3 )(2 4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ) . (2 3 )(1 4 )
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3.4 一维射影对应
三、一维射影对应的代数表达式：
3.设所考虑的两个一维基本图形都是点列， 并且所用的参数就是笛氏坐标x和x’ ，则射 影对应式为：
a11 a12 x1 a11 x1 a12 x2 0（ 0） x2 a21 x1 a22 x2 a21 a22
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3.3 线束的交比
一、线束中四直线的交比
2.定义 设a, b, c, d为线束O(p)中四直线，取a和b作为基线，其齐次坐 标依次为a, b, a+λ1b, a+ λ2b. 设以另一直线s截此四线于点A、B、 C、D，以(AB, CD)表示这四直线构成的一个交比. 由定理3.1
( AB, CD)
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3.4 一维射影对应
二、一维射影几何基本定理：
我们把 和 之间的关系写作：
, 0 i ' 则 i (i 1, 2, 3, 4), i
'
经过计算可得： （1 2，3 4）=（1 2，3 4）
( p1 p2 , p3 p4 ) sin( p1 p3 ) sin( p2 p4 ) . sin( p2 p3 ) sin( p1 p4 )
其中(pi pj)表示由pi到pj的有向夹角.
注：以上结论的证明，参看教材P.39-40自学.
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3.3 线束的交比
三、线束交比的计算
(1)由已知条件求交比. 方法一. 与点的交比计算完全对偶. 方法二. 以一条特殊直线截已知线束, 转化为点的交比计算. 技巧是, 取合适直线, 使截点坐标简单, 易于计算. (2)由已知交比和其中三直线坐标, 求第四条直线. 与点列的交比对偶.
1 . （参看教材P.38图3.2） 2
值得注意的是：这交比值由线束本身完全确定， 与截线s无关。把一线束中四直线被任一直线（不 通过线束中心O）所截四点的交比，称为四直线的 交比，记为（ab,cd）. 于是有：
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3.3 线束的交比
一、线束中四直线的交比
3.线束交比的计算 由点列与线束的对偶性，可得如下关于线束交比计算的结论：
代入
2 2a11 a12 2 a22 3 4a11 a12 3 a22
2a11 a12 a22 0 4a11 a12 a22 0
解得 a11 : a12 : a21 : a22 1 : 3 : 0 : 1
三、一维射影对应的代数表达式：
2.射影对应式还可写为：
1 111 11 2 2 2 2 1 3 3 3 3 1
3.设所考虑的两个一维基本图形都是点列，并 且所用的参数就是笛氏坐标x和 x
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3.4 一维射影对应
一、一维射影对应： 1.本节主要内容 ①介绍两个一维几何图形A、B间的一种关系 射影关系：AB ②证明交比是射影不变量 ③推导Von staudt 定理 ④介绍射影对应式的求法.
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3.4 一维射影对应
一、一维射影对应：
2.概念
设有两点列，动点坐标分别为p+q,p+ q, 若对应点的参数与 满足双一次关系 a b （1）a b c d 0, 0, c d
下面看两个例题：
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3.3 线束的交比
三、线束交比的计算
例1 已知四直线：a1 : 2 x y 1 0, a2 : 3x y 2 0,
a3 : 7 x y 0, a4 : 5 x 1 0.试求 (a1a2 , a3a4 ) ? 解 : 取a1 , a2为基线，将a3 , a4写为a1 , a2的线性组合，易求： 1 [7, 1,0] [2, 1,1] [3,1, 2], 2 [5,0, 1] [2, 1,1] 1 [3,1, 2] 1 1 2 1 (a1a2 , a3a4 ) . 2 1 2
1.设第一个图形三元素的参数为i (i 1, 2, 3), （互不相等），第二个图形三元素的对应参数 为i (i 1, 2, 3.互不相等).那么这个射影对应 由下述关系给出： （12，3 ）=（12，3 ）. （1）
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3.4 一维射影对应
我们把 ,
'
0
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称为的射影函数.
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3.4 一维射影对应
一、一维射影对应： 3.射影函数的性质
定理3.9 是 的射影函数.若 是的射影函数， 则也是 的射影函数,若 是 的射影函数, 则 是的射影函数. 简言之，射影关系是自反的、对称的、传递的.
(k1 k3 )(k2 k4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ) . (k1 k4 )(k2 k3 )
注 容易看出，斜率参数 k R
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3.3 线束的交比
二、线束交比的几何意义 2. 三角函数表示
设直线pi与x轴正向的夹角为αi (i=1,2,3,4). 则将ki=tanαi代入 上式，并利用三角恒等式进行化简，可得 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有
于是, 所求对应式为 x1 ' x1 3 x2 x2 x 2 '
这是由 6个方程 构成的关 于7个未 知数的齐 次线性方 程组.
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3.4 一维射影对应
a21 0
求解过程：消去ρi, 求出aij的一组比值即可.
1 a11 0 a 21 2 2a11 a12 2 2a21 a22 3 4a11 a12 3 4a21 a22
与 满足（1）或（1 ） 则称此点列与线束成射影对应.
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3.4 一维射影对应
一、一维射影对应：
• 点列与线束是一维几何的基本图形，上面三 种情况可以统一表述如下： 定义：如两个一维基本图形A和B的参变数之 间，有一个行列式不为零的双一次关系，则 称此两图形成射影对应，记为 AB.
x1 ' a11 x1 a12 x2 x2 ' a21 x1 a22 x2 将已知三对对应点的坐标分别代入, 得
xi (1, 0) (2, 1)
xi' (1, 0) (–1, 1)
(4, 1)
(1, 1)
1 a11 0 a 21 2 2a11 a12 2 2a21 a22 3 4a11 a12 3 4a21 a22
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高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）
第三章 一维射影几何学
3.3 线束1
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提 纲
3.3 线束的交比 一、线束中四直线的交比
二、线束交比的几何意义
三、线束交比的计算
3.4 一维射影对应 一、一维射影对应： 二、一维射影几何基本定理 三、一维射影对应的代数表达式：